江苏省苏北四市（徐连淮宿）2025届高三第一学期期末调研测试数学试题(含答案)

第=page11页，共=sectionpages11页江苏省苏北四市（徐连淮宿）2025届高三第一学期期末调研测试数学试题第I卷（选择题）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x|−1≤x≤2}，B={x|y=1−x}，则A∩B=A.(−1,1] B.[−1,1] C.(−1,1) D.[0,2]2.已知复数z满足(1+i)z=2i−1，则|z|=(

)A.22 B.24 C.3.已知向量a=(3,2m)，b=(m+1,−2)，若|a+bA.3 B.−3 C.4 D.04.在矩形ABCD中，AB=2BC，则以A，B为焦点，且过C，D两点的椭圆的离心率为(

)A.5−12 B.3−125.若f(x)=x(42ax+1−a)A.14 B.12 C.1 6.已知f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)，若f(x1)=f(x2)=A.23 B.1 C.32 7.已知正四棱锥的底面边长为2，侧面积为47，则该四棱锥的外接球的表面积为(

)A.83π B.323π C.8.定义：A(x1,y1)，B(x2,y2)两点间的“M距离”为|x2−xA.4c(a−c) B.4a(a−c) C.2(a2−二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.设甲袋中有2个白球和3个红球，乙袋中有1个白球和2个红球.现从甲袋中任取1个球放入乙袋，用事件A1，A2分别表示从甲袋中取出的是白球和红球.再从乙袋中随机取出1个球，用事件B表示从乙袋中取出的是白球，则(

)A.A1，A2互斥 B.A1与B相互独立 C.P(B|10.已知α，β为锐角，cos(α+β)=35，tanα+A.sinαcosβ=310 B.cos(α−β)=111.已知数列a，b，c，d，前三项a，b，c成等差数列，且公差不为0，后三项b，c，d成等比数列，则(

)A.当a+b+c>0时，d>0

B.当a<c时，b<d

C.当a+d=4，b+c=3时，a=0或a=154

D.sina，sinb，第II卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.在△ABC中，A=π3，AB=8，cosC=−17，则13.写出一条与圆x2+y2−3y+1414.已知函数f(x)=13x3−ax2四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)某新能源汽车公司对其销售的A，B两款汽车向消费者进行满意度调查，从购买这两款汽车消费者中各随机抽取10名进行评分调查(满分100分)，评分结果如下：数据Ⅰ(A型车):67，81，73，80，81，77，86，85，90，90;数据Ⅱ(B型车):61，76，81，67，72，87，86，95，93，90．(1)求数据Ⅰ的25百分位数;(2)该公司规定评分在75分以下的为不满意，从上述不满意的消费者中随机抽取3人沟通不满意的原因及改进建议，设被抽到的3人中购买B型车的消费者人数为X，求X的概率分布及数学期望．16.(本小题15分)

如图，三棱柱ABC−A1B1C1的底面是边长为2的等边三角形，D为AC的中点，AA1(1)证明：BD⊥(2)当cos∠A1AC=1317.(本小题15分)已知函数f(x)=ex(1)当a=2时，求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;(2)当x∈[0,π]时，f(x)≥0，求a的取值范围．18.(本小题17分)已知双曲线C:x2a2−y2b(1)求C的方程;(2)过F1的直线l分别交C的左、右两支于A，B两点，直线BF2交C ①若S△PF1F ②是否存在常数λ，使得1kAF2+119.(本小题17分)定义：S(m)表示正整数m的各位数之和，如：S(2025)=2+0+2+5=9.记an(1)求a1和(2)求数列{an(3)若正整数m的各位数非零且成等差数列，S(m2)=2S(m)答案和解析1.B

【解析】解：集合A={x|−1≤x≤2}，即A=[−1,2]，

B={x|y=1−x}=x|1−x⩾0=x|x⩽1

即B=−∞,1,2.C

【解析】解：因为(1+i)z=2i−1，

所以z=−1+2i1+i=(−1+2i)(1−i)1+i1−i=1+3i2=12+3.A

【解析】解：因为a=(3,2m)，b=(m+1,−2)，|a+b|=|即a2+2a即可得3(m+1)−4m=0，解得m=3．

故选：A．4.A

【解析】解：|AB|=2|BC|=2c，则|AC|=AB2+BC2=5c，

因为C在椭圆上，所以由椭圆定义知：|CA|+|CB|=2a，5.D

【解析】解：因为f(x)为偶函数，所以f(−x)=f(x)，

则−x(42−ax+1−a)=x(42ax+1−a)，

即

4·26.A

【解析】解：因为函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)，满足f(x1)=f(x2)=32，

不妨令ωx1+φ=π3+2kπ，ωx7.B

【解析】解：设正四棱锥的斜高为ℎ0，高为ℎ，外接球的半径为R，

因为正四棱锥侧面积为47，

则4×12×2×ℎ0=47，解得ℎ0=7，

则正四棱锥的高ℎ=8.C

【解析】解：设M(x,y)，则“M椭圆”方程是x−c+y+x+c+y=2a，

即x−c+x+c+2y=2a，

易得“M椭圆”关于x轴，y轴，原点对称，

研究“M椭圆”在第一象限图象，

当0⩽x⩽c，y⩾0时，方程为y=a−c，是一条线段，端点坐标分别为(0,a−c)，(c,a−c)，

当x>c，y⩾0时，方程为x+y=a，表示一条线段，端点坐标分别为(c,a−c)，(a,0)，

结合曲线的对称性，“M椭圆”大致图象如图：

四边形OACB是直角梯形，上底长为c，下底长为a，高为a−c，

梯形OACB面积为19.AC

【解析】解：由题意

A1，

A2

是互斥的事件，故A正确；

且P(A1)=

25，P(A2)=35，P(B|A2)=P(A2B)P(A2)=

35×1435=

14，故C10.BCD

【解析】解：α，β为锐角，cos(α+β)=35，

可得sin(α+β)=1−cos2(α+β)=1−352=45，①

tanα+tanβ=1，得sinαcosα+sinβcosβ=sin(α+β)cosαcosβ=1，②

由①②得

cosαcosβ=45，

又cos(α+β)=35，得sinαsinβ=15，

则cos(α−β)=cosαcosβ+11.ACD

【解析】解：因为a，b，c成等差数列，b，c，d成等比数列，

所以a+c=2b，c2=bd，

对于A，当a+b+c>0时，

则3b>0，即b>0，

又c≠0，所以c2=bd>0，所以d>0，故A正确；

对于B，取a=−8,b=−2,c=4,d=−8满足a，b，c成等差数列，b，c，d成等比数列，

又a<c，但b>d，故B错误；

对于C，设等差数列的公差为m，m≠0，

则b=a+m,c=a+2m,d=a+2m2a+m，

因为a+d=4，b+c=3，

所以a+a+2m2a+m=42a+3m=3,

解得a=0m=1或a=154m=−32，故C正确；

若sina，sinb，sinc成等比数列，

则sin2b=sinasinc，

所以12(1−cos2b)=sinasinc，

∴1−cos2b=2sinasinc，

∴1=cos2b+2sinasinc，

12.3

【解析】解：在▵ABC中，由cos C=−17，

可得sin C=1−cos2C=437，

由正弦定理得，ABsinC=BCsinA，即8437=BC13.y=x−12或

y=−x−1【解析】解：设公切线与抛物线x2=2y切于点M(x0,12x02)，而y′=

x，

所以M处的公切线方程为y−12x02=x0(x−x0)，

即x0x−y−12x02=0，

14.(−1【解析】解：f(x)=13x3−ax2−3a2x的定义域为R，

f′(x)=x2−2ax−3a2=(x−3a)(x+a)，

①：当a=0时，f′(x)=x2≥0恒成立，故f(x)单调递增，

则不等式恒成立，满足题意；

②：当a>0时，3a>−a，

令f′(x)>0，可得x>3a或x<−a，

令f′(x)<0，可得−a<x<3a，

故f(x)在(−∞,−a)，(3a,+∞)上单调递增，在(−a,3a)上单调递减，

又2a−1−3a=−1−a<0，则2a−1<3a，

所以要使不等式成立，只需满足2a−1≠−a，且a>0，即a≠13，且a>0，

③：当a<0时，−a>3a，令f′(x)>0，可得x>−a或x<3a，令f′(x)<0，可得3a<x<−a，

故f(x)在(−∞,3a)，(−a,+∞)上单调递增，在(3a,−a)上单调递减，

因为f(−a)=15.解：(1)将数据Ⅰ从小到大排列为：67，73，77，80，81，81，85，86，90，90．

因为10×25%=2.5，所以数据Ⅰ的25百分位数为77；

(2)数据Ⅰ中75分以下的有67分，73分，

数据Ⅱ中75分以下的有61分，67分，72分，

所以上述不满意的消费者共5人，其中A车型中2人，B车型中3人，

所以X的所有可能取值为1，2，3，

P(X=1)=C22C31C53=310，

P(X=2)=C2116.解：(1)证明：

在等边三角形ABC中，D为AC中点，

所以BD⊥AC，

因为侧面ACC1A1⊥底面ABC，侧面ACC1A1∩底面ABC=AC，

BD⊂平面ABC，所以BD⊥平面ACC1A1，

又因为A1C⊂平面ACC1A1，

所以BD⊥A1C；

(2)在△A1AC中，AA1=3，AC=2，

所以A1C2=AA12+AC2−2AA1⋅ACcos∠A1AC=9+4−2×3×2×13=9，

所以A1C=3，

所以△A1AC是等腰三角形，

又D为AC中点，所以A1D⊥AC，

由(1)知，BD⊥AC，AC∩A1C=C,AC,A1C⊂平面ACC1A1BD⊥平面ACC1A1，

又A1D⊂平面ACC1A1，

所以BD⊥A1D，

所以DB，DC，DA1两两垂直，

以D为原点，DB，DC17.解：(1)当a=2时，f(x)=ex−2sinx，f′(x)=ex−2cosx，

则f′(0)=e0−2cos0=−1，又f(0)=e0−2sin0=1，

所以曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为x+y−1=0；

(2)当a≤0时，由0≤x≤π可知f(x)=ex−ax0(0,π(πg′+0−g↗极大值↘所以g(x)max=g(π4)=22eπ4=12e18.解：(1)由题意得2c=4ba=33c2=a2+b2，

解得a=3b=1，所以C的方程为x23−y2=1；

(2)①设BF2:x=m1y+2，l:x=m2y−2，

设A(x1,y1)，B(x2,y2)，P(x3,y3)，

由x=m1y+2x23−y2=1，得(m12−3)y2+4m1y+1=0，

则m12−3≠0Δ>0y2+y3=−4m1m12−3y2y3=1m12−3,

由19.解：(1)a1=m=19S(m)=S(1)+S(2)+S(3)+⋯+S(9)

=1+2+3+⋯+9=45，

a2=m=1099S(m)=m=1019S(m)+m=2029S(m)+⋯+m=9099S(m)

=(10+45)+(20+45)+⋯+(90+45)=9[(10+45)+(90+45)]2=855；

(2)设{an}的前n项和为Tn，

则an+1=10n(1+2+3+⋯+9)+9(a1+a2+⋯+an)，

即an+1=45×10n+9Tn，

当n≥2时，an=45×10n