2024-2025学年上海市徐汇区某中学八年级（上）期中数学试卷

2024-2025学年上海市徐汇区南洋模范中学八年级（上）期中数学试卷

一、选择题（共6题，每题2分，满分12分）.

1.（2分）在下列各式中，是最简二次根式的是（）

A.V12B.C.J-+/D.74a2-b2

2.（2分）根式9，灰,百，中，与血是同类二次根式的有（）个.

A.1B.2C.3D.4

3.（2分）下列关于x的方程中一定有实数解的是（）

A.x?—x+l=0B.x~—mx—1=0C.—2x+l=0D.x?—x—加=0

4.（2分）下列说法中，正确的是（）

A.每个命题不一定都有逆命题

B.每个定理都有逆定理

C.真命题的逆命题仍是真命题

D.假命题的逆命题未必是假命题

5.（2分）下列命题中是真命题的是（）

A.有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等

B.两条平行直线被第三条直线所截，则一组同旁内角的平分线互相垂直

C.三角形的一个外角等于两个内角的和

D.等边三角形既是中心对称图形，又是轴对称图形

6.（2分）下列从左到右的变形不一定正确的是（）

A.J-a,J-b=JabB.Jab=yfu,yfbC•=/——D.——

二、填空题：（本大题共12题，每题2分，满分24分）

7.（2分）6+1的一个有理化因式是

8.（2分）化简：4^（其中。＞0）=.

________

9.（2分）若3/=Jx-3+y/3-x+1,则肛5=.

10.（2分）将命题“同角的余角相等”，改写成“如果…，那么…”的形式

11.（2分）若最简二次根式2。过前与GT是同类根式，则。-26=

-1-

12.（2分）计算：（g+2产3、（6-2严4=

13.（2分）不等式氐＞瓜+6的解集是

14.（2分）某木器厂今年二月份生产了课桌500张，从三月份起加强了管理，产量逐月上升，四月份产量

达到605张.如果三、四月份的月增长率相同，设这个增长率为x,则根据题意可列方程为

15.（2分）在实数范围内因式分解：2x?-3x-7=

16.（2分）将x根号外的因式移到根号内得

17.（2分）若实数“是方程3/一5》-1=0的一个根，则代数式2024+10a-6/的值是

18.（2分）小明在解方程V24-x-V8^I=2时采用了下面的方法：由

(A/24-X-A/8-X)(V24-X+A^7)=(A/24-X)2-(^-X)2=(24-X)-(8-X)=16，又有

(24—x—(8—x=2，可得J24—x+J8—x=8,将这两式相加可得J24-x=5,将,24-x=5两边平方可

解得x=-l,经检验x=-l是原方程的解.

请你学习小明的方法，解决下列问题：

解方程雇方+20x-3+yj3x2-4x-3=4x，得方程的解为

三、简答题：（本大题共6题，每题5分，满分30分）

计算：(()。+5]•

19.（5分）-\/i—Vily"-G

计算：

20.（5分）2,/^--.

V3m6

21.(5分)解方程：9(2x-3>=(l-x)2.

22.(5分)解方程：2(尤+3)2-3=5(尤+3).

23.(5分)解方程：(3x-l)(x+2)=2x+4.

24.（5分）当时’化简代数式篇+「'并求代数式的值.

四.解答题（本大题共4题，第25〜27题每题8分，第28题10,满分34分）

25.（8分）一个物流公司因为业务拓展，计划建造一个面积为150平方米的矩形仓库，为节约材料，仓库

的一边靠墙，墙长18米，另三边用铁栅栏围成，且在与墙平行的一边要开一扇2米宽的门，已知铁栅栏

材料的总长为33米，求矩形仓库的长与宽应分别为多少米?

26.（8分）已知为，马是关于x的方程一4+37=0的两个不相等的实数根.

-2-

(1)求左的取值范围;

(2)若左<100,且左，为，马都是整数，求左的最大值及这种情况下方程的解.

27.(8分)如图，在△N8C中，ZABC=90°,ZACB=a(0°<a<45°).将线段C4绕点C顺时针旋转90。

得到线段CD,过点。作。E_LBC,垂足为E.

(1)如图1,求证：△ABC=4CED；

(2)如图2,N/CD的平分线与的延长线相交于点歹，联结。尸，。尸的延长线与CB的延长线相交

于点尸，证明：PC=PD；

(3)在(2)的条件下，联结4尸，当夕=—时是等腰三角形.

28.(10分)已知X1,马是一元二次方程办2+6x+c=0(。w0)的两个实数解.

(1)根据求根公式可求得玉+马=，xt-x2=.

(用含字母a,b,c的代数式表示)

(2)已知再，马是一■元二次方程4日2-4履+4+1=0的两个实数根.

①请用含人的代数式表示占+/=—；牙+考=—.

②若实数人为整数，且满足土+土的值也为整数，则左=—.

x2再

(3)若“，b,c,d为互不相等的实数，且满足(/-，)面-解)*，&-/)(〃-/)吟，则

(a2b2-c2d2y=.

-3-

参考答案

一、选择题：（本大题共6题，每题2分，满分12分）

1.（2分）在下列各式中，是最简二次根式的是（）

A.V12B.C.y/a2+4a4D.J4A一片

解：/、712=273,巫不是最简二次根式，不符合题意；

B、g=浮，谷不是最简二次根式，不符合题意；

r

C、3+京=⑷J1+4a2,4M7不是最简二次根式，不符合题意；

D、】4/一/是最简二次根式,符合题意，

故选：D.

2.（2分）根式得，屈,6弁中，与血是同类二次根式的有（）个.

A.1B.2C.3D.4

解一•£=£与也不是同类二次根式;

屈=3也与五是同类二次根式；

京二噂与拒不是同类二次根式

，只有风与正是同类二次根式，共1个,

故选：A.

3.（2分）下列关于x的方程中一定有实数解的是（）

=222

A.—x+10B.x-mx-1=0C.V2x-2x+1=0D.x-x-m=O

解：4、・・,x2_x+1=0,，△=-3<0,故此方程无实数解，此选项错误；

B、•/x2-mx-1=0,=m2+4>0,故此方程有实数解，此选项正确；

2

C、vV2X-2X+1=0,AA=4-4A/2<0,故此方程无实数解，此选项错误;

D>x2-x-m=0,.*.△=1+4m（由于加的值不确定，故1+4加可以20,可以〈0）,故此方程不一定

有实数解，此选项错误.

故选：B.

-4-

4.（2分）下列说法中，正确的是（）

A.每个命题不一定都有逆命题

B.每个定理都有逆定理

C.真命题的逆命题仍是真命题

D.假命题的逆命题未必是假命题

解：/、每个命题一定都有逆命题，故本选项说法不正确，不符合题意；

3、每个定理不一定都有逆定理，故本选项说法不正确，不符合题意；

C、真命题的逆命题不一定是真命题，故本选项说法不正确，不符合题意；

。、假命题的逆命题未必是假命题，说法正确，符合题意；

故选：D.

5.（2分）下列命题中是真命题的是（）

A.有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等

B.两条平行直线被第三条直线所截，则一组同旁内角的平分线互相垂直

C.三角形的一个外角等于两个内角的和

D.等边三角形既是中心对称图形，又是轴对称图形

解：/、有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等，所以《选项为假命题；

8、两条平行直线被第三条直线所截，则一组同旁内角的平分线互相垂直两直线平行，所以8选项为真命

题；

C、三角形的一个外角等于不相邻的两个内角的和，所以C选项为假命题；

。、等边三角形不是中心对称图形，是轴对称图形，所以。选项为假命题.

故选：B.

6.（2分）下列从左到右的变形不一定正确的是（）

4b

A.4~a-4-b=4abB.4ab=Va-4bD.

解：4--a-4-b=yj-a-(-Z?)=J~ab,则A不符合题意;

中若a,6都小于0,那么原式=则8符合题意;

上=+，则C不符合题意；

-5-

心=必，则D不符合题意；

K277

故选：B.

二、填空题：（本大题共12题，每题2分，满分24分）

7.（2分）«+1的一个有理化因式是

解：,.1（＞/%-1）（^+1）=（A^）2-1=X-1,

石+1的一个有理化因式为6-1.

故答案为：Vx-1.

8.（2分）化简：4^（其中。＞0）=_2b4ab_.

解：•.•二次根式”^有意义，

/.4ab3^0,

a〉0,

/.4/20,

/.620,

/.yi4ab3=2by[ab,

故答案为：2b4ab.

________]_

9.（2分）若〉=y/x-3+《3-x+1,则中5=3

施军：由题意得：x—320,3—x20,

解得x=3,

把x=3代入y=Jx-3+个3-x+1,

y=\,

孙5=3x=3；

故答案为：3.

10.（2分）将命题“同角的余角相等”，改写成“如果…，那么...”的形式如果两个角是同一个角的

余角，那么这两个角相等..

-6-

解：命题”同角的余角相等”，可以改写成：如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等.

故答案为如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等.

11.(2分)若最简二次根式2"33a+6与Na-b是同类根式,贝!]0-26=9

解：由题可知，

2。一4=2,

解得a=3,

又知3a+b=a-b,

解得6=-3,

故"26=3_2x(_3)=9

故答案为：9.

12.(2分)计算：(百+2)2°23x(G-2)2024=_-6+2

解：(百+2严3x(6-2严4,

=(百+2产023X(岔一2)2°23X(6-2)

=[(百+2)(6-2)产X(G-2)

=(-1)2023X(A/3-2)

=-(V3-2)

=-A/3+2,

故答案为：-g+2.

13.（2分）不等式氐>氐+6的解集是_x>3百+36

解：移项得：氐-gx>6,

合并同类项得：（石-百）x>6,

6

解得：x>=3^/5+3-\/3，

V5-V3

x>3A/5+3A/3；

故答案为：x>3^/5+3A/3.

14.（2分）某木器厂今年二月份生产了课桌500张，从三月份起加强了管理，产量逐月上升，四月份产量

-7-

达到605张.如果三、四月份的月增长率相同，设这个增长率为x,则根据题意可列方程为

500(1+x)2=605_.

解：设这个增长率为X,

由题意得，500(1+x)2=605；

故答案为500(1+x>=605.

15(2分)在实数范围内因式分解：2"——2(x-耳不一

解：根据题意可知，使2X2-3X-7=0,

所以△=Z)2—4QC=(—3)2—4x2x(—7)=9+56=65〉。,

耳二a3±V65

所以x二------

4

所以2——3%—7

=2(X-X1)(X-X2)

/3+y[65,3—y/65.

=2(x-------—-)(x------------).

44

故答案为：2(x-北巫)(x-三雪.

44

-幺根号外的因式移到根号内得——百

16.(2分)将x,

X

-幺有意义,

解：.・•X,

-->0,

X

-6w0,

£o,

X

1.x<0,

原式=—=-V-6x，

故答案为：一6%.

17.(2分)若实数a是方程3X2_5X-1=0的一个根，则代数式2024+10。-6/的值是2022

解：由条件可知：3/—5a-1=0,

-8-

3a2-5a=1,

2024+10a-6(z2=-2(3/-5a)+2024=-2xl+2024=2022,

故答案为：2022.

18.(2分)小明在解方程J24-X-VT^=2时采用了下面的方法：由

(A/24-X-V8-X)(A/24-X+A^7)=(A/24-X)2-(^-X)2=(24-X)-(8-X)=16，又有

J24-x-J8-x=2,可得124-x+-x=8,将这两式相加可得J24-x=5,将,24-x=5两边平方可

解得x=-l,经检验x=-l是原方程的解.

请你学习小明的方法，解决下列问题：

解方程，3方+20x-3+，3f-4x-3=4x,得方程的解为_x=2或x=6一

解：(j3—+20x-3+V3x2-4x-3)(&、+20*-3-&-4x-3)=(^x2+20x-3)2-(^x2-4x-3)2=3x2+20x-3-(3*-4x-3)=24x，

又由+20x-3+J3x，-4x-3=4x,

可得A/3X2+20X-3->/3X2-4X-3=6，

将这两式相加可得2,3/-4x-3=6+4x,

3x2+20x-3=(3+2x)2,

x2-8x+12=0,

x=2或x=6，

经验x=2或x=6是原方程的解,

故答案为：x=2或x=6.

三、简答题：（本大题共6题，每题5分，满分30分）

24

19.(5分)计算：J(l-V12)-(A/3)°+

V3-1,

解：J。-®?一（回+4

V3-1

114函+1)

(73-1)(73+1)

=2A/3-1-1+2A/3+2

=4^/3.

-9-

20.(5分)计算：2/^—+工36m8m3.

V3m6

解：原式=2x6)二-xx8冽3

V3m6m

=812m.

21.(5分)解方程：9(2X-3)2=(1-X)2.

解：9(2X-3)2=(1-X)2,

[3(2%-3)-(1-x)][3(2x-3)-(x-l)]=0,

3(2x-3)=1-x3(2%—3)=x—1,

解得：/=~~^X2.

22.(5分)解方程：2(x+3)2—3=5(x+3).

解：2(x+3)2-3=5(x+3)

整理得：2/+7X=0,

/.x(2x+7)=0，

,7

解得：xx=0,x2=--.

23.(5分)解方程：(3x-l)(x+2)=2x+4.

解：(3x-l)(x+2)=2x+4,

(3x-l)(x+2)-2(x+2)=0,

(3x—1-2)(x+2)=0,

(3x-3)(x+2)=0,

3x-3=0或x+2=0,

?.x1=1,x2=-2.

24.（5分）当a=工时，化简代数式与1+JC^-6，并求代数式的值.

2-1Va

解：a=—J

2

:.Q<a<\,

u—3<0，

-10-

(G-1)(G+1)

原式=

y[u—1

=&+1+聆

Ja

=\!'a+1+-—sl'a

a

=4a+1+4a

a

=—yfu+1,

a

当°=工时，原式=3A/^+1=■!"><、口+1=3A/^+1.

2aj_V2

2

四.解答题(本大题共4题，第25〜27题每题8分，第28题10,满分34分)

25.(8分)一个物流公司因为业务拓展，计划建造一个面积为150平方米的矩形仓库，为节约材料，仓库

的一边靠墙，墙长18米，另三边用铁栅栏围成，且在与墙平行的一边要开一扇2米宽的门，已知铁栅栏

材料的总长为33米，求矩形仓库的长与宽应分别为多少米?

解：设垂直于墙的一边长为x米，则平行于墙的一边长为(33-2x+2)米,

根据矩形面积公式得，x-(33-2x+2)=150,

整理，得2/-35x+150=0,

解得：%j=10,x2=7.5,

所以当垂直于墙的边长为7.5米，则平行于墙的长度为33-15+2=20(米)>18米，舍去;

当垂直于墙的边长为10米，则平行于墙的长度为33-20+2=15(米)；

答:仓库的长为15米，宽为10米.

26.(8分)已知七，%是关于x的方程/-2依+左2一4+37=0的两个不相等的实数根.

(1)求左的取值范围;

(2)若左<100,且左，王，声都是整数，求左的最大值及这种情况下方程的解.

解：⑴•.？，%是关于x的方程/-2b+/-左+37=0的两个不相等的实数根,

=b2-4ac=4k2-4(/-左+37)>0,

解得后>37；

(2)由(1)得，左>37,

...左<100,

-11-

/.37<左<100,

由小一2日+3一左+37=0可得：(X-左)2=左一37，

k,X],x2都是整数，

;4-37为开方数,

38或41或46或53或62或73或86,

.,%的最大值为86,

此时方程为(X-86)2=49,

解得：西=93,x2=79.

27.(8分)如图，在△N8C中，ZABC=90°,ZACB=a(0°<a<45°).将线段。绕点C顺时针旋转90。

得到线段。，过点。作DEL8C,垂足为E.

(1)如图1,求证：△4BC三△CED；

(2)如图2,NNCA的平分线与的延长线相交于点尸，联结。尸，止的延长线与C8的延长线相交

于点P,证明：PC=PD；

时△/CP是等腰三角形.

备用图

ZDEC=90°,

ND+NDCE=90°,

•••ZABC=90°,

NABC=ZDEC,

•••线段CA绕点C顺时针旋转90°得到线段CD,

ZACD=90°,AC=CD,

ZDCE+ZACB=90°,

-12-

/.AACB=ND,

△ABC=△CED(AAS)；

(2)证明：・.・C厂是NZCD的平分线，

/.NACF=/DCF,

由(1)知，AC=CD,△ABC=△CED,

/A=ZDCE,

•・•CF=CF,

:.△ACF=ADCF(SAS),

/.N4=APDC,

ZPDC=ZDCE,

PC=PD；

(3)解：由题意可分：①当尸是以4C=PC的等腰三角形时，则有：AC=PC=PD=CD,

△PCD是等边三角形，

Z.PCD=60°,

/.NACB=90°-NPCD=30。=a；

②当尸是以4P=4。的等腰三角形时，如图所示：

/.4尸垂直平分尸C,

PF=CF,

..•。厂平分//。。,

:.ZACF=ZDCF=45°,

•・•AF=AF,

△ACF二△APF(SSS),

:.NACF=/APF=45。,

ZPCF=/CPF=45。一a,

-13-

•••PC=PD,

./“八」80。一（45。—a）_135。+a

22

1350+a

...AACB+/PCD=a+-----------=90°,

2

解得：a=15°；

③当/尸二尸。时，贝!）/4。5=/（24尸=1（0。<：2<45。），

Z^PC=180°-2^z>90°,

•/AABC=90°,且点P在C5的延长线上，

此种情况是不成立的；

综上所述：当a=15。或30。时，尸是等腰三角形；

故答案为：15。或30。.

28.（10分）已知西，起是一元二次方程办2+6x+c=0（a。0）的两个实数解.

（1）根据求根公式可求得再+马=―—，再•％=.

a

（用含字母a,b,c的代数式表示）

（2）已知西，％是一元二次方程4丘2-4fcv+左+1=0的两个实数根.

①请用含左的代数式表示士+马=—；xf+xf=—.

②若实数先为整数，且满足2+三的值也为整数，则左=—.