2024-2025学年四川省泸州市高二上册10月月考数学检测试题（含解析）

2024-2025学年四川省泸州市高二上学期10月月考数学检测试题一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若复数的实部与虚部相等，则实数m的值为（）A B. C.1 D.32.已知向量，，若，则实数的值为（）A.1 B.3 C. D.3.某保险公司为客户定制了A，B，C，D，E共5个险种，并对5个险种参保客户进行抽样调查，得出如下的统计图：

用该样本估计总体，以下四个说法错误的是（）．A.57周岁以上参保人数最少B.18～30周岁人群参保总费用最少CC险种更受参保人青睐D.31周岁以上的人群约占参保人群80％4.在轴与轴上截距分别为的直线的倾斜角为（）A. B. C. D.5.某射手在一次训练中五次射击的成绩分别为9.4，9.4，9.4，9.6，9.7，则该射手成绩的极差和方差分别是（）A.0.2，0.127 B.0.3，0.016 C.0.4，0.080 D.0.3，0.2166.“a＝b＝1”是“直线ax－y+1＝0与直线x－by－1＝0平行”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件7.在正方体中，交于点，则异面直线与所成角的余弦值为（）A B. C. D.8.在中，有，则的最大值是（）A. B. C. D.二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的按比例得分9.某次校十佳歌手评比中，10位评委给出的分数分别为，计算得平均数，方差，现去掉一个最高分10分和一个最低分5分后，对新数据下列说法正确的是（）A极差变大 B.中位数不变C.平均数变小 D.方差变大10.已知复数(i为虚数单位)在复平面内对应的点为，复数满足，则下列结论正确的是（）A.点在复平面上的坐标为 B.C.的最大值为 D.的最小值为11.如图，正方形的棱长为3，动点在内，满足，则下列说法正确的是（）A.B.与平面所成的角的正弦值为C.始终为钝角三角形D.点的轨迹长度为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知向量，，在上的投影向量的模为10，则____________.13.已知直线l过两条直线与的交点，且点到直线l的距离为1，则直线l的方程为__________．14.在三棱锥P-ABC中，，点M，N分别是PB，BC的中点，且，则平面AMN截三棱锥P-ABC的外接球所得截面的面积是___________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15.据调查，某市政府为了鼓励居民节约用水，减少水资源的浪费，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个合理的居民用水量标准（单位：吨），月用水量不超过的部分按平价收费，超出的部分按议价收费．为了了解全市居民用水量分布情况，通过抽样，获得了户居民某年的月均用水量（单位：吨），其中月均用水量在内的居民人数为39人，并将数据制成了如图所示的频率分布直方图．（1）求和的值；（2）若该市政府希望使的居民月用水量不超过标准吨，试估计的值；（3）在（2）的条件下，若实施阶梯水价，月用水量不超过吨时，按3元吨计算，超出吨的部分，按5元吨计算．现市政府考核指标要求所有居民的月用水费均不超过70元，则该市居民月用水量最多为多少吨？16.在中；内角所对的边分别为.已知.（1）求角.（2）从以下三个条件中任选一个，求的面积.①边上的中线；②；③角的平分线，点在线段上.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.17.如图，在四棱锥中，平面，底部为菱形，为的中点．（1）若，求证：平面；（2）棱上是否存在点，使得平面？说明理由．18.如图，已知四棱锥中，，，，且，（1）求证：；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）若平面与平面垂直，，求四棱锥的体积．19.设直线．点和点分别在直线和上运动，点为的中点，点为坐标原点，且．（1）已知直线：经过定点P，直线经过点P，且，求直线的方程.（2）求点轨迹方程；（3）当直线的斜率存在时，设点关于直线的对称点为，证明：直线过定点2024-2025学年四川省泸州市高二上学期10月月考数学检测试题一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若复数的实部与虚部相等，则实数m的值为（）A. B. C.1 D.3【正确答案】D【分析】根据复数的除法运算，求得的实部和虚部，解方程即可求得答案.【详解】由题意可得，故，解得，故选：D2.已知向量，，若，则实数的值为（）A.1 B.3 C. D.【正确答案】B【分析】利用向量共线的坐标运算即可求解.【详解】因为，，，所以，则.故选：B3.某保险公司为客户定制了A，B，C，D，E共5个险种，并对5个险种参保客户进行抽样调查，得出如下的统计图：

用该样本估计总体，以下四个说法错误的是（）．A.57周岁以上参保人数最少B.18～30周岁人群参保总费用最少C.C险种更受参保人青睐D.31周岁以上的人群约占参保人群80％【正确答案】B【分析】根据扇形图、散点图、频率图对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】A选项，57周岁以上参保人数所占比例是，是最少的，A选项正确.B选项，“18～30周岁人群参保平均费用”比“57周岁以上人群参保平均费用”的一半还多，而18～30周岁人群参保人数所占比例是57周岁以上参保人数所占比例的两倍，所以57周岁以上参保人群参保总费用最少，B选项错误.C选项，C险种参保比例，是最多的，所以C选项正确.D选项，31周岁以上人群约占参保人群，D选项正确.故选：B4.在轴与轴上截距分别为的直线的倾斜角为（）A. B. C. D.【正确答案】D【分析】由题意得出直线经过的点，利用直线斜率公式求得直线斜率，继而得到直线的倾斜角.【详解】依题意，直线经过点，则直线的斜率为,故直线的倾斜角为.故选：D.5.某射手在一次训练中五次射击的成绩分别为9.4，9.4，9.4，9.6，9.7，则该射手成绩的极差和方差分别是（）A.0.2，0.127 B.0.3，0.016 C.0.4，0.080 D.0.3，0.216【正确答案】B【分析】根据极差的定义求解极差，根据方差公式计算求解方差.【详解】由题意得，该射手在一次训练中五次射击的成绩的极差为，平均值为，所以该射手成绩的方差，故选：B．6.“a＝b＝1”是“直线ax－y+1＝0与直线x－by－1＝0平行”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【正确答案】A【分析】a＝b＝1时，两条直线平行成立，但由ax－y+1＝0与直线x－by－1＝0平行，可得ab＝1，不一定是a＝b＝1．【详解】a＝b＝1时，两条直线ax－y+1＝0与直线x－by－1＝0平行，反之由ax－y+1＝0与直线x－by－1＝0平行，可得：ab＝1，显然不一定是a＝b＝1，所以，必要性不成立，∴“a＝b＝1”是“直线ax－y+1＝0与直线x－by－1＝0平行”的充分不必要条件．故选A．本题考查了直线平行的判定与性质定理、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7.在正方体中，交于点，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.【正确答案】C【分析】连接，异面直线与所成的角为，通过解三角形即可得结果.【详解】连接，因为，所以异面直线与所成的角为，（由正方体的几何性质易知为锐角，故即所求角）设，则，则，故，故，所以异面直线与所成角的余弦值为，故选：C．8.在中，有，则的最大值是（）A. B. C. D.【正确答案】D【分析】利用余弦定理和数量积定义化简得出三角形三边，，的关系，利用基本不等式求出的最小值，显然为锐角，要使取最大值，则取最小值，从而得出的最大值，即可求出的最大值．【详解】因为，所以，又，，所以又，，，所以，即，，当且仅当即时取等号，显然为锐角，要使取最大值，则取最小值，此时，所以，即的最大值是．故选：D．二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的按比例得分9.某次校十佳歌手评比中，10位评委给出的分数分别为，计算得平均数，方差，现去掉一个最高分10分和一个最低分5分后，对新数据下列说法正确的是（）A.极差变大 B.中位数不变C.平均数变小 D.方差变大【正确答案】BC【分析】根据平均数、中位数、方差、极差定义理解及求法判断各项的正误.【详解】由于10个数据已经确定，故不妨设，由题意不妨取，A项，原极差为，去掉最高与最低分后，极差为，所以去掉最高和最低分，极差有可能减小，极差变大是不可能的，故A项错误；B项，中位数的定义知：数据从小到大排列，中间两个数的平均值是中位数，去掉最高和最低不影响中间两个数，B项正确；C项，由题意原平均数，则，则去掉最高与最低分后，平均数变为，平均数变小，故C正确；D项，去掉最高和最低分后，数据移除这两个极端值后，数据的波动性减小，故方差会变小，故D项错误.故选：BC.10.已知复数(i为虚数单位)在复平面内对应的点为，复数满足，则下列结论正确的是（）A.点在复平面上的坐标为 B.C.的最大值为 D.的最小值为【正确答案】ABC【分析】A：根据复数的表达式直接写出点的坐标进行判断即可；B：根据复数的共轭复数的定义进行判断即可；C，D：根据复数模的几何意义，结合圆的性质进行判断即可.【详解】复数在复平面内对应的点为，故A正确；复数，所以复数，故B正确；设，则，即，所以，复数在复平面内对应点在圆上，其圆心为，半径，表示的是复数和在复平面内对应的两点之间的距离，即.而的最大值是；的最小值是.所以的最大值为，最小值为，故C正确，D错误．故选：ABC．11.如图，正方形的棱长为3，动点在内，满足，则下列说法正确的是（）A.B.与平面所成的角的正弦值为C.始终为钝角三角形D.点的轨迹长度为【正确答案】BCD【分析】根据正方体中，证明线线垂直；利用线面角定义，先找到角，再计算夹角的正弦值；在三角形中，利用余弦定理求角判断三角形形状；根据题意先找到点的轨迹形状是圆的一半，计算长度得答案；【详解】对于A，正方形中，平面,因为平面,所以，动点在内，当不可能与点重合时，不成立，A错误；对于B，正方形中，是平面内两条相交直线，平面，，设点交平面于点,所以点到平面的高为，则为与平面所成的角，且，所以与平面所成的角的正弦值为，B正确；对于C，由选项B可知,进而在直角三角形中，，在中，由余弦定理可得,所以为钝角，C正确；对于D.根据选项B可知，点的轨迹为以为圆心，为半径的圆的一部分，又因为是等边三角形，且,可知点的轨迹为以为圆心，为半径的圆的一半，则点的轨迹为长度为，D正确；故选：BCD.方法点睛：立体几何中的动点轨迹问题一般有四种，即线段型，平面型，二次曲线型，球型空间中轨迹问题的解答思路：（1）根据已知条件确定和待求点相关的平行、垂直关系；（2）用动点的坐标表示相关点的坐标，然后代入点的坐标所满足的曲线方程，整理化简可得出动点的轨迹方程；（3）根据轨迹形状即可求解出轨迹长度其他量；三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知向量，，在上的投影向量的模为10，则____________.【正确答案】3【分析】利用公式可求在在上的投影向量的模，计算即可得出结果.【详解】在上的投影向量的模为.解得：故313.已知直线l过两条直线与的交点，且点到直线l的距离为1，则直线l的方程为__________．【正确答案】或【分析】首先求两条直线的交点，再设出直线方程后，利用点到直线的距离公式，即可求解.【详解】联立，解得：，，所以直线过点，当直线的斜率存在时，设直线方程为，即，点到直线l的距离，解得：，此时直线方程为，当直线的斜率不存在时，方程为，点到直线l的距离为，满足条件，综上可知，直线l的方程为或.故或.14.在三棱锥P-ABC中，，点M，N分别是PB，BC的中点，且，则平面AMN截三棱锥P-ABC的外接球所得截面的面积是___________．【正确答案】【分析】证明出的中点即为外接球的球心，从而得到外接球半径，再设O到平面AMN的距离为h，平面AMN截球O所得的截面圆的半径为r，由等体积法求出，进而得到r，得到截面面积.【详解】因为，M是PB的中点，所以，又平面PBC，所以AM⊥平面PBC，又BC平面PBC，所以，又平面PAB，所以BC⊥平面PAB，又PB，AB平面PAB，所以在△ABC中，，所以，在△PAC中，，所以，所以，取PC的中点O，又PA，所以，即点O是三棱锥P-ABC的外接球的球心，因为，故外接球半径为，设O到平面AMN距离为h，平面AMN截球O所得的截面圆的半径为r，因为MN是△PBC的中位线，所以O到平面AMN的距离等于B到平面AMN的距离，故，即，得，所以，所以截面圆的面积为．故答案为.解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15.据调查，某市政府为了鼓励居民节约用水，减少水资源的浪费，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个合理的居民用水量标准（单位：吨），月用水量不超过的部分按平价收费，超出的部分按议价收费．为了了解全市居民用水量分布情况，通过抽样，获得了户居民某年的月均用水量（单位：吨），其中月均用水量在内的居民人数为39人，并将数据制成了如图所示的频率分布直方图．（1）求和的值；（2）若该市政府希望使的居民月用水量不超过标准吨，试估计的值；（3）在（2）的条件下，若实施阶梯水价，月用水量不超过吨时，按3元吨计算，超出吨的部分，按5元吨计算．现市政府考核指标要求所有居民的月用水费均不超过70元，则该市居民月用水量最多为多少吨？【正确答案】（1），（2）16.6吨（3）20.64吨【分析】（1）频率分布直方图总面积为1，由此即可求解.（2）先判断所求值所在的区间，再按比例即可求解.（3）按题意列不等式即可求解.【小问1详解】，用水量在的频率为，（户）【小问2详解】，，（吨）【小问3详解】设该市居民月用水量最多为吨，因为，所以，则，解得，答：该市居民月用水量最多为20.64吨．16.在中；内角所对的边分别为.已知.（1）求角.（2）从以下三个条件中任选一个，求的面积.①边上的中线；②；③角的平分线，点在线段上.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【正确答案】（1）（2）答案见解析【分析】（1）先利用正弦定理化简得，可化简得到，再结合余弦定理即可求解；（2）若选①：由题意可得，化简后可求得，再结合正弦定理的面积公式即可求解；若选②：先利用正弦定理化简求得，再结合余弦定理可求得，再结合正弦定理的面积公式即可求解；若选③:由余弦定理求得且，从而可求得为等腰三角形，从而可求解.【小问1详解】由题意，由正弦定理可得，即，则，由余弦定理得，所以，所以，所以，又因为，所以.【小问2详解】若选①：由边边上的中线，如图，所以，即，即，又因为，所以，由（1）知，所以，所以.若选②：当，由，所以，由正弦定理：，即，解得，由（1）可得，即，解得：或（舍），所以.若选③:角的平分线，则，又因为，在中由余弦定理可得，所以，此时，所以，所以，所以可得为等腰三角形，所以，所以.17.如图，在四棱锥中，平面，底部为菱形，为的中点．（1）若，求证：平面；（2）棱上是否存在点，使得平面？说明理由．【正确答案】（1）证明见解析（2）答案见解析【分析】（1）结合题意，利用线面垂直的性质定理及判定定理即可证明；（2）取的中点为，的中点为，连接，结合题意利用面面平行的判定定理及性质定理即可求解.【小问1详解】证明：平面，平面，，底面为菱形，为的中点，，，又，平面，平面.【小问2详解】棱上存在点，使得平面，理由如下：取的中点为，的中点为，连接，底面为菱形，为的中点，分别为的中点，，，平面，平面，平面，同理，平面，平面，平面，又，平面，平面平面，平面，棱上存在中点，使得平面.18.如图，已知四棱锥中，，，，且，（1）求证：；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）若平面与平面垂直，，求四棱锥体积．【正确答案】（1）证明见解析（2）（3）【分析】（1）取中点，连接，证，，利用线面垂直的判定定理得平面，再利用线面垂直的性质即可证得；（2）由（1）知平面，利用面面垂直的判断定理可得平面平面，则即为直线与平面所成角，再利用题中条件求的长度，最后利用余弦定理进行求解即可；（3）由（2）知平面平面，又平面平面，则平面与平面重合，即四点共线，再利用题中条件求出四边形的面积和四棱锥的高，最后用锥体的体积公式即可求解.【小问1详