2024-2025学年初升高数学预备知识：集合的概念（全国）

专题01预备知识一：集合的概念

学习目标

1、通过具体的实例，能根据集合中元素的确定性、互异性和无序性判断某些元素的全体是否能组成集合，

发展数学抽象素养.

2、知道元素与集合之间的关系，会用符号"e”"二'表示元素与集合的关系，能用常用数集的符号表示有

关集合.

3、会根据具体问题的条件，用列举法表示给定的集合；能概括给定数学对象的一般特征，并用描述法表示

集合，提高语言转换和抽象概括能力，增强用集合表示数学对象的意识，发展数学抽象素养.

迟梳理

1.元素与集合的概念及表示

(1)元素：一般地，把研究对象统称为元素，元素常用小写的拉丁字母C...表示.

(2)集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，集合通常用大写的拉丁字母4民。…表示.

(3)集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合是相等的.

2.元素的特性

(1)确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的.也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这

个集合中就确定了.简记为“确定性”.

(2)互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的.也就是说，集合中的元素是不重复出现的.简记为“互异

性”.

(3)无序性：给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的.简记为“无序性”.

3.元素与集合的关系

(1)属于：如果。是集合力的元素，就说。属于集合力,记作ae/.

(2)不属于：如果。不是集合力的元素，就说。不属于集合力,记作(2任/.

4.常用的数集及其记法

常用数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集

数学符合NN*或N.ZQR

5.列举法

把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号"｛『'括起来表示集合的方法叫做列举法.

注意：(1)元素与元素之间必须用“，”隔开.

(2)集合中的元素必须是明确的.

(3)集合中的元素不能重复.

（4）集合中的元素可以是任何事物.

6.描述法

（1）定义：一般地，设/表示一个集合，把集合力中所有具有共同特征尸（x）的元素x所组成的集合表示为

{xe/|P（x）},这种表示集合的方法称为描述法.有时也用冒号或分号代替竖线.

（2）具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线

后写出这个集合中元素所具有的共同特征.

.’对点特训

对点特训一：集合的基本概念

典型例题

例题1.（23-24高一上•新疆•阶段练习）下列对象中不能构成一个集合的是（）

A.某校比较出名的教师B.方程X-2=0的根

C.不小于3的自然数D.所有锐角三角形

例题2.（23-24高一上•广东深圳•阶段练习）给出下列表述：①联合国常任理事国；②坪高全体游泳健将;

③方程/+》7=0的实数根；④全国著名的歌手，以上能构成集合的是（）

A.①③B.①②C.①②③D.①②③④

精练

1.（23-24高一上•河南新乡•阶段练习）下列元素的全体不能组成集合的是（）

A,中国古代四大发明B,地球上的小河流

C,方程/T=0的实数解D,周长为10的三角形

2.（23-24高一上•云南保山•阶段练习）下列各组对象能构成集合的是（）

A.著名的数学家B.很大的数

C,聪明的学生D.2022年保山市参加高考的学生

对点特训二：判断元素与集合的关系

典型例题

例题1.（2024高一上•全国・专题练习）用符号“e”或“走”填空:

(1)若/={x\x2=无},则-1A；

（2）若54|/+》-6=0},贝IJ3B；

（3）若。="€川上尤V10},贝IJ8C,9.1C.

（4）-2{x|x2<5}；

⑸（2,3）{（x,j）|x+2y=3）;

（6）2017{x\x=4n-l,neZ},

（7）1Q,兀Q,疗R,V2+V3R.

例题2.（23-24高一上•福建厦门•阶段练习）已知由实数组成的集合A,1人，又满足：若xe",则/eN.

1-x

（1）A能否是仅含一个元素的单元素集，试说明理由;

（2）A中含元素个数一定是3”（〃eN*）个吗？若是，给出证明，若不是，说明理由.

精练

1.（23-24高一上•安徽亳州•期末）给出下列关系：①0eN；②&任Q；③卜3,N；④卜阎eQ.其中正

确的个数为（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

2.（23-24高一上•河南南阳•阶段练习）已知集合A中的元素x满足x-l>2,则下列选项正确的是（）

A.5e/,且-4eZB.5eZ,且-4e/

C.5e/,且一4e工D.5eZ,且.—4eA

对点特训三：利用集合中元素的互异性求参数

典型例题

例题1.（多选）（23-24高一上诲南省直辖县级单位•期中）若2e{"7-l,2m,/-1},则实数加的可能取

值为（）

A.3B.V3C.1D.-V3

例题2.（23-24高一•江苏•课后作业）已知集合A中有三个元素：a-3,2a-i,/+1,集合B中也有三

个元素：0,1,x.

（1）若-3eZ,求实数。的值；

⑵若/eB,求实数x的值.

精练

I.（23-24高一上•山东烟台・期中）若集合/=-加},且Oe/,则加的值为（）

A.0B.1（2.0或1口.0或-1

2.（23-24高一•全国•课后作业）由2-“，4组成一个集合4且/中含有3个元素，则实数。的取值

可以是（）

A.1B.-2C.-1D.2

对点特训四：用列举法表示集合

典型例题

例题1.（23-24高一上•安徽芜湖•阶段练习）方程组["+'=3的解构成的集合是（）

[x-y=-l

A.{1,2}B.{x=l,v=2}C.（1,2）D.{（1,2））

例题2.（23-24高二下•辽宁阜新•期末）集合4=eN：用列举法表示为.

精练

1.（23-24高一上•北京•期中）已知集合/={1,2,3},B={y\y=x\x^A}^\B=（用列举法表

示）,

2.（23-24高一上•陕西延安•阶段练习）已知集合”={。|-eN+，且aeZ},则"等于______（用列

5-a

举法）

对点特训五：用描述法表示集合

典型例题

例题1.（2024高一上•全国・专题练习）用描述法表示下列集合:

（1）不等式2x-3<1的解组成的集合A；

（2）被3除余2的正整数的集合B；

（3）C={2,4,6,8,10}；

（4）平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合。.

例题2.（23-24高一上•宁夏吴忠•阶段练习）用适当的方法表示下列集合:

(1)大于1且不大于17的质数组成的集合A；

(2)所有奇数组成的集合B；

(3)平面直角坐标系中，抛物线y=/上的点组成的集合C；

(4)O={(x,y)|x+y=5,xeN+，yeN+}；

精练

1.(2024高一上•全国•专题练习)用适当的方法表示下列集合:

(1)奇数的集合；

(2)正偶数的集合；

(3)5={(x,y)k+y=4,xwN",yeN*}；

(4)不等式3x-827-2x的解集.

2.(2024高一上•全国・专题练习)用适当的方法表示下列集合:

(1)一年中有31天的月份的全体；

⑵大于-3.5小于12.8的整数的全体；

(3)所有能被3整除的数的集合；

⑷方程(尤T(x-2)=0的解集；

⑸不等式2x-l>5的解集；

(6)抛物线了=Y上的点组成的集合.

对点特训六：集合中的含参问题

角度1:已知集合相等求参数

典型例题

例题1.（2024・江西・模拟预测）已知实数集合/={1,0/},8={02,°,仍},若/=8,贝1]/。23+62。23=（）

A.-1B.0C.1D.2

例题2.（23-24高一上•江苏无锡•期中）已知aeR,beR,若集合={/,。+仇。},则产3+/期的

值为.

同类题型归类练

1.（23-24高一上•重庆渝中•阶段练习）已知集合，=其中6>0,则实数a+b=.

2.（23-24高一上•河南郑州•期中）含有三个实数的集合既可表示为{"2,0},也可表示为{a,a+6,1},则

a

a+b的值为.

角度2：已知集合元素个数求参数

典型例题

例题1.（23-24高一上•广东广州•期末）已知集合/=卜|#-2尤+1=0}只有一个元素，则实数。的值为（）

A/或。B.0C.1D.1或2

例题2.（2022高一上•全国•专题练习）已知集合/={x|ax2-3x+2=0,xeR,tzeR}.

（1）若/是空集，求。的取值范围；

⑵若N中只有一个元素，求”的值，并求集合/；

⑶若/中至少有一个元素，求〃的取值范围.

精练

1.（2024高一上•全国•专题练习）若集合/={x|加/+2x+2=0}中有两个元素，则实数机的取值范围为

A.{加|加w0}B.

2]

C.\>D.0<m<—

[2JI2

2.（21-22高一上•西藏林芝・期末）集合/=卜际-3x-2=0,"0}中只有一个元素，则实数“的值是.

3.（23-24高一上•宁夏吴忠•阶段练习）已知集合/={xeR|a/+2x+l=0},其中aeR.

（1）若集合A中有且仅有一个元素，求实数〃组成的集合B.

（2）若集合A中至多有一个元素，求实数。的取值范围.

;绵合演练

一、单选题

1.（23-24高三下•四川雅安•阶段练习）若集合/={-2,1,4,8},B={xy\xA,yA\,则8中元素的最小值

为（）

A.-16B.-8C--2D.32

2.（2024•全国•模拟预测）已知集合/={x|x=34+l/eZ},则下列表示正确的是（）.

A.-2&AB.2023生A

C.3左2+1任/D.—35e/

3.（2022高一上•全国・专题练习）设集合/={1,2,3},5={4,5},C={x+y\xA,y&B},则C中元素的

个数为（）

A.3B.4C.5D.6

4.（2022高一上•全国•专题练习）下列命题中正确的（）

①0与{0}表示同一个集合；

②由1,2,3组成的集合可表示为{1,2,3}或{3,2,1};

③方程（x-l）2（x-2）=0的所有解的集合可表示为{1,1,2）;

④集合任|4<尤<5}可以用列举法表示.

A,只有①和④B.只有②和③

C.只有②D.以上语句都不对

5.（23-24高一上•湖南常德•期末）集合/={x|x=2左，左eZ},3=1|x=2左+1,左eZ},C=£|x=4左+1,左eZ）,

又贝IJ（）

A.（a+b）eNB.（tz+6）e5

C.（a+6）eCD.（a+b）e/,8,C任一•*

6.（22-23高一上•全国•期中）已知集合/={-1,0,1,2},3={1x=gae46e/},则8的元素个数是（）

A.16B.8C.6D.4

7.（23-24高一上•重庆•期末）已知集合/={xeR|--G-a+l<0},若2e/,则实数”的取值范围是（）

A.jaa>-|jB.a<-|jC.„<5}D.„<3}

8.（23-24高一上•河南郑州•期中）设集合/=卜阿-2<机},若2e/且3任/,则实数〃?的取值范围是（）

A.6<m<10B.6<m<10C.6<m<10D.6<m<10

二、