定比点差法、齐次化、极点极线问题、蝴蝶问题（四大题型）（学生版）

题型一：定比点差法例1．已知椭圆C:+=1（a>b>0）的离心率为过右焦点F且斜率为k（k>0）的直线与C相交于与C相交于A，B两点，若AF=3FB，求k例2．已知=1，过点P的直线交椭圆于A，B（可以重合求若λ=2，求μ的值.变式1．设F1，F2分别为椭圆+y2=1的左、右焦点，点A，B在椭圆上，若，求点A的坐标变式2．已知椭圆+y2=1，设过点P(2,2)的直线l与椭圆C交于A，B，点Q是线段AB上的点，且，求点Q的轨迹方程.题型二：齐次化例4．已知抛物线C:y2=4x，过点(4,0)的直线与抛物线C交于P，Q两点，O为坐标原点．证明：2例5．如图，椭圆E:+y2=1，经过点M(1,1)，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q（均异于点A(0,1)，证明：直线AP与AQ的斜率之和为2.21，设直线l不经过点P2(0,1)且与C相交于A，B两点．若直线P2A与直线P2B的斜率的和为1，证明：直线l过定点.变式3．已知椭圆+y2=1，B(0,1)，P，Q为上的两个不同的动点，kBPkBQ=，求证：直线PQ过定点.题型三：极点极线问题例72023·全国·高三专题练习）椭圆方程平面上有一点P(x0,y0)．定义直线方程是椭圆Γ在点P(x0,y0)处的极线．已知椭圆方程.(1)若P(1,y0)在椭圆C上，求椭圆C在点P处的极线方程；(2)若P(x0,y0)在椭圆C上，证明：椭圆C在点P处的极线就是过点P的切线；(3)若过点P(—4,0)分别作椭圆C的两条切线和一条割线，切点为X，Y，割线交椭圆C于M，N两点，过点M，N分别作椭圆C的两条切线，且相交于点Q．证明：Q，X，Y三点共线.例82023·全国·高三专题练习）阅读材料：（一）极点与极线的代数定义；已知圆锥曲线G：Ax2+Cy2+2Dx+2Ey+F=0，则称点P(x0，y0)和直线l：Ax0x+Cy0y+D(x+x0)+E(y+y0)+F=0是圆锥曲线G的一对极点和极线.事实上，在圆锥曲线方程中，以x0x替换x2，以替换x(另一变量y也是如此)，即可得到点P(x0，y0)对应的极线方程.特别地，对于椭圆=1，与点P对应的极线方程为对于双曲线=1，与点P(x0，y0)对应的极线方程为对于抛物线y2=2px，与点P(x0，y0)对应的极线方程为y0y=p(x0+x).即对于确定的圆锥曲线，每一对极点与极线是一一对应的关系.（二）极点与极线的基本性质、定理①当P在圆锥曲线G上时，其极线l是曲线G在点P处的切线；②当P在G外时，其极线l是曲线G从点P所引两条切线的切点所确定的直线（即切点弦所在直线③当P在G内时，其极线l是曲线G过点P的割线两端点处的切线交点的轨迹.结合阅读材料回答下面的问题：(1)已知椭圆经过点P(4，0)，离心率是求椭圆C的方程并写出与点P对应的极线方程；(2)已知Q是直线l：上的一个动点，过点Q向（1）中椭圆C引两条切线，切点分别为M，N，是否存在定点T恒在直线MN上，若存在，当M--=T-时，求直线MN的方程；若不存在，请说明理由.例92023秋·北京·高三中关村中学校考开学考试）已知椭圆b＞0）过A，B（0，1）两点.（1）求椭圆M的离心率；（2）设椭圆M的右顶点为C，点P在椭圆M上（P不与椭圆M的顶点重合直线AB与直线CP交于点Q，直线BP交x轴于点S，求证：直线SQ过定点.变式42023·全国·高三专题练习）若双曲线x2—y2=9与椭圆共顶点，且它们的离心率之积为.（1）求椭圆C的标准方程；（2）若椭圆C的左、右顶点分别为A1，A2，直线l与椭圆C交于P、Q两点，设直线A1P与A2Q的斜率分别为k1，k2，且k1—k2=0．试问，直线l是否过定点？若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由.变式52023·全国·高三专题练习）已知椭圆的离心率为且过点A，B分别为椭圆E的左，右顶点，P为直线x=3上的动点（不在x轴上PA与椭圆E的另一交点为C，PB与椭圆E的另一交点为D，记直线PA与PB的斜率分别为k1，k2.(Ⅰ)求椭圆E的方程；(Ⅲ)证明：直线CD过一个定点，并求出此定点的坐标.题型四：蝴蝶问题例102003·全国·高考真题）如图，椭圆的长轴A1A2与x轴平行，短轴B1B2在y轴上，中心为M(0,r)(b>r>0).(1)写出椭圆的方程，求椭圆的焦点坐标及离心率；(2)直线y=k1x交椭圆于两点C(x1,y1),D(x2,y2)(y2>0)；直线y=k2x交椭圆于两点G(x3,y3)，(3)对于（2）中的中的在C，D，G，H，设CH交x轴于P点，GD交x轴于Q点，求证：|OP|=|OQ|（证明过程不考虑CH或GD垂直于x轴的情形）例112023·全国·高三专题练习）已知椭圆，四点（1）求椭圆C的方程；（2）蝴蝶定理：如图1，AB为圆O的一条弦，M是AB的中点，过M作圆O的两条弦CD，EF.若CF，ED分别与直线AB交于点P，Q，则MP=MQ.该结论可推广到椭圆.如图2所示，假定在椭圆C中，弦AB的中点M的坐标为且两条弦CD，EF所在直线斜率存在，证明：MP=MQ.例122021·全国·高三专题练习蝴蝶定理）过圆AB弦的中点M，任意作两弦CD和EF，CF与ED交弦AB于P、Q，求证：PM=QM.变式62023·全国·高三专题练习）蝴蝶定理因其美妙的构图，像是一只翩翩起舞的蝴蝶，一代代数学名家蜂拥而证，正所谓花若芬芳蜂蝶自来.如图，已知圆M的方程为x2+(y—b)2=r2，直线x=my与圆M交于C(x1,y1)，D(x2,y2)，直线x=ny与圆M交于E(x3,y3)，F(x4,y4).原点O在圆M内.求证：（2）设CF交x轴于点P，ED交x轴于点Q.求证：OP=OQ.变式72023·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）已知椭圆的左、右顶点分别为点A，B，且AB=4，椭圆C离心率为1（1）求椭圆C的方程；（2）过椭圆C的右焦点，且斜率不为0的直线l交椭圆C于M，N两点，直线AM，BN的交于点Q，求证：点Q在直线x=4上.变式82023·全国·高三专题练习）已知椭圆的左、右顶点分别为A，B，离心率为为椭圆上一点.（1）求椭圆C的标准方程；（2）如图，过点C(0，1)且斜率大于1的直线l与椭圆交于M，N两点，记直线AM的斜率为k1，直线BN的斜率为k2，若k1＝2k2，求直线l斜率的值.变式92021秋·广东深圳·高二校考期中）已知椭圆的右焦点是F(2，0)，过点F的直线交椭圆C于A，B两点，若线段AB中点Q的坐标为.(1)求椭圆C的方程；(2)已知P(0,—b)是椭圆C的下顶点，如果直线y=kx+1（k≠0）交椭圆C于不同的两点M，N，且M，N都在以P为圆心的圆上，求k的值；过点D作一条非水平直线交椭圆C于R、S两点，若A，B为椭圆的左右顶点，记直线AR、BS的斜率分别为k1、k2，则是否为定值，若是，求出该定值，若不是，请说明理由.变式102023·全国·高三专题练习）如图，已知椭圆的离心率为，A，B分别是椭圆C的左、右顶点，右焦点F，BF=1，过F且斜率为k(k>0)的直线l与椭圆C相交于M，N两点，M在x轴上方.(1)求椭圆C的标准方程；(2)记△AFM，△BFN的面积分别为S1，S2，若，求k的值；(3)设线段MN的中点为D，直线OD与直线x=4相交于点E，记直线AM，BN，FE的斜率分别为k1，k2，k3，求k2.(k1k3)的值.变式112023秋·福建莆田·高二莆田华侨中学校考期末）已知点A在椭圆上，O为坐标原点，直线l：的斜率与直线OA的斜率乘积为—（1）求椭圆C的方程；（2）不经过点A的直线l：y=3x+t与椭圆C交于P，Q两点，P关于原点的对称点为R（与点A不重合直线AQ，AR与y轴分别交于两点M，N，求证：AM=AN.变式122022·全国·高三专题练习）极线是高等几何中的重要概念，它是圆锥曲线的一种基本特征.对于圆x22，与点(x0,y0)对应的极线方程为x0x+y0y