2024年正多边形教案

2024年正多边形教案

正多边形教案1

教学目标：

1、使学生了解用量角器等分圆心角来等分圆，从而可以作出圆内接或圆外切正多边形。

2、使学生会用尺规作圆内接正方形和正六边形，在这个基础上能作圆内接正八边形、正三

角形、正十二边形。

3、通过画图培育学生的画图实力；

4、通过画正方形到会画正八边形，通过画六边形到画三角形、正十二边形，培育学生视察、

抽象、迁移实力。

5、通过画图中需减小积累误差的思索与操作,培育学生解决实际问题的实力。

教学重点：

Q）用量角器等分圆心角来等分圆，然后作出圆内接或圆外切正多边形；（2）用尺规作圆内接

正方形和正六边形。

教学难点：

精确作图。

教学过程：

一、新课引入：

前几课我们学习了正多边形的定义、概念、性质、判定，尤其学习了正多边形与圆关系的两

个定理，而后我们又学习了正多边形的有关计算，本堂课我们一起学习画正多边形。

二、新课讲解：

由于正多边形在生产、生活实际中有广泛的应用性，所以会画正多边形应是学生必备实力之

-,前面已学习了正多边形和圆的关系的第一个定理，即把圆分成n（n23）等份，依次连结各分

点所得的多边形是这个圆的内接正n边形；过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的

多边形是这个圆的外切正n边形，所以想到只要知道夕横圆半径r或内切圆半径rn，画出圆来，

然后n等分圆周就能画出所需的正n边形。

n等分圆周的方法有两种，一种是量角器法，这一种方法简洁易学，它是一种常用的方法。

其依据是因为相等的圆心角所对弧相等，所以运用量角器等分圆心角，可以达到把圆随意等分的

目的，由于学生已具备运用量角器的实力，所以只要讲明依据，让学生动手操作即可。

另一种方法是用尺规等分圆周法，其实质也是等分圆心角，但尺规不能随意等分圆，只适用

于一些特别状况，其中重点是正方形和正六边形的作法，这是因为正八边形、正三角形、正十二

边形都是由此作基础而画出来的。

由于尺规作图在理论上精确，但在实际操作中有误差积累，如何削减误差使图形趋于精确？

这是一个熬炼学生解决问题的好时机，应让学生亲自试验、视察对比，从而得出结论。

（三）重点、难点的学习与目标完成过程

复习提问：L哪位同学记得正多边形与圆关系的第一个定理?（支配中下生回答）2。哪位同

学记得在同圆或等圆中，相等的'圆心角所对的弧有什么性质?（支配中下生回答：相等的圆心角

所对的弧相等）

现在我们要画半径为r的正n边形，从正多边形与圆关系的第一个定理中，你有什么启发？

（支配学生相互探讨后，让中等生回答：只要把半径为r的圆n等分，依次连结n个等分点就得

正n边形）那么怎样把半径为r的圆n等分呢？从刚才复习的其次问题中，你又受到什么启发？

大家相互间探讨。（支配中等生回答：把360。的圆心角n等分）假如要作半径2cm的正九边形,

你准备如何作呢？大家相互探讨看看。（支配中等生回答：先画半径2crr的圆，然后把360。的

圆心角9等份，每T分40°）,用什么工具可得到40。角呢?（支配中下生回答：量角器）我们本堂

课所讲画正多边形的第一种方法就是用量角器等分圆，大家用量角器画出半径为2的内接正九

边形。

学生在画图实践中必定出现两种状况：其一是依次画出相等的圆心角来等分圆，这种方法比

较精确，但是麻烦；其二是先用量角器画一个40。的圆心角，然后在圆上依次截取40。圆心角所

对弧的等弧，于是得到圆的9等分点,这种方法匕瞰便利，但画图的误差积累到最终一个等分

点，使画出的正九边形的边长误差较大。对此学生必定迷惑不解，在此老师应确定作法理论上的

正确性,然后讲出图形不够精确的缘由是由于误差积累的结果,然后引导学生探讨，探讨减小误

差积累的二个途径其一调整圆规两脚间的距离使之尽可能精确的等于所画正九边形的边长。

其二，若有可能，尽可能削减操作次数，削减产生误差的机会。共3页，当前第1页123

大家想想如何画一个半径为2cm的正方形呢？（支配中下生回答：先画半径2cm的圆，用

量角器作90。的圆心角。）画出/aob=90。后，方法1,可依次作90。圆心角；方法2,用圆规依

次截取等于ab的弧，大家视察有没有更好的方法？（支配中等生回答：将a。与bo边延长交。。

于c、d）。正方形一边所对的圆心角是90°角，不用量角器用尺规能不能做出90°的圆心角呢？

用尺规如何作半径为2cm的正方形？（支配中上等生回答，先作半径2cm的圆，然后画两条相

互垂直的直径）

请同学们用尺规画出半径为2cm的正方形。

大家想想看，借助这个图形，能否作出。。的内接正八边形？同学们相互探讨探讨，（支配

中上生回答：能，过圆心o作正方形各边的垂线与圆相交即得。。的八等分点）为什么？依据什

么定理?（支配中上等生回答：垂径定理）

还有什么方法？（支配中上等生作各直角的角平分线。）

请同学们用此二法在图上画出正八边形。

照此方法，同学们想想看，你还能画出边数为几的正多边形？（支配中下生回答：16边形等）

综上所述及同学们的画图实践可知：只要作出已知。。的相互垂直的直径即得圆内接正方形，

再过圆心作各边的垂线与。。相交，或作各中心角的角平分线与。。相交，即得圆接正八边形,

照此方法依次可作正十六边形、正三十二边形、正六十四边形……

大家再思索一个问题：如何画半径为2cm的正六边形呢？你都有哪些方法？大家探讨。

方法1。画半径2cm的。。，然后用量角器画60。的圆心角,依次画下去即六等分圆周。

方法2。画半径2cm的O。，然后用量角器画出60°的圆心角，

假如有同学想到方法3更好，若无则提示学生：前面在探讨正多边形的有关计算时，得到

正六边形的半径与边长有一种什么样的数量关系？（支配中下生回答：相等）那么哪位同学可不用

量角器，仅用尺规作出半径2cm的圆内接正六边形？（支配一名中等生到黑板画图，其余在下面

画图）

在学生画图完毕后展示两种不同的画法：其一，在。。上依次截取ab=bc=cd=de=ef,由

于误差积累abwfa,其二，首先画出。。的直径ad,然后分别以a、d为圆心，2cm长为半径

画弧交。。于b、f、c、eo画出图形比较精确。

请同学们用其次种方法画半径3cm的圆内接正六边形（支配学生在练习本上画）假如我们沿

用由正方形画正八边形的思路同学们想想看，会画正六边形就应会画正多少边形？（支配中下生

回答：正十二边形，正二十四边形…）理论上我们可以始终画下去，但大家不难发觉，随着边数

的增加，正多边形越来越接近于圆，正多边形将越来越难画。

大家再视察，会画正六边形，除上述正多边形外，还可得到正几边形？（支配中等生回答：

正三角形）

画半径为2cm的正三角形，尺规作图时必得先画出正六边形吗？哪位同学有好方法？（支配

举手同学回答：画出o。直径ab,以a为圆心，2cm为半径画弧交O。于c、d,连结b、d、c

即可）

请同学们按此法画半径为2cm的正三角形。

请同学们思索一下如何用尺规画半径为2cm的正十二边形？

在学生充分探讨探讨的多种方案中送出：先作相互垂直的直径，然后分别以直径的四个端点

为圆心2cm长为半径画弧，交O。的各点即得。。的12等分点。引导学生视察

zdoe=zdob-zeob

,

zdob=90°,zeob=6O°..zdoe=3O°0

•­.de是O。内接正12边形一边。

三、课堂小结：

这堂课你学了哪些学问？(支配中等生回答：L用量角器等分圆周作正n边形；2。用尺规

作正方形及由此扩展作正八边形、用尺规作正六边形及由此扩展作正12边形、正三角形)

四、布置作业

教材p.168中练习1、2;p.173中13。共3页，当前第3页123

正多边形教案2

教学目标：

(1)了解用量角器等分圆心角来等分圆；驾驭用尺规作圆内接正方形和正六边形，能作圆

内接ID地形、正三角形、正十二边形；

(2)通过画图培育学生的画图实力；

(3)对学生进行审美教化，提高学生的审美实力，促进学生对几何学习的热忱.

教学重点：

Q)量角器等分圆心角来等分圆；

(2)尺规作圆内接正方形和正六边形.

教学难点：

精确作图.

教学活动设计：

（一）提出问题：

由于正多边形在生产、生活实际中有广泛的应用性，所以会应是学生必备实力之一.

问题1:已知的半径为2cm,求作圆的内接正三角形.

老师组织学生进行，方法不限.

目的：充分发展学生的发散思维.

（二）解决问题：

以下为解决问题的参考方案：（±课时老师归纳学生的方法）

Q）度量法：①用量角器或30。角的三角板度量，®zBAO=zCAO=30°.

②用量角器度量，®zAOB=zBOC=zCOA=120°.

（2）尺规法：（如上右图）用圆规在。O上截取长度等于半径（2cm）的弦，连结AB、BC、

CA即可.

（3）计算与尺规结合法:由正三角形的半径与边长的关系可得正三角形的边长=R=2（cm）,

用圆规在O。上截取长度为2（cm）的弦AB、AC,连结AB、BC、CA即可.

（三）探讨、归纳

1、用量角器等分圆：

依据：等圆中相等的圆心角所对应的弧相等.

操作：两种状况：其一是依次画出相等的‘圆心角来等分圆，这种方法比较精确，但是麻烦；

其二是先用量角器画一个圆心角，然后在圆上依次截取等于该圆心角所而弧的等弧，于是得到圆

的等分点，这种方法比较便利，但画图的误差积累到最终一个等分点，使画出的正多边形的边长

误差较大.

问题2:把半径为2cmoO九等份.

(先画半径2cm的圆，然后把360。的圆心角9等份，每T分40°)

归纳：用量角器等分圆，方法简便，可以把圆随意n等分，但有误差.

2、用尺规等分圆：

(1)问题3:作正四边形、正八边形.

老师组织学生，分析、作图.

归纳：只要作出已知。0的相互垂直的直径即得圆内接正方形，再过圆心作各边的垂线与

OO相交,或作各中心角的角平分线与相交，即得圆接正八边形，照此方法依次可作正十

六边形、正三十二边形、正六十四边形……

(2)问题4:作正六、三、十二边形.

老师组织学生，分析、作图.

归纳：先作出正六边形，则可作正三角形，正十二边形，正二十四边形理论上我们可

以始终画下去，但大家不难发觉，随着边数的增加，正多边形越来越接近于圆，正多边形将越来

越难画.

(四)总结

(1)用量角器等分圆周作正n边形;

(2)用尺规作正方形及由此扩展作正八边形、用尺规作正六边形及由此扩展作正12边形、

正三角形.

(五)作业教材P173中13.

正多边形教案3

教学目标：

(1)理解正多边形与圆的关系定理；

(2)理解正多边形的对称性和边数相同的正多边形相像的性质；

(3)理解正多边形的中心、半径、边心距、中心角等概念；

(4)通过正多边形性质的教学培育学生的探究、推理、归纳、迁移等实力；

教学重点：

理解正多边形的中心、半径、边心距、中心角的概念和性质定理。

教学难点：

对"正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，并且这两个圆是同心圆”的理解。

教学活动设计：

(-)提出问题：

问题：上节课我们学习了正多边形的定义，并且知道只要n等分(n>3)圆周就可以得到

的圆的内接正n边形和圆的外切正n边形。反过来，是否每一个正多边形都有一个外接圆和内

切圆呢？

(二)实践与探究：

组织学生自己完成以下活动°

实践：L作已知三角形的外接圆，圆心是已知三角形的什么线的交点？半径是什么？

2、作已知三角形的内切圆，圆心是已知三角形的什么线的交点？半径是什么？

探究1:当三角形为正三角形时，它的夕展圆和内切圆有什么关系？

探究2:(1)正方形有外接II吗？若有外接圆的圆心在哪？(正方形对角线的交点。)

(2)依据正方形的哪特性质证明对角线的交点是它的外接圆圆心？

(3)正方形有内切圆吗？圆心在哪？半径是谁？

(三)拓展、推理、归纳：

(1)拓展、推理：

过正五边形ABCDE的顶点A、B、C、作。。连结OA、OB、OC、ODo

同理，点E在。。上。

所以正五边形ABCDE有f外接圆。0。

因为正五边形ABCDE的各边是O0中相等的弦，所以弦心距相等。因此，以点0为圆心，

以弦心距(0H)为半径的圆与正五边形的各边都相切。可见正五边形ABCDE还有一个以0为

圆心的内切圆。

(2)归纳：

正五边形的随意三个顶点都不在同一条直线上

它的随意三个顶点确定一个圆，即确定了圆心和半径。

其他两个顶点到圆心的距离都等于半径。

正五边形的各顶点共圆。

正五边形有外接圆。

圆心到各边的距离相等。

正五边形有内切圆，它的.圆心是外接圆的圆心，半径是圆心到随意一边的距离。

照此法证明，正六边形、正七边形、…正n边形都有一个夕杼妾圆和内切圆。

定理：任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆。

正多边形的外接圆(或内切圆)的圆心叫做正多边形的中心，夕展圆的半径叫做正多边形的

半径，内切圆的半径叫做正多边形的边心距。正多边形各边所对的外接II的圆心角都相等。正多

边形每一边所对的外接圆的圆心角叫彳8IE多边形的中心角。正n边形的每个中心角都等于。

(3)巩固练习：

1、正方形ABCD的外接圆圆心0叫做正方形ABCD的。

2、正方形ABCD的内切圆O0的半径0E叫做正方形ABCD的

3、若正六边形的边长为1那么正六边形的中心角是____度泮径是边心品魄______

它的每一个内角是.

4、正n边形的一个外角度数与它的角的度数相等。

（四）正多边形的性质：

1、各边都相等。

2、各角都相等。

视察正三角形、正方形、正五边形、正六边形是不是轴对称图形？假如是，它们又各应有几

条对称轴？

3、正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形

的中心。边数是偶数的正多边形还是中心对称图形，它的中心就是对称中心。

4、边数相同的正多边形相像。它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相像比，面积

的比等于相像比的平方。

5、任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆。

以上性质，老师引导学生自主探究和归纳，可以以小组的形式探讨，这样既培育学生的探究

问题的实力、培育学生的探讨意识，也培育学生的协作学习精神。

（五）总结

学问：（1）正多边形的中心、半径、边心距、中心角等概念；

（2）正多边形与圆的关系定理、正多边形的性质。

实力：探究、推理、归纳等实力。

方法：证明点共圆的方法。

（六）作业P159中练习1、2、3。

正多边形教案4

教学目标:

1、使学生能应用画正多边形解决实际问题；

2、会应用"口诀"画正五边形的近似图；

3、能对较困难的几何图形进行分解，然后通过画正多边形进行组合.

4、通过解决实际问题培育学生会从实际问题中抽象出数学模型的抽象实力及用数学意识;

5、通过运用正多边形的有关计算和画图解决实际问题培育学生分析问题、解决问题的实力；

6、通过对民间正五边形近似画法依据的探究,培育学生探究问题娥力；

7、通过有关图形的分解与组合培育学生的视察实力、分解组合实力以及画图实力.

教学重点：

应用正多边形的计算与画图解决实际问题

教学难点：

从实际问题中抽象出数学模型，然后正确运用正多边形的有关计算，画图学问解决问题.

教学过程：

一、新课引入：

上节课我们学习了运用量角器等分圆周画正多边形和运用尺规画特别的正多边形这节课我

们接着探讨正多边形的画法在实际问题中的应用等.

二、新课讲解：

在前几课学习了正多边形的有关计算和画法的基础上系统复习本部分内容并会综合运用解

决实际问题.本节有关“地基”问题的例题就是通过复习正方形画法进而画正八边形，并对正八

边形进行有关计算.通过此例不仅复习了正多边形的画法、计算，而且复习了查三角函数表，解

直角三角形的方法，更为重要的是培育了学生从实际问题中抽象出数学模型的实力，从而提高学

生分析问题、解决问题的实力.通过正五边形的民间近似画法的教学弘扬民族文化，揭示其科学

性，渗透实践出真知的观点.

上节课我们学习了正多边形的画法，哪位同学能叙述用量角器等分圆法画半径3cm的正十

边形？（支配中等生回答：先画出半径3cm的.圆0。，然后用量角器画出36。的中心角，然后依

次画36。的中心角，或者用圆规量出36。中心角所对弦长，依次截取即得正十边形）出现误差积累

应如何处理？（支配中等生回答：1）适当调整正十边形的边长，2）可能状况下，重新设计画图步

骤，削减产生误差的机会）

支配五名学生上黑板分别画半径3cm的圆内接正六边形、内接正三角形、内接正十二边形、

内接正方形、内接正八边形，其余学生在下面画，然后师生共同评价所画图形的精确性.

幻灯给出题目，如图7-152，有一个亭子，它的地基是半径为4m的正八边形，（1）用1:200

的比例尺画出地基平面图；⑵求地基的边长a8（精确到0.01m）和面积s8（精确到0.1m2）

哪位同学知道亭子的地基指的是哪个地方？（支配知道的学生回答）哪位同学记得，什么是比

例尺？（支配中下生回答，

面图上正八边形的半径应是多少？（支配中下生回答：r=2cm）

请同学们画出这个地基平面图.

大家回忆一下，怎样求正八边形的边长？详细步骤是什么？（支配中等生回答：首先画出基

本计算图,然后算出中心角的一半，/2加=22。30'.然后选三角函数）请同学们计算这个正八边

形的边长.（a8,3.06（m））

pnrn）,现在要求这个ID地形的面积，边长已求出，周长自然知，还需求边心距，哪位同

学告知我，求r8应选什么三角函数？（支配中下生回答：选Naoe的余弦）请同学们求出r8

来.（r8*3.70（m））请同学们计算出这个地基的面积.（s8*45.3（m2））

我国民间相传有五边形的近似画法，画法口诀是："顶五九，八五两边分"，它的意义如图：

（幻灯展示），假如正五边形的边长为10,作它的中垂线af,取af=15.4，在af上取fm=9.5,

贝（Jam=5.9,过点m作be_Laf,在be上取bm=me=8.连结ab、be、de、ea即可.

例用民间相传画法口诀，画边长为20mm的正五边形.

分析：要画边长20mm的正王边形，关键在于计算出口诀中各部分的尺寸，由于要画的正

五边形与口诀正五边形相像所以要画的正五边形的各部分应与口诀正五边形各部分对应成比例，

由于口诀给出的是正五边形的各部分的比例数，所以不妨设口诀正五边形的边cd=10mm.由

已知知道要画正五边形的边c,d=20mm,因此可知要画的正五边形与口诀正五边形的相像比为

2:1,因此只要将口诀正五边形的各部分尺寸x2即得要画的正五边形的各部分尺寸.请同学们

算出各部分的尺寸，并按口诀画出正五边形abc'd'e'（支配一中等生上黑板画，其余同学在练习

本上画）

虽然这种画法是近似画法，但是这种画法的精确度却是很高的，哪位同学知道在五边形

abcde中/cad的度数是多少?［中上生回答：36°,因正五边形每一内角108°,ab=bc

.-.zbac=36°,同理/dae=36°..Ncad=36°）当然Mad为顶角36°的等腰三角形，为什么?（中等

生回答:/△abc^aed（s.a.s）,/.ac=ad.

取2.24作近似值，大家计算ac等于多少？（16.2）ac«16.2也可说ac

afal5.4）刚才计算ac«16.2,那么bm«8.1,由于ab=10,请大家计算am又应等多少?

（am，5.9）刚才算出af«15.4,am«5.9,那么mf明显约为9.5.至此我们已将口诀中的全部数

据的来源探究清晰，从而证明我国民间的这种正五边形的近似画法精确度还是很高的.

幻灯给出下列图案：

请同学们视察这两个图形是怎么画出来的，先看第一图形,哪位同学知道的圆心和半径?（支

配中上生回答：中点是圆心，oa长是半径）同理的圆心是的中点，的圆心是的中点，哪位同学发

觉这三个圆心与a、b、c三点恰好是圆。的什么点？（支配中下生回答：六等分点）

请同学们画出这个图形.

请同学们视察其次个图形，花瓣与O。的交点恰是。。的什么点？

是半径).

请同学们画出这个几何图案.

三、课堂小结：

本节课我们复习了正多边形的画法和有关计算，并运用这些学问去解决实际问题，学习了民

间画正五边形的近似画法并对其科学性进行了探讨，最终学习了分解与组合有关正多边形的几何

图案.

四、布置作业

教材p.171中练习1;p.173中12;p.173中14.

正多边形教案5

教学目标：

1、能应用解决实际问题；会画正五边形的近似图；了解等分圆的漂亮图形；

2、通过运用正多边形的有关计算和画图解决实际问题培育学生分析问题、解决问题的实力；

3、对学生进行审美教化和文化传统教化和爰国教化；

4、渗透数学建模思想.

教学重点：

应用正多边形的计算与画图解决实际问题.

教学难点：

数学模型的建立，和正多边形的有关计算问题.

教学活动设计：

(-)学问回顾：

分别画半径2cm的圆内接正六边形、内接正三角形、内接正十二边形、内接正方形、内接

IEA边形.

要求①尺规作图；②说明画法；③指出作图依据；④学生独立完成.

老师巡察，对画的好的学生给于表扬，对有问题的学生给于指导.

(—)画图应用：

例1、有一个亭子，它的地基是半径为4m的正八边形，(1)用1:200的比例尺画出地基平

面图；(2)求地基的边长a8(精确至I」0.01m)和面积S8(精确至I」0.1m2)

老师引导学生分析：①比例尺二；②正八边形的半径R=2cm;③如何解正八边形和近似计

算.

(1)画法：1.以随意一点。为圆心，以4m的，即2cm为半径画。。(如图).

2.作。O的直径AC、BD,使AC_LBD.

3.作平分、的直径EG、FH.

4.顺次连结AE、EB、BF、FC、CG、GD、DH、HA.

八边形AEBFCGDH就是亭子地基的正八边形.

(2)解(学生分析解题方法)：

(m)

(m)

(m2)

答：(略)

我国民间相传有五边形的近似画法，画法口诀是："九五顶五九，八五两边分”，它的意义

如图：假如正五边形的边长为10，作它的中垂线AF,取AF=15.4，在AF上取FM=9.5,则

AM=5.9,QJSM作BE_LAF,在BE上取BM=ME=8.辘AB、BC、DE、EA即可.

例2、用民间相传画法口诀，画边长为20mm的正五边形.

分析：要画边长20mm的正工边形,关键在于计算出口诀中各部分的尺寸,由于要画的正

五边形与口诀正五边形相像，所以要画的正五边形的各部分应与口诀正五边形各部分对应成比

例.由已知知道要画正五边形的边CD=20mm.请同学们算出各部分的尺寸，并按口诀画出正

五边形ABCDE.

（画法：略.参看教材P170）

说明：虽然这种画法是近似画法，但是这种画法的精确度却是很高的.有实力的学生课下可

以探究和计算.

通过正五边形的‘民间近似画法的教学弘扬民族文化，揭示其科学性，渗透实践出真知的观

点.

（三）美丽图案观赏和画法：

请学生观赏下列图案，分析图案结构，画出图案.

组织学生进行，可以让学生独立完成也可以让学生协作完成对画的较好的同学赐予表彰.

（四）总结

1、运用正多边形的学问解决实际问题；

2、学习了民间画正五边形的近似画法；

3、学习了分解与组合有关正多边形的几何图案.

（五）作业

教材P171中练习1;P173中12;P173中14.

探究活动

图案设计

某学校在教学楼前的圆形广场中，打算建立f花园，并在花园内分别种植牡丹、月季和杜

鹃三种花卉。为了美观，种植要求如下：

（1）种植4块面积相等的牡丹、4块面积相等的月季和一块杜鹃。（留意：面积相等必需

由数学学问作保证）

（2）花卉总面积等于广场面积

（3）花园边界只能种植牡丹花，杜鹃花种植在花园中间且与牡丹花没有公共边。

请你设计种植方案：（设计的方案越多越好；不同的方案类型不同.）

正多边形教案6

教学目标：

Q）使学生理解正多边形概念,初步驾驭正多边形与圆的关系的第一个定理；

（2）通过正多边形定义教学，培育学生归纳实力;通过正多边形与圆关系定理的教学培育学生

视察、猜想、推理、迁移实力；

⑶进一步向学生渗透特别一般再一般特别的唯物辩证法思想.

教学重点：

正多边形的概念与的关系的第一个定理.

教学难点：

对定理的理解以及定理的证明方法.

教学活动设计：

（一）视察、分析、归纳：

视察、分析：

1.等边三角形的边、角各有什么性质？

2.正方形的边、角各有什么性质？

归纳：等边三角形与正方形的边、角性质的共同点.

老师组织学生进行，并可以提问学生问题.

（二）正多边形的概念：

Q）概念：各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形.假如一个正多边形有n（n3）条边，

就叫正n边形.等边三角形有三条边叫正三角形，正方形有四条边叫正四边形.

（2）概念理解：

①请同学们举例，自己在日常生活中见过的.正多边形.（正三角形、正方形、正六边形，.）

②矩形是正多边形吗?为什么?菱形是正多边形吗?为什么？

矩形不是正多边形,因为边不肯定相等.菱形不是正多边形，因为角不肯定相等.

（三）分析、发觉：

问题：正多边形与圆有什么关系呢？

发觉：正三角形与正方形都有内切圆和外接圆，并且为同心圆.

分析：正三角形三个顶点把圆三等分;正方形的四个顶点把圆四等分.要将圆五等分，把等分

点顺次连结，可得正五边形.要将圆六等分呢？

（四）多边形和圆的关系的定理

定理：把圆分成n（n3）等份：

Q）依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形；

（2）经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形.

我们以n=5的状况进行证明.

已知：中，====,TP、PQ、QR、RS、ST分别是经过点A、B、C、D、E的O0

的切线.

求证：（1）五边形ABCDE是。。的内接正五边形；

（2）五边形PQRST是OO的外切正五边形.

证明：（略）

引导学生分析、归纳证明思路:

弧相等

说明：

(1)要判定一个多边形是不是正多边形，除依据定义来判定外，还可以依据这个定理来判定，

即：①依次连结圆的n(n3)等分点，所得的多边形是正多迫形;②经过圆的n(n3)等分点作圆的切

线，相邻切线相交成的多边形是正多边形.

(2)要留意定理中的依次、相邻等条件.

(3)此定理被称为正多边形的判定定理，我们可以依据它推断一多边形为正多边形或依据它

作正多边形.

(五)初步应用

P157练习

1、(口答)矩形是正多边形吗?菱形是正多边形吗?为什么？

2.求证：正五边形的对角线相等.

3.如图，已知点A、B、C、D、E是。。的5等分点，画出。。的内接和外切正五边形.

(六)小结：

学问：

Q)正多边形的概念.

(2)n等分圆周(n3)可得圆的内接正n边形和圆的外切正n边形.

实力和方法：正多边形的证明方法和思路，正多边形推断实力

(七)作业教材P173习题A组2、3.

正多边形教案7

教学目的：

1、使学生学会将正多边形的边长、半径、边心距和中心角、周长、面积等有关的计算问

题转化为解直角三角形的问题.

2、通过定理的证明过程培育学生视察实力、推理实力、概括实力；

3、通过肯定量的计算，培育学生正确快速的运算实力；

教学重点：

化正多边形的有关计算为解直角三角形问题定理；正多边形计算图及其应用.

教学难点：

正确地将正多边形的有关计算问题转化为解直角三角形的问题解决、综合运用几何学问精确

计算.

教学过程：

一、新课引入：

前几课我们学习了正多边形的定义、概念、性质，今日我们来学习正多边形的有关计算.

大家知道正多边形在生产和生活中有广泛的应用性，伴随而来的有关正多边形计算问题必定

摆在大家的面前，如何解决正多边形的计算问题，正是本堂课探讨的课题.

二、新课讲解：

哪位同学回答，什么叫正多边形.（支配中下生回答：各边相等，各角相等的多边形.）

什么是正多形的边心距、半径？（支配中下生回答：正多边形内切圆的半径叫做边心距.正

多边形夕械圆的半径叫做正多边形的半径.）

正多边形的边有什么性质、角有什么性质？（安排中下生回答：边都相等，角都相等.）

什么叫正多边形的中心角？（支配中下生回答：正多边形的一边所对正多边形外接圆的圆心

角.）

正n边形的中心角度数如何计篝？（支配中下生回答：中心角的度数

正n边形的一个外角度数如何计算?（支配中下生回答：

一个外角度

哪位同学有所发觉？（支配举手学生：正n边形的中心角度数:正n边形的一个外角度数.）

哪位同学记得n边形的内角和公式？（请回忆起来的学生回答）.

哪位同学能依据n边形内角和定理和正n边形的.性质给出求正n边形一个内角度数的公式?

（支配中下生回答：正n边形每个内角度数

正n边形的每个内角与它有共同顶点的外角有何数量关系?（支配中下生回答：互补）.

依据正n边形的每个内角与它有共同顶点的外角的互补关系和正n边形每个外角度数公式，

正n边形每个内角度数又可怎样计算？（支配中

（幻灯展示练习题，学生思索，回答）

1.正五边形的中心角度数是____；每个内角的度数是______；

2.一个正n边形的一个外角度数是360，则它的边数n=每入内角度数是____；

3.一个正n边形的一个内角的度数是140,则它的边数n=中心角度数是____.

对于前2题支配中下生回答，对于第3题不仅要回答题目的答案而且要求回答思路.

解此方程n=9.

幻灯展示正三角形、正方形、正五边形、正六边形.如下图，让学生边视察、边回答老师

依次提出的问题、边思索.

1.视察每个图形的半径，分别将它们分割成多少个什么样子的三角形？（支配中下生回答：

等腰三角形）

2.视察每个图形中所得的三角形具有什么关系？为什么？（支配中等生回答：全等，依据

（S.s.S）或（S.A.S））

3.将上述四个图形的视察与思索推而广之，你得出了什么结论？哪位同学说说自己的想法

（支配中上生回答：正n边形的n条半径分正n边形为n个全等的等腰三角形.）

套上幻灯片的复合片：作出各等腰三角形底边上的高，如下图，支配学生视察、思索并回答

以下问题：

1.这些等腰三角形的每一条高都将每个等腰三角形分割为两个直角三角形，这两个直角三

角形全等吗？为什么？（支配中下生回答）

2.这些等腰三角形的高在正多边形中的名称是什么？（支配中下生回答：边心距）

3.正n边形的n条半径、n条边心距将正n边形分割成全等直角三角形的个数是多少?（支

配中等生回答：2n个）

给出定理：正n边形的半径和边心碰正n边形分成2n个全等的直角三角形.

再套幻灯片的复合片，如图7-140,支配学生视察每个直角三角形都由正多边形的哪些元

素组成.

支配中下生回答：直角三角形的斜边是正多边形的半径R、一条直龟边是正多边形的边心

距.另始终角边是正多边形边长的一半（在此支配中等生回答：为什么？）半径与边心距的夹角

是正多边形一个中心角的一半.（支配中等生回答"为什么？"）

讲解：由于这个直角三角形融合了正多边形诸多元素，所以就可将正多边形有关半径、边

心距、边长、中心角的计算问题归结为解直角三角形的问题来解决.

幻灯给出正多边形抽象的计算图，老师讲解：

由于正多边形的有关计算都归结为解直角三角形的问题来解决，所以我们只要画出这个直

角三角形就可以了，其余就不画或略画.图中R表示半径,rn表示正n边形的边心距，an表示

正n边形的边长，an表示正n边形的中心角.

提问：对于给定具体边数的正n边形，你首先可以求出直角三角形

（老师讲解）：直角三角形中一锐角已知，所以只要再给直角三角形的R、rn、an其中一项赋

值就可求出其它元素.例如：（幻灯展示题目）

例1已知：如下图，正SBC的边心距「3=2.

求：R、a3.

问：要解此题，首先要做什么？（找中等生回答：画出基本计算图）

最终要做什么工作：（找中上生回答：选择三角函数）

解：

n=3

又

完成下列各题：（幻灯展示题目）

1.已知，正方形ABCD的边长a4=2.

求：R,r4.

2.已知：正六翊?ABCDEF的挈至R=2,

求：r6,a6.

（对于计算正确且较快的学生，让他们自拟试题进行计算，老师重点埔导须要帮助的学生）

再回到例1,问：你会求这个正三角形的周长P3吗？怎么求？为什么这样求？（支配中等生

回答：边长3,因为正三角形三边相等）.

再问：你会求这个正三角形的面积S3吗？怎么求？为什么这样求？（支配中等生回答：直

角GAOC的面积6,由定理可知这样的直角三角形的个数是边数的2倍.或者，等腰△AOB的

面积3,由定理可知选择的等腰三角形的个数与边数相同.）

清同学们分别计算上述二题的周长和面积（计算快而准的学生让其自拟题目再练习）［

（幻灯给出例2）:已知正六边形ABCDEF的半径为R,求这个正六边形的边长a6、周长P6

和面积S6.

（提问）：1.首先要作什么？（支配中下生回答：画基本计算图）

2.然么？（支配中下生回答：选择三角函数）

P6=9R.

通过上面计算，你得出正六边形的半径与边长有什么数量关系？（支配中下生回答：相等）希

望大家记住这个结论：a6=R,因为它不仅有利于计算而且是尺规画正六边形的依据.

三、课堂小结：

哪位同学能说一下,这堂课我们都学习了什么学问?（支配中等生归纳）

1.化正多边形的有关计算为解直角三角形问题定理，2.运用正多

角计算.

四、布置作业

正多边形教案8

第一课时

教学目的

1.通过用相同的正多边形拼地板活动，巩固多边形的内角和与外角和公式。

2.通过“拼地板”和有关计算,使学生从中发觉能拼成一个不留空隙，又不重叠的平面图

形的关键是几个多边形的内角相加要等于360。。

3.使学生进一步相识图形在日常生活中的应用。

重点、难点

1.重点：通过操作使学生发觉能拼成一个平面图形的关键。

2.难点：同上。

教学过程

一、复习提问

1.多边形的内角和公式是什么?外角和?

2.什么叫正多边形？

二、新授

本章开头已提出关于瓷砖的铺设问题，今日我们来探究用什么样的正多边形能拼成一个既不

留下一丝空白，又不相互重叠的平面图形。

请同学们拿出预先打算好的若干张正三角形、正方形、正五边形、正六边形、正八边形。

先用正三角形拼图，你能拼出既不留空隙，又不重叠的平面图形?再依次用正方形、正五边

形、正六边形，正八边形试一试，哪些可以，哪些不行以，你从中发觉了什么？

通过学生亲自动手拼图，使他们发觉能拼成既不留空隙，又不重叠的平面图形的关键是围绕

一点拼在一起的几个多边形的'内角相加恰好等于360。。

下面我们再通过用计算器计算，看看哪些正多边形能拼成符合以上条件的图形。

让学生填教科书表9。3。1

每个内角为多少度时能拼成符合以上条件的平面图呢？

因为60°x6=360°用6个正三角形瓷砖就可以铺满地面

90°x4=360。即用4个正方形瓷砖就可以铺满地面。

为什么用正五边形瓷砖不能铺满地面呢?正八边形也不行？

（因为360^108°,3600・154。得数都不是整数）

这就是说，当（360。+n）为正整数时,用这样的正n边形就可以铺满地面。

请同学们把教科书翻到第58页，看图9.1.1中（1）、（2）、（3）分别是用正三角形、正方形、

正六边形拼成的。

三、巩固练习

你能用正三角形和正六边形两个结合在一起铺满地面吗？

四、作业

教科书第73页练习1、2。

2.用多种正多边形拼地板

其次课时

教学目的

通过两种以上的正多边形拼地板活动使学生进一步体会某些平面图形的性质及其位置关系，

促使学生在学习中培育良好的情感、看法、以及主动参加、合作、沟通的意识，进一步提高视察、

分析、概括、抽象等实力，同时使学习进一步相识图形在日常生活中的应用，能观赏现实世界中

的漂亮图案。

重点、难点

1.重点：通过用两种以上正多边形拼地板，提高学生视察、分析、概括、抽象等实力。

2.难点：找寻用哪几种正多边形能铺满地板。

教学过程

一、复习提问

1.在正三角形、正方形、正五边形、正六边形、正八边形中，有哪几种可以用它们铺满地

板？

2.用正多边形瓷砖能不留空隙，不重叠地铺满地板的关键是什么？

二、新授

昨天我们已经学习了用一种正多边形拼地板，关键是看哪种正多边形的内角的度数是360°

的约数。今日我们要探讨用两种拟上的正多边形拼地板。昨天已尝试了用正三角形和正六边形两

种瓷砖拼地板，见教科书图8.43为什么能用正三角形，正六边形两种合在一起拼地板呢？

因为正六边形的内角为120°,正三角形的内角为60°,这样用2块正六边形和2块正三角

形，它们内角之和为一个周角3601所以能铺满地板。

能不能用其他两种或两种以上的正多边形铺地板呢?

大家看教科书图8.4.4，它是用哪几种正多边形铺成的呢?为什么能拼成既没有空隙也没有重

叠的平面图形？

（用正十二边形和正三角形拼成的，因为正十二边形的内角为150°,正三角形的内角为60°,

那么2个正十二边形和一个正三角形各一个内角的和恰好等于一周角360。，所以可以铺满地板）

图8.4.5是由哪几种正多边形拼成的呢?为什么能拼成？

（用正十二边形、正六边形、正方形拼成的。因为正十二边形的内角为150°,正六边形的内

角为120°,正方形的内角为90。，三者之和正好等于360。，所以可以铺满地板）

视察图8.4.6是由哪几种正多边形拼成的呢?是否也满意这几个正多边形的一个内角之和为

360。这个条件呢？

（由正八边形和正方形拼成的，正八边形的内角为135°,正方形的内角为90°,那么2个正

，她和T正方形各T*内角之和正好等于360°）

视察图&4.7，又是由哪些正多边形拼成的?是否满意几个正多边形的一个内角和等于360。。

是由正六边形、正方形、正三角形拼成的，如图所示：

1200+90°+90°+60°=360°满意这几个正多边形的一个内角的和等于360°

三、巩固练习

1.你能用正三角形、正方形、正十二边形拼成不留空隙,不重叠的平面图形吗？

2.教科书第58页练习1、2.

四、作业

教科书习题&4.1、2、3。

正多边形教案9

一、教材分析

1.教学内容：

华师大版试验教科书七年级下册第九章第三节第一课时。

2.地位与作用：

本章第一节是以瓷砖的铺设为学习背景进行导入的。因此本节既是对前面所提问题的回答,

又是对三角形和多边形相关学问的应用；既是学生思维的拓展过程，又是学习"用多种正多边形

拼地板”的基础。还有本节所体现的从探究体验到抽象概括的数学思想方法、数学应用意识等都

对后面的学习起着举足轻重的作用。

二、教学目标

1.学问与技能：

(1)通过“拼地板”和有关计算，使学生从中发觉能拼成一个不留空隙，又不重叠的平面图

形的关键是：运用给定的某种正多边形，围绕一点拼在一起的几个内角加在一起恰好组成一个周

角。

(2)在探究地板砖图案的设计过程中，学会观赏美和创建美。

2.过程与方法：

通过视察、试验、分析、推断、归纳等方法，使学生经验"拼地板”的探究过程。

3.情感看法与价值观：

(1)通过小组间的竞争与合作，培育学生的竞争意识与团队精神。

(2)使学生体会到数学与现实生活的亲密联系，相识到数学的应用价值。

三、教学重点、难点：

重点：总结出正多边形能铺满平面的规律。

难点：识别哪些正多边形能无空隙的拼地板。

四、教学策略

1.教法：以启发探究为主线，以"问题情境--数学建模--应用拓展”为模式，选取学

生熟识的素材创设教学情境，最大限度地调动学生学习的主动性；以学生现有的学问为起点，引

导他们构建新的学问体系；借助多媒体课件，使抽象的几何图形变得直观生动；揭示数学从生活

中来到生活中去的本质，实现学生从感性到理性相识上的飞跃。

2.学法：以学生的主动参加为前提，以合作沟通为形式，实现"问题---探究一解决”的学

习过程。学生借助于实物拼图，在与同伴的合作沟通中，探究瓷砖铺设的奇妙。

用试验探究的方法学习，能充分发挥学生的主体作用使学生在活动中试验、在试验中探究、

在探究中领悟、在领悟中创新，从而能够很好地突出重点、突破难点。

五、教学过程

（一）创设情景，激发爱好

问题1.你看到了哪些形态的地板砖？

问题2.说说自己家所铺地板砖的形态？

（爰好是最好的老师，先通过展示学生搜集的室内外装饰图片，吸引学生的留意力，提高学

生的参加热忱，然后提出学生熟识的问题，为新课题的探讨做好铺垫）

老师点题板书：用相同的正多边形拼地板

3.还有哪些正多边形可用来拼地板?

（三个问题的设计由远到近，从图片到生活，以学生熟识的素材作为问题情境，出现知无不

言、言无不尽、争先恐后的局面。学生的参加意识主动、主动）

（二）小组沟通合作学习

（儿童最喜爰的是扮演成人的角色，因此采纳情景剧的形式，举办地板砖展销会，让学生分

别扮演地板砖经销商和地板砖选购员）

1.拼一拼:按事先分成的学习小组，每个小组代表一家地板砖经销商，各小组从课前打算好

的正三角形、正四边形、正五边形、正六边形图片中任选一种参赛。

（不用我们督促，他们会不遗余力地去完成。看他们有的裁剪、有的设计，有的拼图。寓教

于乐，师生共享。学生动手操作、合作学习的实力在"做"中得到提高）

2.说一说：各小组派代表介绍他们的作品特点

（既熬炼了他们的语言表达实力，又引导他们发觉了数学与自然界、环保、美学之间千丝万

缕的联系）

3.评一评：选购员点评、筛选作品

（学生间的自评和互评，更能引起他们的情感共鸣）

问题1：为什么正三角形、正四边形、正六边形可以铺满平面而正五边形却留有空隙？

（引导学生用已有的学问阅历从正三角形、正四边形、正六边形的角度特点说明以上现象。）

问题2:用正多边形能铺满平面的条件是什么?

（三）启发探究总结规律

1.计算填表，找寻规律。

正多边形

的边数

3

4

5

6

正多边形

的内角和

180

360

900

730

正多边形

每个内角

的度数x

60

90

108

120

能否铺

满地面

能

能

否

能

正多边形

的个数y

6

4

3

360

360

360

360

正多边形个数x正多边形每个内角的度数=360

2.总结规律：运用给定的某种正多边形，当围绕一点拼在一起的几个内角加在一起恰好组

成一个周角时，就可以拼成一个平面图形。

（采纳表格的形式，既复习了多边形内角和公式，又得出新结论，本节的重难点在层层分解

中得以突破）

3.解决问题：正七边形和正△、边形能铺满平面吗？

4.哪些正多边形能铺满平面？

解：设正多边形的边数为n,则该多边形的每个内角的度数为，当为正整数时，即为正

整数时，用这样的正多边形就可以铺满平面。所以我们只要知道某一正多边形的边数n,把它代

入代数式，看它的值是否为整数就可以推断其能否铺满平面。

（通过恰当地设未知数，得到一个只与边数有关的代数式。从依据角来推断转化为依据边来

推断，使问题进一步得到抽象概括。这样很自然地引导学生将阅历上升到理论，从而可以更好的.

指导实践）。

（当数学思维过程变得触手可及的时候，数学家们也不会再说"数学是冰冷的漂亮"）。

（四）学以致用拓展创新

问题3:我们公司新购了一批正方形地板砖,其中有几箱在运输过程中出现了同样的破损，

如图所示，你能帮我们设计废物利用的方案吗？.

（用前面所学的学问去解决新问题，并为学生中的不同个体都供应了解决问题的空间，促使

学生从学问向实力的转化，凸现特性，培育创新。学生各抒己见，提出了许多有创意的方案，老

师从中提炼出要延长的内容）随意的三角形或随意四边形也能铺满平面

思索题：用两种或两种以上的正多边形能铺满平面吗？

（本着”让学生带着疑问走进课堂，带着更多更高层次的疑问离开课堂”的教学意图，我采

纳"问题前置"方法，激发学生进一步探究的欲望，为学习下一节课做打算。）

六、评价分析：

这节课学生以瓷砖的铺设为学问生长点，以三角形和多边形的学问为载体，以老师的指导、

评价、激励为动力，以自主探究