2024-2025学年九年级上学期人教版数学期末综合测试试题（含答案解析）

2024-2025学年九年级上学期人教版数学期末综合测试试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.下列图案中是中心对称图形的是（）

3.关于龙的一元二次方程化-1）无2+4x+l=。有实数根，则左的取值范围是（）.

A.k<5B.左<5且上wlC.左45且左片1D.k<5

4.已知。的直径为6,点尸在。内，则线段OP的长度可以是（）

A.5B.4C.3D.2

5.若。是方程尤2+3尤_1=0的一个根，贝l]2/+6a+2022=（）

A.-2020B.2024C.2022D.2023

6.如图，在,ABC中，BC=6,AC=8,AB=1Q,。是它的内切圆，用剪刀沿。切线

£»£1剪一个AADE,贝！LADE的周长为（）

7.将抛物线y=/-2x+3先沿水平方向向左平移1个单位，再沿竖直方向向下平移3个单

位，则得到的新抛物线的解析式为（）

A.y=(x-2)2+3B.y=(x—2)?+5C.y=x2+4D.y=x2-l

8.如图，在正方形ABC。中，AB^l,以2为圆心，班为半径作圆弧，交CB的延长线于

点E,连结DE.则图中阴影部分的面积为（）

9.如图，在等边三角形ABC中，有一点尸，连接E4、PB.PC,将3尸绕点B逆时针旋转

60。得到即，连接尸。、AD,有如下结论：①,BPC—BDA；②△瓦）「是等边三角形；

③如果/3PC=150。，那么次二夫不+2。.以上结论正确的是（）

10.二次函数y=+6x+c的图象如图所示，对称轴是直线x=l.下列结论：①次?c>0；

②3a+c>0；（3）a+c>-b；@5a-2b+c<0.其中结论正确的个数为（）

\II

-I\o।7x

A.1个B.2个C.3个D.4个

试卷第2页，共8页

二、填空题

11.菱形的两条对角线的长是方程d-5x+3=0的两根，则菱形的面积是—.

12.已知关于x的一元二次方程尤2十履一6=0的一个根是2,则另一个根的值是.

13.若天、龙2是方程X2-6X-2024=0的两个实数根,则代数式犬-4占+2%的值等于.

14.如图，A2是0直径，点C在।。上，8,45垂足为。，点£是，O上动点(不与C

重合)，点尸为CE的中点，若AD=3,CD=6,则D尸的最大值为.

4

15.如图，已知二次函数y=-§(x+l)(x-5)的图象与x轴交于A、B(点B在点A的右侧)

两点，顶点为C,点尸是y轴上一点，且使得PB-PC最大,则P点的坐标为.

16.如图，点I为△ABC的内心，连AI交△ABC的外接圆于点D,若4WCD,点E为

弦AC的中点，连接EI,IC,若/CW,ID=5,则IE的长为

17.如图，尸是抛物线>=-炉+工+3在第一象限上的点，过点P分别向x轴和〉轴引垂线,

垂足分别为4B,则四边形阳周长的最大值为

三、未知

18.如图，在VABC中，NACB=30。,8c=7,AC=5,尸为三角形内一点，则B4+PS+PC的

最小值为.

四、解答题

19.解方程:

(l)x(x+5)=5x+25；

（2）X2-6X-7=0.

20.学校为提高研学质量，选取了A.“槟榔谷”，8.“国家水稻公园”，C.“呀诺达雨林”,

。.“白鹭营地”四个研学基地.为了解学生对以上研学基地的喜欢情况，随机抽取部分学生

进行调查统计（每名学生只能选择一个研学基地），并将调查结果绘制成两幅不完整的统计

图（如图所示）.

请根据统计图中的信息解答下列问题:

试卷第4页，共8页

(1)在本次调查中，一共抽取了一名学生，在扇形统计图中A所对应圆心角的度数为」

(2)将上面的条形统计图补充完整；

(3)若该校共有480名学生，请你估计选择研学基地C的学生人数；

(4)学校想从选择研学基地D的学生中选取两名学生了解他们对研学活动的看法，已知选择

研学基地D的学生中恰有两名女生，请用列表法或画树状图的方法求出所选2人都是男生

的概率.

21.如图，VABC中，AB=AC,以AB为直径作。，交BC边于点,D,交C4的延长线于

点E,连结AD,DE.

⑴求证：BD=CD；

(2)若AB=5,AZ)=3,求DE的长.

22.2024年巴黎奥运会顺利闭幕，吉祥物“弗里热”深受奥运迷的喜爱，一商场以20元的进

价进一批“弗里热”纪念品，以30元每个的价格售出，每周可以卖出500个，经过市场调查

发现，价格每涨5元，就少卖50个.

(1)若商场计划一周的利润达到8000元，并且更大优惠让利消费者，售价应定为多少钱？

(2)因商场改变销售策略，在不改变(1)的销售价格基础上，销售量稳步提升，两周后销售

量达到了484个，求这两周的平均增长率.

23.如图，已知抛物线＞=加+a+3经过点A(LO)和点3(-3,0),尸为第二象限内抛物线

上一点.

(1)求抛物线的解析式;

⑵连接B4,PB,当工叩=6时，求出点P的坐标.

24.某村为了提高广大农户的生活水平，经过市场调查，决定推广种植某特色水果.该水

果每千克成本为20元，每千克售价需超过成本，但不高于50元，某农户日销售量y（千克）

与售价x（元/千克）之间存在一次函数关系，部分图象如图所示，设该水果的日销售利润

为W元.

03040x（元/千克）

⑴分别求出y与x,w与％之间的函数解析式；

（2）该农户决定从每天的销售利润中拿出100元设立“救助基金”，以帮助其他邻居共同致富，

若捐款后该农户的剩余利润是900元，求此时水果的售价；

（3）若该水果的日销量不低于90千克，当售价单价定为多少元时，每天获取的利润最大，最

大利润是多少元.

25.如图，。是VABC的外接圆，ZB=60°,且C4=CE.

⑴求证：CE是。的切线；

⑵若DE=2,求「。的半径长.

26.如图，直线y=-gx+2与y轴、x轴分别交于点8、点C,经过3、C两点的抛物

线”办?+bx+c与x轴的另一个交点为

试卷第6页，共8页

B

(1)求二次函数的解析式;

(2)点尸为该二次函数的图象在第一象限上一点，当的面积最大时，求尸点的坐标;

⑶在(2)的条件下，在平面直角坐标系中找一点Q,当8、C、尸、。为顶点所构成的四

边形是平行四边形时，直接写出。的坐标.

27.如图VABC中，ZACB=90°,8E平分/ABC交AC于点E,以点E为圆心，EC为半

径作E交AC于点E

(2)若AB=15,BC=9,试求AF的长.

28.如图，抛物线尸加+法+2与x轴交于点4-1,0)和点8(4,0),与y轴交于点C,连接BC,

点D在抛物线上.

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图1,点。在第一象限内的抛物线上，连接8。，CD,请求出△BCD面积的最大值;

(3)点。在抛物线上移动，连接C。，存在〃CB=/ABC,请直接写出点。的坐标.

试卷第8页，共8页

参考答案:

题号12345678910

答案BBCDBBDDDB

1.B

【分析】根据中心对称图形的概念判断.把一个图形绕某一点旋转180。，如果旋转后的图

形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形.

【详解】解：选项A、C、D都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180。后与原来

的图形重合，所以不是中心对称图形，不符合题意.

选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180。后与原来的图形重合，所以是中心

对称图形，符合题意.

故选：B.

【点睛】本题考查的是中心对称图形，解题的关键是掌握中心对称图形是要寻找对称中心，

旋转180度后与自身重合.

2.B

【分析】分别计算整个图形的面积和阴影部分面积，再根据概率公式求解即可.

【详解】解：整个图形面积=4*4=16,

阴影部分面积=4xgx2xl=4,

41

.♦•小球停在阴影区域的概率=5=：,

164

故选：B.

【点睛】本题主要考查了几何概率公式，解题的关键是掌握几何概率公式：一般用阴影区域

表示所求事件;然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件发生的概率.

3.C

【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式，即可解答.

【详解】解：l）f+4x+l=0是一元二次方程，

・•・左一1W0,解得：kwl,

•.•一元二次方程化-l*+4x+l=0有实数根，

/.A=/72-4oc=42-4（Zr-l）xl>0,

解得：k<5,

答案第1页，共23页

综上：人的取值范围是左45且左wl,

故选：C.

【点睛】本题主要考查了已知一元二次方程根的情况求参数的取值范围，解题的关键是熟练

掌握当加-4ac>0时，方程有两个不相等的实数根；当加-4改=0时，方程有两个相等的

实数根；当4m<0时，方程没有实数根.

4.D

【分析】本题考查了点与圆的位置关系，设厂为圆半径，d为点到圆心距离.当d<r时，

点在圆内；当时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；据解决本题的关键是根据点到圆

心的距离与半径的大小关系判断OP的长度.

【详解】解：的直径为6,

Q的半径为3,

I点尸在。内，

:.PO<3,

尸的长度可以是2.

故选：D.

5.B

【分析】本题考查了一元二次方程的解，先根据一元二次方程解的定义得到〃+3。-1=0,

再把变形为〃+3。=1,然后利用整体代入的方法计算.

【详解】解:是方程Y+3x-1=0的一个根,

••a~+3a—1=0,

,,6Z-+3。=1,

2a2+6。+2022=2(a2+3a)+2022=2x1+2022=2024.

故选：B

6.B

【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心，勾股定理，切线的性质，解决本题的关键是掌

握切线的性质.设VA3C的内切圆切三边于点RH,G,连接OFOH,OG,由切线长定

理可知AF=AG,根据DE是。的切线，可得=EM=EG,根据勾股定理可得

ZACB=90°,得四边形。"CG是正方形，再求出内切圆的半径为:(AC+3C-AB),进而

可得VADE的周长.

答案第2页，共23页

【详解】解：如图，设VA5C的内切圆切三边于点尸、H、G,连接。/、OH、OG,

由切线长定理可知AF=AG,BF=BH,CH=CG,

；DE是:。的切线，

MD=DF,EM=EG,

VBC=6,AC=8,AB^IO,

，AB2=AC2+BC2,

：.ZACB=90°,

则四边形OHCG是正方形，

,/。是VABC的内切圆，

内切圆的半径=；(C"+CG)=g(AC+3C-AB)=2,

CG=2,

：.AG=AC—CG=8—2=6,

AF=AG=6,

，AADE的周长为：AD+DE+AE=AD+DF+EG+AE^AF+AG^6+6^12.

故选：B.

7.D

【分析】本题主要考查了抛物线的平移，抛物线的平移法则“将抛物线＞=。。-/?)2+左向左

(或右)平移m个单位长度，再向上(或向下)平移〃个单位长度所得新抛物线的解析式为：

y=a(x-h±m)2+k±n,(即左右平移时：左加、右减；上下平移时：上加、下减)”是解答

本题的关键.

先将抛物线y=/-2x+3的解析式配方，再根据“抛物线的平移法则”进行分析判断即可.

【详解】解：*•'y=X2—lx+3=(%—1)2+2,

.,•将抛物线y=/-2x+3先向左平移1个单位，再向下平移3个单位，得到的新抛物线的

答案第3页，共23页

解析式为：丁=(%-1+1)2+2-3=工2一1,

故选：D.

8.D

【分析】本题主要考查了扇形的面积计算方法，根据S阴影=S扇形ABE+S正方形-SDCE，进行

计算即可得出答案，不规则图形的面积通常转化为规则图形的面积的和差.

【详解】解：'在正方形ABCD中，AB=1,ZABC=90°,

:.BE=1,BC=CD=1,NASE=90。，

CE=BE+BC=2,

••S阴影=S扇形ABE+S正方形ABC。_SDCE

_71

4

故选：D.

9.D

【分析】①根据等边三角形的性质得出帅=3C,NABC=60。，根据旋转的性质得出

BD=BP,ZDBP^60°,即可求证；②根据旋转的性质得出80=8尸,203尸=60。，即可证明

△BDP是等边三角形;③根据等边三角形的性质得出/血)尸=60。根据全等三角形的性质得

出NADB=150。，则NADPnNADB—NBDPngO。，即可推出24?=正比+尸^.

【详解】解：①:VABC是等边三角形，

AAB=BC,ZABC=60°,

1/BP绕点B逆时针旋转60°得到BD,

BD=BP,NDBP=60°,

：.ZABC-ZABP=ZDBP-ZABP,即ZABD=ZCBP,

AB=BC,ZABD=NCBP,BD=BP,

：.BPC&BDA,故①正确，符合题意；

②；3尸绕点B逆时针旋转60。得到80,

BD=BP,ZDBP=60°,

是等边三角形，故②正确，符合题意；

③是等边三角形，

答案第4页，共23页

NBDP=6。。

•/BPCqBDA,NBPC=150°,

ZADB=150°,

：.ZADP=ZADB-Z.BDP=90°,

AP^=PBi+PCi,故③正确，符合题意；

综上：正确的有①②③，

故选：D.

【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾

股定理，解题的关键的掌握旋转前后对应边相等；全等三角形的判定方法以及全等三角形对

应角相等；等边三角形的判定方法以及等边三角形三个角都是60度；直角三角形两直角边

平方和等于斜边平方.

10.B

【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数系数与图像的关系是解本题的关键.

根据图像可知：。>0,人<o,C<0,从而可判断结论①;根据对称轴得出-6=2a,当X=-1时，

可得结论②；当x=l时可得结论③；当x=-2时，y=4<7-26+c>0,根据°>0,可得出

5a-26+c>0,从而判断结论④.

【详解】解：根据图像可知：«>0,Z,<0,c<0,

abc>0,故①正确；

:对称轴是直线x=l,

._±=1

2a'

.'.b=-2a,即一b=2々，

当龙=-1时，y=a-b+c>0,

即3a+c>0,故②正确；

当龙=1时，y=a+b+c<G,

即a+c<—b,故③错误；

当％=-2时，y=4a—2b+c>0,

<2>0,

「.4a—2Z?+c+a>0,

即5a—2b+c>。，故④错误；

答案第5页，共23页

故正确的结论有①②共2个，

故选：B.

11.-

2

【分析】本题考查了解一元二次方程根与系数的关系和菱形的面积，根据根与系数的关系得

出菱形的两对角线的积为3,再根据面积公式求出即可.

【详解】解：设方程x2-5x+3=0的两个根为。，b,

则由根与系数的关系得：ab=3,

:菱形的两条对角线的长是方程Y-5x+3=0的两根，

菱形的对角线的积为3,

菱形的面积是：1x3==3,

22

故答案为|.

12.-3

【分析】此题主要考查了解一元二次方程，以及根的定义.先把尤=2代入原方程，求出左

的值，进而再将人的值代入原方程，然后解方程即可求出方程的另一个根.

【详解】解：；x=2是方程/+五一6=0的一个根，

22+2^-6=0,

解得：k=l,

将％=1代入原方程得：X2+X-6=0,

x

解得：i=2,X2=-3,

方程的另一个根为-3.

故答案为：-3.

13.2036

【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，代数式求值等知识点，熟练掌握一

元二次方程根与系数的关系是解题的关键：如果一元二次方程axz+bx+c：。的两个实数根

E3/bc

是X］、x,那么X］+々=__,尤］x,=—.

2aa

根据一元二次方程根的定义以及根与系数的关系可知才-6占=2024,玉+%=6,将

x：-4XI+2尤2变形后得到犬一6芯+2（芯+%），代入求值即可.

答案第6页，共23页

【详解】解：占、马是方程好一6%-2024=0的两个实数根,

%：-6%一2024=0,玉+々=6,

%；-6阳=2024,

?.X：一4七+2X2

二芯2-6M+2%i+2%

―6%+2（玉+x2）

=2024+2x6

=2024+12

=2036,

故答案为：2036.

14.7.5

【分析】本题考查了垂径定理，三角形中位线定理，勾股定理，延长。交，.。于点G,连

接GE、OC,根据垂径定理得到CD=DG,推出。尸=^GE,得到当GE取最大值时，。尸也

2

取得最大值，设，。的半径为厂，则OD=r-3,利用勾股定理求出「即可求解，掌握知识

点的应用是解题的关键.

【详解】解：延长CD交I。于点G,连接GE、OC,

,：CDLAB,即CGLAB,AB是，。的直径,

:.CD=DG,

:点尸为CE的中点，

DF=-GE,

2

当GE取最大值时，。厂也取得最大值，

设，：。的半径为，，则8=—3,

答案第7页，共23页

在RtAOCD中，OC?=OD2+CDi,

Ar2-(r-3)2+62,解得：r=7.5,

GE的最大值为15,

的最大值为7.5,

故答案为：7.5.

【分析】先确定A、B、C的坐标，再根据三角形的三边关系得出PB-PC<3C,进而可得

出当尸、C、8在同一条直线上，PB-PC=BC,即此时尸3-尸。有最大值BC,然后求出BC

的解析式，进而可求出点P的坐标.

【详解】解：由题意可知：A、B、的坐标分别为（-1,0）、（5,0）,

.,.对称轴直线为：x=2

顶点C的坐标为（2,4）,

如图，当P、C、8不在同一条直线上，根据三角形的三边关系有：PB-PC<BC,

当尸、C、2在同一条直线上，PB-PC=BC,即此时PB—PC有最大值BC.

设BC的解析式为y=Ax+6,

5k+b=0

则

2k+b=4

解得：on

b=—

[3

420

・・・5C的解析式为：y=+

当％=0时，则丁=2,0，

则点尸的坐标为

故答案为

答案第8页，共23页

p

\B

~O\x

【点睛】本题考查了二次函数的性质，求一次函数解析式，以及利用三角形的边的关系确定

线段的最大值，其中运用三角形边的关系确定最大值是解答本题的关键.

16.4

【分析】由已知条件可得到ID=BD=DC,可得I、B、C三点在以D点位圆心的圆上，过点D

做DFUC与点F,可得四边形EIDF为平行四边形，可得IE=DF,即可求出IE的长.

如图：I为△ABC的内心，可得NBAD=/CAD,，BD=CD,

XZDIC=ZDAC+ZACI,ZICD=ZICB+ZBCD

其中/DAC=/BAD=/BCD,ZACI=ZICB,

ZDIC=ZICD

ID=CD,■.ID=BD=DC=5,可得AI=2CD=10

可得I、B、C三点在以D点位圆心的圆上，过点D做DFJ_IC与点F,

可得IF=FC(垂经定理)，

在RTAIFD中，DF=J/D2-(1/C)2=A/52-32=4,

又在△AIC中，AE=EC,IF=FC,

.,.EF为△AIC的中位线，

.•.EF/7AD,gpEF//ID,且EF=；A/=5=ID,

四边形EIDF为平行四边形，可得IE=DF=4,

故答案：4.

答案第9页，共23页

【点睛】本题主要考查圆的垂经定理，圆周角定理及平行四边形相关知识，难度较大，需综

合运用各知识求解.

17.8

【分析】本题考查了二次函数的最值及二次函数的图像上点的坐标特征，最后根据二次函数

的性质求最值是解题的关键.

设点P的坐标为（X,y）,0＜工＜二手》＞0,根据四边形Q4PB的周长得到:

C--2（X-1）2+8,再由二次函数的性质即可求得最大值.

【详解】解：当y=0,贝!）-/+%+3=0,

解得“号1

设点尸的坐标为（X,y）,0＜x＜l+＞0,

由题意可知：四边形Q4PB的周长C=OA+AP+5P+8O=2x+2y,

•*.C—2x+2(-尤2+x+3)=-2厂+4.x+6=-2(x-1)~+8,

5-2＜。，。＜1

・・・当x=l时，C有最大值8.

故答案为：8.

18.774

【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，勾股定理，添加恰当辅助线构造等边

三角形是本题的关键.

将绕点C顺时针旋转60。，得到△即C,连接P。、BE,则BE的长即为所求.

【详解】如图，将绕点C顺时针旋转60。，得到△££心，连接尸£＞、BE,

APC&,EDC,ZPCD=ZACE=60°,CP=CD,CA=CE=5,

PA=DE,

：.PC=PD

PA+PB+PC=PB+PD+DE>BE,

答案第10页，共23页

ZACB=30°,

/.ZBCE=ZACB+ZACE=30°+60°=90°.

在Rt5CE中，ZBCE=90°,BC=1,CE=5,

:.BEVBC'CP="+52=用，

即K4+P5+R?的最小值为".

故答案为：V74.

19.(1)%=—5,尤2=5；

⑵士=7,x2=—]•

【分析】本题考查的是解一元二次方程，掌握一元二次方程的解法是解题关键.

(1)利用因式分解法解方程即可；

(2)利用因式分解法解方程即可；

【详解】(1)解：x(x+5)=5x+25,

x(x+5)=5(x+5),

/.(x+5)(x-5)=0,

x+5=0或％-5=0,

解得：玉=-5,%=5；

(2)角轧x2-6x-7=0

(x-7)(x+l)=0,

x-7=0或x+l=0,

解得：玉=7,x2=-l.

20.(1)24；30°

(2)见解析

⑶120名

(4)；

O

【分析】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图，能够读懂条形统计图和扇

形统计图：

答案第11页，共23页

(1)用选择研学基地8的人数除以其所占百分比，可得本次被调查的学生人数；用A的学

生人数除以本次被调查的学生人数再乘以可得选择研学基地A所对应的圆心角的度数.

(2)求出选择研学基地C、。的学生人数，补全条形统计图即可.

(3)用选择研学基地C所占百分比乘以480即可.

(4)画树状图得出所有等可能的结果数和所选的两人恰好都是男生的结果数，再利用概率

公式可得出答案.

【详解】(1)解：一共抽取了12+50%=24名学生，

2

在扇形统计图中A所对应圆心角的度数为3600x葭=30。；

24

故答案为：24；30°

(2)解:选C的人数为24x25%=6名，

选D的人数为24-2-12-6=4名，

将条形统计图补充完整，如图，

y

即选择研学基地C的学生人数为120名;

(4)解：选择研学基地。的学生有2名男生和2名女生，画树状图如下:

共有12种等可能的结果，其中所选2人都是男生的结果有2种,

21

所选2人都是男生的概率为=；；；=7.

126

21.⑴见解析

答案第12页，共23页

（2）4

【分析】本题考了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这

条弧所对的圆心角的一半：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90。的圆周角所对的弦是直

径，也考查了等腰三角形的性质.

（1）根据圆周角定理得到/AD3=90。，再根据等腰三角形三线合一即可得到=CD；

（2）先利用勾股定理计算出口＞=8=4,再由等腰三角形和圆周角定理证明NE=NC,

所以=

【详解】（1）证明：M是，。的直径，

:.ZADB=90°.

即AD13C,

AB=AC,

BD=CD.

（2）解：在中，

AB=5,AD=3,

BD=YIAB2-AD2=旧-y=4.

，CD=4.

AB=AC,

.•.NB=NC.

ZB=NE,

:./E=NC.

：.DE=DC=4.

22.⑴40元

（2）10%

【分析】本题考查的是一元二次方程的应用，确定相等关系是解本题的关键.

（1）设售价应定为每个X元，则每个利润为（x-20）元，销量为500-y（x-30）个，再利

用总利润为8000元，再建立方程解题即可；

（2）由（1）得：当售价为每个40元时，销量为400个，设这两周的平均增长率为九再

结合增长率的含义建立方程求解即可.

【详解】（1）解：设售价应定为每个x元，则

答案第13页，共23页

(x-20)500-y(x-30)=8000

整理得：%2-100x+2400=0,

解得：%=40,%=60；

:更大优惠让利消费者，

x=60不符合题意,

商场计划一周的利润达到8000元，并且更大优惠让利消费者，售价应定为每个40元;

(2)解:由(1)得：当售价为每个40元时，销量为400个，

设这两周的平均增长率为丁，贝的

400(1+»=484,

解得：M=0」=1。％,%=-2.1(不符合题意舍去)，

/.这两周的平均增长率为10%.

23.(1)y=-X?—2x+3

⑵点P的坐标为(-2,3)

【分析】本题主要考查了求二次函数解析式和三角形面积问题等知识点，正确利用待定系数

法求表达式是解答本题的关键.

(1)直接运用待定系数法求解即可；

(2)首先求出=1-(-3)=4,然后根据S-=6得到gA2•%=6,代数求出力=3,然

后代入＞=-丁-2工+3求出x=-2,进而求解即可.

【详解】(1)解：将点4(1,0)和点3(-3,0)代入广加+法+3,

a+b+3=0a——1

,解得

9a-3b-1-3=0b=-2

:.抛物线的解析式为y=-2x+3；

(2)解：：A(LO),3(—3,0),

/.AB=l-(-3)=4；

S4PAe=6,

—AB-Vp=6,即］x4y?=6,

答案第14页，共23页

**•%=3；

将%=3代入y=—r—2x+3得，3=—x2—2x+3>

解得％=-2或%=0；

・・,尸为第二象限内抛物线上一点，

••x=-2,

.,•点尸的坐标为(一2,3).

24.(l)y=-2x+160；W=-2x2+200x-3200(20<x<50)

⑵该食品的售价为30元/千克

(3)售价为35元时，每天获利最大为1350元

【分析】(1)设丁与x的函数关系式为：y=kx+b(k^0),代入(30,100),(40,80),可求得女

和6;根据利润=(售价-进价)x销量，可表示出W；

(2)根据利润=(售价-进价)x销量TOO,列出一元二次方程，然后解方程即可求得答

案，注意售价的范围是否满足要求；

(3)根据该水果的日销量不低于90千克，可求得20<xW35,由W=-2(x-50)2+1800可

知，该图象开口向下，对称轴为直线久=50,从而判断出x=35时，W有最大值，将x=35

代入，可求得答案.

【详解】(1)解：设>与x的函数关系式为：y=kx+b(k^O),

[00=30左+6

把(30,100),(40,80)代入得，

[80=40左+6

k=-2

解得

6=160,

・.•1与X的函数关系式为：y=-2x+160

W=(x-20)•y=(x-20)(-2x+160)

即W=-2x2+200%-3200(20<%<50)

(2)解：由题意得，-2x2+200x-3200-100=900-

整理得，%2-100x+2100=0

解得%=70,x2=30

Q20<x<50

答案第15页，共23页

/.x=30

答：此时水果的售价为30元/千克；

(3)解:Q-2x+160>90,

解得x<35,

/.20<x<35,

W=-2尤2+200.x-3200=-2(%-50)2+1800

a=-2<0,对称轴为直线尤=50,

该图象开口向下，

二在x<50时，W随x的增大而增大，

「.x=35时，W取最大值，止匕时W=—2x(35—50)2+1800=1350(元)，

答：售价为35元时，每天获利最大为1350元.

【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，二次函数与利润问题，二次函数的最值

问题，一元二次方程与利润问题，熟练掌握以上知识点是解题的关键.

25.⑴见解析

(2)2

【分析】本题考查圆周角定理，切线的判定，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握圆周角定

理和切线的判定是解题的关键：

(1)连接OC,根据圆周角定理，得到NAOC=120。，等边对等角，推出NOCE=90。，即

可得证；

(2)连接CO,圆周角定理，得至U/ACD=90。，证明CDE是等腰三角形，得至l]CD=DE,

再根据含30度的直角三角形的性质，进行求解即可.

【详解】(1)证明：连接OC.

/3=60。，

ZAOC=120°,

,：OA=OC,

答案第16页，共23页

・•・ZCAO=ZOCA=30°.

•:CA=CE,

：.ZCAE=ZCEA=30°.

：.NACE=120。.

・•・ZOCE=ZACE-ZOCA=120°-30°=90°,

•・,oc是。的半径，

・・・CE是。。的切线.

(2)解：连接CZ).

由(1)得，ZC4E=30°,

■:CA=CE

：.ZE=ZA=30°.

・・・为直径，

^ACD=90°,CD=-AD.

2

：.ZADC=90°-ACAD=60°,

JZDCE=ZCDA-ZE=60°-30°=30°.

:.NDCE=NE.

：.CD=DE,

;DE=2,

：.CD=DE=2

：.AD=2CD=4.

：.AO=DO=2,

即，：。的半径为2.

13

26.(1)y~—x9-\—x+2

22

(2)(2,3)

答案第17页，共23页

⑶（6,1）或（2,-1）或（一2,5）

【分析】（1）先求出点2,C的坐标，再利用待定系数法求解；

（2）先求出直线BC的解析式，作PDLx轴于点。，交直线2C于点E,设点

P（P，-（p2+|p+2j,用含p的二次函数表示出3cp的面积，即可求解；

（3）设点。的坐标为（&,%）,分点P在第一、二、四象限三种情况，利用平行四边形的

性质列方程，即可求解

【详解】（1）解：＞=一31+2中，令尤=0,得＞=2,

令y=0,则-gx+2=0,解得x=4,

..8（0,2）,C（4,0）,

将A（-l,0）,8（0,2）,C（4,0）代入、="2+法+c,

1

a=——

a-b+c=02

得：＜c=2,解得-c-2

16a+4b+c=073

b=—

2

13

二二次函数的解析式为y=--%2+1%+2；

（2）解：设直线BC的解析式为、=〃比+",

将3（。,2）,C（4,。）代入，得［仁…,

n=2

解得1，

I2

直线BC的解析式为y=-；x+2.

如图，作轴于点。，交直线3c于点E,

答案第18页，共23页

设点尸［p，—gp2+Tp+2，则+

，1

二.PE=—gp2+Lp+2-^-^p+2^=-^p+2p,

22

■■•SPBC=^PE\xc-xB)=^x^-^p+2p^x4=-p+4p=-(p-2'f+4,

.•.当0=2时，S「sc取最大值4,

i3iQ

——p2+-p+2=——X22+-X2+2=3,

2222

•••尸点的坐标为(2,3)；

(3)解：设点。的坐标为(4,%),分三种情况，

xQ+xB=xp+xc

当点。在第一象限时,

几十%=%+%’

XQ+0=2+4

%+2=3+0'

无2=6

解得

%=1

二点。的坐标为（6,1）；

x+x=x+x

同理，当点。在第四象限时，QpBc

、%+%=%+%

XQ+2=0+4

即《：,

y0+3=2+O

XQ=2

解得

%=T

•・•点2的坐标为（2,-1）；

x+x=x+x

当点。在第二象限时,QcBp

几十无二%+%

XQ+4=0+2

即，

%+0=2+3'

XQ=-2

解得

V。=5

答案第19页，共23页

•••点Q的坐标为(一2,5)；

综上可知，点。的坐标为(6,1)或(2,-1)或(-2,5).

【点睛】本题属于二次函数综合题，考查一次函数的图象和性质，二次函数的最值，平行四

边形的性质等，第二问的关键是用二次函数表达出S