【教无忧】2024-2025学年高一数学同步讲义（人教A版2019）5．4．2 正弦函数、余弦函数的性质（八大题型）

5．4．2正弦函数、余弦函数的性质目录TOC\o"1-2"\h\z\u【题型归纳目录】 2【思维导图】 2【知识点梳理】 3【典型例题】 6题型一：正余弦函数的周期问题 6题型二：正余弦函数的奇偶问题 8题型三：正余弦函数的对称问题 11题型四：正余弦函数的单调问题 15题型五：根据正余弦函数单调性求参数的范围问题 18题型六：比较大小 23题型七：正余弦函数的最值与值域问题 25题型八：正余弦函数的综合应用 29

【题型归纳目录】【思维导图】【知识点梳理】知识点一：周期函数函数，定义域为，当时，都有，其中是一个非零的常数，则是周期函数，是它的一个周期．知识点诠释：1、定义是对中的每一个值来说的，只有个别的值满足或只差个别的值不满足都不能说是的一个周期．2、对于周期函数来说，如果所有的周期中存在一个最小的正数，就称它为最小正周期，三角函数中的周期一般都指最小正周期．知识点二：正弦函数性质函数正弦函数定义域值域奇偶性奇函数周期性最小正周期单调区间增区间减区间最值点最大值点；最小值点对称中心对称轴知识点诠释：（1）正弦函数的值域为，是指整个正弦函数或一个周期内的正弦曲线，如果定义域不是全体实数，那么正弦函数的值域就可能不是，因而求正弦函数的值域时，要特别注意其定义域．（2）求正弦函数的单调区间时，易错点有二：一是单调区间容易求反，要注意增减区间的求法，如求的单调递增区间时，应先将变换为再求解，相当于求的单调递减区间；二是根据单调性的定义，所求的单调区间必须在函数的定义域内，因此求单调区间时，必须先求定义域．知识点三：正弦型函数的性质．函数与函数可看作是由正弦函数，余弦函数复合而成的复合函数，因此它们的性质可由正弦函数，余弦函数类似地得到：（1）定义域：（2）值域：（3）单调区间：求形如的函数的单调区间可以通过解不等式的方法去解答，即把视为一个“整体”，分别与正弦函数的单调递增（减）区间对应解出，即为所求的单调递增（减）区间．比如：由解出的范围所得区间即为增区间，由解出的范围，所得区间即为减区间．（4）奇偶性：正弦型函数不一定具备奇偶性．对于函数，当时为奇函数，当时为偶函数．知识点诠释：判断函数的奇偶性除利用定义和有关结论外，也可以通过图象直观判断，但不能忽视“定义域关于原点对称”这一前提条件．（5）周期：函数的周期与解析式中自变量的系数有关，其周期为．（6）对称轴和对称中心与正弦函数比较可知，当时，函数取得最大值（或最小值），因此函数的对称轴由解出，其对称中心的横坐标，即对称中心为．知识点四：余弦函数的性质函数余弦函数定义域值域奇偶性偶函数周期性最小正周期单调区间增区间减区间最值点最大值点最小值点对称中心对称轴知识点诠释：（1）余弦函数的值域为，是指整个余弦函数或一个周期内的余弦曲线，如果定义域不是全体实数，那么余弦函数的值域就可能不是，因而求余弦函数的值域时，要特别注意其定义域．（2）求余弦函数的单调区间时，应先将变换为再求解，所求的单调区间必须在函数的定义域内，因此求单调区间时，必须先求定义域．知识点五：余弦型函数的性质．函数可看作是由余弦函数复合而成的复合函数，因此它们的性质可由余弦函数类似地得到：（1）定义域：（2）值域：（3）单调区间：求形如的函数的单调区间可以通过解不等式的方法去解答，即把视为一个“整体”，余弦函数的单调递增（减）区间对应解出，即为所求的单调递增（减）区间．（4）奇偶性：余弦型函数不一定具备奇偶性，对于函数，当时为偶函数，当时为奇函数．（5）周期：函数的周期与解析式中自变量的系数有关，其周期为．（6）对称轴和对称中心与正弦函数比较可知，当时，函数取得最大值（或最小值），因此函数的对称轴由解出，其对称中心的横坐标，即对称中心为．同理，的对称轴由解出，对称中心的横坐标由解出．知识点诠释：判断函数的奇偶性除利用定义和有关结论外，也可以通过图象直观判断，但不能忽视“定义域关于原点对称”这一前提条件．若，则函数不一定有对称轴和对称中心．【典型例题】题型一：正余弦函数的周期问题【典例1-1】（2024·高一·全国·课后作业）下列函数中，以为最小正周期的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】对于A，的图象是由把轴下方的图象翻折上去、轴上方的图象保持不变得到的，则最小正周期为，故A错误；对于B，的最小正周期为，故B错误；对于C，的最小正周期为，故C错误；对于D，的图象是由把轴下方的图象翻折上去、轴上方的图象保持不变得到的，则最小正周期为，故D正确．故选：D．【典例1-2】（2024·高一·辽宁沈阳·期末）已知的最大值为，若存在不同的实数，使得对任意实数总有成立，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，所以，由题意得为最小值，为最大值，所以的最小值为，所以的最小值为.故选：A.【方法技巧与总结】（1）定义法，即利用周期函数的定义求解．（2）公式法，对形如或（，，是常数，，）的函数，（3）观察法，即通过观察函数图象求其周期．三种方法各有所长，要根据函数式的结构特征，选择适当的方法求解．【变式1-1】（2024·高一·山东济宁·期末）设函数（、、都是常数，，），若在区间上具有单调性，且，则的最小正周期为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】记函数的最小正周期为，则，可得．又，且，又，所以函数的一个对称中心为，函数的一条对称轴为，又，，解得．故选：B．【变式1-2】（2024·高一·广西钦州·期末）已知，是函数（）图象与轴的两个相邻的交点，若，则（

）A．4 B．8 C．4或8 D．8或16【答案】C【解析】由题意，是函数（）图象与轴的两个相邻的交点，且，则的两个相邻的解之间距离为，而或，即或，则，或，解得或，故选：C【变式1-3】（2024·云南·二模）函数的最小正周期为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由周期公式得.故选：A【变式1-4】（2024·高一·湖北十堰·期末）函数是（

）A．周期为的偶函数 B．周期为的偶函数C．周期为的奇函数 D．周期为的奇函数【答案】A【解析】因为，所以，所以，则是偶函数.因为，，所以是周期为的偶函数.故选：A.【变式1-5】（2024·高三·江苏徐州·学业考试）已知函数的图像与直线的两个相邻交点的距离等于，则的值为（

）A． B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】由于的图像与直线的两个相邻交点的距离等于，所以.故选：C题型二：正余弦函数的奇偶问题【典例2-1】（2024·上海浦东新·二模）已知函数（）是偶函数，则的最小值是．【答案】/【解析】因为函数是偶函数，所以，解得，又，所以当时，的最小值是.故答案为：.【典例2-2】（2024·高一·上海·阶段练习）已知函数为奇函数，则.【答案】【解析】由奇函数的性质，可知得.经检验满足题意故答案为：【方法技巧与总结】判断函数奇偶性的方法（1）利用定义判断一个函数的奇偶性，要考虑两方面：①函数的定义域是否关于原点对称；②与的关系；（2）判断函数的奇偶性常用方法是：①定义法；②图象法．【变式2-1】（2024·高一·全国·专题练习）已知函数，为奇函数，则.【答案】或【解析】由题意知，即.∵，∴当时，；当k=1时，.故答案为：或.【变式2-2】（2024·高一·辽宁大连·期中）关于的方程的一个解【答案】（答案不唯一）【解析】令，其中，则，所以，函数为偶函数，由，可得，则原方程的一个解满足，可解得.故答案为：（答案不唯一）.【变式2-3】（2024·高一·上海松江·期中）已知函数是偶函数，则满足条件的所有θ的值为．【答案】【解析】解法一：是偶函数，则;解法二：，由于为偶函数，所以，即，所以，故答案为：.【变式2-4】（2024·高一·湖南长沙·期末）已知函数，则.【答案】2023【解析】因为，所以，设，所以为奇函数，所以关于对称，所以的图象关于对称，所以，所以，故答案为：2023【变式2-5】（2024·高一·浙江衢州·期末）已知函数的最大值为，最小值为，则.【答案】2【解析】易知，令，易知y=gx定义域为R，且，即y=gx显然，，由奇函数的对称性质易知.故答案为：【变式2-6】（2024·高一·广东深圳·期中）已知，且，则的值为．【答案】【解析】由，令，，为奇函数，，由，得，则，，．故答案为：题型三：正余弦函数的对称问题【典例3-1】（2024·高一·辽宁辽阳·期中）已知函数，若是偶函数，则图象的对称轴方程可能是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】函数是偶函数，则，得，令,解得.因为，则，经验证只有D选项满足题意，此时.故选：D【典例3-2】（2024·高一·北京·阶段练习）下列函数中，是偶函数且其图象关于对称的是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】对于A，为奇函数，A错误；对于B，为偶函数，因为，所以的图象关于点对称，B正确；对于C，为偶函数，因为，所以不是的对称中心，C错误；对于D，为奇函数，D错误.故选：B【方法技巧与总结】（1）正弦曲线（余弦曲线）既是轴对称图形，也是中心对称图形；（2）正弦曲线（余弦曲线）的对称轴一定过正弦曲线（余弦曲线）的最高点或最低点，即此时的正弦值（余弦值）取最大值或最小值；（3）正弦曲线（余弦曲线）的对称中心一定是正弦曲线（余弦曲线）与轴的交点，即此时的正弦值（余弦值）为0．【变式3-1】（2024·高一·四川内江·期中）已知，函数，，，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，且，，即为最大值或最小值，即为函数的一条对称轴，所以，解得，又，所以当时取得最小值.故选：B【变式3-2】（2024·高一·广东深圳·期末）记函数的最小正周期为.若，且的图象关于点中心对称，则（

）A．1 B． C． D．3【答案】C【解析】因为的最小正周期为满足，所以，解得，又的图象关于点中心对称，所以，所以解得，当时，所以，则.故选：C【变式3-3】（2024·高一·重庆·阶段练习）设函数关于对称，若函数，则的值为（

）A．1 B．或3 C．-2 D．【答案】C【解析】因为关于对称，故，故，，故，故选：C.【变式3-4】（2024·陕西西安·模拟预测）若函数的图象关于直线对称，则的值的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】因为的图象关于直线对称，所以，得，因为，所以．故选：C【变式3-5】（2024·全国·模拟预测）已知函数的图象与直线在轴右侧交点的横坐标从小到大依次为，且满足，则的值为.【答案】或【解析】由题设，易知.当时，由题意，得，解得，所以，当时，由题意，得，解得，所以，的值为或.故答案为：或【变式3-6】（2024·高二·山西运城·阶段练习）已知函数，则函数的所有零点之和为．【答案】0【解析】因为函数，所以的对称中心是，令，得，在同一坐标系中作出函数的图象，如图所示：由图象知：两个函数图象有8个交点，即函数有8个零点由对称性可知：零点之和为0，故答案为：0【变式3-7】（2024·高一·全国·课后作业）已知关于的函数（）的一条对称轴是，则．【答案】【解析】函数，其对称轴方程为，（）∵函数图象的一条对称轴是直线，∴，即，（）∵，当时，可得．故答案为：．题型四：正余弦函数的单调问题【典例4-1】（2024·高一·陕西西安·阶段练习）函数的单调递减区间为.【答案】.【解析】的单调递减区间即为的单调递增区间.令，，得,.故其单调递减区间为.故答案为：.【典例4-2】（2024·高一·上海宝山·阶段练习）单调增区间为【答案】【解析】函数，令，整理得，所以函数的单调递区间为故答案为：【方法技巧与总结】（1）用“基本函数法”求函数（，）或（，）的单调区间的步骤：第一步：写出基本函数（或）的相应单调区间；第二步：将“”视为整体替换基本函数的单调区间（用不等式表示）中的“”；第三步：解关于的不等式．（2）对于形如的三角函数的单调区间问题，当时，可先用诱导公式转化为，则的单调递增区间即为原函数的单调递减区间，单调递减区间即为原函数的单调递增区间．余弦函数的单调性讨论同上．另外，值得注意的是这一条件不能省略．【变式4-1】（2024·高一·上海奉贤·期中）函数，的增区间为．【答案】（开闭均可）【解析】由，可得，令，解得，即函数在的单调增区间为.故答案为：.（开闭均可）【变式4-2】函数的部分图像如图所示，则的单调递减区间为．【答案】【解析】由题知，，解得，由解得：，所以，令，.解得：，.所以的单调递减区间为：.故答案为：.题型五：根据正余弦函数单调性求参数的范围问题【典例5-1】（2024·高一·江西萍乡·期中）函数在上存在零点，且在上单调，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】当，，因为函数在上存在零点，所以，得，当时，则，由，可知，，则，则，所以.故选：B【典例5-2】（2024·高一·广东佛山·期中）已知函数在区间上单调，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】当时，，因为，所以，，所以，解得，即的取值范围为．故选:B．【方法技巧与总结】已知正（余）弦函数的单调性求参数范围，多用数形结合思想及转化思想求解．【变式5-1】（2024·高一·重庆·期中）已知，函数满足，且在区间上单调，则为（

）A． B． C．4 D．【答案】B【解析】因为，所以，即对称中心为，所以，即，解得，又因为在区间上单调，所以，即，所以，又且，所以.故选：B．【变式5-2】（2024·安徽马鞍山·三模）已知函数的一个零点是，且在上单调，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，，且时，可得，且，若在上单调，则，解得，又因为的一个零点是，则，解得，所以.故选：B.【变式5-3】（2024·高一·河北张家口·期中）已知函数在上单调递增，则实数a的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】当时，，而正弦函数在上单调递增，因此，解得，所以实数a的最大值为.故选：B【变式5-4】（2024·高二·浙江·期中）若函数在区间恰存在三个零点，两个最值点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】当x∈0,π，则依题意可得，解得，即的取值范围是.故选：A.【变式5-5】（2024·高三·湖北·阶段练习）已知函数在区间上是增函数，且在区间上恰好取得一次最大值1，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】函数，由，得，即函数在上单调递增，依题意，，则，解得，由，得，由在上恰好取得一次最大值1，得，解得，所以的取值范围是.故选：B【变式5-6】（2024·高一·北京·阶段练习）若函数在上单调递增，则的最大值为（

）A． B． C．1 D．2【答案】B【解析】对于函数，令，，解得，，所以函数的单调递增区间为，，当时函数的一个单调递增区间为，又函数在上单调递增，所以，则的最大值为.故选：B【变式5-7】（2024·陕西榆林·二模）已知函数在上单调，的图象关于点中心对称且关于直线对称，则的取值个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】由题意得的图象关于点中心对称且关于直线对称，故，则，即，由函数在上单调，得，即，即，解得，而，故或1，或2，当时，，则，结合，得，则，此时，当时，，由于在上单调递增，故在上单调递增，满足题意；当时，，则，结合，得，则，此时，当时，，由于在上不单调，故在上不单调，此时不合题意；当时，，则，结合，得，则，此时，当时，，由于在上单调递增，故在上单调递增，满足题意；综上，或.故选：B【变式5-8】（2024·高一·全国·专题练习）已知函数（，，）的图象关于轴对称，且在区间上不单调，则的可能取值有（）A．7个 B．8个 C．9个 D．10个【答案】C【解析】由函数的图像关于轴对称，可得，因为，可得，所以，又由，可得，当时，可得，可得在上单调递减，不符合题意；当时，可得，可得在上单调递减，不符合题意；当时，可得，可得在上不单调，符合题意；当时，可得，可得在上单调递增，不符合题意；当时，则函数的最小正周期为，此时，所以函数在上不是单调函数，符合题意，所以，所以满足条件的有9个.故选：C.题型六：比较大小【典例6-1】（2024·高一·广西·阶段练习）设，，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，，，所以．故选：D【典例6-2】（2024·高一·江苏无锡·期末）已知，则（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因为在上单调递减，所以，又在0,+∞上单调递增，故，又，故.故选：A【方法技巧与总结】比较两个三角函数值的大小（1）比较两个同名三角函数值的大小，先利用诱导公式把两个角化为同一单调区间内的角，再利用函数的单调性比较．（2）比较两个不同名的三角函数值的大小，一般应先化为同名的三角函数，后面步骤同上．【变式6-1】（2024·高一·安徽宿州·期末）已知，，，则，，的大小关系是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由正弦函数性质及余弦函数性质可知：，即；根据指数函数单调性得；由对数函数单调性得；所以；故选：A.【变式6-2】（2024·高一·全国·专题练习）已知为锐角三角形的两个内角，则以下结论正确的是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】为锐角三角形的两个内角，则，即，，，余弦函数在上单调递减，所以.对于等边三角形，A、C、D都不对；故选：B.【变式6-3】（2024·高一·四川绵阳·期中）设，则大小关系（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】，因为，且在时单调递增，则，即；且，所以.故选：A.【变式6-4】（2024·高一·四川成都·期中）英国数学家泰勒给出如下公式：；；，其中．这些公式被编入计算工具，计算工具计算足够多的项就可以确保显示值的精确性，也可以借助计算工具进行近似计算．若，，，则有（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】，，，则，因此.故选：C.题型七：正余弦函数的最值与值域问题【典例7-1】（2024·高一·江苏扬州·阶段练习）函数的值域为.【答案】【解析】由，而，当时，；当时，；综上，函数值域为.故答案为：【典例7-2】（2024·高一·上海徐汇·期中）函数的值域为．【答案】【解析】由于，所以，故，故答案为：.【方法技巧与总结】一般函数的值域求法有：观察法、配方法、判别式法、反比例函数法等．三角函数是函数的特殊形式，一般方法也适用，但要结合三角函数本身的性质．常见的三角函数求值域或最值的类型有以下几种：（1）形如的三角函数，令，根据题中的取值范围，求出的取值范围，再利用三角函数的单调性、有界性求出的最值（值域）．（2）形如的三角函数，可先设，将函数化为关于的二次函数，根据二次函数的单调性求值域（最值）．（3）对于形如（或）的函数的最值还要注意对的讨论．【变式7-1】（2024·高三·全国·专题练习）函数的值域是．【答案】【解析】由，可得，当时等式不成立，∴，则有，∵，∴，，或，∴函数的值域是，故答案为：【变式7-2】（2024·高一·全国·课后作业）（1）函数，的值域为；（2）函数的最大值是.【答案】【解析】（1）当时，，，，即的值域为；（2），；令，则，，则当时，，即的最大值为.故答案为：；.【变式7-3】（2024·高三·广东肇庆·阶段练习）已知函数在区间上的值域为，则.【答案】【解析】依题意，函数在区间上的值域为，由于，所以，此时，当时取得最小值，符合题意，所以.故答案为：【变式7-4】（2024·高一·全国·单元测试）函数的值域为．【答案】【解析】令，，则，即，所以，又因为，所以，即函数的值域为．故答案为：.【变式7-5】（2024·高一·上海·阶段练习）要使有意义，的取值范围是.【答案】；【解析】因，因此，所以，所以，或且解得，所以实数m的取值范围为.故答案为：【变式7-6】（2024·高一·北京·期中）若的最大值为3，则．【答案】【解析】由题意与同时取得最大值1，因此，，故答案为：．【变式7-7】（2024·高一·江苏扬州·阶段练习）函数的最小值为1，则．【答案】【解析】显然，当时，，，解得；当时，，，解得，所以.故答案为：题型八：正余弦函数的综合应用【典例8-1】（2024·高一·上海·单元测试）已知函数.(1)求函数的最小正周期；(2)求函数的严格减区间；(3)若时，的最小值为–2，求a的值.【解析】（1）函数的最小正周期为.（2）.由（），得（），所以的严格减区间为（）.（3）由，得，所以，所以，所以，所以的最小值为，所以.【典例8-2】（2024·高一·浙江衢州·期末）设函数图象的一条对称轴是直线.(1)求的值；(2)求函数的单调增区间.【解析】（1）由题意可得正弦函数的对称轴方程为，因为是函数图象的一条对称轴，所以，又，所以，（2）因为，所以，解得，函数的单调增区间为.【变式8-1】（多选题）（2024·高一·陕西渭南·期中）已知函数，则（

）A．为的一个周期 B．的图象关于直线对称C．在上单调递减 D．的一个零点为【答案】AD【解析】A选项，，A正确；B选项，时，，不是的对称轴，B错误；C选项，，，不包含于的单调递减区间内，C错误；D选项，，，因为，所以D正确；故选：AD.【变式8-2】（多选题）（2024·高一·广东茂名·阶段练习）已知函数在区间上单调递增，则（

）A．的最大值为2B．若，则C．若，则D．若函数两个零点间的最小距离为，则【答案】ACD【解析】对于选项A：因为函数在区间上单调递增，且，则该函数的最小正周期满足，解得.例如，，即，若，则，且在内单调递增，可知函数在区间上单调递增，符