2025年岳麓版高一数学上册月考试卷

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年岳麓版高一数学上册月考试卷919考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共7题，共14分)1、下列说法中，正确的是()A.频率分布直方图中各小长方形的面积不等于相应各组的频率;B.一组数据的标准差是这组数据的方差的平方;C.数据2，3，4，5的方差是数据4，6，8，10的方差的一半;D.一组数据的方差越大，说明这组数据的波动越大.2、【题文】函数的反函数的图象大致是（）3、【题文】若存在过点的直线与曲线和都相切，则等于（）A.或B.或C.或D.或4、把函数y=cos2x+sin2x的图象向左平移m（其中m＞0）个单位，所得图象关于y轴对称，则m的最小值是（）A.B.C.D.5、阅读程序框图；运行相应的程序，则输出i的值为（）

A.3B.4C.5D.66、下列函数是同一函数的是（）A.f（x）=g（x）=x-1B.f（u）=g（v）=C.f（x）=1，g（x）=x0D.f（x）=x，g（x）=7、化简：+-=（）A.B.C.2D.-2评卷人得分二、填空题(共7题，共14分)8、等差数列{an}中，若a2+a4+a5+a6+a8=450，则a2+a8=____．9、的定义域是____．10、【题文】将直线绕着它上面的一点逆时针旋转得直线则直线的方程为____11、【题文】点在直线的左上方，则的取值范围是____.12、【题文】点到直线的距离是________________.13、用二分法求函数y=f（x）在区间[2，4]上零点的近似解，经验证有f（2）•f（4）＜0．取区间的中点为x1=3，计算得f（2）•f（x1）＜0，则此时零点x0∈____（填区间）14、若函数f（x）=sinx和定义域均是[-π，π]，则它们的图象上存在______个点关于y轴对称．评卷人得分三、证明题(共6题，共12分)15、如图；在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，E为AD的中点，DF⊥BE，垂足为F，CF交AD于点G．

求证：（1）∠CFD=∠CAD；

（2）EG＜EF．16、求证：（1）周长为21的平行四边形能够被半径为的圆面所覆盖．

（2）桌面上放有一丝线做成的线圈，它的周长是2l，不管线圈形状如何，都可以被个半径为的圆纸片所覆盖．17、如图；过圆O外一点D作圆O的割线DBA，DE与圆O切于点E，交AO的延长线于F，AF交圆O于C，且AD⊥DE．

（1）求证：E为的中点；

（2）若CF=3，DE•EF=，求EF的长．18、已知ABCD四点共圆，AB与DC相交于点E，AD与BC交于F，∠E的平分线EX与∠F的平分线FX交于X，M、N分别是AC与BD的中点，求证：（1）FX⊥EX；（2）FX、EX分别平分∠MFN与∠MEN．19、已知D是锐角△ABC外接圆劣弧的中点；弦AD与边BC相交于点E，而且AB：AC=2：1，AB：EC=3：1．求：

（1）EC：CB的值；

（2）cosC的值；

（3）tan的值．20、如图，已知：D、E分别为△ABC的AB、AC边上的点，DE∥BC，BE与CD交于点O，直线AO与BC边交于M，与DE交于N，求证：BM=MC．评卷人得分四、解答题(共3题，共6分)21、已知数列{an}的前n项和Sn，且Sn=（an-1）（n∈N*）．

（1）求a1，a2，a3；

（2）求证：数列{an}是等比数列．

22、【题文】已知点和圆．

（Ⅰ）过点的直线被圆所截得的弦长为求直线的方程；

（Ⅱ）若的面积且是圆内部第一；二象限的整点（平面内横、纵坐标均为整数。

的点称为整点），求出点的坐标．23、设函数f(x)=sin(2x+娄脮)(鈭�娄脨<娄脮<0)y=f(x)

图象的一条对称轴是直线x=娄脨8

．

(

Ⅰ)

求娄脮

(

Ⅱ)

求函数y=f(x)

的单调增区间．评卷人得分五、作图题(共1题，共7分)24、如图A、B两个村子在河CD的同侧，A、B两村到河的距离分别为AC=1千米，BD=3千米，且知道CD=3千米，现在要在河边CD上建一水厂，向A、B两村送自来水，铺设管道费用为每千米2000元，请你在CD上选择水厂位置O，使铺设管道的费用最省，并求出其费用．评卷人得分六、综合题(共3题，共21分)25、抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）过点A（1；-3），B（3，-3），C（-1，5），顶点为M点．

（1）求该抛物线的解析式．

（2）试判断抛物线上是否存在一点P；使∠POM=90°．若不存在，说明理由；若存在，求出P点的坐标．

（3）试判断抛物线上是否存在一点K，使∠OMK=90°，若不存在，说明理由；若存在，求出K点的坐标．26、如图，抛物线y=x2-2x-3与坐标轴交于A（-1，0）、B（3，0）、C（0，-3）三点，D为顶点．

（1）D点坐标为（____，____）．

（2）BC=____，BD=____，CD=____；并判断△BCD的形状．

（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，请写出符合条件的所有点P的坐标，并对其中一种情形说明理由；若不存在，请说明理由．27、如图，由矩形ABCD的顶点D引一条直线分别交BC及AB的延长线于F，G，连接AF并延长交△BGF的外接圆于H；连接GH，BH．

（1）求证：△DFA∽△HBG；

（2）过A点引圆的切线AE，E为切点，AE=3；CF：FB=1：2，求AB的长；

（3）在（2）的条件下，又知AD=6，求tan∠HBC的值．参考答案一、选择题(共7题，共14分)1、D【分析】试题分析：对于Ａ．频率分布直方图中各小长方形的面积等于相应各组的频率，故Ａ错；对于Ｂ.一组数据的标准差是这组数据的方差的算术平方根，故Ｂ错；对于Ｃ.数据2，3，4，5的方差是数据4，6，8，10的方差的四分之一，故Ｃ错；对于Ｄ.一组数据的方差越大，说明这组数据的波动越大这是正确的，这正是方差的特性；故选D．考点：频率分布直方图、标准差、方差．【解析】【答案】D2、C【分析】【解析】略【解析】【答案】C3、A【分析】【解析】

试题分析：设直线与曲线相切的切点为利用导数的几何意义得：

解得或当时，直线为轴，与相切，即解得当时，直线为与抛物线联立，整理得：因为相切，所以解得故选A．

考点：1．导数的几何意义；2．求切线方程．【解析】【答案】A4、B【分析】【解答】解：把函数y=cos2x+sin2x=2sin（2x+）的图象向左平移m（其中m＞0）个单位，可得y=2sin[2（x+m）+]=2sin（2x+2m+）的图象；

所得图象关于y轴对称，则2m+=kπ+k∈Z，即m=kπ+故正数m的最小值是

故选：B．

【分析】根据两角和的正弦公式化简函数的解析式，利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得所得图象对应的函数解析式，再利用所得图象关于y轴对称求出φ的值，从而求得m的最小值．5、A【分析】【分析】利用循环体，计算每执行一次循环后a的值，即可得出结论．那么可知第一次循环，i=1，a=2；第二次循环，i=2，a=2×2+1=5；第三次循环，i=3，a=3×5+1=16；退出循环，此时输出的值为3，故答案为A。6、B【分析】解：A；函数f（x）的定义域为{x|x≠0}；函数g（x）的定义域为R，定义域不同，故不是相同函数；

B；两函数三要素相同；故两函数相同；

C；函数f（x）的定义域为R；函数g（x）的定义域为{x|x≠0}，故两函数不同；

D、因为故两函数不同．

综上可得B项正确．

故选：B．

逐项判断即可．两个函数相同则需定义域；值域、对应法则都相同．A、定义域不同；B、函数三要素都相同；C、定义域不同；D、对应法则不同．

本题考查函数的概念和函数相等的判断．正确掌握判断方法是解题关键．属于基础题．【解析】【答案】B7、A【分析】解：+-===．

故选：A．

利用向量加法法则求解．

本题考查向量的化简求值，是基础题，解题时要认真审题，注意向量加法法则的合理运用．【解析】【答案】A二、填空题(共7题，共14分)8、略

【分析】

由等差数列的性质可得a2+a8=a4+a6=2a5；

代入已知可得（a2+a8）=450；

解得a2+a8=450×=180

故答案为：180

【解析】【答案】由等差数列的性质可得a2+a8=a4+a6=2a5，整体代入可得关于a2+a8的方程；解之即可．

9、略

【分析】

要使原函数有意义，则解得：x≤1且x≠-1．

所以原函数的定义域是（-∞；-1）∪（-1，1]．

故答案为（-∞；-1）∪（-1，1]．

【解析】【答案】求使函数式中分式部分的分母不等于0；根式内部的代数式大于等于0的自变量x的取值集合，然后取交集即可．

10、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】11、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】12、略

【分析】【解析】【解析】【答案】13、（2，3）【分析】【解答】解：由题意可知：对于函数y=f（x）在区间[2；4]上；

有f（2）•f（4）＜0；

利用函数的零点存在性定理；所以函数在（2，4）上有零点．

取区间的中点x1==3；

∵f（2）•f（x1）＜0；

∴利用函数的零点存在性定理；函数在（2，3）上有零点．

故答案为：（2；3）．

【分析】方程的实根就是对应函数f（x）的零点，由f（2）•f（x1）＜0知，f（x）零点所在的区间为（2，x1），进而得到答案14、略

【分析】解：在同一坐标系中画出函数f（x）=sinx和的图象；

其中x∈[-π；π]，如图所示；

则f（x）的图象上存在2个点关于y轴对称；分别是（-π，0）和（π，0）与（0，0）；

g（x）的图象上存在2个点关于y轴对称，分别是（-π，-）和（π，-）与（0）．

故答案为：2．

根据题意，在同一坐标系中画出函数f（x）=sinx和的图象；

其中x∈[-π；π]，根据函数图象即可得出结论．

本题考查了正弦函数与余弦函数的图象与性质的应用问题，是基础题．【解析】2三、证明题(共6题，共12分)15、略

【分析】【分析】（1）连接AF，并延长交BC于N，根据相似三角形的判定定理证△BDF∽△DEF，推出，=；再证△CDF∽△AEF，推出∠CFD=∠AFE，证出A；F、D、C四点共圆即可；

（2）根据已知推出∠EFG=∠ABD，证F、N、D、G四点共圆，推出∠EGF=∠AND，根据三角形的外角性质推出∠EGF＞∠EFG即可．【解析】【解答】（1）证明：连接AF，并延长交BC于N，

∵AD⊥BC；DF⊥BE；

∴∠DFE=∠ADB；

∴∠BDF=∠DEF；

∵BD=DC；DE=AE；

∵∠BDF=∠DEF；∠EFD=∠BFD=90°；

∴△BDF∽△DEF；

∴=；

则=；

∵∠AEF=∠CDF；

∴△CDF∽△AEF；

∴∠CFD=∠AFE；

∴∠CFD+∠AEF=90°；

∴∠AFE+∠CFE=90°；

∴∠ADC=∠AFC=90°；

∴A；F、D、C四点共圆；

∴∠CFD=∠CAD．

（2）证明：∵∠BAD+∠ABD=90°；∠CFD+∠EFG=∠EFD=90°，∠CFD=∠CAD=∠BAD；

∴∠EFG=∠ABD；

∵CF⊥AD；AD⊥BC；

∴F；N、D、G四点共圆；

∴∠EGF=∠AND；

∵∠AND＞∠ABD；∠EFG=∠ABD；

∴∠EGF＞∠EFG；

∴DG＜EF．16、略

【分析】【分析】（1）关键在于圆心位置；考虑到平行四边形是中心对称图形，可让覆盖圆圆心与平行四边形对角线交点叠合．

（2）“曲“化“直“．对比（1），应取均分线圈的二点连线段中点作为覆盖圆圆心．【解析】【解答】

证明：（1）如图1；设ABCD的周长为2l，BD≤AC，AC；BD交于O，P为周界上任意一点，不妨设在AB上；

则∠1≤∠2≤∠3，有OP≤OA．又AC＜AB+BC=l，故OA＜．

因此周长为2l的平行四边形ABCD可被以O为圆心；半径为的圆所覆盖；命题得证．

（2）如图2，在线圈上分别取点R，Q，使R、Q将线圈分成等长两段，每段各长l．又设RQ中点为G，M为线圈上任意一点，连MR、MQ，则GM≤（MR+MQ）≤（MmR+MnQ）=

因此，以G为圆心，长为半径的圆纸片可以覆盖住整个线圈．17、略

【分析】【分析】要证E为中点，可证∠EAD=∠OEA，利用辅助线OE可以证明，求EF的长需要借助相似，得出比例式，之间的关系可以求出．【解析】【解答】（1）证明：连接OE

OA=OE=＞∠OAE=∠OEA

DE切圆O于E=＞OE⊥DE

AD⊥DE=＞∠EAD+∠AED=90°

=＞∠EAD=∠OEA

⇒OE∥AD

=＞E为的中点．

（2）解：连CE；则∠AEC=90°，设圆O的半径为x

∠ACE=∠AED=＞Rt△ADE∽Rt△AEC=＞

DE切圆O于E=＞△FCE∽△FEA

∴，

∴

即DE•EF=AD•CF

DE•EF=；CF=3

∴AD=

OE∥AD=＞=＞=＞8x2+7x-15=0

∴x1=1，x2=-（舍去）

∴EF2=FC•FA=3x（3+2）=15

∴EF=18、略

【分析】【分析】（1）在△FDC中；由三角形的外角性质知∠FDC=∠FAE+∠AED①，同理可得∠EBC=∠FAE+∠AFB②；由于四边形ABCD内接于圆，则∠FDC=∠ABC，即∠FDC+∠EBC=180°，联立①②，即可证得∠AFB+∠AED+2∠FAE=180°，而FX；EX分别是∠AFB和∠AED的角平分线，等量代换后可证得∠AFX+∠AEX+∠FAE=90°；可连接AX，此时发现∠FXE正好是∠AFX、∠AEX、∠FAE的和，由此可证得∠FXE是直角，即FX⊥EX；

（2）由已知易得∠AFX=∠BFX，欲证∠MFX=∠NFX，必须先证得∠AFM=∠BFN，可通过相似三角形来实现；首先连接FM、FN，易证得△FCA∽△FDB，可得到FA：FB=AC：BD，而AC=2AM，BD=2BN，通过等量代换，可求得FA：FB=AM：BN，再加上由圆周角定理得到的∠FAM=∠FBN，即可证得△FAM∽△FBN，由此可得到∠AFM=∠BFN，进一步可证得∠MFX=∠NFX，即FX平分∠MFN，同理可证得EX是∠MEN的角平分线．【解析】【解答】证明：（1）连接AX；

由图知：∠FDC是△ACD的一个外角；

则有：∠FDC=∠FAE+∠AED；①

同理；得：∠EBC=∠FAE+∠AFB；②

∵四边形ABCD是圆的内接四边形；

∴∠FDC=∠ABC；

又∵∠ABC+∠EBC=180°；即：∠FDC+∠EBC=180°；③

①+②；得：∠FDC+∠EBC=2∠FAE+（∠AED+∠AFB）；

由③；得：2∠FAE+（∠AED+∠AFB）=180°；

∵FX；EX分别是∠AFB、∠AED的角平分线；

∴∠AFB=2∠AFX；∠AED=2∠AEX，代入上式得：

2∠FAE+2（∠AFX+∠AEX）=180°；

即∠FAE+∠AFX+∠AEX=180°；

由三角形的外角性质知：∠FXE=∠FAE+∠FAX+∠EAX；

故FXE=90°；即FX⊥EX．

（2）连接MF；FN；ME、NE；

∵∠FAC=∠FBD；∠DFB=∠CFA；

∴△FCA∽△FDB；

∴；

∵AC=2AM；BD=2BN；

∴；

又∵∠FAM=∠FBN；

∴△FAM∽△FBNA；得∠AFM=∠BFN；

又∵∠AFX=∠BFX；

∴∠AFX-∠AFM=∠BFX-∠BFN；即∠MFX=∠NFX；

同理可证得∠NEX=∠MEX；

故FX、EX分别平分∠MFN与∠MEN．19、略

【分析】【分析】（1）求出∠BAD=∠CAD，根据角平分线性质推出=；代入求出即可；

（2）作BF⊥AC于F；求出AB=BC，根据等腰三角形性质求出AF=CF，根据三角函数的定义求出即可；

（3）BF过圆心O，作OM⊥BC于M，求出BF，根据锐角三角函数的定义求出即可．【解析】【解答】解：（1）∵弧BD=弧DC；

∴∠BAD=∠CAD；

∴；

∴．

答：EC：CB的值是．

（2）作BF⊥AC于F；

∵=，=；

∴BA=BC；

∴F为AC中点；

∴cosC==．

答：cosC的值是．

（3）BF过圆心O；作OM⊥BC于M；

由勾股定理得：BF==CF；

∴tan．

答：tan的值是．20、略

【分析】【分析】延长AM，过点B作CD的平行线与AM的延长线交于点F，再连接CF．根据平行线分线段成比例的性质和逆定理可得CF∥BE，根据平行四边形的判定和性质即可得证．【解析】【解答】证明：延长AM；过点B作CD的平行线与AM的延长线交于点F，再连接CF．

又∵DE∥BC；

∴；

∴CF∥BE；

从而四边形OBFC为平行四边形；

所以BM=MC．四、解答题(共3题，共6分)21、略

【分析】

∵Sn=（an-1）；

∴S1=（a1-1），∴a1=-

∵S2=（a2-1），∴a2=

∵S3=（a3-1），∴a3=-

（2）证明：∵Sn=（an-1）；

∴Sn-1=（an-1-1）；

两式相减：an=（an-an-1）；

∴当n≥2时，

∴数列{an}是等比数列．

【解析】【答案】（1）利用数列递推式；代入计算，可得结论；

（2）再写一式，两式相减，即可证明数列{an}是等比数列．

（1）22、略

【分析】【解析】

试题分析：（Ⅰ）当所求直线的斜率不存在时，弦长为不符合要求.因此可设直线的斜率为根据点斜式写出直线方程求出圆心到直线的距离再由勾股定理得到：解得（Ⅱ）连结求出圆与轴的两个交点并连结得到因此要使那么点必在经过点且与直线平行的直线上.结合点所在象限，可以求出为

试题解析：（Ⅰ）当所求直线的斜率不存在时，弦长为不符合要求；

因此设直线的斜率为那么直线的方程为：

所以圆心到直线的距离又因为半径弦长为

所以解得：

所以所求直线方程为：或

（Ⅱ）连结点满足

过作直线的平行线．

∵

∴直线的方程分别为：

设点（且）

∴

解得：

∵且在上对应的

∴满足条件的点存在，共有2个，它们的坐标分别为：

考点：直线与圆的位置关系，点与圆的位置关系，直线方程.【解析】【答案】（Ⅰ）方程为：或（Ⅱ）23、略

【分析】

(I)

根据正弦函数图象的对称轴方程，得函数f(x)

图象的对称轴方程为2x+?=娄脨2+k娄脨(k隆脢Z).

再将x=娄脨8

代入得到关于?

的等式，结合鈭�娄脨<?<0

可得?

的值；

(II)

由(I)

得f(x)=sin(2x鈭�3娄脨4)

由正弦函数的单调区间公式，建立关于x

的不等式，解之即可得到y=f(x)

的单调增区间．

本题给出三角函数图象的一条对称轴，求函数的解析式并求单调增区间.

着重考查了三角函数的图象与性质和函数的单调性以图象的对称性等知识，属于中档题．【解析】解：(I)

函数f(x)=sin(2x+?)

图象的对称轴方程为2x+?=娄脨2+k娄脨(k隆脢Z)

．

隆脽

直线x=娄脨8

是函数图象的一条对称轴，隆脿2?娄脨8+?=娄脨2+k娄脨(k隆脢Z)

结合鈭�娄脨<?<0

取k=鈭�1

得?=鈭�3娄脨4

(II)

由(I)

得函数解析式为f(x)=sin(2x鈭�3娄脨4)

令鈭�娄脨2+2m娄脨鈮�2x鈭�3娄脨4鈮�娄脨2+2m娄脨(m隆脢Z)

得娄脨8+m娄脨鈮�x鈮�5娄脨8+m娄脨(m隆脢Z)

隆脿

函数y=f(x)

的单调增区间是[娄脨8+m娄脨,5娄脨8+m娄脨](m隆脢Z)

．五、作图题(共1题，共7分)24、略

【分析】【分析】作点A关于河CD的对称点A′，当水厂位置O在线段AA′上时，铺设管道的费用最省．【解析】【解答】解：作点A关于河CD的对称点A′；连接A′B，交CD与点O，则点O即为水厂位置，此时铺设的管道长度为OA+OB．

∵点A与点A′关于CD对称；

∴OA′=OA；A′C=AC=1；

∴OA+OB=OA′+OB=A′B．

过点A′作A′E⊥BE于E；则∠A′EB=90°，A′E=CD=3，BE=BD+DE=3+1=4；

∴在Rt△A′BE中，A′B==5（千米）；

∴2000×5=10000（元）．

答：铺设管道的最省费用为10000元．六、综合题(共3题，共21分)25、略

【分析】【分析】（1）将A（1，-3），B（3，-3），C（-1，5）三点坐标代入y=ax2+bx+c中，列方程组求a、b；c的值；得出抛物线解析式；

（2）抛物线上存在一点P，使∠POM=90˚．设（a，a2-4a）；过P点作PE⊥y轴，垂足为E；过M点作MF⊥y轴，垂足为F，利用互余关系证明Rt△OEP∽Rt△MFO，利用相似比求a即可；

（3）抛物线上必存在一点K，使∠OMK=90˚．过顶点M作MN⊥OM，交y轴于点N，在Rt△OMN中，利用互余关系证明△OFM∽△MFN，利用相似比求N点坐标，再求直线MN解析式，将直线MN解析式与抛物线解析式联立，可求K点坐标．【解析】【解答】解：（1）根据题意，得，解得；

∴抛物线的解析式为y=x2-4x；

（2）抛物线上存在一点P；使∠POM=90˚．

x=-=-=2，y===-4；

∴顶点M的坐标为（2；-4）；

设抛物线上存在一点P，满足OP⊥OM，其坐标为（a，a2-4a）；

过P点作PE⊥y轴；垂足为E；过M点作MF⊥y轴，垂足为F．

则∠POE+∠MOF=90˚；∠POE+∠EPO=90˚．

∴∠EPO=∠FOM．

∵∠OEP=∠MFO=90˚；

∴Rt△OEP∽Rt△MFO．

∴OE：MF=EP：OF．

即（a2-4a）：2=a：4；

解得a1=0（舍去），a2=；

∴P点的坐标为（，）；

（3）过顶点M作MN⊥OM；交y轴于点N．则∠FMN+∠OMF=90˚．

∵∠MOF+∠OMF=90˚；

∴∠MOF=∠FMN．

又∵∠OFM=∠MFN=90˚；

∴△OFM∽△MFN．

∴OF：MF=MF：FN．即4：2=2：FN．∴FN=1．

∴点N的坐标为（0；-5）．

设过点M，N的直线的解析式为y=kx+b，则；

解得，∴直线的解析式为y=x-5；

联立得x2-x+5=0，解得x1=2，x2=；

∴直线MN与抛物线有两个交点（其中一点为顶点M）．

另一个交点K的坐标为（，-）；

∴抛物线上必存在一点K，使∠OM