第2讲高二学科素养能力竞赛直线与圆专题训练

第2讲直线与圆

【题型目耒】

模块一：易错试题精选

模块二：培优试题精选

模块三：全国高中数学联赛试题精选

【典型例题】

模块一：易错试题精选

1.过圆F+y2=64上的动点作圆C:/+y2=i6的两条切线，两个切点之间的线段称为切点弦，则圆C不

在任何切点弦上的点形成的区域的面积为()

A.4完B.67tC.8冗D.12%

【答案】A

【分析】求出切点弦的方程后可求不在任何切点弦上的点形成的区域的面积.

设圆f+,2=64的动点为p(见〃)，过尸作圆C的切线，切点分别为A8,

则过P,A3的圆是以尸。直径的圆，该圆的方程为：乩・6)+可丁一〃)=0.

fx2+y2=16

由、八可得48的直线方程为：mx+ny=16.

x(x-m)+y(y-H)=O

原点到直线皿+〃，=16的距离为-j=^===-^==2,

故圆C不在任何切点弦上的点形成的区域的面积为4兀，

故选：A.

2.设〃昨R,过定点A的动直线x+s=。和过定点B的动直线m帆+3=0交于点P*,y),则阿卜|阳

的最大值是()

A.4B.10C.5D.V10

【答案】C

【分析】由题意可知两条动直线经过定点40.0)、8(1,3),且始终垂直，有E4_LM,利用勾股定理求出IABI，

再利用基本不等式求得答案.

【详解】由题意可知，动直线工+机＞=0经过定点40.0),

动直线如一)，一加+3=0即m*-1)-y+3=0,经过定点3(1,3),

因为lx帆-mxl=O,所以动直线x+=0和动直线的一丁-帆+3=0始终垂直，

产又是两条直线的交点，

则有R4J_P8,.JPA|2+|P5|2=|AB|2=10,

故|P4Hp8区叫5里^=5(当且仅当1PAi=|尸8=6时取"="),

2

故选：C.

3.过点A(1,2)的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为()

A.x-y+1=0B.;v+y-3=0C.y=2x或;v+y-3=0D.y=2c或K-y+l=0

【答案】D

【分析】考虑直线是否过坐标原点，设出直线方程，分别求解出直线方程.

【详解】当直线过原点时，其斜率为咨=2,故直线方程为y=2x；

1—0

当直线不过原点时，设直线方程为±+上=1,代入点(1,2)可得工+2=1,解得〃=—1,故直线方程

a-aa-a

为x・y+l=0.

综上，可知所求直线方程为y=2x或x-y+l=0,

故选：D.

【点睛】本题主要考查直线方程的截距式以及分类讨论思想的应用，考查逻辑推理和数学运算.在利用直线

方程的截距式解题时，一定要注意讨论直线的截距是否为零.

4.设圆/+丁_24-2尸2=0的圆心为C,直线/过点(0,3),且与圆。交于4,8两点，若|A8|=2石，

则直线/的方程为()

A.3x+4y-12=0B.3x+4y-12=0或44+2y+l=0

C.x=0D.D或3x+4y-12=0

【答案】D

【分析】先利用圆的一般方程得到标准方程，得到对应的圆心和半径，然后分直线/的斜率不存在和存在进

行求解直线的方程即可得到答案

【详解】解：由V+y2-2x-2y-2=0可得(x-l)2+(y-l)2=4,则圆心C的坐标为(I1)，半径为2,

当直线/的斜率不存在，即直线/的方程为x=0时，代入圆的方程得丁―2y-2=0,解得y=l+JJ,

此时|4砌=1+石一(1一石)=2石，符合题意；

当直线/的斜率存在时，设直线/的方程为y=h+3即"一y+3=0,

因为|A8|=26，所以圆心C到直线/的距离为隹.诋2=1,

|01+3|,3

则而声也解得攵=一"

故此时直线I的方程为广-。+3,即3x+4y-12=0,

4

故选：D

5.在平面直角坐标系xQy中，以点(0,1)为圆心，且与直线，我+y-2〃?=0(mwR)相切的所有圆中，半径最

大的圆的标准方程是()

A.X'+(y-l)2=5B.x2+(y+l)2=5

C.x2+(y-l)2=4D.x2+(y-l)2=l

【答案】A

【分析】先求得动直线过定点(20)，再由已知得到圆心到顶点的距离为最大半径，由圆心，半径可确定满

足条件的圆的标准方程.

【详解】解：直线nu+y-2〃?=0(，〃cR).变形可得用a-2)+y=0,

所以该动直线过定点(2,0),

则以点(0,1)为圆心且与直线mx+y-2,〃=0(/〃eR)相切的所有圆中，圆心到定点的距离为最大半径，

所以半径r的最大值为g=75，

则半径最大的圆的标准方程为定点*+(y-l)2=5.

故选：A

6.直线xsina+V5y-b=0(a,beR)的倾斜角的取值范围是()

【答案】C

【分析】先利用正弦函数的有界性求出斜率的范围，由斜率的范围求出倾斜角的范围.

【详解】易得斜率必存在，设xsina

由xsina+\/3y-b=0可得斜率k=--^42=tan6,

因为aeR,所以sinae[T[],

所以一直瞥x/3Q

gptan0G-

3'3T5T

所以公咤朝

故选：c

7.己知圆。：（工一3）2+（5-4）2=1和两点4一加,0）,6（九0）,（加>0）.若圆。上存在点尸，使得NA尸8=90。,

则加的最小值为（）

A.7D.6C.5D.4

【答案】D

【分析】由NAPB=90。，知动点P的轨迹是以AB为白:径的网。，又点尸在圆C上，故点尸是圆。与圆C的

交点，因此可得两圆的位置关系是相切或相交.由两圆的位置关系可以得到代数关系，从而求出机的取值范

围，进而找到机的最小值.

解：ZAP8=90。，.,.点P的轨迹是以A8为直径的圆O,

又点P在圆C上，故点尸是圆。与圆C的交点,

因此可得两圆的位置关系是相切或相交，即帆-1归仔不Wm+1,

解得：4</w<6.

••・力的最小值为4.

故选：D.

［点.晴】关键点点睛：此题考查圆与圆位置关系的应用，解题的关键通过化归与转化思想，确定点尸的轨迹

是以48为直径的圆0与圆C有交点，从而可求出4«〃766,考查了学生化归与转化思想，数形结合的解题

思想及运算求解能力，属于中档题.

8.若直线=与曲线y=47F有两个交点，则实数力的取值范围是（）

A.伊-2应<b<2&}B.{ti2<b<2yf2}

C.{跖,〃<2&}D.{b\b=±2}

【答案】C

【分析】求出直线与曲线相切时实数b的道，再结合图象，即可得到答案；

【详解】化简方Iy=j4-x2可得—+何=4（”0）.

方程W+y2=4（yN0）对应的曲线为以（0,0）为圆心，以2为半径的圆在x轴上方的部分（含点（2,0）,（-2,0））；

当直线y=x+b与半圆相切时，2哇,b>0,

所以6=2&，

当直线过点（—2,0）时，b=2,

所以实数6的取值范围为［2,2&）,

9.平面直角坐标系中，已知点尸（2,4）,圆O：X2+/=4,则下列结论正确的是（）

A.过点尸与圆。相切的直线方程为3x-4y+10=0

B.过点尸的直线与圆。相切于M,N,则直线MN的方程为x+2y-4=0

C.过点P的直线与圆O相切于M,N,则|PM=3

D.过点尸的直线,〃与圆O相交于48两点，若/408=90。，则直线用的方程为“—'+2=0或7%—3，-10=0

【答案】D

【分析】首先求出过点P的切线方程，注意分斜率存在和不存在两种情况讨论，即可判断A,再利用勾股定

理求出切线长，即可判断C,M,N在以(1,2)为圆心，以|0"为直径的圆上，两圆方程作差即可求出直线

的方程，由此判断B,由圆心到直线的距离求出直线斜率，即可求出直线方程，进而求解D.

【详解】对「A：当直线/的斜率不存在时，则直线/的方程为x=2,圆心。到宜线，的距离d=2=r,所以

爹是过点尸的圆的切线,

当直线/的斜率存在时，设直线乙的方程为y—4=-x—2),即去一)，一2&+4=0,

1—22+413

圆心。到直线/的距离d==2解得&卞此时直线/的方程为31小。町

VF+T

••・过点尸的圆的切线方程为x=2或版-4)，+10=0,故A错误,

对于B;M,N在以(1,2)为圆心，以|。以为直径的圆。-1)2+()，-2)2=5,

直线MN为圆O:/+y2=4与圆。_])2+”_2)2=5的公共弦，

两圆方程相减得：x+2)，-2=0,即直线MN的方程为工+25，-2=0,故8雄工.

对于C；|。夕|=万，不=2石，：\PM\=y/\OPf-22=4,故C错误，

对于D：过点尸的直线胴与圆。相交于A,B两点,若NAO5=90。，贝iJ|AB|=2垃，

「•圆心到直线的距离4=&,

显然直线的斜率存在，设直线方程为广4=2(x-2),即米-y-24+4=0,

・"=%+；=&,解得攵=1或7,

VK+1

二直线方程为工-尹2=0或7x-y-10=0,故D正确，

故选：D

10.在平面直角坐标系直为中，已知A,8为圆V+y2=9上两动点，点且Q4J.P8,则M却的最

大值为()

A.3-x/2B.3+V2C.4-V2D.4+&

【答案】D

【分析】令c*,y)为中点，根据直角三角形性质，圆中弦长、弦心距、半径的几何关系求得。轨迹为圆，

求定点户到所得圆上点距离的最大值，结合|A回=2|「。|即可求结果.

【详解】由必_LP8,要使|AB|最大只需尸到A3中点C距离最大，

又|PC|=|4。|=|8。|且|0。|2+|人。|2=|0。|2+|/>。|2=9,

令C(ay)，则/+/+(x-1)2+(旷-1)2=9,整理得(“-3)2+。,一；)2=4,

所以C轨迹是以g,》为圆心,2为半径的圆,又(1-y+(1_}2<4,即尸在圆内,

故I尸C|111ax=2+4，而|AB|=|AC|+|BQ=2|PC|,故|A81a=4+夜-

y,、

一

B/+/=9

故选：D

【点睛】关键点点睛：利用圆、直角三角形的性质求A3中点C的轨迹，再求定点到圆上点距离最值即可.

11.已知点尸是圆M"2+y2_8x_6y+21=0上的动点，直线/：2x+3y-6=0与工轴、y轴分别交于A,B两点，

当NP4B最小时，|PA|二()

A.底B.2x/2C.x/10D.加

【答案】A

【分析】求出圆心、半径，根据直线与圆的位置可知，当S3最小时，24与圆M相切，最后用勾股定理

求|PA|即可

【详解】圆“：/+9一版―6y+21=0化成标准形式为(工一4『+('—3)2=4,故圆心为"(4,3),半径为2,

宜线与坐标轴交于点4(3,0),点8(0,2),如下图所示:

则当NE4B最小时，R4与圆M相切，连接MP,,可知PM_LPA,\AM\=7(3-4)2+(0-3)2=屈=2,

由勾股定理可得=二",

故选：A

12.若直线，：为7-2=0与曲线C：Ji_(y_1)2=x_i有两个交点,则实数2的取值范围是()

C.-2gMMD.(*)

【答案】A

【分析】确定直线/：匕-y-2=0恒过定点(0,-2),确定曲线。：3-(丁-1)2=4一1表示以点(1,(为圆心,1

为、K径，且位于宜.线x=l右侧的半圆，包括点(1,2),(1,0).由H线与圆的位置关系可得结论(需要求出切

线的斜率)

【详解】直线，:依-y-2=0恒过定点(0,-2),曲线C：Jl_(y_l)2=x—l表示以点(1,1)为圆心,1为半径,

且位于直线％=1右侧的半圆，包括点。,2),(1,0).

如图，当直线/经过点(1,0)时，/与曲线C有两个交点，此时女=2,直线记为4：

当/与半圆相切时，由~^生=1,得％=:，切线记为儿

U+i3

4

由图可知当时，/与曲线C有两个交点，

故选：A.

13.已知圆C:(x+l)2+()，-4)2=m(m>0)和两点A(-2,0),8(1,0),若圆C上存在点P,使得|%|二20四,

则机的取值范围是()

A.[8,64]B.[9,64J

C.[8,49]D.19,49J

【答案】D

【分析】设尸的坐标为(x,y),由|网=2|P4可得P的轨迹为(x-2『+y2=4,又因为点尸在圆C上，所以

两圆有公共点，从而求解即可.

【详解】解：设P的坐标为(为y),因为I网=2|尸网,A(-2,0),B(l,o),

所以历了万=2而U"，化简得2p+y2=4,

又因为点P在圆C:(x+1)2+(y-4)2=加(加>0)上，

所以圆(x—2)2+丁=4与圆C有公共点，

所以|Vw-2|<J(2+iy+4之<4in+2且0,

解得9KmW49,

故选：D.

14.(多选题)已知直线/：工+丁-2=0与圆。:/+),2=4交于48两点,点“为圆。上的一动点，点"(—2,—2),

记M到/的距离为d,则()

A.\AB\=272B.d的最大值为2&

C._ABN是等腰三角形D.|MN|+d的最小值为3五

【答案】ACD

【分析】对于A,根据垂径定理以及弦长公式，可得答案；

对于B,根据题意作图，结合圆上点与直线的位置关系，可得答案；

对于C,求弦的中垂线的直线方程，根据中垂线的性质，可得答案；

对于D,由题意，作图，根据线段组合，求得答案.

【详解】对于A,由圆。:炉+丁=4,可得。(0,0),半径为2,

点C到直线/的距离为卓==0,则|明=2"^1=2应，故A正确;

点。为弦A3的中点，宜线CQJ_AB,则41ax=MD=2+2>/5,故B错误:

易知A(ZO),8(0,2),则直线48的斜率附=分=-1,

由CZ)_LAB,则直线C。的斜率勺笫=一/-=1,由O(U),

则直线8的方程为y-1=1?(x1),则尸刀,

即点N(-2-2)在直线CD上，8为AB的中垂线，，一是等腰三角形,

故C正确;

对于D,由题意，可作图:

则〃=吹，显然d+|Myv|=|ME|+|M7V闫叫，则眼。|==3&,

ViTT

故D正确:

故选：ACD.

15.（多选题）下列说法正确的是（）

A.截距相等的直线都可以用方程2+；=1表示

ab

B.方程x+my-2=0（meR）能表示平行「轴的直线

C.经过点（U）,倾斜角为。的直线方程为y-l=tane（x-l）

D.经过两点/?（』,％）,月。2，月）的直线方程（丹-凹）。-百）-*2f）（y-y）=。

【答案】BD

【分析】对于A,根据截距式方程的适用条件，可得答案；

对于B,平行于y轴的直线，斜率不存在.令m=o,可得答案；

对于C,根据倾斜角与斜率的关系以及点斜式方程的使用条件，可得答案；

对于D,根据两点的横坐标是否相等进行讨论，可得答案.

【详解】对于A,当直线的截距不为零时，可用方程二+5=1,当截距都是零时，不可用，故A错误；

ab

对于B,当m=0时，方程为X-2=0,此时所表示的直线与y轴平行，故B正确；

对于C,当6=90时，tan。不存在，此时直线方程为x=l,故C错误；

对于D,当％，天时，由斜率公式，可得三?=乎三，可整理为（y2-y）（x-%）-（w-%）（y-y）=°；

当石=修时，方程（以一乂）（%-%）-（七一4）（丁一乂）=0可整理为x=M；故D正确.

故选：BD.

16.（多选题）已知点40,2）,仅1,1）,且点尸在圆C：*-2）2+），2=4上，C为圆心，则下列结论正确的是

A.I如1-1尸砌的最大值为上

B,以4c为直径的圆与圆C的公共弦所在的直线方程为：x-y=O

C.当NE4A最大时，△R4B的面积为0

D.APAA的面积的最大值为0

【答案】ABD

【分析】依题意画出图象，判断在圆内，当P为射线BC与圆C的交点时，I尸川-|依|取得最大值|明，

即可判断A：求出以AC为直径的圆再两圆方程作差，即可求出公共弦所在直线方程，即可判断B,当AP与

圆。相切时，4AB最大,求出三角形的面积，即可判断C,求出直线A8的方程，可得C在A8上，即可

得到P到A8的距离最大值，再求出|4回，即可判断D.

【详解】解：圆C*-2)2+丫2=4的圆心为。(2,0),半径；《=2,又3(1,1),则(l—2)2+F=2<4,所以点8

在圆内，

所以当尸为射线与圆C的交点时，1户人1-1尸例取得最大值|A8|=0,故A正确；

因为3点恰好是A、C的中点，且卜。=亚寿=2五,所以以AC为直径的恻的方程为(x-l)2+(y-l)2=2,

所以以AC为直径的圆与圆C的公共弦所在的直线方程为(x-2)2+y2-[(x_i)2+(y_[)2]=4_2,

整理得力->=0,故B正确；

当的与圆C相切时，4AB最大,此时5小依=3*2*1=1,故C错误，

直线A3的方程为y=-x+2,又|阴=’(0_1)2+(2_1)2=后,且。(2,0)在直线A8上,

所以P到48的距离最大值为r=2,

所以（S.）a=3卜用，=：x2x0=夜，故D正确;

故选：ABD

17.（多选题）已知直线/：QX+与-，=（）与圆c：x2+y2=r2,点4（。力），则下列说法正确的是（）

A.若点A在圆C上，则直线/与圆C相切

B.若点A在圆C内，则直线/与圆C相离

C.若点A在圆C外，则直线/与圆C相离

D.若点A在直线/上，则直线/与圆C相切

【答案】ABD

【分析】根据点与圆的位置关系及直线与圆的位置关系，对选项逐一判断即可.

【详解】对于选项A：•・•点A在圆C上，・•./+〃=/,

•・•圆心c（o,o）到直线/的距离为d=怛"产"[1=/"

yja2+b2^a2+b2

・••直线与圆C相切，故A选项正确；

对于选项B：'・,点A在圆C内，.,./+从＜/，

/、-Oxa+Ox。-/r2

•・•圆心C（O,O）到直线/的距离为d=J~，-！=7丁二＞r,

\la2+b2\Ja2+b2

工直线与圆C相离，故B选项正确：

对于选项C：•・•点A在圆C外，・•・/+〃＞，，

•・•圆心C（O,O）到直线/的距离为d==-H—＜r,

\Ja2+b2\la2+b2

・••直线与圆C相交，故C选项错误；

对于选项D：•・,点A在直线/上，・・・储+〃=产，

.、|0xa+0x/?-r2||r2|

•・•圆心C（O,O）到直线/的距离为d=J~「=11=r,

yja2+b2\Ja2+b2

，直线与圆C相切，故D选项正确.

故选：ABD.

18.（多选题）若直线4：3x+y=4,/2:x-y=O,g:2x-3〃少=4不能构成三角形，则机的取值为（）

【答案】ABD

【分析】分4〃，3，/2〃/3，，3过4与/2的交点三种情况讨论即可.

【详解】因为直线4：3x+y=4,Z2:x-y=O,&：2工-3%，=4不能构成三角形,

所以存在4/〃3，/2〃/3,4过乙与4的交点三种情况，

3142

当4/“3时，有7二=一工了，解得〃，=一;;;

2-3tn49

当卜此时，有卜二-工。，解得〃2

2-3m43

3x+y=4x=]o

当4过4与4的交点，则联立〈，解得〈，，代入儿W2xl-3,nxl=4,解得切=一]；

x-y=0[y=13

222

综上：加=一§或m=§或机=一§.

故选：ABD.

19.（多选题）已知圆M:（x+2）2+y2=2,直线/:/+），-2=0,点P在直线/上运动，直线PAM分别于圆

M切于点A8.则下列说法正确的是（）

A.四边形PA用8的面积最小值为2石

B.|网最短时，弦AB长为卡

C.|胡|最短时，弦A8直线方程为x+y-l=0

31_

D.直线AB过定点

2'2

【答案】ABD

【分析】由圆的方程可确定圆心和半径，根据切线长与圆心到定点距离d和半径「之间关系，即切线长

=庐下可知当尸时，|尸山最小，可确定四边形面积最小值，同时利用面积桥可求得,由此可知

AB正确；设尸（外,儿），可知A3方程为：（%+2）（x+2）+%y=2,由P"_L/可求得尸点坐标，由此可得48

方程，知C正确；将%=2-%代入AB方程，根据直线过定点的求法可知D正确.

【详解】由圆的方程知：圆心”（一2,0）,半径,=0,

对于AB,四边形RW8的面积S=25“=2x；|B4|"=

则当|PA|最短时，四边形RAM的面积最小，

点M到直线，的距离d12+[N=2&,.]/训=Jd2f2=R,

J21niin

此时5mhi=26,A正确；

又2.=#川"=#M.小队.・.此时1阴=曰黑=何B正确；

2

对于C,设A(x“J,8(3％),尸卜“J,

则过A作圆的切线，切线方程为：(%+2)(x+2)+yy=2；过B作圆的切线，切线方程为：

(毛+2)(x+2)+%y=2,

又p为两切线交点,..£*：妒吸丁"一；

[(占+2)(%+2)+)2%=2

则A5两点坐标满足方程：5+2)(%+2)+%)，=2,即AB方程为：5+2)(笨+2)+%产2：

当|必最小时，PM_U,...直线PM方程为：y=x+2,

由1on得：+即尸°，2，

x+y-2=0[y=2

」.A8方程为：2(x+2)+2>'=2,即x+y+l=O,C错误；

对于D,由C知：A8方程为：(%+2)(x+2)+为y=2；

又%+为-2=0,即％=2-司，

」.A5方程可整理为：(x—y+2)%+2x+2)，+2=0,

3

“7+2=。得.*=.5

由/.A8过定点D正确.

2x+2y+2=0y=’

故选：ABD.

【点睛】结论点睛：过圆(x+a)2+(y+O)2=，上•点(天,%)作圆的切线，则切线方程为:

(Xo+〃)(x+a)+(%+b)(y+b)=/；过圆(x+a)?+(y+b)2=户外一点伍,%)作圆的两条切线，切点弦所在

直线方程为：(%+a)(x+4)+(%+b)(y+b)=r2.

20.(多选题)已知直线/:x-⑺+l=0(meR),圆C:。一心2+(>一2"1)2=1(丘R),则下列选项中正确

的是：)

A.圆心C的轨迹方程为y=2x—1

B.欠=-g时，直线/被圆截得的弦长的最小值为白

C.若直线/被圆。截得的弦长为定值，则机=；

D.〃?=1时，若直线/与圆相切，则攵=近

【答案】BC

【分析】首先表示出圆心坐标，即可判断A,再求出直线过定点坐标，由弦长公式判断B,求出圆心到直线

的距离，当距离为定值时，弦长也为定值，即可判断C,求出圆心到直线的距离，即可判断D；

【详解】解：圆。：。一女)2+(尸24-1)2=1(让1<)的圆心坐标为。化24+1),

所以圆心C的轨迹方程为y=2x+l,故A错误；

直线/:x-叼+l=0(mwR),令解得产=],即直线/恒过点M(-LO),

-y=u[y=u

当—g时圆C：(x+g)2+y2=l,圆心为半径r=i,又陷=_1_(_£|=；,

所以直线/被圆截得的弦长的最小值为26=75,故B正确；

对于C：若直线/被圆C截得的弦长为定值，则圆心到直线的距离d=巴〃产讨)臼=此2”一।刊为

4+1Vl2+m2

定值,

所以1一26=0,解得机=5，故C正确;

_\k-(2kl)^\_\\

对「D：当加=1时直线/：x-y+l=o,圆心到直线的距离d+k

"+(-1)2上

当网=近时dwi,此时直线与圆不相切，故D错误;

故选：BC

21.（多选题）下列说法正确的是（）

A.直线2（m+l）x+（〃?-3）y+7—5〃2=0必过定点（1,3）

B.过点P（2,l）作圆/+丁=5的切线，切线方程为2x+y—5=0

C.经过点P（l/），倾斜角为。的直线方程为y-l=tan0（x-1）

D.直线2x-）-l=。在x轴上的截距为女，在y轴上的截距为1

【答案】AB

【分析】根据直线系的方程求解顶点即可判断A；结合点在圆上求解切线判断B；分夕和。=［讨论判

断C；直接求解直线在坐标轴上的交点坐标即可判断D.

【详解】解：对于A选项，2（w+l）x+（/?i-3）y+7-5/n=（2x-3y+7）+wi（2A+y-5）=0,

故直线2（m+l）x+（6一3）y+7—5帆=0过2x-3y+7=0与2x+y-5=0的交点，

所以，联立《二：；、）。得"=10=3,即直线2（机+l）x+（加一3）y+7—56:0必过定点（1,3）,故正确；

对于B选项，点?（2,1）在丁+）,2=5上，圆心为（0,0）,所以切线的斜率为k=-2,所以切线方程为

y-l=-2（x-2）,即2%+>-5=0,故正确；

对于C选项，经过点P（U）,倾斜角时，直线方程为yT=tanO（Al）,当0=］时，直线方程为x=l,

故错误；

对于D选项，令x=0得丁=-1,令y=0得”=；,所以直线2x-y-1=0在x轴上的截距为g在y轴上的

截距为T,故错误.

故选：AB

22.（多选题）古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现:“平面内到两个定点A8的

距离之比为定值4/lHl）的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称

PA1

阿氏圆.在平面直角坐标系工作中，人（-2,0）,8（4,0）,点/＞满足,=彳.设点。的轨迹为。，下列结论正确的

roZ

是（）

A.C的方程为（x+4『+y2=9

B.在3轴上存在异于A8的两定点DE,使得偿=:

\PE\2

C.当A脱尸三点不共线时，射线P0是ZAP8的平分线

D.在C上存在点M,使得|用。=2|加4|

【答案】BC

【分析】设点尸（即力，由言=g可求出C的方程，即可判断A；设。（〃?,0）,E（〃,o）,将需二g转化为

代数形式，由点尸的轨迹为Y+y2+8x=o即可求出m,〃的值，即可判断选项B；由周=g=爆

可得PO

是NAP5的平分线即可判断选项C；设M（x,），），由|知。=2|肠1|可得的方程，然后与C的方程联立求

解可判断D.

【详解】设点尸（天丁），则由得二g可得gif卫=g，化简可得（x+4）2+y2=16,故A错误；

假设在％轴上存在异于A,8的两定点。，E,使得黑=:，

\PE\2

设。（喝0）,上（〃,0）,由偿■二:可得|啊=2|尸必

11L-J乙

BP+,2_2^x-m）2+y2化简可得：3AT+3y2—（8/n—2n）x+4w2—n2=0,

由点尸的轨迹为f+）/+8人=0可得8帆-2〃二一24,4m2-n2=0.

解得：m=-6f〃=—12或/n=—2,n=4（舍去），即存在£）（-6,0）,E（-12,0）,

\PD\1

即存在点。,E，使得而商=不，故选项BiE确；

附2

OA1PA\

对于选项C：当A,B,尸三点不共线时，由0=彳=/，可得P。是NAP8的平分线，故选项C正确；

C/o|Zrb\

若存在点M,使得|MO|=2|M4|,可设M(x,y),则在77=2加+2『+/,

化简可得丁+)，2+与工+4=0,与(x+4)2+y2=i6联立可得方程组无解，

故不存在故D错误.

故选：BC

23.(多选题)圆Qi：/+y2-2x=0和圆。2：炉+卜2+24-4、=0的交点为A,B,则()

A.公共弦4B所在直线的方程为x-y=()

B.线段48中垂线方程为x+y-1=0

C.公共弦A8的长为也

2

D.P为圆&上一动点，则P到直线A8距离的最大值为孝+1

【答案】ABD

【分析】两圆方程作差后可得公共弦方程，从而可判断A的正误，求出圆0的圆心坐标后求出垂直平分线

的方程后可判断B的正误，利用垂径定理计算弦长后可判断C的正误，求出2到直线的距离后可求动点到

直线距离的最大值，从而可判断D的正误.

22

【详解】对于A,因为圆。］：/+产-2工=0,Q2:x+y+2x-4y=0t

两式作差可得公共弦48所在直线的方程为4x-4y=0,即x-y=0,故A正确：

对于B,圆2：/+丁-2%二0的圆心为(1,0),L=l，

则线段AB中垂线的斜率为T,即线段AB中垂线方程为y-0=-lx(x-l),

整理可得x+y-l=0,故B正确；

,、,卜Q3

对于C,圆心Q(1,0)到X-y=0的距离为"="+(.=~2，

又圆2的半径r=l，所以|4回=2『'等、=及，故C不正确；

对于D,P为圆0上一动点，圆心Q(L0)到x-y=0的距离为4=孝，

又圆2的半径r=l，所以P到直线A8距离的最大值为4+1，故D正确.

故选：ABD.

24.若直线m被两平行线《：x-y+l=O与/2"-)，+3=0所截得的线段的长为2拉，则〃?的倾斜角可以是

①15。，②30。，③45。，④60。，⑤75。.其中正确答案的序号是(写出所有正确答案的序号).

【答案】①⑤

【分析】先求两平行线间的距离为近，结合题意直线m被两平行线所截得的线段的长为2近得到直线机

与两平行线的夹角为30。，再根据已知直线的倾斜角进行求解.

设直线机与直线h6分别相交于点8,4,

则A8=2五，

过点4作直线/垂直于直线4,垂足为C,

则AC=d=&，

则在RtZXABC中，sinZABC=—=^=

AB~2\f2-2'

所以ZA8C=30,

又直线4的倾斜角为45。,

所以直线加的倾斜角为45+30=75或45-30=15.

故答案为：①⑤.

25.在直角坐标系中，已知加(2,1)和直线/:x-y=0,试在直线/上找一点P,在x轴上找一点。，使三角

形MPQ的周长最小，最小值为一.

【答案】屈

【分析】如图，作关于直线，:”-y=0的对称点N(l,2),作出"(2,1)关于x轴的对称点E(2,-1),

则连结EN,交直线/JF,交”轴则AMP。的周长的最小值等于|NE|.

【详解】解：如图，作出河(2,1)关于直线/：x-y=O的对称点N(l,2),

作出关于％轴的对称点打2-1),

连结EN,交直线/于P,交工轴于0，

.MP=PN,MQ=QE,

•••三角形MPQ的周长为线段极的长，

由两点间线段最短得此时三角形MPQ的周长最小，

三角形MP。的周长最小时，最小值为：|NE|=J(l-2)2+(2+1尸=M.

故答案为：A/10.

26.写出与圆O:f+y2=l,圆q：(x-2)2+(y-2)2=l都相切的一个圆的方程.

【答案】。-2)2+丁=1(答案不唯一)

【分析】根据对称性知，与圆。和圆01都相切的圆。的圆心O1在直线x+y-2=0上，进而求得其中•个

圆的方程，得到答案.

【详解】由题意，圆O:/+y2=i,圆a：(x—2)2+(y—2)2=l,

可得。(0,0)0(2,2),则四的中点坐标为(1,1),

根据对称性知，与圆。和圆。1都相切的圆。'的圆心。'在直线工+)」2=0上，

设0f(2,0),则圆Ol3—2y+y2=/,

例如当r=l,圆O':(x-2)2+y2=],

此时圆O'与圆。和圆Oi都相切，满足题意.

故答案为：(x-2)2+丁=1(答案不唯一)

27.在平面直角坐标系g中，已知“（3,0）,呜0）,动点。（X，y）满足\粽QM卜\2,直线/：

|QN|

（2/〃+l）x-（4加-l）y+，〃一l=O（〃zwO）与动点Q的轨迹交干4.8两点，记动点Q轨迹的对称中心为点C

则当‘ABC面积最大时，直线/的方程为

【答案】y=x

【分析】利用需=2,求出点。的轨迹方程，求出直线/过定点P

,设々C£>=6,结合直线与圆

的位置关系得到S.c=gx2co/exqcos。，即可求出二ABC面积最大时，直线/的方程.

+y

=2

【详解】设。（怎y）,由题意得T=八二

化简可得动点。的轨迹方程为。1）2+/=1,圆心为C（l,0）,半径为〃=1.

又由（2机+1）不一（46-l）y+m-1=0，可得（x+y-l）+m（2x-4y+l）=0.

1

x=—,

x+y-1=0,人,2

则由•2—解得

y

2

所以直线/过定点?

=六，

因为4-

所以点PT2在圆C的内部.

作直线CD_L/,垂足为。，设=0弓，

0--

此时CP_L/,又3=―^-=-1

1--

2

所以直线/的斜率为4=1,

所以直线/的方程为丁二工

故答案为：y=x

28.若圆C(x+iy+()，-2)2=2关于直线2奴+勿+6=0对称，由点P(“力)向圆C作切线，切点为A,则网

的最小值是,

【答案】4

【分析】由题意知圆心C(-l,2)在直线2奴+卧+6=0上，于是有。-5-3=0,即可得P(a,b)在直线

x-y-3=0±,作出图象，由图可得当CP与直线4-丁-3=0垂直时，|PA|有最小值，在RiZ\PC4中由勾股

定理求解即可.

【详解】解：由题意知，直线2奴+缈+6=0过圆心C(—1,2),即一加+给+6=0,

化简得3=0,

所以pg㈤在直线x-y-3=0上，如图，为使|P4|最小,

只需圆心c(—L2)与直线X-y-3=0上的点、的距离最小,

如图所示：

故答案为：4.

29.(1)已知两点43,-3),5(5,1),直线/:y=x,在直线，上求一点产，使+最小.

(2)已知两点4-3,3),5(5,1),直线/:y=x,在直线，上求一点P,使11%1-1尸训最大.

【答案】(1)尸9仁,9*;(2)0(9,9)

【分析】(1)先取作点A关于/对称点4,根据对称的性质结合不等式分析可得|网+归目=|知1+|四之同回,

运算求解；(2)先取作点A关于/对称点A,根据对称的性质结合不等式分析可得|附|-|户圳=俨划-陛帆4'网,

运算求解.

【详解】(1)如图1：43,-3),8(5,1)位于直线/:y=x的同侧

作点4(3,-3)关于/对称点4，，则4(-3,3),连接A'B交I于P,

•：\PA+\P^=\PA^\P^>\ArB\,则|削十|P同最小值为|A冏

,1-31I,、

直线/VB的斜率⑥8=5—(-3)=一“直线A力的方程：y-3=--(x+3),即x+4y-9=0

x=—9

x+4y-9=0/599

联立，得，.即“相•

ffll

(2)如图2：4-3,3),4(5,1)位于直线/:y=x的异侧

作点4(-3,3)关于/对称点4,则4(3,-3),连接48延长交/于P，

・・・惘-阿|=俨刈-附3椁|,即||为一归身最大值为|48|,

育线4A的斜率心，=上@=2.直线A0的方程：y+3=2(x—3),即2x-y-9=0

5—3

【