北京市2024年高考数学试卷

北京市2024年高考数学试卷一、选择题

1.若函数f(x)=x^3-3x+2在x=1处取得极值，则此极值是（）

A.极大值

B.极小值

C.非极值

D.无法确定

2.已知等差数列{an}的前三项分别为1,4,7，则该数列的通项公式an=（）

A.3n-2

B.3n+1

C.3n

D.3n-3

3.下列不等式组中，无解的是（）

A.\{\begin{matrix}x+2y>1\\y<3\end{matrix}\}

B.\{\begin{matrix}x+2y<1\\y<3\end{matrix}\}

C.\{\begin{matrix}x+2y>1\\y>3\end{matrix}\}

D.\{\begin{matrix}x+2y<1\\y>3\end{matrix}\}

4.若复数z=a+bi（a，b∈R）在复平面内对应的点为P(a,b)，则下列哪个点在直线y=-x上？（）

A.P(a,-b)

B.P(-a,b)

C.P(-a,-b)

D.P(a,b)

5.已知函数f(x)=|x|+1，则f(-1)=（）

A.0

B.1

C.2

D.3

6.若等比数列{an}的前三项分别为3,6,12，则该数列的公比q=（）

A.1

B.2

C.3

D.6

7.若函数y=ax^2+bx+c（a≠0）的图像开口向上，且顶点坐标为（1，-2），则a、b、c的取值范围是（）

A.a>0，b<0，c>0

B.a>0，b>0，c>0

C.a>0，b>0，c<0

D.a<0，b<0，c>0

8.已知函数f(x)=x^2-4x+3，若f(x)的图像与x轴的交点分别为A、B，且|AB|=2，则f(x)的图像与y轴的交点C的坐标是（）

A.(0,-3)

B.(0,3)

C.(0,-1)

D.(0,1)

9.若等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d，首项为a1，则Sn=（）

A.(n^2+n)d

B.(n^2+n)a1

C.(n^2-n)d

D.(n^2-n)a1

10.若函数y=log2(x+3)的图像经过点P(-2,2)，则该函数的图像与x轴的交点坐标是（）

A.(-1,0)

B.(1,0)

C.(-3,0)

D.(3,0)

二、判断题

1.在直角坐标系中，若点A(-2,3)关于y轴的对称点为A'，则A'的坐标为(2,3)。（）

2.一次函数y=kx+b（k≠0）的图像是一条直线，且斜率k表示直线的倾斜程度。（）

3.在等差数列{an}中，若公差d=0，则该数列是常数列。（）

4.二次函数y=ax^2+bx+c（a≠0）的图像开口向上，当a>0时，函数在x=0处取得最小值。（）

5.等比数列{an}的任意三项an,an+1,an+2满足an+2=an*r^2，其中r是公比。（）

三、填空题

1.若函数f(x)=x^3-6x^2+9x-1在x=2处取得极值，则此极值为______。

2.等差数列{an}的首项a1=3，公差d=2，则第10项an=______。

3.在直角坐标系中，点P(3,4)关于原点的对称点坐标为______。

4.二次函数y=-2x^2+4x+3的图像顶点坐标为______。

5.若函数y=log3(x-1)的图像与y轴的交点坐标为______。

四、简答题

1.简述函数f(x)=|x-2|的性质，并画出其图像。

2.解释等差数列和等比数列的通项公式，并举例说明如何求出给定项的值。

3.如何判断一个二次函数的图像是开口向上还是开口向下？请举例说明。

4.简要说明直角坐标系中，点关于x轴、y轴、原点的对称点的坐标变化规律。

5.讨论一次函数和二次函数在图像上的特点，以及它们在解决实际问题中的应用。

五、计算题

1.已知函数f(x)=x^2-4x+3，求f(x)在区间[1,3]上的最大值和最小值。

2.在直角坐标系中，已知点A(-4,3)和点B(2,-1)，求线段AB的中点坐标。

3.一个等差数列的前5项和为15，公差为3，求该数列的首项。

4.已知函数y=2x-5，求该函数在x轴上的截距。

5.若等比数列{an}的前三项分别为2,4,8，求该数列的公比和第6项。

六、案例分析题

1.案例背景：某城市为了缓解交通拥堵，决定对公共交通系统进行优化。已知该城市居民上下班高峰时段的出行需求，以及现有公共交通线路的运行情况。

案例分析要求：

（1）根据居民出行需求，设计一条新的公交线路，使其能够有效连接主要居住区和商业区。

（2）假设新线路的运行时间为早上7:00至晚上9:00，每班车的发车间隔为15分钟。计算新线路至少需要多少辆公交车才能满足居民高峰时段的出行需求。

（3）分析现有公共交通线路的优缺点，并提出改进建议。

2.案例背景：某公司为了提高员工的工作效率，决定对办公区域进行重新布局。已知公司现有员工人数为200人，办公室面积为3000平方米。

案例分析要求：

（1）根据员工的工作性质和职责，将员工分为不同的小组，并确定每个小组所需的办公空间大小。

（2）假设每个员工的办公空间最小面积为10平方米，计算公司需要多少间办公室才能满足所有员工的需求。

（3）分析现有办公区域的空间利用率，并提出改进方案以提高空间利用效率。

七、应用题

1.应用题：某工厂生产一种产品，每个产品的成本为10元，售价为20元。假设该产品的市场需求函数为Q=100-2P，其中Q为需求量，P为售价。求该工厂在利润最大化时的售价和产量。

2.应用题：一个班级有学生30人，成绩分布如下：60分以下的有5人，60-70分的有10人，70-80分的有10人，80-90分的有5人。求该班级的平均成绩。

3.应用题：一个正方体的棱长为a，求该正方体的表面积和体积。

4.应用题：某城市计划在一条长度为10公里的公路上进行绿化，计划种植树木，要求每两棵树之间的距离为5米。问该公路最多可以种植多少棵树？

本专业课理论基础试卷答案及知识点总结如下：

一、选择题

1.A

2.B

3.D

4.A

5.C

6.B

7.A

8.A

9.A

10.B

二、判断题

1.×

2.√

3.√

4.×

5.√

三、填空题

1.-1

2.21

3.(-4,-3)

4.(1,-1)

5.(0,-1)

四、简答题

1.函数f(x)=|x-2|的性质包括：定义域为全体实数，值域为[0,+∞)，图像在x=2处有拐点，左侧为下降的直线，右侧为上升的直线。图像如下：

```

|

|__

|/\

|/\

|_____/\

```

2.等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d，其中a1为首项，d为公差，n为项数。例如，等差数列1,4,7,10,...的首项a1=1，公差d=3，第5项an=1+(5-1)*3=13。

等比数列的通项公式为an=a1*r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比，n为项数。例如，等比数列2,4,8,16,...的首项a1=2，公比r=2，第5项an=2*2^(5-1)=64。

3.二次函数y=ax^2+bx+c（a≠0）的图像开口向上当且仅当a>0，此时顶点坐标为(-b/2a,c-b^2/4a)。开口向下当a<0，顶点坐标同理。例如，函数y=-x^2+4x+3的图像开口向下，顶点坐标为(2,-1)。

4.点关于x轴的对称点坐标为(x,-y)，关于y轴的对称点坐标为(-x,y)，关于原点的对称点坐标为(-x,-y)。例如，点P(3,4)关于原点的对称点坐标为(-3,-4)。

5.一次函数y=kx+b（k≠0）的图像是一条直线，斜率k表示直线的倾斜程度，k>0时直线向右上方倾斜，k<0时直线向右下方倾斜。二次函数y=ax^2+bx+c（a≠0）的图像是一个抛物线，开口向上或向下取决于a的正负。一次函数和二次函数在解决实际问题中广泛应用于描述线性增长或减少的过程，以及抛物线运动等。

五、计算题

1.解：函数f(x)=x^2-4x+3在区间[1,3]上的导数为f'(x)=2x-4。令f'(x)=0，得x=2。将x=2代入f(x)，得f(2)=4-8+3=-1。所以f(x)在x=2处取得最小值-1。由于f(x)在[1,2]上单调递减，在[2,3]上单调递增，所以f(x)在[1,3]上的最大值为f(1)=0。

2.解：中点坐标为((x1+x2)/2,(y1+y2)/2)，代入A(-4,3)和B(2,-1)，得中点坐标为((-4+2)/2,(3-1)/2)=(-1,1)。

3.解：等差数列的前5项和为15，即(5/2)(a1+a5)=15，解得a1+a5=6。由于公差d=3，所以a5=a1+4d，代入得2a1+12=6，解得a1=-3。首项a1=-3。

4.解：令y=0，得0=2x-5，解得x=2.5。所以函数在x轴上的截距为2.5。

5.解：公比r=a2/a1=4/2=2。第6项an=a1*r^(6-1)=2*2^5=64。

七、应用题

1.解：需求函数Q=100-2P，售价P=20，所以Q=100-40=60。利润函数L(P)=P*Q-成本=P*(100-2P)-10*(100-2P)=-P^2+20P-1000。求导得L'(P)