多面函数与二次曲面高程拟合的精度比较讲义教材

报告人：张晖

日期：2012年12月3日多面函数与二次曲面高程拟合的精度比较关键词：大地高正常高二次曲面法多面函数法摘要GPS平面测量数据由于其高精度的特性已在测绘领域到了广泛的应用。如何有效利用其高程信息，把大地高转化为正常高，直接为测绘行业服务是一个非常实际且有意义的课题。针对目前GPS高程拟合的研究现状，本文主要讨论GPS点位成面状分布时的两种拟合方法，即对二次曲面法和多面函数法比较。

目录GPS高程拟合基本理论二次曲面法拟合多面函数法拟合实例分析总结分析GPS高程拟合的基本理论正常高与大地高之间的关系为：因此求出高程异常进而求的正常高，建立似大地水准面的过程就是GPS高程拟合的过程。二次曲面法高程拟合曲面拟合法：当GPS点布设成一定区域面时，可以用数学曲面拟合法求定待定点的正常高。其原理是:根据测区中已知点的平面坐标x、y(或大地坐标B、L)和高程异常值，用数值法拟合，拟合出测区似大地水准面，再内插出待求点的高程异常，从而求出待求点的正常高。多项式曲面拟合：多项式曲面拟合法是近年来使用的主要拟合方法，其中二次多项式曲面拟合最为常见。多项式曲面拟合的一般模型为:式中

为模型的待定参数。当控制点为n个，所取的项数为n项时，则存在如下方程组矩阵:二次曲面法高程拟合其中通过高斯消元法求出模型参数A，然后求出未知点的高程异常值，进而求出正常高。二次曲面法高程拟合当控制点个数多于多项式的项数时，为了充分利用己知数据，通常会采用最小二乘法拟合。设点的高程异常与其平面坐标

存在以下关系式：其中

根据最小二乘原理可求：带入模型公式可求出未知点的高程异常，进而求出正常高。二次曲面法高程拟合在工程中应用较多的是二次曲面法拟合，其数学模型为：在求模型参数时需要至少6个已知点的高程异常值。多面函数法高程拟合多面函数拟合曲面的方法是美国Hardy教1977年提出的，其理论基础是，任何一个圆滑的数学曲面总可以用一系列有规则的数学表面的综合，以任意精度逼近。GPS高程多面函数拟合法就是把拟合区域的高程异常，用多个曲面高度逼近，建立数学模型，借此可以求得未知点的高程异常，然后根据GPS所求的大地高来计算常规基准下的正常高。一个数学表面上点的函数值可表达成多面函数法高程拟合式中，为待定系数；是x和y的二次核函数，其中核心在处，可由二次式的和确定，故称多面函数；x,y为待求点的坐标，为已知点坐标。其矩阵形式为:根据最小二乘原理可知其模型参数：将模型参数代入函数模型可得高程异常值，进而求出未知点的正常高。常用的核函数有正双曲面和倒双曲面两种，其函数模型如下：正双曲面：其中称为光滑因子，当其值为0时，正双曲面退化为圆锥面。倒双曲面：多面函数法高程拟合高程拟合的精度评定指标内符合精度：根据参与计算的己知点的高程异常值和计算后得到的高程异常值用求得残差值，按下式计算GPS水准的内符合精度外符合精度：同样根据参与检核的己知点的高程异常值和计算后得到的高程异常值用求得残差值，按下式计算GPS水准的内符合精度多面函数法高程拟合内符合精度与外符合精度都是从点的统计角度出发的，可以说是一种相对意义上的绝对精度评定。垂直数据因参考基准的不同，会有不同的系统偏差，所以在某种意义上相对精度的评定更有说服力。水准限差注：L为已知点与检核点的距离（单位：公里）测量等级允许的最大限差（mm）三等几何水准测量四等几何水准测量普通几何水准测量实例分析右图为某中型城市的城市控制网，图中共有37个GPS—E级控制点。为了研究GPS拟合原理，对以上所有控制点都进行了三等水准测量，并应用稳健估计进行粗差探测，未发现粗差。

为了保证试验数据的可靠性，其具体数据见下表。实例分析实验数据表（部分）序号X坐标Y坐标大地高正常高高程异常1-9230.899-30277.67911.8793.4938.3862-10589.011-26223.53614.3375.7578.5803-8775.220-23280.82713.1734.5008.6734-7666.317-19160.95512.2633.3978.8665-11649.851-36495.57411.5923.4308.1616-8129.317-33611.14113.3445.1348.2107-4334.088-33564.44012.8174.6108.2078295.107-32024.10411.8213.5978.22593802.651-31147.31313.0304.7768.25410-11790.336-21649.38812.5873.8088.77811-7892.980-26803.83912.3133.7558.558实例分析续表序号X坐标Y坐标大地高正常高高程异常122078.745-38769.45612.0974.1737.92513-9337.283-39433.37911.9313.9258.00514-14355.472-39856.99711.4673.4218.04615-17115.063-49101.97211.5793.8847.69516-18538.802-52552.99713.4035.8357.56917-15219.401-53448.17312.3774.8527.52518

-12601.594-53833.91211.3813.9067.47519-12173.846-29772.27611.2502.8228.42820-4986.383-37421.71111.3663.3328.034实例分析使用1、7、9、10、11、13、16、17、18、19、20、22、25、26、27、28、31、33、34、36共20个均匀分布的控制点应作为已知点，2、3、4、5、6、8、12、14、15作为检核点分别用二次曲面法和多面函数法进行拟合计算，其分析结果如下表：

数据拟合分析序号已知高程异常拟合值残差值二次曲面锥面倒双曲面二次锥面倒双曲面28.5808.5498.5368.624-0.031-0.0430.04538.6738.6268.7598.773-0.0470.0860.10048.8668.7269.5598.380-0.1400.693-0.48758.1618.2138.0488.1980.052-0.1140.03768.2108.2908.1778.2790.080-0.0330.06988.2258.2538.1748.3590.028-0.0510.134127.8997.9018.5517.5680.0020.627-0.3578.0468.1077.8968.0440.061-0.150-0.0027.6957.7327.5637.7160.037-0.1330.021外符合精度0.065

0.2070.224实例分析当核函数为锥面函数时C取1，当核函数为到双曲面时取10000，以下是这三种拟合模型的残差图。实例分析当选取1、7、9、10、11、13、19、20、22、26、28、33、34、36这14个点作为已知点进行二次曲面拟合时其精度如下表：序号二次曲面拟合残差（14点）二次曲面拟合残差（20点）2-0.050-0.03130.002-0.0474-0.062-0.14050.0160.05260.0610.08080.0180.028120.1350.002140.011