人教版八年级数学上册期末试卷培优测试卷

人教版八年级数学上册期末试卷培优测试卷

一.八年级数学全等三角形解答题压轴题（难）

1.如图，在48c中,AABC=3,加吠分别为切储C边上的高，连接DE,过点

D作DFJ_DE与点F,G为在中点连接DG-

（1）如图1.若点尸与点G重合，求证：AF±DF：

（2）如图2.请写出AF与DG之间的关系并证明.

【答案】⑴详见解析；（2）AF=2DG,且AFJLDG,证明详见解析.

【解析】

【分析】

（1）利用条件先△DAE今ADBF,从而得出AFDE是等腰直角三角形,再证明AAEF是等腰直角

三角形，即可・

⑵延长DG至点M,傅GMRG,交AF于点H,连接BM,先证明△BGM'AEGD,再证明△BDhT△DAF即

可推出.

【详解】

解：⑴证明:设BE与AD交于点H••如图，

SD

VAD.BE分别为BCzAC边上的高.

AZBEA=ZADB=90°.

VZABC=45°,

AAABD是等腰宜角三角形.

AAD=BD.

ZAHE二ZBHDz

AZDAC=ZDBH.

ZADB=ZFDE=90°,

ZADE=ZBDR

八ADAENDBF.

ABF=AE7DF=DE.

AAFDE是等腰直角三角形.

AZDFE=45°.

VG为BE中点，

ABF=EF.

AAE=ER

..AAEF是等腰直角三角形.

•••ZAFE=45°.

•••ZAFD~90o出［3AFIDR

(2)AF=2DG,且AF_LDG-理由涎长DG至点使GM=DGj交AF于点H,连接BM.

VZBGMZEGD,

AABGM'AEGD•

•••ZMBE=ZFED=45°fBM=DE.

AZMBE=ZEFD2BM=DR

VZDAC=ZDBE2

•••ZMBD=ZMBE+ZDBE=45°+ZDBE.

\•ZEFD二45°二ZDBE+ZBDR

••,ZBDF-450-ZDBE・

•/ZADE=ZBDF,

•••ZADF=90<,-ZBDF=45°+ZDBE=ZMBD.

VBD=ADZ

AABDM'ADAR

ADM=AF=2DGZZFAD=ZBDM-

VZBDM+ZMDA=90°,

AZMDA+ZFAD=90°.

•••ZAHD=90°.

•••AF±DG•

•••AF=2DG,且AFIDG

【点睛】

本题考查三角形全等的判左和性质，关键在于灵活运用性质.

2.如图1,在平而直角坐标系中，点D(“，m+8)在第二彖限，点3(0>n)在y轴正半

轴上，作乂_1_*轴，垂足为儿已知QA比0B的值大2,四边形AOBD的而积为12.

(2)如图2,C为A0的中点，DC与AB相交于点F.AF±BD,垂足为F,求证：AF=

DE.

(3)如图3,点G在射线AD上，且分=GB.H为GB延长线上一点，作ZHAN交y轴于点M且

ZHAN=±HBO,求NB-HB的恒.

Irl--4

【答案】(1)<C⑵详见解析；⑶NB-FBN(是定值)，即当点H在GB的n=2

延长线上运动时，的-俗的值不会发生变化.

【解析】

【分析】

(1)由点D,点3的坐标和四边形加劭的而积为12,可列方程组，解方程组即可：

(2)由⑵可知，AD=OA=4,0B=2,并可求出AB=BD=2卡,利用SAS可证

ADACt^AAOB,并可得ZAEC=90°,利用三角形而积公式即可求证：

(3)取OC=OB,连接AC,根据对称性可得ZABC=ZACB,AB=AC,证明AABH^ACAN,即可得到结

论.

【详解】

-m-/7=2

解：(1)由题意Qi,,o"、、.、

—(n+m+8)<_m)=12

W2

Irl--4

解得《：

H=2

(2)如图2中,

由⑴可知，A(-4.0)B(0,2；,D(-4.4),.AD=0A=4.0B=2,

•••由勾股泄理可得：AB=BD=2炳,

':AC=0C=2,

AC=0B9

9

：ZDAC=ZA0B=90°,AD=OA9

；.ADAC^AAOB(SAS),

■,•ZADC=ZBAO.

TZADC^ZACD=90\

•••ZE4C+ZACE=90°,

•••ZAEC=90°,

AF±BD.DE±AB.

11

•,SxD8二一ABAE一,BD-V4F,

22

AB=BD,

：.DE=AF•

(3)解：如图，取0C=08连接AC,根据对称性可得Z482I阳AB=AC.

9：AG=BG.

/.ZGAB=ZGBAf

TG为射线AD上的一点，

・・・AG〃y轴,

:.ZGAB=ZABC.

：.ZACB=ZEBA.

A1800-ZGBA=180°-ZACB,

即ZABG=ZACM

7ZGAN=ZGBO,

：.ZAGB=ZANCf

/±,AABG与"CN中，

ZABH=ZACN

<ZAHB=ZANC,

AB=AC

:.AABMAACN(AAS)t

:.BF=CN9

：.NB-HB=NB•CN=BC=IOB9

VOB=2

NB-FB=2X2=4(是定值)，

即当点，在G8的延长线上运动时，HB-施的值不会发生变化.

【点睛】

本题属于三角形综合题，全等三角形的判定和性质，解题的关键是相结合添加常用辅助线，构

造图形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题.

3.在四边形力8必中，F为BC边中点.

(I)已知：如图，若处平分次〃Z4£0二98点F为加上一点力B求证:

(1)△ABE^AFET(2)AD=AB+CD

(口)已知：如图，若处平分ZBAD.DE平分AADC.ZAED二120。，点£G均为4纵的点,

AF=AB.GD二曲证：(1)AGEF为等迅三角形;②AD=AB^-BC^CD•

【答案】(I)(1)证明见解析：(2)证明见解析：(II)(1)证明见解析：(2)证明见解析.

【解析】

【分析】

(I)⑴运用SAS证明加维7%即可：

(2)由⑴得出ZAEB=ZAEFtBE=EF,再证明ZkDEFSADEC(SAS),得出DF=DCt即可得出结论;

(H)CL)同(I)(1)得AABE'AAFE(SAS),ADGE"ADCE(SAS),由全等三角形的性质得出

BE=FE,ZAEB-ZAEF,CE=GE,ZCED=ZGED,进而证明ZiEFG是等边三角形：

(2)由AEFG是等边三角形得出GF二EE=BE二-BC,即可得出结论•

2

【详解】

(I)(1)VAE平分ZBAD,

AZBAE=ZFAE,

在AABE和ZkAFE中，

AB=AF

<ZBAE=ZFAE,

AE=AE

AAABE^AAFE(SAS),

(2)VAABE"AAFE.

AZAEB=ZAEF,BE=EFt

TE为BC的中点,

ABE=CE,

AFE=CE.

TZAED=ZAEF+ZDEF=90°,

•••ZAEB+ZDEC=90\

AZDEF=ZDEc,

在ADEF和ADEC中，

FE=CE

-ZDEF=ZDEC,

DE=DE

A△DEF7'△DEC(SAS),

ADF=DC.

VAD=AF+DF,

AAD=AB+CD;

(TT)<1)TE为BC的中点,

1

ABE=CE=-BC,

2

同(I)⑴得:AABE-AAFE(SAS),

△DEG"ADEC(SAS),

ABE=FE,ZAEB二ZAEhCE二GE,ZCED=ZGED,

VBE=CE,

AFE=GE,

TZAED=I20\ZAEB+ZCED=180°-120°二60°,

•••ZAEF+ZGED-600,

AZGEF=60\

AAEFG是等边三角形，

(2)VAEFG是等边三角形,

1

AGF=EF=BE=-BC.

2

VAD=AF+FG+GDt

1

AAD=AB+CD+-BC.

2

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判左与性质等知识：熟练掌握等边三

角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键.

4•如图，AB=12cn%oAC±AB,BD±AB.AC=BD=9cm,点P在线段AB上以3cm/s的速度,

由A向B运动，同时点Q在线段BD±由B向D运动.

(1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当运动时间匚1(S),△ACP与ABPQ是否

全等？说明理由，并直接判断此时线段PC和线段PQ的位置关系；

(2)将“AC_LAB,BD±ABn改为“ZCAB二ZDBA”，具他条件不变.若点Q的运动速度与点P

的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能使AACP与ABPQ全等.

(3)在图2的基础上延长AC,BD交于点E,使C,D分别是AE.BE中点，若点Q以

(2)中的运动速度从点B出发，点P以原来速度从点A同时出发，都逆时针沿AABE三边运

南，求出经过多长时间点P与点Q第一次相遇♦

2

【解析】

【分析】

⑴利用SAS证得ZkACP竺ZxBPQ,得出ZACP=ZBPQ,进一步得出

ZAPC+ZBPQ=ZAPC+ZACP=90°得出结论即可：

(2)由ZkACP旻aBPQ,分两种情况：①Ae=BP,AP=BQ.(2)AC=BQ,AP=BP,建立方程组求得

答案即可.

(3)因为VO<VP,只能是点P追上点Q,即点P比点Q多走PB+BQ的路程，据此列出方程，解这

个方程即可求得.

【详解】

⑴当t=l时,AP=BQ二3fBP=AC=9,

又VZA=ZB=90°,

AP=BO

在/\ACP与ZxBPQ中，<ZA=ZB,

AC=BP

AAACP-△BPQ(SAS)r

•••ZACP=ZBPQJ

•••ZAPC+ZBPQ=ZAPC+ZACP=90°,

ZCPQ=90°f

则线段PC与线段PQ垂直.

(2)设点Q的运动速度X.

①若AACP旻ABPCb则AC=BP,AP=BQ

9二12-/

<

t=Xt

②若AACP旻ABPQ,则AC=BQ।AP=BP,

9=Xt

r=12-r

7=6解得4

3,

X=—

2

f/=3P=6

综上所述.存在｛.或<3使得AACP与ABPQ全等.

x=lX=一

2

（3）因为VO<VPf只能是点P追上点Q,即点P比点Q多走PB+BQ的路程，设经过X秒后P与Q

第一次相遇，

VAC=BD=9cm,C,D分别是AE.BD的中点；

：•EB=EA=I8cni•

当Vo=l时，

依题总得3X=X+2X9f

解得X=9；

3,11VQ二一时，

3

依题意得3X=-X+2X9-

2

解得X=12.

故经过9秒或12秒时P与Q第一次相遇.

【点睛】

本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是熟练的掌握一元一次方程的性质与运算•

5•如图，在.MBC中,ZC=90°,AC=3,BC=7,点D是BC边上的动点，谯掇

和.以AD为斜边在AD的下方作等腰直角三角形ADE•

(1)填空：MBC的而积等于」

(2)连接CE,求证：CE是ZACB的平分线：

(3)点。在BC边上，且C0=I,当D从点0出发运动至点B停止时，求点E相应的运动路

程.

【答案】⑴-：(2)证明见解析；(3)3V2

【解析】

【分析】

(1)根据直角三角形的而积计算公式直接汁算可得：

(2)如图所示作出辅助线，证明△AEhTADEN(AAS),得到ME二NE,即可利用角平分线的判定

证明：

(3)由⑵可知点E在ZACB的平分线上，当点D向点B运动时，点E的路径为一条直线，再

根据全等三角形的性质得出CN=I(AC+CD),根据CD的长度讣算出CE的长度即可.

【详解】

解：(1)ZC=90°,AC=3,BC=/

S.=—ACxBC=—x3x7=—

&RADrC222

故答案为：—

2

⑵连接CE,过点E作EM±AC于点M,作EN±BC于点N.AZEMA二ZEND=90%

又VZACB=90%

AZMEN=90\

AZMED+ZDEN=90°,

V△ADE是等腰宜角三角形

AZAED=90°,AE=DE

•••ZAEM+ZMED=90\

・IZAEM=ZDEN

•・・在ZkAEM与ZkDEN中，

ZEMA=ZEND=90\ZAEM=ZDEN,AE=DE

AAAEM*ADEN(AAS)

…•ME=NE

•・.点E在ZACB的平分线上，

即CE是ZAeB的平分线

(3)由⑵可知，点E在ZACB的平分线上，

・・・当点D向点B运动时，点E的路径为一条直线,

VAAEM"ADEN

AAM=DN.

即AC-CM=CN-CD

在RtACME与RtZkCNE中，CE=CEtME=NE,

ARtACME'RtACNE(HL)

ACM=CN

ACN=一(AC+CD),

2

又VZMCE=ZNCE=45°,ZCME=90°,

・・・CE=&JN=—(AC+CD)

2

当AC=3,CD=CO=I时,

CE=21(3+1)=272

2

当AC=3,CD=CB=7时.

CE=^(3+7)=5x/2

2

・・・点E的运动路程为：5J2—2J2=372>

c

B

E

【点睛】

本题考查了全等三角形的综合证明题.涉及角平分线的判立，几何中动点问题，全等三角形的

性质与判定，解题的关键是综合运用上述知识点.

6.如图1,在加8c中，ZACB=90,杉=8C直线MN经过点C,且AD_LM）V于点D,BE±MN

于点E.易得DE=AD+BE（不需要证明）.

（1）当直线MN绕点C旋转到图2的位要时，其余条件不变，你认为上述结论是否成立？

若成立，写出证明过程；若不成立，请写出此时DE、AD.BE之间的数量关系，并说明理由；

（2）当直线MN绕点C旋转到图3的位卷时，其余条件不变，请直接写出此时

DF、AD.BE之间的数量关系（不需要证明）•

【解析】

【分析］

CDDE.AD、BE之间的数疑关系是DE=AD-BE.由垂直的性质可得到ZCAD二ZBCE,i正得

△ACD^ACBE>得到AD=CE,CD=BE,即有DE=AD-BE；

（2）DE、AD、BE之间的关系是DE二BE-AD.证明的方法与⑴一样.

【详解】

⑴不成立.

DE、AD.BE之间的数量关系是DE=AD-B&

又ZACD+ZBCE=90°,

AZCAD二ZBCEf在Z\ACD和ACBE中,

ZADC=ZCEB=90。

ZCAD=ZBCE

AC=CB

AAACD"ACBE(AAS),AAD=CE,CD二BE,ADE=CE-CD=AD-BE:⑵结论：DE=BE-AD.

IM

Cl

VZACB=90d,BEJ_CE,AD_LCE,AC=CB,

AZACD+ZCAD=90°,

又ZACD+ZBCE=90°,

AZCAD=ZBCEt

在ZiACD和ACBE中，

ZADG=ZCEB=90°

-ZCAD=ZBCE,

AC=CB

AAADC'ACEB(AAS).

AAD=CE,DC=BE,

ADE=CD-CE=BE-AD.

【点睛】

本题考查了旋转的性质、直角三角形全等的判压与性质，旋转前后两图形全等，对应点到旋转

中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线段所夹的角等于旋转角.

2

7.如图，在△ABC中，8C=S,高融BE相交于点0,8D=—CQ，且AE=BE.

3

⑴求线段A0的长；

⑵动点P从点。出发，沿线段"以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，动点。从点B出

发沿射线BC以每秒4个单位长度的速度运动，P,Q两点同时出发，当点P到达A点时，P、0

两点同时停止运动•设点P的运动时间为t秒，’夕。。的而积为S，请用含/的式子表示S,并直

接写出相应的f的取值范围；

⑶在⑵的条件下，点F是直线AC上的一点且CF=B。.是否存在f值，使以点

B、0、P为顶点的三角形与以点尸约为顶点的三角形全等?若存在，请直接写出符合条件的/值;

若不存在，请说明理由•

【答案】(1)5：(2)①当点0在线段BD上时，QD=2—4/,f的取值范用是

OVf②当点Q在射线DC上时，QD=4t2tt的取值范围是i"W5•(3)

22

存在，/=1或I•

【解析】

【分析】

(1)只要证明ZxAoE今ABCE即可解决问题；

(2)分两种情形讨论求解即可①当点Q在线段BD上时，QD=2-4t,②当点Q在射线DC上时，

DQ=4t-2时：

(3)分两种情形求解即可①如图2中，当0P二CQ时，BOP-AFCQ.②如图3中，当

OP=CQ时，AB0P9AFCQ;

【详解】

解：⑴VAD是高，…•ZADC=90

*BE是高，…・ZAEB=ZBEC=90

••・ZEAO+ZACD=90,ZEBC+ZECB-90,

•••ZEAo=ZEBC

1/18和MCE中，

ZEAO=ZEBC

AE=BE

ZAEO=ZBEC

:.AAOE仝ABCE

，••AO=BC=5；

2

(2)NBD=-CD9BC=S

3

/BD=2.CD=3,

根据题意，OP=t.BO=4f,

①当点Q在线段BD上时，0D=2-4/.

•••S=±r(2-40=-2r+t9t的取值范围是OVfV

22

②当点0在射线Qe上时，0D=4/-2,

••,S=I/(4r-2)=2r-t,t的取值范围是-GW5

22

(3)存在.

①如图2中，当OP=CQ时，VOB=CF,ZPOB=ZFCQ,AABOP^AFCQ.

ACQ=OP,

A5-4t=tt

解得E,

②如图3中，当OP=CQ时，VOB=CF,ZPOB=ZFCQ,A△BOP"△FCQ.

图3

ACQ=OP.

A4t-5=t,

解得t=?•

3

综上所述，t=l或?S时，ABOP与ZkFCQ全等.

3

【点睛】

本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、三角形的面积等知识，解题的关键是灵活

运用所学知识解决问题，属于中考常考题型•

8.如图1,等AC=BC=72/NCB=45”,能是3c边上的高，D为线段A0上一动点，以CD

为一边在CD下方作等腰4CDF,使CD二CEaZDCE=45°,连结8F.

⑴求证：AACD竺ABCE；

⑵如图2,在图1的基础上，延长BE至QP为BQ上一点，连结CP、CQ若CP=CQ=S求

PQ的长.

⑶连接0E,直接写出线段0E的最小值.

【解析】

试题分析：⑴根据SAS即可证得AACD^BCE;

(2)首先过点C作CH_L30于〃，由等腰三角形的性质，即可求得ZmC=45°,则根据等腰

三角形与直角二角形中的勾股左理即可求得PQ的长.

(3)0E_LB0时，0E取得最小值.

试题解析：(1)证明：TAABC与/次茎是等腰三角形,

:.AC=BC,DC=EC,ZACB=ZDCE=45%

.ZACD+ZDCB=ZECB+ZDCB-45。，

..ZACD=ZBCE；

二4缈和Zx3CF中,

AC=BC

<ZACD=ZBCE

DC=EC,

.\△ACD'ABCFCSAS);

(2)首先过点C作CH_LBQ于〃,

H

(E2)

⑵过点C作CHJL3Q于H,

VAABC是等腰三角形，ZACB=45°,40是BC边上的高，

・•­ZDAC=45°,

••AACD丝“BCE,

:.ZPBC=ZDAC=45°,

・・•在RtAB//C①，CH=BCX-=4J2X^二4,

22

...PC=CQ=5,CH=4,

PH=QH=3,

r•PQ-6.

(3)0E_LBQ时，OE取得最小值.

最小值为：BE=4-2J2-

9.如图1,在等边△&3c中，£,D两点分别在边43、BC上，BE=CD,血,CE相交于点

F.

(1)求NAFE的度数：

(2)过点&作AH_LCE于H,求证：2FH+FD=CE;

2PF

(3)如图2,延长CE至点P,连接3P,ZBPC二30。，且CF二-CP.求——的值・

9AF

(提示：可以过点A作Z/C4f=60%AK交PC于点K,连接KB)

【答案】(2)ZMQ600；(2)见解析；(3)-

5

【解析】

【分析】

(1)通过证明2x8g得到对应角相等，等虽:代换推导出ZAFE=60°；

(2)由(1)得到ZAFE二60。，宏二朋则在生//初中利用30°所对的直角边等于

斜边的一半，等:％代换可得：

(3)通过在PF上取一点K使得皿6作辅助线证明△初K和AACF全等，利用对应边相

等，等量代换得到比值・(通过将AACF顺时针旋转60°也是一种思路)

【详解】

(1)解：如图1中.

V△ABC为等边三角形，

；.AC=BC,ZBAC=ZABC=ZACB=60°,

在力宏和ACAD中，

BE=CD

<ZCBE=ZACD=60°,

BC=CA

；•'BCE竺CAD(SAS),

.\ZBCE=ZDAC.

9

:ZBCE+ZACE=6(f9

：.ZDAC^ZACE=60\

：.ZAFE=60\

(2)证明：如图1中，TAH1.EC,

•••ZAHF二90°,

在RtAAFH中，VZAFH=60%

AZfiAH=30°,

二•AF=2FH\

^EBC仝ADCA,

:.EC=AD.

■.■AD=AF+DF=2FH七DF,

:.2FHWF=EC.

(3)解：在PF上取一点K使得仔斗£连接AK、BK.

A

K/

Hl

=2D

VZAFK=60\AF=KF,：♦/"TT为等边三角形,

••,ZKAF=60\：.ZKAB=ZFAC./27融和ZxGCF中，

AB=AC

ZKAB=ZACF,

AK=AF：."BK△ACF(SAS),BK=CF

:.ZAKB=ZAFC=I2O09

:.ZBKE=I2O0-60°=60°t

\.ZBPC=S(f9

•••ZPBK==30<»,

•..BK=CF=PK=-CP.

9

•一PF=CP-CF-/CP,

9

45

••.AF=KF=CP-(CF+PK)=CP—CP--CP

.PF二CP」y芬彩・

9

【点睛】

掌握等边三角形、直角三角形的性质，及三角形全等的判左通过一定等量代换为本题的关

键.

10.在等边△彳8。中，点D是边BC上一点•作射线点B关于射线AD的对称点为点E.连接

CE并延长，交射线AD于点F.

(1)如图，连接彳尸

(1)熊与AC的数量关系是:

②设ZBAF=a用Q表示ZBCF的大小；

(2)如图，用等式表示线段4月配EF之间的数量关系，并证明.

B

【答案】(1)①AB=AE;②ZBCF=«J(2)AF-EF=CF,理由见详解.

【解析】

【分析】

(1)①根据轴对称性，即可得到答案：

②由轴对称性，得：AE二AB,ZBAF=ZEAF=«，由Zx»宓是等边三角形，得AB二AC,

ZBAC=ZACB=60°,再根据等腰三角形的性质和三角形内角和等于180°,即可求解：

(2)作ZFCG=60°交AD于点G,连接BF,易证AFCG是等边三角形，得GF=FC,再证ZkACG竺

ABCF(SAS),从而得AG二BF,进而可得到结论.

【详解】

(1)①•••点3关于射线AD的在称点为点E,

AAB和AE关于射线4?的对称，

AAB=AE.

故答案是：AB=AE;

②T点B关于射线AD的对称点为点E,

・°•AE=AB,ZBAF=ZEAF=Ct,

V贪是等边三角形，

AAB=AC,ZBAC=ZACB=60°

AZEAC=60°-2a,AE=AC,

.ZACE=£[180—(60-2a)]=60+a,

AZBCF=ZACE-ZACB=60+a-60°=a.

(2)AF-EF二CF,理由如下：

作ZFCG=6(T交AD于点G,连接BF.

VZBAF二ZBCF二Q'tZADB=ZCDFt

AZABC=ZAFC=60°,

AAFCG是等边三角形，

AGF=FC,

V78c是等边三角形，

ABC=AC,ZACB=60°,

-ZACG=ZBCF=a-

在AACG和ABCF中，

CA=CB

•.•ZACG二乙BCF,

CG=CF

AAACG'ABCF(SAS),

AAG二BF,

•••点3关于射线&D的对称点为点E,

AAG=BF=EF,

VAF-AG=GF,

AAF-EF=CE

【点睛】

本题主要考查等边三角形的性质和三角形全等的判定和性质泄理，添加辅助线，构造全等三角

形，是解题的关键•

八年级数学轴对称解答题压轴题（难）

11•如图1.△ABC中，AB=AC,ZBAC=90%D、E分别在BC、AC边上，连接AD、BE相

交于点F,KZCAo=lZABE.

E2图3

⑴求证：BF=AC;

⑵如图2,连接CF,若EF二EC,求ZCFD的度数：

(3)如图3,在⑵的条件下,若AE=3,求BF的长.

【答案】(1)答案见详解：(2)45。，(3)4.

【解析】

【分析】

(1)设ZCAD=X,则ZABE=2x>ZBAF=90°-x,ZAFB=I8O°-2X-(90°•X)=90"-x,进而得

到ZBAF=ZAFB,即可得到结论：

⑵由ZAEB=90°-2x>进而得到ZEFC=(90°-2x)4-2=45°-X,由BF二AB,可得：

ZEFD=ZBFA=90°X根据ZCFD:ZEFD-ZEFC,即可求解；

⑶设EF=EC=X,则AC二AE+EC=3+x,可得BE=BFEF=3+x-rX=3+2X,根据勾股宦理列出方程，即

可求解.

【详解】

(1)设ZCAD二X,

1

VZCAD=-ZABE,ZBAC=90",

2

AZABE=2x,ZBAF=90°-x,

VZABE+ZBAF+ZAFB=180°,

AZAFB=I8O°-2XJ90°-X)=90°-Xt

AZBAF=ZAFB,

ABF二AB;

VAB=AC,

ABF=AC:

(2)由⑴可知：ZCAD=x,ZABE=2xtZBAC二90二

AZAEB=90°-2X,

VEF=ECt

AZEFc=ZECF,

•ZEFC+ZECF=ZAEB=90°-2X»

AZEFC=(90-2x)+2=45°-X,

VBF=AB,

一•ZBFAZ.ZBAF=(18(r-ZABE)4-2=(180°・2X)+2=90°-Xt

•••ZEFD二ZBFA=90°-x,

AZCFD=ZEFD-ZEFC=(90°-x)-(450-x)=45°:

(3)由(2)可知：EF=EC,

・••设EF=EC=X,则AC二AE+EC=3+x,

•'•AB-BF=AC=3+x,

ABE=BF+EF=3+x+x=3+2X>

VZBAC=90A,

•一Ag+A户=BE'

・・•(3+X)2+32=(3+2x)2,

解得：XFltA2=-3（不合题意，舍去）

ABF=3+x=3+l=4•

【点睛】

本题主要考查等腰三角形的性质泄理和勾股左理，用代数式表示角度和边长，把几何问题转化

为代数和方程问题，是解题的关键.

12.再读教材:

宽与长的比是旦（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调,匀称的美感.

2

世界各国许多著名的建筑.为取得最佳的视觉效果,都采用了黄金矩形的设计，下面我们用宽为

2的矩形纸片折叠黄金矩形.（提示;MN=2）

第一步,在矩形纸片一端.利用图①的方法折出一个正方形撕后把纸片展平.

第二步，如图②.把这个正方形折成两个相等的矩形,再把纸片展平.

用②

第三步，折出内侧矩形的对角线AB,并把AB折到图③中所示的AD处，

第四步,展平纸片,按照所得的点D折出DE,使DE±ND,则图④中就会出现黄金矩形，

问题解决：

（D图③中AB二（保留根号）；

（2）如图③.判断四边形BADQ的形状,并说明理由；

（3）请写出图④中所有的黄金矩形,并选择其中一个说明理由.

（4）结合图④.请在矩形BCDE中添加一条线段，设计一个新的黄金矩形，用字母表示出来，并写

出它的长和宽.

【答案】（1）点：（2）见解析；（3）见解析；（4）见解析.

【解析】

分析：（1）由勾股定理计算即可；

（2）根据菱形的判立方法即可判断；

（3）根据黄金矩形的定义即可判断；

（4）如图④T中，在矩形8CZ应上添加线段使得四边形GC2W为正方形，此时四边形

8G依为所求是黄金矩形•详解：（1）如图3中.在RtAA8C中，AB=V4C2+初二V12+

2:=J5.

故答案为石•

⑵结论：四边形84M是菱形・理由如下:

如图③中，I四边形彳①尸是矩形，:BQ//AD•

\'AB//DO.A四边形ABQD是平行四边形，由翻折可知：力8=4?，A四边形MQD是菱形.

NACD

图④

MD=75•AN=AC=!tCD=AD-AC=V5-1•

\'BC=2,2=2N!,…•矩形/ME是黄金矩形.

BC2

MN2、尺

V----------L,・・・矩形制跳是黄金矩形.

P/VI+V52

⑷如图④T中，在矩形员ME上添加线段劭，使得四边形伙切〃为正方形，此时四边形

66隹为所求是黄金矩形.

长GH=J5•1,宽HE=3-75•

点睛：本题考查了几何变换综合题、黄金矩形的立义、勾股定理、翻折变换等知识，解题的关

键是理解题意f灵活运用所学知识解决问题，属于中考创新题目•

13.如图，中，Z48C=Z4微点D在BC所在的直线上，点E在射线AC上，且4。二4“连

接口£•

(1)如图①，若ZB=ZC=35°,ZfiAD=80°,求2颇■的度数：

(2)如图②，若ZABC二ZACB=75°,ZeDE二18。，求ZfiQ的度数：

(3)当点D在直线BC上(不与点C重合)运动时，试探究Z3Q与ZC然的数量关系，并说明理

曰・

【答案】(1)40°：(2)36o：(3)ZBAD与ZCDE的数量关系是2ZCDE=ZBAD.

【解析】

【分析】

(1)根据等腰三角形的性质得到ZBAC=IIO°,根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质

即可得到结论：

(2)根据三角形的外角的性质得到ZE=750-18°=57°,根据等腰三角形的性质和三角形的外角

的性质即可得到结论：

(3)设ZABC=ZACB=y%ZADE=ZAED=XxZCDE=a,ZBAD邙，分3种情况：①如图

1,当点D在点B的左侧时，ZADC=X°-Q,②如图2,当点D在线段BC上时，ZADC=y°+a,③如图3,

当点D在点C右侧时，ZADC=y°-a，根据这3种情况分别列方程组即，解方程组即可得到结

论.

【详解】

⑴VZB=ZC=35°,

AZBAC=I10°,

VZBAD=80°,

c

AZDAE=30r

VAD=AE,

•••ZADE=ZAED=75°,

/.ZCDE=ZAED-ZC=75°-35°二40°:

c

⑵VZACB=75°zZCDE=18,

AZE=750-18°=57°,

•••2人。£二2八£。=57°,

AZADC=39°,

VZABC=ZADB-rZDAB=75°,

•••ZBAD=36°.

(3)设ZABC二ZACB二y%ZADE=ZAED=XJiZCDE二a,ZBAD二B

①如图1,当点D在点B的左侧时，ZADC=X°-a

y=V+a①

门①"②得，2a-p=O

y=x-a+p®

•••2a邙：

②如图2,当点D在线段BC上时，ZADC=y°+a

y°=x°+a①

②•①得,a=P-a

y+«=X+P@

A2a=B:

③如图3,当点D在点C右侧时，ZADD=y°-a

y-〃+£+夕=180・①

，酚①得，2a-p=0

不。+,。+4=180•②

A2a=B.

综上所述，ZBAD与ZCDE的数量关系是2ZCDE=ZBAD.

考核知识点：等腰三角形性质综合运用-熟练运用等腰三角形性质和三角形外角性质，分类讨

论分析问题是关键.

14.泄义：如果两条线段将一个三角形分成3个小等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个

三角形的三分线.

(1)如图1,在Z\4BC中，AB=AC,点£)在人0边上，且/庐8户8c，求ZA的大小；

(2)在图1中过点C作一条线段CE,使BD,CF是△&8c的三分线；在图2中画出顶角为45°

的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数：

(3)在Zx/I宓中，ZB=30°,AD和DF是Zx4宓的三分线，点D在BC边上，点E在AC边

±,且AD二80,。E二请直接写出ZC所有可能的值.

【答案】(I)ZA=36o：(2)如图所示：见解析；(3)如图所示：见解析；ZC为

20。或40°的角.

【解析】

【分析】

(1)利用等边对等角得到三对角相等，设ZA=ZABD=x,表示出ZBDC与ZC,列出关于X的方

程，求出方程的解得到X的值，即可确总出ZA的度数.

（2）根据（1）的解题过程作出AABC的三等分线：45。自然想到等腰直角三角形，过底角

一顶点作对边的高，发现形成一个等腰直角三角形和直角三角形.直角三角形斜边的中线可形

成两个等腰三角形：第二种情形以一底角作为新等腰三角形的底角，则另一底角被分为45。

和22.5°,再以22.5。作为等腰三角形的底角，易得此时所得的三个三角形恰都为等腰三角

形；

（3）用呈:角器，直尺标准作30。角，而后确泄一边为BA,一边为BC,根拯题意可以先固

泄BA的长，而后可确泄D点，再分别考虑AD为等腰三角形的腰或若底边，兼顾A、E、C在同

一直线上，易得2种三角形ABC：根据图形易得ZC的值；

【详解】

9

（1）AB=AC9

：.ZABC=ZGBD=BC=AD.

:.ZA=ZABD9ZC=ZBDC.

J8（f-X

rZA=ZABD=x.则ZBDC=2xgZC=--------------------

2

可得2x=解得:x=36\

则ZA=36。；

（2）根据（1）的解题过程作出AABC的三等分线，如图1；

由45。自然想到等腰直角三角形，有两种情况，

①如图2,过底角一顶点作对边的高，形成一个等腰直角三角形和直角三角形.直角三角形斜

边的中线可形成两个等腰三角形；

②如图3,以一底角作为新等腰三角形的底角，则另一底角被分为45。和22.5°,再以22.5。

作为等腰三角形的底角，易得此时所得的三个三角形恰都为等腰三角形：

（T）^AD=AE^0

V2x+x=30°+30%

Ax=20°:

②当AD=DE时，

V30o+30°+2x+x=180°.

Ax=40°:

综上所述，ZC为20。或40。的角.

【点睛】

本题主要考查了三角形内角、外角间的关系及等腰三角形知识，解题的关键是学会用分类讨论

的思想思考问题，属于中考常考题型.

15.已知：等边AABC中.

（1）如图1,点M是BC的中点，点"在AB边上，满足ZAMN=60。，求_1的

BN

值.

（2）如图2,点M在QB边上（M为非中点，不与4、〃重合），点N在CB的延长线上且

ZMNB二ZMCB,求证：AM=BN.

（3）如图3,点P为AC边的中点，点E在的延长线上，点F在BC的延长线上，满

BF-BF

足7AEP=ZPFC,求-------------的值

BC

3

【答案】（1）3：（2）见解析；（3）

2

【解析】

【分析】

（1）先证明AAA/B,△A/BN与AM4N均为直角三角形，再根据直角三角形中30。所对

的直角边等于斜边的一半，证明BM=2BN,AB=2BM,最后转化结论可得出BN与AN之间的数量关

系即得：

（2）过点M作ME/7BC交AC于E,先证明AM二ME,再证明AMEC与△/VBM全等，最后转化边

即得；

（3）过点P作PMJBC交AB于M.先证明M是AB的中点，再证明AEMP与AFCP全等，最后

转化边即得.

【详解】

(1)•.«△ABC为等边三角形，点M是BC的中点.AM平分ZBAC,AM±BC,ZB=

ZBAC=60o

..ZBAM=30°,ZAMB=90°

•…ZAMN-60°

…•ZBAM+ZAMZV=90。，ZBMN=30。

♦,.ZANM=90°

:•ZBNM=180°-Z4W=90°

・・.在RtABNM中,BM=2BN

在心AABM中，48=IBM

，••AB=AN+BN=2BM=4BN

AN

.AN=3BNRP----=3.

BN

(2)如下图：

过点M作ME/7BC交AC于E

AZCME=ZMCB,ZAEM=ZACB

JMBC是等边三角形

一ZA=ZABC=ZACB=60°

.­•ZAEM=ZACB二60。，ZMBN=I20。

:.ZCEM=ZMBN=\2F,ZAEM=ZA=6(f

/.AM二ME

•・•ZJWTVB=ZMCB

AZCME:ZMNB,MN=MC

….在WEC与△/VBM中

ZCME二乙MNB

<ZCEM=乙MBN

MC=MN

:.AMEC"NBM(AAS)

•.ME=BN

••AM=BN

(3)如下图：

A

P

P时

t

过点P作Plv1〃BC交AB于M

•••ZAMP=ZABC

J施C是等边三角形

AZA=ZABC=ZACB=60°,AB=AC=BC

••・ZAMP=ZA=60。

AAP=MP^ZEMP-180°-ZAMP=120°,ZFCP-180°-ZACB=120°

.\A4例是等边三角形，ZEMP=ZFCP=120.

•••AP=MP=AM

VP点是AC的中点

,•.AP=PC=MP=AM=-AC=-AB=±BC

222

•••AM=MB=-AB

2

任AEMP与AFCP中

ZEMP=ZFCP

<ZAEP=ZPFC

MP=PC

一.比MP竺MCP(AAS)

：,ME=FC

13

..BF-BE=FC+BC-BE=ME+BC-BE=MB+BC=~BC+BC=-BC

22

ABF-BE2_；■

BC~2

【点睛】

本题考查全等三角形的判左，等边三角形的性质及判左，通过作等边三角形第三边的平行线构

造等边三角形和全等三角形是解题关键，将多个量转化为同一个量是求比值的常用方法.

16.已知Z'ABC.

(D在图①中用直尺和圆规作出,8的平分线和BC边的垂直平分线交于点0(保留作图痕

迹，不写作法）.

（2）在（1）的条件下，岩点E分别是边BC和四土的点，且CD=