河南省郑州市2020-2021学年七下期末数学试题（解析版）

2020－2021学年河南省郑州市七年级（下）期末数学试卷一、选择题（每小题3分，共30分）1.下列运算正确的是（）A.a2＋a2＝2a4 B.（2a2）3＝6a6C.（﹣2a）2•a3＝4a5 D.x4÷x4＝0【答案】C【解析】【分析】根据合并同类项，积的乘方，单项式的乘法，以及同底数幂的除法法则逐项计算即可．【详解】解：A、原式＝2a2，原计算错误，故此选项不符合题意；B、原式＝8a6，原计算错误，故此选项不符合题意；C、原式＝4a5，原计算正确，故此选项符合题意；D、原式＝1，原计算错误，故此选项不符合题意．故选：C．【点睛】本题考查了整式的运算，熟练掌握的运算法则是解答本题的关键．同底数的幂相乘，底数不变，指数相加；同底数幂相除，底数不变指数相减；幂的乘方，底数不变，指数相乘；积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；合并同类项时，把同类项的系数相加，所得和作为合并后的系数，字母和字母的指数不变．2.小红在学习垂线时遇到了这样一个问题，请你帮她解决：如图，线段AB和CD相交于点O，则下列条件中能说明AB⊥CD的是（）A.AO＝OB B.CO＝OD C.∠AOC＝∠BOD D.∠AOC＝∠BOC【答案】D【解析】【分析】根据题意证明∠AOC=90°即可．【详解】解：A.由OA＝OB只能得出O是AB的中点，故A选项错误；B.由OC＝OD只能得出O是CD的中点，故B选项错误；C.∠AOC和∠BOD是对顶角，对顶角始终是相等的，故C选项错误；D.∠AOC和∠BOC互补，当∠AOC＝∠BOC时，∠AOC＝180°÷2＝90°，∴CD⊥AB，故选项D正确，故选：D．【点睛】本题主要考查垂直的定义，当两条线的夹角是90°时，两直线互相垂直，基本定义要牢记．也考查了对顶角和线段的中点．3.某校为庆祝中国共产党建党100周年举行“传承红色基因，沐浴阳光成长”歌咏比赛，七年级8个班通过抽签决定出场顺序，七年级（1）班恰好抽到第1个出场的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】直接用概率公式求解即可得．【详解】解：∵七年级共有8个班，∴七年级（1）班恰好抽到第1个出场的概率为，故选B．【点睛】本题考查了概率公式，解题的关键是要熟记概率公式．4.如图，取一张薄的正方形纸，沿对角线对折后，得到一个等腰直角三角形，再沿底边上的高线对折，按上面方式再次对折，然后沿圆弧剪开，去掉较小部分，展开后将其平铺，得到的图形应该是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据想象或动手操作可得结论．【详解】解：由题意可知，得到的图形是选项A．故选：A．【点睛】本题考查剪纸问题，空间想象能力，解题关键是学会动手操作．5.下列每组数分别是三根小木棒的长度，它们首尾顺次相接能摆成三角形的是（）A.1cm，2cm，4cm B.12cm，13cm，20cmC.5cm，5cm，11cm D.14cm，16cm，30cm【答案】B【解析】【分析】根据三角形的三边关系解答．【详解】解：A、1+2＜4，不能组成三角形，不符合题意；B、13+12＞20，能够组成三角形，符合题意；C、5+5＜11，不能组成三角形，不符合题意；D、14+16＝30，不能组成三角形，不符合题意；故选：B．【点睛】此题考查三角形的三边关系：三角形的任意两边的和都大于第三边．6.如图①，从边长为的正方形中剪去一个边长为的小正方形，然后将剩余部分剪拼成一个长方形（如图②），则上述操作所能验证的公式是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由大正方形的面积-小正方形的面积=矩形的面积，进而可以证明平方差公式．【详解】由大正方形的面积-小正方形的面积=矩形的面积得故答案为：A．【点睛】本题考查了平方差公式的证明，根据题意列出方程得出平方差公式是解题的关键．7.如图，AC⊥BC，CD⊥AB，DE⊥AC，垂足分别为C，D，E，则下列说法正确的是（）A.BC是△BCD的高 B.DE＝BCC.∠CEB＝∠ABC D.DE是△ACD的高【答案】D【解析】【分析】根据三角形的高的定义，三角形内角和定理等逐项分析即可【详解】A．△BCD中BC是斜边，故A错误，不符合题意；B．DE∥BC，但DE≠，故B错误，不符合题意；C．∵∠CEB＝∠A+∠ABE，∠ABC＝∠CBE+∠ABE，AC⊥BC，CD⊥AB，∠A＝∠BCD，∠BCD≠∠CBE，∴∠CEB≠∠ABC，故C错误，不符合题意；D．DE是△ACD的高，故D正确，符合题意．故选：D．【点睛】本题考查了三角形的高的定义，三角形内角和定理，掌握以上性质定理是解题的关键．8.数学课上，小明用尺规在黑板上作∠AOB的平分线，并进行简单的说理，下面是小明的解答过程，则符号“♡、☺、☆、⊕”代表的内容错误的是（）已知：∠AOB．求作：射线OC，使∠AOC＝∠BOC．作法：（1）以点O为圆心，在OA和OB上分别截取OD，OE，使♡；（2）分别以点D，E为圆心、以☺为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点C；（3）作射线OC．OC就是∠AOB的平分线．理由：（1）连接EC，DC，则EC＝DC，易知△OEC≌△ODC，理由☆；（2）所以∠AOC＝∠BOC，理由⊕．A.♡表示“OD＝OE” B.☺表示“大于DE的长”C.☆表示“SAS” D.⊕表示“全等三角形的对应角相等”【答案】C【解析】【分析】自己写出作∠AOB的角平分线的解答过程，然后对比选项，即可得．【详解】解：作法：（1）以点O为圆心，在OA和OB上分别截取OD，OE，使OE＝OD，（2）分别以点D，E为圆心、以大于DE为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点C；（3）作射线OC．OC就是∠AOB的平分线．理由：（1）连接EC，DC，则EC＝DC，易知△OEC≌△ODC，理由SSS；（2）所以∠AOC＝∠BOC，理由全等三角形的对应角相等．故选C．【点睛】本题考查了角平分线的作法以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握角平分线的作法及全等三角形的判定与性质．9.有若干个大小形状完全相同的小长方形现将其中4个如图1摆放，构造出一个正方形，其中阴影部分面积为35；其中5个如图2摆放，构造出一个长方形，其中阴影部分面积为102（各个小长方形之间不重叠不留空），则每个小长方形的面积为（）A.4 B.8 C.12 D.16【答案】B【解析】【分析】设出长方形的长和宽，根据两种拼图得出两个含有长、宽的等式，变形后得出答案．【详解】解：设长方形的长为a，宽为b，由图1可得，（a+b）2-4ab=35，即a2+b2=2ab+35①，由图2可得，（2a+b）（a+2b）-5ab=102，即a2+b2=51②，由①②得，2ab+35=51，所以ab=8，即长方形的面积为8，故选：B．【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景，用代数式表示各个图形的面积，利用面积之间的关系得到答案是常用的方法．10.如图①，E为长方形ABCD的边AD上一点，点P从点B出发沿折线B﹣E﹣D运动到点D停止，点Q从点B出发沿BC运动到点C停止，它们的运动速度都是1cm/s．现P，Q两点同时出发，设运动时间为x（s），△BPQ的面积为y（cm2），若y与x的对应关系如图②所示，则a的值是（）A.32cm2 B.34cm2 C.36cm2 D.38cm2【答案】C【解析】【分析】分析函数图利用三角形面积公式求得的长度，由勾股定理得到的长，分析函数图象建立等式求解即可．【详解】解：从函数的图象和运动的过程可以得出：当点P运动到点E时，x＝10，y＝30，由三角形面积公式得：y＝×10×AB＝30，解得AB＝6，∴AE＝＝＝8，由图②可知当x＝12时，点P到达点C，点P在D、E之间，∴BC＝12，∴y＝a＝×BC×AB＝×12×6＝36，故选：C．【点睛】本题主要考查了函数的实际应用，仔细阅读图象从中获取相关信息是解题的关键．二、填空题（每小题3分，共15分）11.2020年9月22日，习近平主席在第七十五届联合国大会一般性辩论上发表重要讲话时指出，中国将提高国家自主贡献力度，采取更加有力的政策和措施，二氧化碳排放力争于2030年前达到峰值，努力争取2060年前实现碳中和．二氧化碳是一种碳氧化合物，分子直径约为0.35～0.51nm，用科学记数法表示0.35nm＝________m．（1nm＝10﹣9m）【答案】【解析】【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数的绝对值大于等于10时，为正数，小于1时，为负数．【详解】解：，故答案为：．【点睛】此题主要考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．12.如图，AE//CD，若∠1＝37°，∠DAC＝89°，则∠BAE的度数＝_____°．【答案】54【解析】【分析】利用三角形的内角和求出∠D的度数，再根据两直线平行同位角相等求出答案．【详解】解：在△ACD中，∠1＝37°，∠DAC＝89°，∴∠D＝180°﹣∠DAC﹣∠1＝54°，∵AE//CD，∴∠BAE＝∠D＝54°，故答案为：54．点睛】此题考查三角形的内角和定理，两直线平行同位角相等的性质，熟记平行线的性质是解题的关键．13.在学习完”七巧板“相关知识后，小明所在四人数学兴趣小组，分别用边长为8厘米的正方形制作了一幅七巧板，并合作设计了如图所示的作品，请你帮他们计算出图中圈出来的图形的面积之和为______平方厘米．【答案】24【解析】【分析】确定①②③④这四块面积的和就是图中圈出来的图形面积的和，其面积=正方形的面积-大等腰直角三角形的面积-小等腰直角三角形的面积．【详解】如下图所示：所求面积为：①②③④这四部分的面积之和＝＝24（平方厘米）．故答案为：24．【点睛】本题是七巧板的问题，考查了图形面积的计算．难点在于如图所示的第③④这区域的面积等于原图中圈出来的梯形的面积．14.定义：等腰三角形的底边与一腰的比值称为“完美比”，若等腰的周长为，，则它的“完美比”_____．【答案】或【解析】【分析】分为底或腰两种情况讨论，分别求出腰和底，即可求解．【详解】解：当为底时，等腰的周长为，，则腰长为符合三角形三边关系，此时当为腰时，等腰的周长为，，则底长为符合三角形三边关系，此时故答案为或．【点睛】此题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是对分情况讨论分别求解．15.如图，在长方形ABCD中，AD＝BC＝5，AB＝CD＝12，AC＝13，动点M在线段AC上运动（不与端点重合），点M关于边AD，DC的对称点分别为M1，M2，连接M1M2，点D在M1M2上，则在点M的运动过程中，线段M1M2长度的最小值是_______．【答案】【解析】【分析】过D作于，连接，根据题意可得，从而可以判定M1M2最小值为，即可求解．【详解】解：过D作于，连接，如图：长方形ABCD中，AD＝BC＝5，AB＝CD＝12，AC＝13，∴∴，∵M关于边AD，DC的对称点分别为M1，M2，∴DM1＝DM＝DM2，∴，线段M1M2长度最小即是DM长度最小，此时DM⊥AC，即M与重合，M1M2最小值为．故答案为：．【点睛】此题考查了轴对称的性质，掌握轴对称的有关性质将的最小值转化为的最小值是解题的关键．三、解答题（共55分）16.先化简，再求值：（2x3y＋xy3）÷（xy）﹣（2x﹣y）2，其中x＝2，y＝﹣．【答案】4xy，-4【解析】【分析】根据整式的混合运算法则计算化简，再将未知数的值代入计算即可．【详解】解：原式＝2x3y÷xy+xy3÷xy﹣（4x2﹣4xy+y2）＝4x2+y2﹣4x2+4xy﹣y2＝4xy，当x＝2，y＝﹣时，原式＝4×2×（﹣）＝﹣4．【点睛】此题考查整式的化简求值，正确掌握整式的混合运算法则是解题的关键．17.如图是小明在一次野外拓展训练活动中的行动路线，从A地出发沿北偏东65°方向到补给地B，从补给地B沿北偏西25°方向到C地与伙伴汇合，小明通过指南针确定：从C地出发沿着与BC垂直的方向前进，就可以保持与AB的方向一致，到达目的地D，并且距离最短．小明解释理由如下，请你填空．因为CD⊥BC（已知），所以∠C＝90°（），且CD最短．因为AE//BF（已知），所以∠A＋＝180°（）．因为∠A＝65°，所以∠ABF＝180°﹣∠A＝115°．因为∠CBF＝25°（已知），所以∠ABC＝∠ABF﹣∠CBF＝90°．所以∠C＝∠ABC（）．所以CD//（）．【答案】垂直的定义；∠ABF；两直线平行，同旁内角互补；等量代换；AB；内错角相等，两直线平行．【解析】【分析】根据垂直的定义及平行线的判定及性质定理解答．【详解】解：因为CD⊥BC（已知），所以∠C＝90°（垂直的定义），因为AE//BF（已知），所以∠A+∠ABF＝180°（两直线平行，同旁内角互补），因为∠A＝65°，所以∠ABF＝180°﹣∠A＝115°，因为∠CBF＝25°（已知），所以∠ABC＝∠ABF﹣∠CBF＝90°，所以∠C＝∠ABC（等量代换），所以CD//AB（内错角相等，两直线平行）．故答案为：垂直的定义；∠ABF；两直线平行，同旁内角互补；等量代换；AB；内错角相等，两直线平行．【点睛】此题考查几何推理过程及依据，正确掌握垂直的定义及平行线的判定及性质定理是解题的关键．18.如图，在10×10的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，网格中有直线l和线段AB（点A、点B在格点上）．（1）作出线段AB关于直线l对称的线段A′B′；（2）请在直线l上找到一点P，使点P到点A、B的距离之和最短（不写作法）；（3）在（2）的条件下，若点P到AB的距离为d1，点P到A′B′的距离为d2，则d1d2（填“＞”、“＜”或“＝”）．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）=【解析】【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可；（2）连接AB′与直线l交点即为点P；（3）根据轴对称的性质解答．【详解】解：（1）如图，A′B′为所作；（3）∵线段AB与线段A′B′关于直线l对称，∴d1＝d2．故答案为＝．【点睛】此题考查轴对称的性质，利用轴对称作图，利用轴对称的性质解决最短路径问题，熟记轴对称的性质是解题的关键．19.如图，地面上有一个不规则的封闭图形，为求得它的面积，小明在此封闭图形内画出一个边长为0.5米的正方形后，在附近闭上眼睛向封闭图形内掷小石子（可把小石子近似看成点），记录如下：掷小石子所落的总次数（小石子所落的有效区域内，含边界）m50150300600…小石子落在正方形内（含正方形边上）的次数n103578149…n：m0.2000.2330.2570.248…（1）根据如表，如果你掷一次小石子，那么小石子落在正方形内（含正方形边上）的概率约为（精确到0.01）；（2）当掷小石子所落的总次数m＝1000时，小石子落在正方形内（含正方形边上）的次数n最可能为；A.105；B.249；C.518；D.815（3）请你利用（1）中所得概率，估计整个不规则封闭图形的面积约是多少平方米？【答案】（1）0.25；（2）B；（3）1平方米【解析】【分析】（1）观察数据，即可找到稳定值，从而可知概率；（2）大量试验时，频率可估计概率，从而可求得结果；（3）设封闭图形的面积为a，根据正方形的面积与不规则图形面积的比等于概率，即可求得不规则图形的面积．【详解】（1）观察表格得：随着投掷次数的增大，小石子落在正方形内（含正方形边上）的频率值稳定在0.25，所以如果你掷一次小石子，那么小石子落在正方形内（含正方形边上）的概率约为0.25；故答案为：025；（2）当掷小石子所落的总次数m＝1000时，小石子落在正方形内（含正方形边上）的次数n最可能为1000×025＝250，只有249比较接近，故答案为：B；（3）设封闭图形的面积为a，根据题意得：＝0.25，解得：a＝1，估计整个不规则封闭图形的面积约是1平方米．【点睛】本题考查了利用频率估计概率，大量重复试验下频率稳定值即概率，几何概率等知识，熟悉这些知识是解题的基础．20.在拓展训练过程中，小明和组员为了完成测河宽的任务，在不能过河测量又没有任何测量工具的情况下，设计出下面的方案：小明面向河对岸的方向站好，然后调整帽子，使视线通过帽檐正好落在河对岸一点；然后，他转过身，保持刚才的姿态，这时视线通过帽檐落在了自己所在岸的某一点上；接着，他用步测的方法量出自己与那个点的距离，这个距离就是河的宽度．将小明看成一条线段AB，河对岸一点为点C，自己所在岸的那个点为点D，示意图如图所示，请你根据示意图帮助小明同学将问题补充完整，并解释其中的道理．如图，如果AB⊥CD于点A，，那么AC＝AD．说明AC＝AD的理由．【答案】∠ABC＝∠ABD，见解析【解析】【分析】由题意易得△ABC≌△ABD，从而可得AC=AD．【详解】如果AB⊥CD，∠ABC＝∠ABD，那么AD＝AC．理由如下：∵AB⊥CD，∴∠BAD＝∠BAC，在△ABC与△ABD中，，∴△ABC≌△ABD（ASA），∴AC＝AD．故答案为：∠ABC＝∠ABD．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质在实际生活中的应用，关键是理解题意，并转化为数学问题．21.如图1，小球从光滑斜坡AB滚下，经过粗糙平路BC，再从光滑斜坡CD上坡至速度变为0后，又沿斜坡DC滚下，经过粗糙平路CB，沿BA上坡至速度变为0，…往返运动至小球停止．（1）下面的表格记录了小球第一次从点A向点D运动时，速度v与时间t的关系；那么在3s到5s之间速度v与时间t的关系式为；时间t（s）00.51233.544.556速度v（m/s）012465.554.540（2）根据表格中数据，将速度v与时间t的关系用图象表示如图2，则图2中的点E表示的实际意义是什么？（3）求小球第一次在斜坡CD上滚动的最大距离．【答案】（1）v＝﹣t+9；（2）当小球从光滑斜坡AB滚下，经过粗糙平路BC，再从光滑斜坡CD上坡运动5.5s时，速度为2m/s；（3）2m【解析】【分析】【详解】解：（1）由题意得，t＝3s时，v＝6m/s，t＝5s时，v＝4m/s，设3s到5s之间速度v与时间t的关系式为：v＝kt+b，则，解得，∴v＝﹣t+9，故答案为：v＝﹣t+9；（2）由图象知，点E表示的实际意义是：当小球从光滑斜坡AB滚下，经过粗糙平路BC，再从光滑斜坡CD上坡运动5.5s时，速度为2m/s；（3）由图象知，当小球位于点C时的速度为4cm/s，运动了1s，故CD段的平均速度v平均