2025年新科版高一数学上册月考试卷

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年新科版高一数学上册月考试卷478考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四总分得分评卷人得分一、选择题(共7题，共14分)1、给定的下列四个式子中；能确定y是x的函数的是（）

①x2+y2=1

②|x-1|+=0

③+=1

④y=+．

A.①

B.②

C.③

D.④

2、设已知两个向量则向量长度的最大值是（）A.B.C.D.3、若函数是R上的增函数，则实数a的取值范围为A.B.C.D.4、【题文】两圆和的位置关系是（）A.相交B.相离C.内切D.外切5、向量=（2，0），=（x，y），若与﹣的夹角等于则||的最大值为（）A.4B.2C.2D.6、在等差数列{an}中，a3，a15是方程x2﹣6x+8=0的两个根，则a7+a8+a9+a10+a11为（）A.12B.13C.14D.157、设函数f(x)=3sin(2x鈭�娄脨3)

的图象为C

有如下三个论断：

垄脵

图象C

关于直线x=11娄脨12

对称。

垄脷

函数f(x)

在区间(5娄脨12,11娄脨12)

内是减函数。

垄脹

将函数y=3sin2x

的图象向右平移娄脨3

个单位可以得到图象C

以上三个论断中，正确的论断个数是(

)

A.0

B.1

C.2

D.3

评卷人得分二、填空题(共7题，共14分)8、对于实数定义运算设函数若函数的图像与轴恰有两个公共点，则实数的取值范围是________.9、已知x1，x2，，x2010是正数，且x1x2x2010=1，则（1+x1）（1+x2）（1+x2010）的最小值是____．10、【题文】如图，正方体的棱长为1，分别为线段上的点，则三棱锥的体积为____。11、函数y=[x]叫做“取整函数”，其中符号[x]表示x的整数部分，即[x]是不超过x的最大整数，例如[2]=2；[2.1]=2；[﹣2.2]=﹣3，那么[lg1]+[lg2]+[lg3]++[lg2016]的值为____．12、已知函数若f（x）=15，则x=______．13、半径为2，圆心为300°的圆弧的长为______．14、某班有学生45人，现用系统抽样的方法，以座位号为编号，现抽取一个容量为3的样本，已知座位号分别为11，41的同学都在样本中，那么样本中另一位同学的座号应该是______．评卷人得分三、证明题(共6题，共12分)15、如图；在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，E为AD的中点，DF⊥BE，垂足为F，CF交AD于点G．

求证：（1）∠CFD=∠CAD；

（2）EG＜EF．16、求证：（1）周长为21的平行四边形能够被半径为的圆面所覆盖．

（2）桌面上放有一丝线做成的线圈，它的周长是2l，不管线圈形状如何，都可以被个半径为的圆纸片所覆盖．17、已知G是△ABC的重心，过A、G的圆与BG切于G，CG的延长线交圆于D，求证：AG2=GC•GD．18、如图；在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，E为AD的中点，DF⊥BE，垂足为F，CF交AD于点G．

求证：（1）∠CFD=∠CAD；

（2）EG＜EF．19、AB是圆O的直径，CD是圆O的一条弦，AB与CD相交于E，∠AEC=45°，圆O的半径为1，求证：EC2+ED2=2．20、已知ABCD四点共圆，AB与DC相交于点E，AD与BC交于F，∠E的平分线EX与∠F的平分线FX交于X，M、N分别是AC与BD的中点，求证：（1）FX⊥EX；（2）FX、EX分别平分∠MFN与∠MEN．评卷人得分四、综合题(共3题，共18分)21、设圆心P的坐标为（-，-tan60°），点A（-2cot45°，0）在⊙P上，试判别⊙P与y轴的位置关系．22、如图；以A为顶点的抛物线与y轴交于点B；已知A、B两点的坐标分别为（3，0）、（0，4）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）设M（m；n）是抛物线上的一点（m；n为正整数），且它位于对称轴的右侧．若以M、B、O、A为顶点的四边形四条边的长度是四个连续的正整数，求点M的坐标；

（3）在（2）的条件下，试问：对于抛物线对称轴上的任意一点P，PA2+PB2+PM2＞28是否总成立？请说明理由．23、已知二次函数图象的顶点在原点O，对称轴为y轴．一次函数y=kx+1的图象与二次函数的图象交于A，B两点（A在B的左侧）；且A点坐标为（-4，4）．平行于x轴的直线l过（0，-1）点．

（1）求一次函数与二次函数的解析式；

（2）判断以线段AB为直径的圆与直线l的位置关系；并给出证明；

（3）把二次函数的图象向右平移2个单位，再向下平移t个单位（t＞0），二次函数的图象与x轴交于M，N两点，一次函数图象交y轴于F点．当t为何值时，过F，M，N三点的圆的面积最小？最小面积是多少？参考答案一、选择题(共7题，共14分)1、C【分析】

①由x2+y2=1得不满足函数的定义，所以①不是函数．

②由|x-1|+=0得|x-1|=0，=0；所以x=1，y=±1，所以②不是函数．

③由+=1得满足函数的定义，所以③是函数．

④要使函数y=+有意义，则解得此时不等式组无解，所以④不是函数．

故选C．

【解析】【答案】利用函数的定义分别判断．

2、C【分析】【解析】试题分析：∵∴∴故选C考点：本题考查了向量的坐标运算及三角函数的有界性【解析】【答案】C3、D【分析】：由题意得解得4≤a＜8．故选D．【解析】【答案】D4、A【分析】【解析】略【解析】【答案】A5、A【分析】【解答】解：由向量加减法的几何意义可得；（如图）

故点B始终在以OA为弦，∠OBA=为圆周角的圆弧上运动；

且||等于弦OB的长；由于在圆中弦长的最大值为该圆的直径2R；

在三角形AOB中，OA=||=2，∠OBA=

由正弦定理得

解得2R=4，即||的最大值为4

故选A

【分析】由题意可得，点B始终在以OA为弦，圆周角∠OBA=的圆弧上，且||等于弦OB的长，而弦长的最大值为该圆的直径2R，由正弦定理可得答案．6、D【分析】【解答】解：等差数列{an}中，a3，a15是方程x2﹣6x+8=0的两个根；

∴a3+a15=2a9=6；

∴a9=3；

∴a7+a8+a9+a10+a11=（a7+a11）+（a8+a10）+a9=5a9=5×3=15．

故选：D．

【分析】根据等差数列的通项公式与一元二次方程根与系数个关系，即可求出结果．7、C【分析】解：函数f(x)=3sin(2x鈭�娄脨3)

对于垄脵

当x=11娄脨12

时；可得f(x)

的值为鈭�3

取得最小值.隆脿垄脵

对；

对于垄脷

由娄脨2+2k娄脨鈮�2x鈭�娄脨3鈮�3娄脨2+2k娄脨

可得：5娄脨12+k娄脨鈮�x鈮�k娄脨+11娄脨12

隆脿

函数f(x)

在区间(5娄脨12,11娄脨12)

内是减函数；垄脷

对；

对于垄脹

函数y=3sin2x

的图象向右平移娄脨3

个单位可以得到：y=3sin2(x鈭�娄脨3)=3sin(2x鈭�2娄脨3)隆脿垄脹

不对．

故选：C

．

根据正弦函数的图象及性质即可判断各选项．

本题考查了正弦型三角函数的图象及性质的综合应用，属于中档题．【解析】C

二、填空题(共7题，共14分)8、略

【分析】试题分析：由题意得函数图像与轴恰有两个公共点，即与的图像有两个公共点，画出图像，可得，的取值范围考点：二次函数的图象特征、函数与方程的综合运用，及数形结合的思想.【解析】【答案】9、略

【分析】

∵x1，x2，x3，，x2010；

∴（1+x1）•（1+x2）•（1+x2010）≥2•2++2=22010．

故答案为：22010

【解析】【答案】利用基本不等式可知1+x1≥21+x2≥1+x2010≥2代入到（1+x1）•（1+x2）•（1+x2010），根据x1•x2•x3x2010=1求得答案．

10、略

【分析】【解析】

试题分析：易知：又点F到面DD1E的距离为1，所以

考点：空间中点到平面的距离；三棱锥的体积公式。

点评：在求三棱锥的体积时，我们一般采用转化顶点的方法，找一个好求高的顶点。此题就是采用了这种方法。属于基础题型。【解析】【答案】11、4941【分析】【解答】解：当1≤n≤9时；

[lgn]=0；

当10≤n≤99时；

[lgn]=1；

当100≤n≤999时；

[lgn]=2；

当1000≤n≤9999时；

[lgn]=3；

故[lg1]+[lg2]+[lg3]++[lg2016]

=0×9+1×90+2×900+3×1017

=90+1800+3051

=4941；

故答案为：4941．

【分析】分类讨论，当1≤n≤9时，[lgn]=0；当10≤n≤99时，[lgn]=1；当100≤n≤999时，[lgn]=2；当1000≤n≤9999时，[lgn]=3；从而分别求和即可．12、略

【分析】解：当x≤0时，f（x）=x2-1=15解得x=±4（正值舍去）

当x＞0时；f（x）=3x=15解得x=5

∴x=-4或5

故答案为：-4或5

根据分段函数的分段标准；分别解方程f（x）=15即可．

本题主要考查了分段函数求值，以及讨论的数学思想和计算能力，属于基础题．【解析】-4或513、略

【分析】解：300°=弧度．

∴半径为2，圆心为300°的圆弧的长=×2=．

故答案为：．

利用弧长公式即可得出．

本题考查了弧长公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．【解析】14、略

【分析】解：分段间隔为45÷3=15；11+15=26，41-15=26；

故样本中另一位同学的座号应该是26．

故答案为：26

根据系统抽样的定义；求出对应的组距即可得到结论．

本题主要考查系统抽样的定义，求出组距是解决本题的关键．【解析】26三、证明题(共6题，共12分)15、略

【分析】【分析】（1）连接AF，并延长交BC于N，根据相似三角形的判定定理证△BDF∽△DEF，推出，=；再证△CDF∽△AEF，推出∠CFD=∠AFE，证出A；F、D、C四点共圆即可；

（2）根据已知推出∠EFG=∠ABD，证F、N、D、G四点共圆，推出∠EGF=∠AND，根据三角形的外角性质推出∠EGF＞∠EFG即可．【解析】【解答】（1）证明：连接AF，并延长交BC于N，

∵AD⊥BC；DF⊥BE；

∴∠DFE=∠ADB；

∴∠BDF=∠DEF；

∵BD=DC；DE=AE；

∵∠BDF=∠DEF；∠EFD=∠BFD=90°；

∴△BDF∽△DEF；

∴=；

则=；

∵∠AEF=∠CDF；

∴△CDF∽△AEF；

∴∠CFD=∠AFE；

∴∠CFD+∠AEF=90°；

∴∠AFE+∠CFE=90°；

∴∠ADC=∠AFC=90°；

∴A；F、D、C四点共圆；

∴∠CFD=∠CAD．

（2）证明：∵∠BAD+∠ABD=90°；∠CFD+∠EFG=∠EFD=90°，∠CFD=∠CAD=∠BAD；

∴∠EFG=∠ABD；

∵CF⊥AD；AD⊥BC；

∴F；N、D、G四点共圆；

∴∠EGF=∠AND；

∵∠AND＞∠ABD；∠EFG=∠ABD；

∴∠EGF＞∠EFG；

∴DG＜EF．16、略

【分析】【分析】（1）关键在于圆心位置；考虑到平行四边形是中心对称图形，可让覆盖圆圆心与平行四边形对角线交点叠合．

（2）“曲“化“直“．对比（1），应取均分线圈的二点连线段中点作为覆盖圆圆心．【解析】【解答】

证明：（1）如图1；设ABCD的周长为2l，BD≤AC，AC；BD交于O，P为周界上任意一点，不妨设在AB上；

则∠1≤∠2≤∠3，有OP≤OA．又AC＜AB+BC=l，故OA＜．

因此周长为2l的平行四边形ABCD可被以O为圆心；半径为的圆所覆盖；命题得证．

（2）如图2，在线圈上分别取点R，Q，使R、Q将线圈分成等长两段，每段各长l．又设RQ中点为G，M为线圈上任意一点，连MR、MQ，则GM≤（MR+MQ）≤（MmR+MnQ）=

因此，以G为圆心，长为半径的圆纸片可以覆盖住整个线圈．17、略

【分析】【分析】构造以重心G为顶点的平行四边形GBFC，并巧用A、D、F、C四点共圆巧证乘积．延长GP至F，使PF=PG，连接FB、FC、AD．因G是重心，故AG=2GP．因GBFC是平行四边形，故GF=2GP．从而AG=GF．又∠1=∠2=∠3=∠D，故A、D、F、C四点共圆，从而GA、GF=GC•GD．于是GA2=GC•GD．【解析】【解答】证明：延长GP至F；使PF=PG，连接AD，BF，CF；

∵G是△ABC的重心；

∴AG=2GP；BP=PC；

∵PF=PG；

∴四边形GBFC是平行四边形；

∴GF=2GP；

∴AG=GF；

∵BG∥CF；

∴∠1=∠2

∵过A；G的圆与BG切于G；

∴∠3=∠D；

又∠2=∠3；

∴∠1=∠2=∠3=∠D；

∴A；D、F、C四点共圆；

∴GA；GF=GC•GD；

即GA2=GC•GD．18、略

【分析】【分析】（1）连接AF，并延长交BC于N，根据相似三角形的判定定理证△BDF∽△DEF，推出，=；再证△CDF∽△AEF，推出∠CFD=∠AFE，证出A；F、D、C四点共圆即可；

（2）根据已知推出∠EFG=∠ABD，证F、N、D、G四点共圆，推出∠EGF=∠AND，根据三角形的外角性质推出∠EGF＞∠EFG即可．【解析】【解答】（1）证明：连接AF，并延长交BC于N，

∵AD⊥BC；DF⊥BE；

∴∠DFE=∠ADB；

∴∠BDF=∠DEF；

∵BD=DC；DE=AE；

∵∠BDF=∠DEF；∠EFD=∠BFD=90°；

∴△BDF∽△DEF；

∴=；

则=；

∵∠AEF=∠CDF；

∴△CDF∽△AEF；

∴∠CFD=∠AFE；

∴∠CFD+∠AEF=90°；

∴∠AFE+∠CFE=90°；

∴∠ADC=∠AFC=90°；

∴A；F、D、C四点共圆；

∴∠CFD=∠CAD．

（2）证明：∵∠BAD+∠ABD=90°；∠CFD+∠EFG=∠EFD=90°，∠CFD=∠CAD=∠BAD；

∴∠EFG=∠ABD；

∵CF⊥AD；AD⊥BC；

∴F；N、D、G四点共圆；

∴∠EGF=∠AND；

∵∠AND＞∠ABD；∠EFG=∠ABD；

∴∠EGF＞∠EFG；

∴DG＜EF．19、略

【分析】【分析】首先作CD关于AB的对称直线FG，由∠AEC=45°，即可证得CD⊥FG，由勾股定理即可求得CG2=CE2+ED2，然后由△OCD≌△OGF，易证得O，C，G，E四点共圆，则可求得CG2=OC2+OG2=2．继而证得EC2+ED2=2．【解析】【解答】证明：作CD关于AB的对称直线FG；

∵∠AEC=45°；

∴∠AEF=45°；

∴CD⊥FG；

∴CG2=CE2+EG2；

即CG2=CE2+ED2；

∵△OCD≌△OGF（SSS）；

∴∠OCD=∠OGF．

∴O；C，G，E四点共圆．

∴∠COG=∠CEG=90°．

∴CG2=OC2+OG2=2．

∴EC2+ED2=2．20、略

【分析】【分析】（1）在△FDC中；由三角形的外角性质知∠FDC=∠FAE+∠AED①，同理可得∠EBC=∠FAE+∠AFB②；由于四边形ABCD内接于圆，则∠FDC=∠ABC，即∠FDC+∠EBC=180°，联立①②，即可证得∠AFB+∠AED+2∠FAE=180°，而FX；EX分别是∠AFB和∠AED的角平分线，等量代换后可证得∠AFX+∠AEX+∠FAE=90°；可连接AX，此时发现∠FXE正好是∠AFX、∠AEX、∠FAE的和，由此可证得∠FXE是直角，即FX⊥EX；

（2）由已知易得∠AFX=∠BFX，欲证∠MFX=∠NFX，必须先证得∠AFM=∠BFN，可通过相似三角形来实现；首先连接FM、FN，易证得△FCA∽△FDB，可得到FA：FB=AC：BD，而AC=2AM，BD=2BN，通过等量代换，可求得FA：FB=AM：BN，再加上由圆周角定理得到的∠FAM=∠FBN，即可证得△FAM∽△FBN，由此可得到∠AFM=∠BFN，进一步可证得∠MFX=∠NFX，即FX平分∠MFN，同理可证得EX是∠MEN的角平分线．【解析】【解答】证明：（1）连接AX；

由图知：∠FDC是△ACD的一个外角；

则有：∠FDC=∠FAE+∠AED；①

同理；得：∠EBC=∠FAE+∠AFB；②

∵四边形ABCD是圆的内接四边形；

∴∠FDC=∠ABC；

又∵∠ABC+∠EBC=180°；即：∠FDC+∠EBC=180°；③

①+②；得：∠FDC+∠EBC=2∠FAE+（∠AED+∠AFB）；

由③；得：2∠FAE+（∠AED+∠AFB）=180°；

∵FX；EX分别是∠AFB、∠AED的角平分线；

∴∠AFB=2∠AFX；∠AED=2∠AEX，代入上式得：

2∠FAE+2（∠AFX+∠AEX）=180°；

即∠FAE+∠AFX+∠AEX=180°；

由三角形的外角性质知：∠FXE=∠FAE+∠FAX+∠EAX；

故FXE=90°；即FX⊥EX．

（2）连接MF；FN；ME、NE；

∵∠FAC=∠FBD；∠DFB=∠CFA；

∴△FCA∽△FDB；

∴；

∵AC=2AM；BD=2BN；

∴；

又∵∠FAM=∠FBN；

∴△FAM∽△FBNA；得∠AFM=∠BFN；

又∵∠AFX=∠BFX；

∴∠AFX-∠AFM=∠BFX-∠BFN；即∠MFX=∠NFX；

同理可证得∠NEX=∠MEX；

故FX、EX分别平分∠MFN与∠MEN．四、综合题(共3题，共18分)21、略

【分析】【分析】先将sin30°=，tan60°=，cot45°=1代入，求出点P和点A的坐标，从而得出半径PA的长，然后和点P的纵坐标比较即可．【解析】【解答】解：由题意得：点P的坐标为（-3，-）；点A的坐标为（-2，0）；

∴r=PA==2；

因为点P的横坐标为-3；到y轴的距离为d=3＞2；

∴⊙P与y轴的位置关系是相离．22、略

【分析】【分析】（1）已知了抛物线的顶点坐标；可将抛物线的解析式设为顶点式，然后将B点坐标代入求解即可；

（2）由于M在抛物线的图象上，根据（1）所得抛物线的解析式即可得到关于m、n的关系式：n=（m-3）2；由于m；n同为正整数，因此m-3应该是3的倍数，即m应该取3的倍数，可据此求出m、n的值，再根据“以M、B、O、A为顶点的四边形四条边的长度是四个连续的正整数”将不合题意的解舍去，即可得到M点的坐标；

（3）设出P点的坐标，然后分别表示出PA2、PB2、PM2的长，进而可求出关于PA2+PB2+PM2与P点纵坐标的函数关系式，根据所得函数的性质即可求出PA2+PB2+PM2的最大（小）值，进而可判断出所求的结论是否恒成立．【解析】【解答】解：（1）设y=a（x-3）2；

把B（0；4）代入；

得a=；

∴y=（x-3）2；

（2）解法一：

∵四边形OAMB的四边长是四个连续的正整数；其中有3；4；

∴可能的情况有三种：1；2、3、4；2、3、4、5；3、4、5、6；

∵M点位于对称轴右侧；且m，n为正整数；

∴m是大于或等于4的正整数；

∴MB≥4；

∵AO=3；OB=4；

∴MB只有两种可能；∴MB=5或MB=6；

当m=4时，n=（4-3）2=（不是整数；舍去）；

当m=5时，n=（不是整数；舍去）；

当m=6时；n=4，MB=6；

当m≥7时；MB＞6；

因此；只有一种可能，即当点M的坐标为（6，4）时，MB=6，MA=5；

四边形OAMB的四条边长分别为3；4、5、6．

解法二：

∵m，n为正整数，n=（m-3）2；

∴（m-3）2应该是9的倍数；

∴m是3的倍数；

又∵m＞3；

∴m=6；9，12；

当m=6时；n=4；

此时；MA=5，MB=6；

∴当m≥9时；MB＞6；

∴四边形OAMB的四边长不能是四个连续的正整数；