重难点突破：专题12 实际问题与二元一次方程组（原卷版）

专题12实际问题与二元一次方程组重点根据题意找出等量关系，并能根据题意列二元一次方程组难点正确找出问题中的等量关系易错找错等量关系一、行程问题1．相遇问题：甲走的路程+乙走的路程=两地距离．2．追及问题：同地不同时出发：前者走的路程=追者走的路程；同时不同地出发：前者走的路程+两地距离=追者走的路程．【例1】从甲地到乙地有一段上坡路与一段下坡路．如果上坡平均每小时走2km，下坡平均每小时走3km，那么从甲地走到乙地需要15分钟，从乙地走到甲地需要20分钟．若设从甲地到乙地上坡路程为xkm，下坡路程为ykm，则所列方程组正确的是（）A． B．C． D．【例2】小王沿街匀速行走，发现每隔12分钟从背后驶过一辆8路公交车，每隔4分钟从迎面驶来一辆8路公交车．假设每辆8路公交车行驶速度相同，而且8路公交车总站每隔固定时间发一辆车，那么发车间隔的时间是（）A．3分钟 B．4分钟 C．5分钟 D．6分钟二、配套问题产品配套问题是指某件产品是由几个部件配套加工而成的，而部件的数量并不完全相同，在生产过程中，为了使每个部件生产的数量恰好符合组装所需，而不产生积压．各部件的数量不一定相等，但存在一定数量关系：【例3】为响应“科教兴国”的战略号召，某学校计划成立创客实验室，现需购买航拍无人机和编程机器人，已知购买2架航拍无人机和3个编程机器人所需费用相同，购买4个航拍无人机和7个编程机器人共需3480元，设购买1架航拍无人机需x元，购买1个编程机器人需y元，则可列方程组为（

）A． B． C． D．【例4】某工厂现有95个工人，一个工人每天可做8个螺杆或22个螺母，两个螺母和一个螺杆为一套，现在要求工人每天做的螺杆和螺母完整配套而没有剩余，若设安排x个工人做螺杆，y个工人做螺母，则列出正确的二元一次方程组为（）A． B．C． D．三、几何图形问题对于图形问题的求解，要会通过对图形的观察比较、分析，发现隐含在图形中的数量关系，这是解决有关图形问题的关键．图形中隐含的数量关系有边长之间的关系、面积之间的关系，等等．【例5】如图，的度数比的度数的两倍少，设和的度数分别为，那么下面可以求出这两个角的度数的方程组是(

)A． B．C． D．【例6】如图，正方形ABCD由四个相同的大长方形，四个相同的小长形以及一个小正方形组成，其中四个大长方形的长和宽分别是小长方形长和宽的2倍，若中间小正方形的面积为1，则大正方形ABCD的面积是（

）A．36 B．25 C．20 D．16四、方案问题优化方案问题先要列举出所有可能的方案，再按题目要求分别求出每种方案的具体结果，进行比较，从中选择最优．【例7】装乒乓球的盒子有两种，大盒装6个，小盒装4个，若将50个乒乓球都装进盒子且把每个盒子都装满，那么不同的装球方法有（

）A．3种 B．4种 C．5种 D．6种【例8】在抗击疫情网络知识竞赛中，为奖励成绩突出的学生，学校计划用200元钱购买A、B、C三种奖品，A种每个10元，B种每个20元，C种每个30元，在C种奖品不超过两个且钱全部用完的情况下，有多少种购买方案（

）A．12种 B．15种 C．16种 D．14种一、单选题1．《九章算术》是中国古代第一部数学专著，它对我国古代后世的数学家产生了深远的影响，该书中记载了一个问题，原文如下：“今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数，物价各几何？”大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8元，多3元；每人出7元，少4元，求有几个人及该物品的价格．用二元一次方程组解答该问题，若已经列出一个方程8x﹣3＝y，则符合题意的另一个方程是（）A．7x﹣4＝y B．7x+4＝y C．4＝x D．4＝x2．《九章算术》中记载“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三，问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱，问合伙人数、羊价各是多少？若设合伙人数为x人，羊价y钱，根据题意，可列出方程为（

）A． B．C． D．3．某车间有120名工人生产一种如图所示的无盖正方体包装箱，已知1名工人每天可以生产200块侧面或150块底面（底面和侧面材料不同），4块侧面和1块底面正好可以做成一个无盖包装箱，应如何分配工人生产侧面或底面，才能使生产的侧面和底面正好配套？若设安排x名工人生产侧面，y名工人生产底面，则可列方程组（

）A． B．C． D．4．某班级为筹备运动会，准备用365元购买两种运动服，其中甲种运动服20元/套，乙种运动服35元/套，在钱都用尽的条件下，有（

）种购买方案．A．1 B．2 C．3 D．45．巫镇高速是重庆“三环七联线”的重要组成部分，由中铁十二局承建．为修临时便道，现有A型和B型卡车运送材料，A型、B型两种卡车每次运货的重量的比是3：10，5辆A型卡车和4辆B型卡车一次能运33吨材料．设每辆A型卡车每次可运吨材料，每辆B型卡车每次能运吨材料，则可列方程组（

）A． B．C． D．6．明代珠算大师程大位著有《珠算统筹》一书，书中有一题“隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两；九两分之少半斤（1斤等于16两）．”大意是“隔墙听人分银子，每人分7两，则多4两；每人分9两，则少半斤”，据此可知，银子共有（

）A．6两 B．42两 C．46两 D．54两二、填空题7．已知关于x，y的二元一次方程组的解满足x+y＝0，则m的值为__．8．某工厂去年的利润（总收入总支出）为200万元．今年总收入比去年增加了，总支出比去年减少了，今年的利润为780万元．设去年的总收入为万元、总支出为万元，根据题意可列方程组___．三、解答题9．为了响应市委和市政府“绿色环保，节能减排”的号召，幸福商场用3300元购进甲、乙两种节能灯共计100只，很快售完．这两种节能灯的进价、售价如下表：进价（元只）售价（元只）甲种节能灯3040乙种节能灯3550(1)求幸福商场甲、乙两种节能灯各购进了多少只？(2)全部售完100只节能灯后，商场共计获利多少元？10．甲地某果蔬批发市场计划运输一批蔬菜至乙地出售，为保证果蔬新鲜需用带冷柜的货车运输．现有A，B两种型号的冷柜车，若A型车的平均速度为50千米/小时，B型车的平均速度为60千米/小时，从甲地到乙地B型车比A型车少用2小时．(1)请求出甲乙两地相距多少千米？(2)已知A型车每辆可运3吨，B型车每辆可运2吨，若从甲地到乙地共需运送蔬菜15吨，则两种型号货车分别需要多少辆可恰好完成运输任务？有哪几种方案？（要求：每种型号货车至少配1辆）一、单选题1．小明郊游时，早上9时下车，先走平路然后登山，到山顶后又沿原路返回到下车处，正好是下午2时．若他走平路每小时行4km，爬山时每小时走3km，下山时每小时走6km，小明从上午到下午一共走的路程是（

）A．5km B．10km C．20km D．答案不唯一2．爸爸骑摩托车带着小明在公路上匀速行驶，小明每隔一段时间看到的里程碑上的数如下：时刻9：0010：0011：30里程碑上的数是一个两位数，它的两个数字之和是6是一个两位数，它的十位与个位数字与9：00所看到的正好互换了是一个三位数，它比9：00时看到的两位数中间多了个0则10：00时看到里程碑上的数是（

）A．15 B．24 C．42 D．513．将8个一样大小的长方形，恰好可以拼成一个大的长方形如图1，将这8个一样大小的长方形拼成了如图2那样的正方形，中间还留了一个洞，恰好是边长为3m的小正方形，则一个小长方形的面积为（

）A．120m2 B．135m2 C．108m2 D．96m24．某学校体育场的环形跑道长250m，甲、乙分别以一定的速度练习长跑和骑自行车，同时同地出发，如果反向而行，那么他们每隔20s相遇一次．如果同向而行，那么每隔50s乙就追上甲一次，设甲的速度为xm/s，乙的速度为ym/s，则可列方程组为（）A． B．C． D．5．某污水处理厂库池里现有待处理的污水m吨．另有从城区流入库池的待处理污水（新流入污水按每小时n吨的定流量增加）．若该厂同时开动2台机组，需30小时处理完污水；若同时开动3台机组，需15小时处理完污水．若5小时处理完污水，则需同时开动的机组数为（

）A．6台 B．7台 C．8台 D．9台6．七（1）班全体同学进行了一次转盘得分活动．如图，将转盘等分成8格，每人转动一次，指针指向的数字就是获得的得分，指针落在边界则重新转动一次．根据小红、小明两位同学的对话，可得七（1）班共有学生（）人．A．38 B．40 C．42 D．45二、填空题7．A，B两地相距的路程为300千米，甲、乙两车沿同一路线从A地出发到地，分别以一定的速度匀速行驶．甲车出发30分钟时距离A地30千米，此时乙车出发．乙车出发45分钟时追上了甲车，两车继续行驶，途中乙车发生故障，修车耗时1小时．随后乙车车速比修车前减少40千米/小时，但仍保持匀速前行，两车同时到达B地．乙车修好时，甲车距离B地还有__________千米．8．春节临近，各种新鲜水果大量上市．某商人根据市场调查，购进糖心苹果和车厘子两种水果，已知销售每斤糖心苹果的利润率为30%，每斤车厘子的利润率为50%．当售出的糖心苹果和车厘子的数量之比为4：3时，商人得到的总利润率为40%．要使商人得到的总利润率为46%，那么售出的糖心苹果和车厘子的数量之比为____．三、解答题9．列方程（组）解应用问题：“冰墩墩”和“雪容融”分别是北京2022年冬奥会和冬残奥会的吉祥物．自2019年正式亮相后，相关特许商品投放市场，持续热销．某冬奥官方特许商品零售店购进了一批同一型号的“冰墩墩”和“雪容融”玩具，连续两个月的销售情况如表：月份销售量/件销售额/元冰墩墩雪容融第1个月1004014800第2个月1606023380求