【教无忧】2024-2025学年高一数学同步讲义（人教A版2019）3.1 函数的概念及其表示（十一大题型）

3.1函数的概念及其表示目录TOC\o"1-2"\h\z\u【题型归纳目录】 2【思维导图】 2【知识点梳理】 2【典型例题】 4题型一：函数的概念 4题型二：给出解析式求函数的定义域 6题型三：抽象函数求定义域 9题型四：给出函数定义域求参数范围 10题型五：同一函数的判断 12题型六：给出自变量求函数值 15题型七：求函数的值域 17题型八：求函数的解析式 21题型九：分段函数求值、不等式问题 25题型十：区间的表示与定义 28题型十一：函数的图象 29

【题型归纳目录】【思维导图】【知识点梳理】知识点一：函数的概念1、函数的定义设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合A到集合B的一个函数．记作：，．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域．知识点诠释：（1）A、B集合的非空性；（2）对应关系的存在性、唯一性、确定性；（3）A中元素的无剩余性；（4）B中元素的可剩余性．2、构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域①构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全—致，即称这两个函数相等（或为同一函数）；②两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全—致，而与表示自变量和函数值的字母无关．3、区间的概念（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；（2）无穷区间；（3）区间的数轴表示．区间表示：；；；；．知识点二：函数的表示法1、函数的三种表示方法：解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．优点：简明，给自变量求函数值．图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系．优点：直观形象，反应变化趋势．列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系．优点：不需计算就可看出函数值．2、分段函数：分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而应写函数几种不同的表达式并用个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．知识点三：函数定义域的求法（1）确定函数定义域的原则①当函数是以解析式的形式给出时，其定义域就是使函数解析式有意义的自变量的取值的集合．具体地讲，就是考虑分母不为零，偶次根号的被开方数、式大于或等于零，零次幂的底数不为零以及我们在后面学习时碰到的所有有意义的限制条件．②当函数是由实际问题给出时，其定义域不仅要考虑使其解析式有意义，还要有实际意义．③当函数用表格给出时，函数的定义域是指表格中实数的集合．（2）抽象函数定义域的确定所谓抽象函数是指用表示的函数，而没有具体解析式的函数类型，求抽象函数的定义域问题，关键是注意对应法则．在同一对应法则的作用下，不论接受法则的对象是什么字母或代数式，其制约条件是一致的，都在同一取值范围内．（3）求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间来表示．知识点四：函数值域的求法实际上求函数的值域是个比较复杂的问题，虽然给定了函数的定义域及其对应法则以后，值域就完全确定了，但求值域还是特别要注意讲究方法，常用的方法有：观察法：通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数的图象的“最高点”和“最低点”，观察求得函数的值域；配方法：对二次函数型的解析式可先进行配方，在充分注意到自变量取值范围的情况下，利用求二次函数的值域方法求函数的值域；判别式法：将函数视为关于自变量的二次方程，利用判别式求函数值的范围，常用于一些“分式”函数等；此外，使用此方法要特别注意自变量的取值范围；换元法：通过对函数的解析式进行适当换元，将复杂的函数化归为几个简单的函数，从而利用基本函数的取值范围来求函数的值域．求函数的值域没有通用的方法和固定的模式，除了上述常用方法外，还有最值法、数形结合法等．总之，求函数的值域关键是重视对应法则的作用，还要特别注意定义域对值域的制约．【典型例题】题型一：函数的概念【典例1-1】（2024·高一·全国·课前预习）已知集合，，给出下列四个对应关系，其中能构成从M到N的函数的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】对应关系若能构成从M到N的函数，则应满足：对M中的任意一个数，通过对应关系在N中都有唯一的数与之对应.A选项中，当时，，故A不能构成函数；B选项中，当时，，故B不能构成函数；C选项中，当时，，故C不能构成函数；D选项中，当时，，当时，，当时，，故D能构成函数.故选：D.【典例1-2】（2024·高一·全国·课后作业）设f：是集合A到集合B的函数，如果集合，那么集合A不可能是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由题意得，解得或，所以集合可以为，或，或，故选：D【方法技巧与总结】函数的定义（特别是它的“取元任意性，取值唯一性”）是解决某些问题的关键．【变式1-1】（2024·高一·全国·课后作业）已知集合，下列对应关系能够构成从到的函数的是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】对于，当时，，对于任意，在中都存在唯一确定的元素与之对应，满足函数定义，A正确；对于，当时，，当时，在中无元素与之对应，不满足函数定义，B错误；对于，当时，，当时，在中无元素与之对应，不满足函数定义，C错误；对于，当时，，当或时，在中无元素与之对应，不满足函数定义，D错误．故选：A．【变式1-2】（2024·高一·广东韶关·阶段练习）设,如下选项是从M到N的四种应对方式,其中是M到N的函数是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】对于A,集合M中的3对应了集合N中的两个数,A错误;对于B,集合M中的2对应了集合N中的两个数,B错误;对于C,集合M中的每个数在集合N中都有唯一的数对应,C正确;对于D,集合M中的3对应了集合N中的两个数,D错误,故选:C.【变式1-3】（2024·高一·浙江·期中）中文“函数（function）”一词，最早是由近代数学家李善兰翻译出来的，之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”．已知集，给出下列四个对应法则，请由函数定义判断，其中能构成从到的函数的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】A选项，当时，，而，故A错误；B选项，当时，，而，故B错误；C选项，当时，，当时，，当时，，故满足要求，C正确；D选项，当时，，而，D错误.故选：C题型二：给出解析式求函数的定义域【典例2-1】（2024·高三·河北唐山·期末）函数的定义域是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】依题意，，解得，所以函数的定义域为.故选：A【典例2-2】（2024·高一·福建龙岩·阶段练习）函数的定义域是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】函数有意义，则，解得且，所以所求定义域为.故选：D【方法技巧与总结】小结几类函数的定义域：（1）如果是整式，那么函数的定义域是实数集R；（2）如果是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合；（3）如果是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合；（4）如果是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合；（即求各集合的交集）（5）满足实际问题有意义．当函数解析式是由多个式子构成时，要使这多个式子对同一个自变量x有意义，必须取使得各式有意义的各个不等式的解集的交集，因此，要列不等式组求解．【变式2-1】（2024·高一·安徽淮北·期中）函数的定义域为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】函数有意义，则，解得，所以原函数的定义域为.故选：A【变式2-2】（2024·高一·湖南邵阳·阶段练习）函数的定义域是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】要使函数解析式有意义，则，解得.故的定义域为.故选：D.【变式2-3】（2024·高一·重庆沙坪坝·期中）已知函数，则函数的定义域为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由题可得：，所以，解得：,则的定义域为；故选：A【变式2-4】（2024·高一·北京·期末）函数的定义域为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】函数，令，等价于，解得或，所以函数的定义域为.故选：D【变式2-5】（2024·高三·全国·专题练习）函数定义域为（）A． B．C． D．【答案】C【解析】由题知，解得，所以函数的定义域为，故选：C.题型三：抽象函数求定义域【典例3-1】（2024·高二·山东滨州·期中）已知函数的定义域为，则的定义域为.【答案】【解析】因为函数的定义域为，即，所以，即的定义域为，所以，解得，所以函数的定义域为.故答案为：.【典例3-2】若的定义域是，则的定义域为．【答案】【解析】∵，∴，∴的定义域为．故答案为：.【方法技巧与总结】求抽象函数的定义域，一要理解定义域的含义是的取值范围；二要运用整体思想，也就是在同一对应关系下括号内的范围是一样的．【变式3-1】（2024·高一·广东梅州·开学考试）已知函数的定义域为，则函数的定义域为．【答案】【解析】因为函数的定义域为，则x>0，则，即的定义域为；故答案为：【变式3-2】（2024·高一·上海·随堂练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为．【答案】【解析】因为函数的定义域为，即，所以，所以函数的定义域为.故答案为：【变式3-3】（2024·湖北武汉·二模）已知函数的定义域为，则函数的定义域为.【答案】【解析】由函数的定义域为，则有，令，解得.故答案为：.【变式3-4】（2024·高一·上海·期末）函数的定义域为区间，则函数的定义域为．【答案】【解析】因为函数的定义域为区间，所以，令，解得，所以函数的定义域为.故答案为：【变式3-5】（2024·高一·江西赣州·阶段练习）若函数的定义域是，则函数的定义域是.【答案】【解析】由题意得函数fx的定义域是，令，所以，即，解得，由，解得或，所以函数的定义域为.故答案为：.题型四：给出函数定义域求参数范围【典例4-1】（2024·高一·广东梅州·开学考试）已知函数的定义域是，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为函数的定义域是，所以不等式对任意恒成立，当时，，对任意恒成立，符合题意；当时，，即，解得：，综上，实数的取值范围是;故选：D【典例4-2】（2024·高一·河南·期中）若函数的定义域为R，则实数a的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】若函数的定义域为R，则对任意恒成立．当时，不等式化为，恒成立；当时，需，解得．综上所述，实数a的取值范围是．故选：B．【方法技巧与总结】利用转化与化归思想．【变式4-1】（2024·高三·陕西汉中·阶段练习）已知函数的定义域为R，则实数a的取值范围为（

）A． B．或C． D．或【答案】C【解析】由函数的定义域为R，得，恒成立.当时，恒成立；当时，，解得.综上所述，实数a的取值范围为.故选：C.【变式4-2】（2024·高一·吉林白城·阶段练习）函数f(x)＝的定义域为R，则实数k的取值范围为（

）A．(0，1) B．[1，＋∞) C．[0，1] D．(－∞，0]【答案】C【解析】①当时，，定义域定义域为R,满足要求;②当，定义域若为R，则必有，所以，所以，所以;③当，中二次函数图像开口向下，存在时，因此定义域若不为R，所以舍去.故选：C.题型五：同一函数的判断【典例5-1】（2024·高一·安徽阜阳·阶段练习）下列各组函数相等的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】D【解析】对于A中，函数的定义域为R，的定义域为，所以定义域不同，不是相同的函数，故A错误；对于B中，函数的定义域为R，的定义域为，所以定义域不同，不是相同的函数，故B错误；对于C中，函数的定义域为R，与的定义域为，所以定义域不同，所以不是相同的函数,故C错误；对于D中，函数与的定义域均为R，可知两个函数的定义域相同，对应关系也相同，所以是相同的函数,故D正确；故选：D.【典例5-2】（2024·高一·天津·期中）下列各组函数是同一个函数的是（

）A．， B．与C．与 D．与【答案】B【解析】A选项，，所以不是同一函数.B选项，，，所以是同一函数.C选项，的定义域是，的定义域是，所以不是同一函数.D选项，由解得或，所以的定义域是，由解得，所以的定义域是，所以不是同一函数.故选：B【方法技巧与总结】函数概念含有三个要素，即定义域，值域和对应法则，其中核心是对应法则，它是函数关系的本质特征．只有当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一函数，换言之就是：（1）定义域不同，两个函数也就不同；（2）对应法则不同，两个函数也是不同的．（3）即使定义域和值域都分别相同的两个函数，它们也不一定是同一函数，因为函数的定义域和值域不能唯一地确定函数的对应法则．【变式5-1】（2024·高一·山东济宁·阶段练习）在下列函数中，与函数是同一个函数的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】对于A，（），与（x∈R）的定义域不同，对应关系也不同，不是同一函数；对于B，（x∈R），与（x∈对于C，（），与（x∈R）的定义域不同，不是同一函数；对于D，（x∈R），与（x∈故选：D．【变式5-2】（2024·高一·山东聊城·阶段练习）下列各组中的函数，表示同一函数的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】D【解析】选项A，，，两个函数的定义域不同，不是同一函数；选项B，，，两个函数的定义域不同，不是同一函数；选项C，，，两个函数的定义域不同，对应关系也不同，不是同一函数；选项D，，，即，是同一函数，故选:D．【变式5-3】（2024·高一·四川内江·期中）下列各组函数是同一函数的是（

）①，；②与③与；④，A．②③ B．①④ C．①② D．②③④【答案】A【解析】对于①，函数与的定义域均为，但是，则两函数对应关系不同，故不是同一函数，不合题意；对于②，的定义域为，的定义域为，且，所以与是同一函数，符合题意；对于③，与的定义域均为，且两函数对应关系相同，故它们是同一函数，符合题意；对于④，的定义域是；，解得或，所以的定义域是，两函数定义域不同，所以不是同一函数，不合题意.故选：A题型六：给出自变量求函数值【典例6-1】（2024·高一·浙江宁波·开学考试）若函数，则【答案】【解析】当时，，得，故，则，故答案为：【典例6-2】（2024·高一·四川内江·开学考试）已知函数，计算．【答案】【解析】由，得，所以.故答案为：.【方法技巧与总结】求函数值时，遇到复合函数，一般有里层函数与外层函数之分，如f（g（x）），里层函数就是g（x），外层函数就是f（x），其对应关系可以理解为，类似的g（f（x））为，类似的函数，需要先求出最里层的函数值，再求出倒数第二层，直到最后求出最终结果．【变式6-1】（2024·河北沧州·模拟预测）已知函数的定义域为R，，，均满足．若，则（

）A．0 B． C． D．【答案】D【解析】令，得，所以；令，，得，又，所以；令，得；令，，得.故选：D.【变式6-2】（2024·高一·广东广州·期中）已知，，则，．【答案】1【解析】因为，所以；所以，所以，所以；故答案为：1；【变式6-3】（2024·高一·云南昆明·期中）已知函数(1)求的值．(2)求证：是定值．(3)求的值．【解析】（1）因为，所以；（2）证明：为定值；（3）由（2）可知，，，所以．题型七：求函数的值域【典例7-1】（2024·高一·河北·阶段练习）时，的值域为.【答案】【解析】因为，令，则，则，，可知开口向上，对称轴为，且，所以在内的值域为，即在内的值域为.故答案为：.【典例7-2】（2024·高一·湖北·阶段练习）已知函数的最大值为M，最小值为m，则的值为.【答案】【解析】函数的定义域满足，得，，当，得0≤9-x2≤9，0≤所以，且，所以，所以，，所以.故答案为：【方法技巧与总结】求值域还是特别要注意讲究方法，常用的方法有：观察法：通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数的图象的“最高点”和“最低点”，观察求得函数的值域；配方法：对二次函数型的解析式可先进行配方，在充分注意到自变量取值范围的情况下，利用求二次函数的值域方法求函数的值域；判别式法：将函数视为关于自变量的二次方程，利用判别式求函数值的范围，常用于一些“分式”函数等；此外，使用此方法要特别注意自变量的取值范围；换元法：通过对函数的解析式进行适当换元，将复杂的函数化归为几个简单的函数，从而利用基本函数的取值范围来求函数的值域．【变式7-1】（2024·高一·四川内江·阶段练习）函数的值域为．【答案】【解析】设，则，，所以，因为，在上单调递减，所以，所以函数的值域为．故答案为：.【变式7-2】（2024·高一·江苏连云港·阶段练习）已知，且，则的取值范围是.【答案】【解析】因为，所以.又因为，所以，解得.故答案为：.【变式7-3】（2024·高一·上海·随堂练习）求下列函数的值域：(1)，；(2)；(3)．【解析】（1）因为，，所以在上单调递增，又，，∴函数，的值域为．（2）令，即，解得，所以的定义域为，又∵，∴，故，∴的值域为．（3）因为，又，所以，∴函数的值域为．【变式7-4】（2024·高一·全国·课后作业）求下列函数的值域：(1)；(2)【解析】（1），显然，所以，故函数的值域为：（2）设，则，且，所以，，结合函数的图象可得原函数的值域为.【变式7-5】（2024·高一·全国·课后作业）求下列函数的值域．(1)；(2)；(3)；(4)；(5)（）．【解析】（1）因为，所以．故值域为．（2）因为，且，所以，所以，故函数的值域为．（3）令，则，且，所以（）．故函数的值域．（4），其中，，当时，．又因为，所以．故函数的值域为．（5）因为，所以，所以，当且仅当，即时，取等号，即取得最小值8．故函数的值域为．题型八：求函数的解析式【典例8-1】（2024·高三·海南·开学考试）（1）已知，求函数的解析式；（2）已知是二次函数，且满足，，求函数的解析式；（3）已知，求的解析式.【解析】（1）设，则，，即，所以，所以．（2）因为是二次函数，所以设.由，得．由，得，整理得，所以，所以，所以．（3）用替换中的x，得，由，解得.【典例8-2】（2024·高一·海南海口·阶段练习）已知，则，；【答案】/【解析】由题，显然a>0且，因为，当且仅当时取等号，又，所以，由已知，所以，．故答案为：．【方法技巧与总结】（1）解析式类型已知的，如本例（1），一般用待定系数法，对于二次函数问题要注意对一般式，顶点式和两点式的选择．（2）已知求的问题，方法一是用配凑法；方法二是用换元法．（3）函数方程问题，需建立关于的方程组，如本例（3），若函数方程中同时出现、，则一般用代之，构造另一个方程．【变式8-1】（2024·高一·四川雅安·期中）已知函数，则．【答案】【解析】令，则，从而，即．故答案为：【变式8-2】（2024·高一·河南南阳·阶段练习）已已知是一次函数，且，求.【答案】或【解析】设，则，，或，或．故答案为：或.【变式8-3】（2024·高一·全国·课后作业）若，则．【答案】【解析】由①，将用代替得②，由①②得.故答案为：.【变式8-4】（1）已知，求；（2）已知为二次函数，且，求；（3）已知函数对于任意的x都有，求．【解析】（1）方法一

（换元法）：令，则，，所以，所以的解析式为．方法二

（配凑法）：．因为，所以的解析式为．（2）设，则，所以，解得，所以．（3），令，得，于是得到关于与的方程组，解得．【变式8-5】（2024·高一·广东湛江·期中）（1）已知，求的解析式；（2）已知，求的解析式；（3）已知是一次函数，且满足.【解析】（1）令，则，可得，所以；（2）因为，可得，即，消去可得；（3）设，因为，即，整理得，所以，解得，所以.【变式8-6】（2024·高一·上海·课堂例题）（1）已知是二次函数，且满足，，求的表达式；（2）已知，求的表达式；（3）已知，求的表达式．【解析】（1）设，∵，∴．又∵，∴．整理得．由恒等式的性质知上式中对应项系数相等，∴，解得∴所求函数的表达式为．（2）令，则．∴，∴所求函数的表达式为．（3）在原式中用替换，得，于是有，消去，得．∴所求函数的表达式为．题型九：分段函数求值、不等式问题【典例9-1】（2024·高一·浙江杭州·期中）设函数，则；若，则的取值范围是【答案】【解析】由题，若，则或，解得或，若，则的取值范围是.故答案为：；【典例9-2】（2024·高一·全国·竞赛）函数满足：，且，则．【答案】【解析】，则，所以．故答案为：.【方法技巧与总结】分段函数问题往往需要进行分类讨论，根据分段函数在其定义域内每段的解析式不同，然后分别解决，即分段函数问题，分段解决．（1）由实际问题决定的分段函数，要写出它的解析式，就是根据实际问题需要分成几类，就分成几段，求解析式时，先分段分别求出它的解析式，在综合在一起即可．（2）注意分段函数的解析式，最后要把各段综合在一起写成一个函数，分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数．【变式9-1】（2024·高一·重庆永川·期中）已知函数，满足的的值为.【答案】或【解析】因为函数，当时，，当时，，若，必有，则，解得，若，必有，则，解得或.故答案为：或【变式9-2】（2024·高一·天津和平·期中）已知函数，若，则.【答案】【解析】当，即时，则由可得，，无解；当，且，即时，由可得，，所以，整理可得，，解得（舍去）或；当，即时，由可得，，无解.综上所述，.所以，.故答案为：.【变式9-3】（2024·高二·重庆·期末）设函数，则不等式的解集为.【答案】【解析】当，即时，则，解得；当，即时，则，即，解得；当时，恒成立；综上所述，不等式的解集为.故答案为：.题型十：区间的表示与定义【典例10-1】（2024·高一·湖南·课后作业）用区间表示下列集合：(1)；(2)且.【解析】（1）由题意，（2）由题意，且且【典例10-2】（2024·高一·全国·课堂例题）用区间表示下列集合：①；②；③.【答案】【解析】，，.【方法技巧与总结】【变式10-1】（2024·高一·全国·课后作业）已知区间，则实数a的取值范围为．（用区间表示）【答案】【解析】由，得．即.故答案为：．【变式10-2】用区间表示下列集合：(1)；(2)．【解析】（1）由题意可知：.（2）因为对任意恒成立，所以.【变式10-3】（2024·高一·全国·课后作业）把下列数集用区间表示：(1)；(2)；(3)；(4)或.【解析】（1）（2）（3）（4）或【变式10-4】（2024·高一·全国·专题练习）用区间表示下列数集：(1)；(2)；(3)；(4)R；(5)；(6)或.【解析】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）或.题型十一：函数的图象【典例11-1】（2024·高三·北京·专题练习）下列四个图形中，不是函数图象的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】对于A，B，C选项中的图象，每一个的取值均有唯一的一个值与其对应，符合函数定义，则A，B，C中图象均为函数图象；对于D选项，每一个x∈0,2的取值，都有两个则D中图象不是函数图象．故选：D 【典例11-2】（2024·高一·陕西宝鸡·