2025年外研版三年级起点高二数学上册月考试卷含答案

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年外研版三年级起点高二数学上册月考试卷含答案考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共7题，共14分)1、()A.B.C.D.2、定积分∫）dx的值为（）

A.4+e2

B.3+e2

C.2+e2

D.1+e2

3、函数在x＝1处取得极值，则的值为()A.B.C.D.4、【题文】若的值的范围是（）A.B.C.D.[0，1]5、【题文】..设等比数列的前项和为若则（）A.81B.72C.63D.546、荆州市某重点学校为了了解高一年级学生周末双休日在家活动情况，打算从高一年级1256名学生中抽取50名进行抽查，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从1256人中剔除6人，剩下1250人再按系统抽样的方法进行，则每人入选的机会（）A.不全相等B.均不相等C.都相等D.无法确定7、已知随机变量ξ服从二项分布ξ～B（n，p），且E（ξ）=7，D（ξ）=6，则p等于（）A.B.C.D.评卷人得分二、填空题(共6题，共12分)8、已知f（x）=x3+ax2+（a+6）x+1有极大值和极小值，则a的取值范围为____．9、（理科）设ξ是一个离散型随机变量．

（1）若ξ～B（n，p），且E（3ξ+2）=9.2，D（3ξ+2）=12.96，则n、p的值分别为____、____；

（2）若ξ的分布列如表，则Eξ=____．。ξ-11P1-3a2a210、设N，若函数存在整数零点，则的取值集合为____，此时的取值集合为____.11、【题文】设变量满足约束条件则目标函数的最大值为____.12、【题文】给定集合定义中所有不同。

值的个数为集合A中的元素和的容量，用L(A)表示。若则L(A)=____；若数列是等差数列，设集合则L(A)关于m的表达式为____13、用反证法证明命题：“若a，b∈R，且a2+|b|=0，则a，b全为0”时，应假设为______．评卷人得分三、作图题(共9题，共18分)14、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

15、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）16、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）17、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

18、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）19、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）20、分别画一个三棱锥和一个四棱台．评卷人得分四、解答题(共4题，共40分)21、已知圆C经过P（4，–2），Q（–1，3）两点，且在y轴上截得的线段长为半径小于5．（1）求直线PQ与圆C的方程．（2）若直线l∥PQ，且l与圆C交于点A、B，求直线l的方程．22、已知函数为大于零的常数。（1）若函数内单调递增，求a的取值范围；（2）求函数在区间[1，2]上的最小值。23、已知直线y=-2上有一个动点Q，过点Q作直线l1垂直于x轴，动点P在l1上；且满足OP⊥OQ（O为坐标原点），记点P的轨迹为C．

（1）求曲线C的方程；

（2）若直线l2是曲线C的一条切线，当点（0，2）到直线l2的距离最短时，求直线l2的方程．24、已知椭圆C

的中心在原点，焦点在x

轴上，长轴长是短轴长的3

倍，其上一点到焦点的最短距离为3鈭�2

．

(1)

求椭圆C

的方程；

(2)

若直线ly=kx+b

与圆O拢潞x2+y2=34

相切，且交椭圆C

于AB

两点，求当鈻�AOB

的面积最大时，直线l

的方程．评卷人得分五、计算题(共2题，共8分)25、已知a为实数，求导数26、已知z1=5+10i，z2=3﹣4i，求z．评卷人得分六、综合题(共3题，共15分)27、如图，在直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（-1，0），（3，0），（0，3），过AB，C三点的抛物的对称轴为直线l，D为对称轴l上一动点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求当AD+CD最小时点D的坐标；

（3）以点A为圆心；以AD为半径作⊙A．

①证明：当AD+CD最小时；直线BD与⊙A相切；

②写出直线BD与⊙A相切时，D点的另一个坐标：____．28、（2009•新洲区校级模拟）如图，已知直角坐标系内有一条直线和一条曲线，这条直线和x轴、y轴分别交于点A和点B，且OA=OB=1．这条曲线是函数y=的图象在第一象限的一个分支，点P是这条曲线上任意一点，它的坐标是（a、b），由点P向x轴、y轴所作的垂线PM、PN，垂足是M、N，直线AB分别交PM、PN于点E、F．则AF•BE=____．29、（2015·安徽）设椭圆E的方程为+=1(ab0),点O为坐标原点，点A的坐标为（a，0），点B的坐标为（0，b），点M在线段AB上，满足=2直线OM的斜率为参考答案一、选择题(共7题，共14分)1、C【分析】试题分析：因为故选C.考点：1.裂项求和的方法.2.数列的求和.【解析】【答案】C2、D【分析】

（ex+）′=ex+x

∴∫2（ex+x）dx

=（ex+）|2

=e2+1

故选D．

【解析】【答案】先求出被积函数ex+x的原函数；然后根据定积分的定义求出所求即可．

3、B【分析】【解析】

由题意得因为函数f（x）=alnx+x在x=1处取得极值，所以f′（1）=0，即a+1=0，所以a=-1．故答案为-1,选B。【解析】【答案】B4、B【分析】【解析】

故选B【解析】【答案】B5、C【分析】【解析】略【解析】【答案】C6、C【分析】解：∵在系统抽样中；若所给的总体个数不能被样本容量整除，则要先剔除几个个体，然后再分组；

在剔除过程中；每个个体被剔除的概率相等；

∴每个个体被抽到包括两个过程；一是不被剔除，二是选中，这两个过程是相互独立的；

∴每人入选的概率P===

故选C．

在系统抽样中；若所给的总体个数不能被样本容量整除，则要先剔除几个个体，然后再分组，在剔除过程中，每个个体被剔除的概率相等，每个个体被抽到包括两个过程，这两个过程是相互独立的．

在系统抽样过程中，为将整个的编号分段（即分成几个部分），要确定分段的间隔，当在系统抽样过程中比值不是整数时，通过从总体中删除一些个体（用简单随机抽样的方法）．【解析】【答案】C7、B【分析】解：ξ服从二项分布B～（n；p）

由Eξ=7=np；Dξ=6=np（1-p）；

可得p=n=49．

故选：B．

根据随机变量符合二项分布；根据二项分布的期望和方差的公式和条件中所给的期望和方差的值，得到关于n和p的方程组，解方程组得到要求的两个未知量．

本题主要考查二项分布的期望与方差的简单应用，通过解方程组得到要求的变量，这与求变量的期望是一个相反的过程，但是两者都要用到期望和方差的公式．【解析】【答案】B二、填空题(共6题，共12分)8、略

【分析】

函数f（x）=x3+ax2+（a+6）x+1，所以函数f′（x）=3x2+2ax+（a+6）；

因为函数有极大值和极小值；所以方程f′（x）=0有两个不相等的实数根；

即3x2+2ax+（a+6）=0有两个不相等的实数根；

∴△＞0；

∴（2a）2-4×3×（a+6）＞0；解得：a＜-3或a＞6

故答案为：a＜-3或a＞6

【解析】【答案】先求出函数的导数；根据函数有极大值和极小值，可知导数为0的方程有两个不相等的实数根，通过△＞0，即可求出a的范围．

9、略

【分析】

（1）因为ξ～B（n；p）；

所以Eξ=np；Dξ=np（1-p）①

因为E（3ξ+2）=9.2；D（3ξ+2）=12.96；

所以E（3ξ+2）=3Eξ+2=9.2；D（3ξ+2）=9Dξ=12.96；

所以Eξ=2.4；Dξ=1.44②

所以由①②解得：n=6；p=0.4．

（2）因为+（1-3a）+2a2=1；

所以a=（舍去）或a=．

所以Eξ=-1×+0×（1-3×）+2×=．

故答案为：6；0.4；．

【解析】【答案】（1）由题意可得：E（3ξ+2）=3Eξ+2=9.2；D（3ξ+2）=9Dξ=12.96，再结合Eξ=np，Dξ=np（1-p），进而求出答案．

（2）由+（1-3a）+2a2=1，可得a=再结合离散型随机变量的期望公式可得答案．

10、略

【分析】设所以由题意知f(t)=0在内有整数零点，所以有t=0,t=1,t=2,t=3.可分别计算出m=30,14,3.所以m的取值集合为此时x=所有以x的取值集合为【解析】【答案】11、略

【分析】【解析】

试题分析：约束条件满足的区域如图所示，要求的最大值，即将直线平移到B点处最小，所以最大，所以目标函数在点处取得最大值为6.

考点：线性规划.【解析】【答案】612、略

【分析】【解析】解：∵A={2；4，6，8}；

∴ai+aj（1≤i＜j≤4；i，j∈N）分别为：2+4=6，2+6=8，2+8=10，4+6=10，4+8=12，6+8=14；

其中2+8=10；4+6=10；

∴定义ai+aj（1≤i＜j≤4；i，j∈N）中所有不同值的个数为5；

即当A={2；4，6，8}时，L（A）=5．

当数列{an}是等差数列，且集合A={a1，a2，a3，，am}（其中m∈N*；m为常数）时；

ai+aj（1≤i＜j≤m；i，j∈N）的值列成如下各列所示图表：

a1+a2，a2+a3，a3+a4，，am-2+am-1，am-1+am；

a1+a2，a2+a4，a3+a5，，am-2+am；

；，，；

a1+am-2，a2+am-1，a3+am；

a1+am-1，a2+am，a1+am；

∵数列{an}是等差数列；

∴a1+a4=a2+a3；

a1+a5=a2+a4；

；

a1+am=a2+am-1；

∴第二列中只有a2+am的值和第一列不重复；即第二列剩余一个不重复的值；

同理；以后每列剩余一个与前面不重复的值；

∵第一列共有m-1个不同的值；后面共有m-1列；

∴所有不同的值有：m-1+m-2=2m-3；

即当集合A={a1，a2，a3，，am}（其中m∈N*，m为常数）时，L（A）=2m-3．【解析】【答案】513、略

【分析】解：用反证法证明命题的真假；先假设命题的结论不成立；

所以用反证法证明命题“若a，b∈R，且a2+|b|=0，则a，b全为0”时，第一步应假设a，b中至少有一个不为0；

故答案为：a，b中至少有一个不为0．

用反证法证明命题的真假；先假设命题的结论不成立，从这个结论出发，经过推理论证，得出与题设或与已知条件或与事实相矛盾，从而肯定命题的结论正确．

解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，不需要一一否定，只需否定其一即可．【解析】a，b中至少有一个不为0三、作图题(共9题，共18分)14、略

【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解析】【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；

如图所示；

由对称的性质可知AB′=AC+BC；

根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．

15、略

【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．

证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．16、略

【分析】【分析】显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．【解析】【解答】解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P；

这样PA+PB最小；

理由是两点之间，线段最短．17、略

【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解析】【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；

如图所示；

由对称的性质可知AB′=AC+BC；

根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．

18、略

【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．

证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．19、略

【分析】【分析】显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．【解析】【解答】解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P；

这样PA+PB最小；

理由是两点之间，线段最短．20、解：画三棱锥可分三步完成。

第一步：画底面﹣﹣画一个三角形；

第二步：确定顶点﹣﹣在底面外任一点；

第三步：画侧棱﹣﹣连接顶点与底面三角形各顶点．

画四棱可分三步完成。

第一步：画一个四棱锥；

第二步：在四棱锥一条侧棱上取一点；从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段；

第三步：将多余线段擦去．

【分析】【分析】画三棱锥和画四棱台都是需要先画底面，再确定平面外一点连接这点与底面上的顶点，得到锥体，在画四棱台时，在四棱锥一条侧棱上取一点，从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段，将多余线段擦去，得到图形．四、解答题(共4题，共40分)21、略

【分析】

(1)PQ为3分C在PQ的中垂线即y=x–1上设C（n，n–1），则由题意，有∴∴n=1或5，r2=13或37（舍）∴圆C为8分解法二：设所求圆的方程为由已知得解得当时，当时，（舍）∴所求圆的方程为(2)设l为由得10分设A（x1，y1），B（x2，y2），则∵∴∴12分∴∴m=3或–4（均满足）∴l为15分【解析】略【解析】【答案】22、略

【分析】【解析】试题分析：【解析】

2分（1）由已知，得上恒成立，即上恒成立又当6分（2）当时，在（1，2）上恒成立，这时在[1，2]上为增函数当在（1，2）上恒成立，这时在[1，2]上为减函数当时，令又综上，在[1，2]上的最小值为①当②当时，③当12分考点：函数的最值【解析】【答案】（1）（2）在[1，2]上的最小值为①当②当时，③当23、略

【分析】

（1）先设P点坐标，进而得出Q点坐标，再根据OP⊥OQ⇒kOP•kOQ=-1；求出曲线方程；

（2）设出直线直线l2的方程，然后与曲线方程联立，由于直线l2与曲线C相切，得出二次函数有两个相等实根，求出再由点到直线距离公式表示出d，根据a+b≥2求得b的值；即可得到直线方程．

本题考查了抛物线和直线的方程以及二次函数的根的个数，对于（2）问关键是利用了a+b≥2求出b的值．属于中档题．【解析】解：（1）设点P的坐标为（x；y），则点Q的坐标为（x，-2）．

∵OP⊥OQ，∴kOP•kOQ=-1．

当x≠0时，得化简得x2=2y．（2分）

当x=0时；P；O、Q三点共线，不符合题意，故x≠0．

∴曲线C的方程为x2=2y（x≠0）．（4分）

（2）∵直线l2与曲线C相切，∴直线l2的斜率存在．

设直线l2的方程为y=kx+b；（5分）

由得x2-2kx-2b=0．

∵直线l2与曲线C相切；

∴△=4k2+8b=0，即．（6分）

点（0，2）到直线l2的距离=（7分）=（8分）（9分）=．（10分）

当且仅当即时，等号成立．此时b=-1．（12分）

∴直线l2的方程为或．（14分）24、略

【分析】

(1)

由题意a鈭�c=3鈭�2a=3b

及a2=b2+c2

即可求得a

和b

的值；求得椭圆方程；

(2)

利用点到直线的距离公式，求得b2=34(k2+1)

将直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理，弦长公式及基本不等式的性质，求得丨AB

丨的最大值，即可求得直线l

的方程．

本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，弦长公式，基本不等式的性质，考查计算能力，属于中档题．【解析】解：(1)

设椭圆Cx2a2+y2b2=1(a>b>0)

右焦点(c,0)

{a=3ba鈭�c=3鈭�2a2=b2+c2

解得：a=3b=2c=1

隆脿

椭圆C

的方程为：x23+y2=1

(2)y=kx+b

与圆O拢潞x2+y2=34

相切，则丨b丨k2+1=32

则b2=34(k2+1)

由{x23+y2=1y=kx+b

消y

得(1+3k2)x2+6kbx+3(b2鈭�1)=0

又鈻�=12(3k2鈭�b2+1)

由韦达定理可知：x1+x2=鈭�6kb1+3k2x1x2=3(b2鈭�1)1+3k2

隆脿|AB|2=(1+k2)(x1鈭�x2)2=(1+k2)[(x1+x2)2鈭�4x1x2]

=(1+k2)[(鈭�6kb1+3k2)2鈭�4隆脕3(b2鈭�1)1+3k2]

=27k4+30k2+39k4+6k2+1=3+12k29k2+6k2+1

=(1+k2)隆脕36k2b2鈭�12(b2鈭�1)(1+3k2)(1+3k2)2=(1+k2)隆脕鈭�12b2+36k2+12(1+3k2)2

当k=0

时；|AB|2=3

当k鈮�0

时，丨AB

丨2=3+129k2+1k2+6鈮�3+1229k2鈰�1k2+6

(

当9k2=1k2

即k=隆脌33

时“=

”成立)

隆脿|AB|max=2

隆脿(S鈻�AOB)max=12隆脕2隆脕32=32

此时b2=1

满足鈻�>0

隆脿

直线l

的方程y=隆脌33隆脌1

．五、计算题(共2题，共8分)25、解：【分析】【分析】由原式得∴26、解：∴

又∵z1=5+10i，z2=3﹣4i

∴【分析】【分析】把z1、z2代入关系式，化简即可六、综合题(共3题，共15分)27、略

【分析】【分析】（1）由待定系数法可求得抛物线的解析式．

（2）连接BC；交直线l于点D，根据抛物线对称轴的性质，点B与点A关于直线l对称，∴AD=BD．

∴AD+CD=BD+CD；由“两点之间，线段最短”的原理可知：D在直线BC上AD+CD最短，所以D是直线l与直线BC的交点；

设出直线BC的解析式为y=kx+b；可用待定系数法求得BC直线的解析式，故可求得BC与直线l的交点D的坐标．

（3）由（2）可知，当AD+CD最短时，D在直线BC上，由于已知A，B，C，D四点坐标，根据线段之间的长度，可以求出△ABD是直角三角形，即BC与圆相切．由于AB⊥l，故由垂径定理知及切线长定理知，另一点D与现在的点D关于x轴对称，所以另一点D的坐标为（1，-2）．【解析】【解答】解：

（1）设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3）．（1分）

将（0；3）代入上式，得3=a（0+1）（0-3）．

解；得a=-1．（2分）∴抛物线的解析式为y=-（x+1）（x-3）．

即y=-x2+2x+3．（3分）

（2）连接BC；交直线l于点D．

∵点B与点A关于直线l对称；

∴AD=BD．（4分）

∴AD+CD=BD+CD=BC．

由“两点之间；线段最短”的原理可知：

此时AD+CD最小；点D的位置即为所求．（5分）

设直线BC的解析式为y=kx+b；

由直线BC过点（3；0），（0，3）；

得

解这个方程组，得

∴直线BC的解析式为y=-x+3．（6分）

由（1）知：对称轴l为；即x=1．

将x=1代入y=-x+3；得y=-1+3=2．

∴点D的坐标为（1；2）．（7分）

说明：用