历届中考数学专项训练题

历届中考数学专项训练题

单选题(经典例题高频考点一名师出品必属精品)

1、定义打皿二小(6-1),例如3疑4=3、(4-1)=27-3=9,则(-4)漱5的结果为()

A.9B.5C.-12D.-16

答案：D

解析：

根据定义代入即可求解.

解：根据定义可得：

(-4)»5=(-4)3^(5-1)=-16.

故选：D.

小提示：

本题考查了有理数乘方的综合运算，关键在于掌握计算顺序.

2、一元二次方程5/-2%=0的解是()

必=-能.=

A.X1=0,=0,X2jC.%!=0X2=-1D.Xi=0,x2=1

答案：B

解析：

利用提公因式分进行因式分解，再解方程，即可得到答案.

解:x(5x-2)=0,

x=0或5x-2=0,

所以％i=。或X2=|■

故选：B.

小提示：

本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便

易用，是解一元二次方程最常用的方法.

3、△ABC与△/）£1小的相似比为1:3,则AABC与的面积比为（）

A.1：3B.1：4C.1：9D.1:16

答案:C

解析：

由相似4ABC与ADEF的相似比为1:3,根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，即可求得AABC与

△DEF的面积比.

解:•相似4ABC与ZWEF的相似比为1：3,

AABC与ADEF的面积比为1:9.

故选:C.

小提示：

本题考查了相似三角形的性质.注意相似三角形面积的比等于相似比的平方.

4、将如图所示的图形剪去两个小正方形，使余下的部分图形恰好能折成一个正方体，应剪去的两个小正方形

可以是（）

¥

③④⑤⑥

⑦⑧

A.（2X3）B.®®C.®®D.

答案：A

2

解析：

利用正方体及其表面展开图的特点解题.

A.剪去②③后，恰好能折成一个正方体，符合题意；

B.剪去①⑥后，不能折成一个正方体，不符合题意；

C剪去①⑦后，不能折成一个正方体，不符合题意；

D.剪去②⑥后，不能折成一个正方体，不符合题意.

故选:A

小提示：

本题考查了正方体的展开图及学生的空间想象能力，正方体展开图规律：十一种类看仔细，中间四个成一行，

两边各一无规矩；二三紧连错一个，三一相连一随意；两两相连各错一，三个两排一对齐；一条线上不过四，

田七和凹要放弃.

5、a与-2互为倒数，那么a等于（）

A.-2B.2C.-1D.1

答案：C

解析；

乘积是1的两数互为倒数.据此判断即可.

解：口与-2互为倒数，那么a等于

故选：C.

小提示：

本题主要考查了倒数的定义：若两个数的乘积是1,我们就称这两个数互为倒数.解题关键是掌握倒数的定义.

6、如图，菱形40的边长为4,460,V是初的中点，川是四边上一动点，将儿即沿副V所在的直线

3

/.HD/MD=1,

HM=DMxcos30°=V3,

'.C/f=HIhCD=5,

.•.tan^.DCA1=—=

CH5'

.•.tan^DCA'的值为，.

故选：B.

小提示：

这是一道应用菱形的性质求线段最短问题，主要考查了菱形的性质，翻折的性质，锐角三角函数，直角三角形

的性质等.

7、关于函数y=2（》+3尸+1,下列说法：①函数的最小值为1；②函数图象的对称轴为直线*=3；③当

彳20时，F随＞的增大而增大；④当xWO时，P随x的增大而减小，其中正确的有（）个.

A.IB.2C.3D.4

答案：B

解析：

根据所给函数的顶点式得出函数图象的性质从而判断选项的正确性.

解：..？=2（%+3）2+1,

该函数图象开口向上，有最小值1,故①正确；

函数图象的对称轴为直线3=-3,故②错误；

当*30时，y随*的增大而增大，故③正确；

当xW・3时，y随x的增大而减小，当・3Wx这0时，y随x的增大而增大，故④错误.

5

故选：B.

小提示：

本题考查二次函数的性质，解题的关键是能够根据函数解析式分析出函数图象的性质.

8、在平面直角坐标系中，点A的坐标为(1,1),以原点为中心、，将点A顺时针旋转90。得到点A1则点A，的坐

标为()

A.g1)B.(1,-1)C.(2,1)D.(0,2)

答案：B

解析：

作PQly轴于Q,如图，把点绕原点。顺时针旋转90。得到点P看作把40PQ绕原点。顺时针旋转90。得到

△OP'Q',利用旋转的性质得到々PQ'。=90。，乙QOQ，=90°,PQ=PQ=1,OQ1=OQ=从而可确定P'

点的坐标.

解：作PQly轴于Q,如图，

6（闫,

••PQ=1,OQ，

・・・点P(13)绕原点。顺时针旋转90。得到点P'相当于把NOPQ绕原点。顺时针旋转90。得到△OPQ,

6

•••乙PRO=90°,“OQ'=90°,P'Q'=PQ=1,OQ'=OQ=（

••点p'的坐标为G，-i）.

故选：8.

小提示：

本题考查了坐标与图形变化-旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点

的坐标.常见的是旋转特殊角度如：30°,45。，60°,90°,180°.

9、一次函数厂履十方中，y随x的增大而减小，且筋＜0,则该函数图象大致是（）

答案:A

解析：

根据y随x的增大而减小可得衣＜0,然后根据衣b＜0,判断6的符号，则函数图象即可判断.

解：•.♦一次函数尸於+"y随着x的增大而减小，

“＜0,

又「妙＜0,

7

・••图象与y轴的交点在x轴上方，图象经过第一、二、四象限

故选：A.

小提示：

本题考查了一次函数的图象：一次函数尸取+6（〃、6为常数，AWO）是一条直线，当〃>0,图象经过第一、

三象限，y随x的增大而增大；当在<0,图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小；图象与y轴的交点坐

标为（0.b）.

10、如图/、8、。在。。上，连接力、OB、OC,若乙BOC二3乙AOB,劣弧”的度数是120“，3=26.则图中

阴影部分的面积是（）

A.7T-|V3B.2n-V3C.37r-2V3D.4zr-373

答案：C

解析：

首先根据乙BOC=3zCAOB,劣弧AC的度数是120°得到乙AOB二30。，从而得到4c0B为直角，然后利用S用影

二S扇影C6C-S△度C求解即可.

解：设OB与AC相交于点E,如图

8

•••劣弧AC的度数是120"

・••乙AOC二120。

•/OA=OC

ZOCA=ZOAC=30°

•/乙BOC=34AOB

又4AOC二4AOB+乙BOC

/.^AOC=ZAOB+3ZAOB=120<>

乙AOB=30°

."BOC二3乙AOB=90°

在RtaOCE中，OC=2V3

.•.OE=OC-tan乙OCE=2V3-tan300=2V3x^=2

/.SAOK=JX2X2V3=2V3

0907rx（2石产

O巾形OK=---------=37T

360

••・用S阴影:S扇形08C-S2XOEC=3TT-2v5

故选c.

小提示：

本题考查了扇形面积的计算,解直角三角形等知识.在求不规则的阴影部分的面积时常常转化为几个规则几何

图形的面积的和或差.

填空题（经典例题高频考点一名师出品必属精品）

11、如果Va-2+74—b-0,则二

9

答案：2V2

解析：

根据两个非负数的和是0,即可得到这两个数都等于0,从而得到关于a.b的方程求得a,b的值，进而求得

代数式的值.

根据题意得：。-2=0,4-&=0.

解得：Q=2,b=4,

则而=V274=2V2.

故答案是：2V2.

小提示：

本题考查了非负数的性质以及求算术平方根，正确理解几个非负数的和是0,则每个数都等于0是解题的关键.

12、如图，在aABC中，ZA=9O°,AB=3,AC=4,点M,Q分别是边AB,BC上动点（点M不与A,B重

合），且MQ_LBC,MN〃BC交AC于点N.联结NQ,设BQ=x,则当x=.时，四边形BMNQ的面积

最大值为.

解析：

先由勾股数可得BC的长，再由AQBMsZ\ABC列出比例式，用含x的式子表示出QM和BM,然后由平行线

的性质得比例式，解出MN,最后由三角形的面积公式得出四边形BMNQ的面积表达式，根据二次函数的性质

10

可得答案.

解：.「4A=90°,AB=3,AC=4,

・•.BC=5,

-.■△QBM-AABC,

-QB_QM_BMnnX_QM_BM

'~AB~~AC~'BC'K|3~~~"T"1

45

-'-QM=-x,BM=-x,

MNAManNM3-|x

即

UCAo5，

・•.MN=5-条，

「•四边形BMNQ的面积为1（5—每）x紧=一氛％-S'+募

一.当x总时，四边形BMNQ的面积最大，最大值为泉

所以答案是垓，不

小提示：

本题主要考查了二次函数的性质、相似三角形及勾股定理，关键是根据勾股定理求出线段的长，然后根据相似

三角形得到比例列出函数关系式，最后用二次函数的性质求解即可.

13、Q的相反数是2022,贝心=.

答案：-2022

解析：

相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数.据此判断即可.

解：解：a的相反数是2022,故a是-2022.

11

所以答案是：-2022

小提示：

本题考查了相反数，掌握相反数的定义是解答本题的关键.

14、图1是一辆吊车的实物图，图2是其工作示意图，AC是可以伸缩的起重臂，其转动点A离地面BD的高

度AH为3.4m.当起重臂AC长度为9m,张角乙HAC为118。时，操作平台C离地面的高度为米.

（结果保留小数点后一位:参考数据：sin28°«0.47,cos28°«0.88,tan28°«0.53）

答案：7.6

解析：

作CE1BD于E,AF1CE于尸，如图2,易得四边形为"EF为矩形，JjlljFF=AH=3.4m,^HAF=90°,再计算

出乙G4F=28。，在RtZkHCF中利用正弦可计算出CF,然后计算CE即可.

解：作CE1BD于E,AF1CFTF,如图2,

••・四边形力"E尸为矩形，

EF=AH=3.4m,Z.HAF=90°,

A^CAF=Z.CAH-Z-HAF=118°-90°=28°,

12

/.在Rt△"F中,sinzTAF=sin28°=^=y«0.47,

CF=9x0.47=4.23,

CE=CF+EF=4.23+3.4«7.6m,

•••操作平台C离地面的高度为7.6m.

故答案是：7.6.

小提示：

本题考查了解直角三角形的应用：先将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形，构造出直角三角形转化为解

直角三角形问题)，然后利用三角函数的定义进行几何计算.

15、一群学生参加夏令营活动，男生戴白色帽子，女生戴红色帽子，休息时他们坐在一起，大家发现了一个有

趣的现象：每位男生看到的白色与红色的帽子一样多，而每位女生看到的白色帽子数量是红色的2倍.根据信息,

这群学生共有人.

答案：7

解析：

设其中的男生有x人，根据每位男生看到白色与红色的安全帽一样多，可以表示出女生有(x-1)人.再根据

每位女生看到白色的安全帽是红色的2倍列方程求解.

设男生有x人厕女生有(x-1)人，

根据题意得x=2(x-l-l)

解得x=4

x-1=3.

4+3=7人

故答案为7.

13

小提示:

此题考查一元一次方程的应用，解题关键在于列出方程.

16、如图，△力比'中，AC=BC=2,以四为腰在直线四的另一侧作等腰次△力做且乙BAD=90°,连接

CD.⑴若乙力吠90。则小：(2)线段必长的最大值是一

答案：2遍2+2V2

解析：

(1)由题意可得和△月劭为等腰直角三角形，可求得BD长，然后在应△物中，由勾股定理即可求得

的长；

(2)将〃'绕点力逆时针旋转90。，得到4C',连接BC'、CC,可得△4“<'是等腰直角三角形，又劭是等

腰直角三角形，易证△血心△力BC'(必0,继而可得CD=BC',

然后在ABCU中，根据三角形的三边关系即可求得8U的最大值，即可得线段切长的最大值.

解:⑴若乙力晒90°,

则△力比为等腰直角三角形，

又「△力劭是等腰直角三角形，

乙HBC=乙ABD=45\AB=>JAC2+BC2=VZ4C7=y[2AC=2>/2,BD=>JAD2+AB2=^2AB^=>/2AB=4,

在AY△碗中，由勾股定理得：CD=yjBC2+BD2=V22+42=2遥；

(2)如图，将/右绕点力逆时针旋转90。，得到AC]连接CC,

14

今B

D

..AC=AC,CC=>JAC'2+AC2=V24C7=>/2AC=2\[2,

乙CACDA及90°,

/.乙CAC+乙CAB=ADAB+乙CAB,

即乙£4。二乙为C,

在△4%和△力%中

AC=AC,Z.BAC=Z.DAC,AD=AB,

匕AD(ZXABC(SAS).

CD=BC,

在ABCS,BC<BC+CC,

当BO=BC+CC=2+2式时，BC，有最大值为：2+2A/2,

又CD=BC',

••・线段口长的最大值是：2+2V2.

小提示：

本题主要考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理、旋转的性质、全等三角形的性质与判定以及利用三角形的

三边关系求最值.解题的关键是熟记相关性质和判定定理、能灵活运用模型解题.

17、某批青程种子在相同条件下发芽试验结果如下表：

每次试验粒数501003004006001000

15

发芽频数4796284380571948

估计这批青株发芽的概率是.(结果保留到0.01)

答案：0.95

解析：

利用大量重复试验下事件发生的频率可以估计该事件发生的概率直接回答即可.

观察表格得到这批青程发芽的频率稳定在器«0.95附近，

则这批青程发芽的概率的估计值是0.95,

所以答案是：0.95.

小提示：

此题考查了利用频率估计概率，从表格中的数据确定出这种油菜籽发芽的频率是解本题的关键.

18、阅读下面材料：

一个含有多个字母的式子中，如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变，这样的式子就叫做对称式.例

如:a+b+c.abc,a2+b2,•••

含有两个字母a.b的对称式的基本对称式是a+b和ab,像才+b；(a+2)(b+2)等对称式都可以用a+b,

ab表示，例如：alb?：(a+b),-2ab.请根据以上材料解决下列问题：

(1)式子①a2b,②a2-b?③^+2中，属于对称式的是(填序号)；

(2)已知(x+a)(x+b)=x2+mx+n.

①若m==3求对称式;十三的值；

2ab

②若n=-4,直接写出对称式桨+桨的最小值.

答案：(1)①③；(2)①=6；②^找+的最小值为装.

解析：

16

(1)根据对称式的定义进行判断;

(2)①先得到a+b=-2,ab=i再变形得到,+广噤=处?；2ab然后利用整体代入的方法计算；

2ababab

②根据分式的性质变形得到整+詈=小++川+再利用完全平方公式变形得到。

2・(a+b)

2ab+®+?：；2ab所以原式二葛m'+q然后根据非负数的性质可确定小+桨的最小值.

aV162azb，

解:(1)式子①a2b2②a?-b?麟+冲,属于对称式的是①©.

故答案为①③；

(2),/x2+(a+b)x+ab=x2+mx+n

•'-a+b=m,ab=n.

®a+b=-2,ab=1,

ba_a2+b2_(a+b)2-2ab_(-2)2-2x|_

一十工二--="=1=Vc

ababab2

②詈+詈=。2+»非+・

2

=(a+b)-2ab+^^

=7IO7m-+/-,

•.•和00,

喜詈+詈的最小值为千

小提示：

本题主要考查完全平方公式，关键是根据题目所给的定义及完全平方公式进行求解即可.

、如图，在中，。，将沿直角边所在的直线向右平移个单位

19aABCZB=90°t4A=60BC=5,AABCBC2

17

长度，到达aDEF,AC与DE交于点G,则EG的长为_.

答案：6.

解析：

根据平移和直角三角形30度的性质知：BE=2,CG=2EG,设EG=x,贝IJCG=2x,由勾股定理列方程可得结论.

解：由平移得：BE=2,4DEF=4B=90°,

BC=5,.,.CE=5-2=3,

VZA=6O0,/.^ACB=30°tACG=2EG,

设EG=x,则CG=2x,

由勾股定理得：x?+32=（2xf,x=g或一6（舍）

EG=百，

所以答案是：V3.

小提示：

本题考查平移的性质和勾股定理，30度的直角三角形的性质，以及勾股定理等知识，注意熟练掌握平移性质的

性质.

20、若单项式4x1+my2与.sdyn是同类项，则m+n二一；

答案：5.

解析：

利用同类项的概念，相同字母的指数相同，来构造方程，解之求出m、n,再代入求值即可.

18

若单项式4xl+my2与_5x4yn是同类式，

l+m=4,

m=3,

n=2,

当m=3,n=2时，

m+n=3+2=5,

所以答案是：5.

小提示：

本题考查同类项的概念，掌握同类项的概念，会用同类项的概念构造方程，会解方程，和求代数式的值是解题

关键.

解答题(经典例题高频考点-名师出品必属精品)

21、周末，小亮一家三口乘轿车去看望爷爷、奶奶和外公、外婆.早上从家里出发，向南走了2千米到超市买

东西，然后继续向南走了5千米到爷爷家.下午从爷爷家出发向北走了16千米到达外公家，傍晚返回自己家

中.

⑴若以小亮家为原点，向南为正方向，用1个单位长度表示2千米，请画出数轴，并将超市、爷爷家、外公家

的位置在数轴上分别用4B、。表示出来；

⑵外公家与超市间的距离为多少千米？

⑶若轿车每千米耗油01升，求小亮一家从早上出发到傍晚返回家中轿车所行路程的耗油量.

答案:(1)见解析

(2)11千米

(3)3.2升

19

解析：

(1)根据题意，在数轴上表示出4氏C的位置即可；

(2)点力表示的数减去点。表示的数就得/1C表示的单位长度，然后再乘以2即可；

(3)根据“总耗油量二路程x小轿车每千米耗油量”计算即可.

⑴

解：点人员。如图所示：

CAB

-6-5-4-3-2-1012345

⑵

解：1-(-4.5)=5.5,5.5x2=11(千米).

答：外公家与超市间的距离为11千米.

⑶

解：小亮一家走的路程为1+2.5+|-8|+4.5=16,16x2=32(千米)，

共耗油：0.1x32=3.2(升).

答：小亮一家从早上出发到傍晚返回家中轿车所行路程的耗油量为3.2升.

小提示：

本题主要考查了正数和负数的应用、数轴及其应用，理解数轴和正负数的意义是解答本题的关键.

22、如图，直角坐标系才如中，一次函数尸-聂+5的图象力分别与xy轴交于48两点，正比例函数的图

象)?与乙交于点C(m,4)

(1)求勿的值及/?的解析式；

(2)求△力比的面积843；

20

(3)一次函数尸以+1的图象与线段力。有交点，直接写出左的值.

答案：(1)/庐2,y=2x；(2)20；(3)

解析：

(1)先根据点。在一次函数尸一夕+5的图象上求得点。的坐标，再运用待定系数法即可得到入，的解析式；

(2)过。作于。，则。左4,再求出/、8两点的坐标，确定力。的长，最后运用三角形的面积公式解答

即可；

(3)先求出直线齐弱+1恰好经过月、。时女的值，即可确定女的取值范围.

解：⑴把C(见4)代入一次函数尸-权+5,可得：4二-5汁5,解得：〃厂2

••・C(2.4),

设人的解析式为尸切则有4二2况解得年2,

••・心的解析式为尸2x；

(2)如图，过C作oa切于〃则S4,

由点力、笈在一次函数尸・1+5上，

令尸0,则＜v=0,尸10,

・•・。(0,0),A(10.0)

力。=10

21

.-.5Z)J^=1X10X4=20；

(3)当尸履+1恰好经过点C时，有4=2在+1,解得：公|

当尸Ax+1恰好经过点/I时，有0=10A+1,解得：k=-±

所以当-奈石心取寸，一次函数六取+1的图象与线段/有交点.

小提示：

本题主要考查了运用待定系数法求函数解析式、一次函数与坐标轴交点问题、三角的面积公式等知识点，掌握

数形结合思想是解答本题的关键.

23、在我国沿海地区，几乎每年夏秋两季都会或多或少地遭受台风的侵袭，加强台风的监测和预报，是减轻台

风灾害的重要措施.下表是中央气象台2010年发布的第13号台风“站鱼”的有关信息：请在下面的经纬度地

图上找到台风中心在16日23时和17日23时所在的位置.

时间台风中心位置

东经北纬

2010年10

月16日23129.5°18.5°

时

2010年10

月17日23124.5°18°

时

22

答案：答案见解析

解析：

根据点的坐标位置确定方法，首先可以确定经度再确定纬度，分别找出即可.

解：根据经纬度地图直接找到台风中心在16日23时和17日23时所在的位置即可，如图所示.

小提示：

此题主要考查了点的坐标确定方法，根据经纬度地图确定台风中心在16日23时和17日23时所在的位置与在

坐标系内找点方法相同，注意经纬度都要找准确.

24、在边长为8的等边△/!比、中，点〃是边力2上的一动点,点后在边〃'上，且龙=2他射线应绕点〃顺时

针旋转60°交8。边于八

图18/0图2B

23

(1)如图1,求证：乙AED二LBDF-,

(2)如图2,在射线如'上取小的连接BP,

①求乙如户的度数；

②取边比的中点M当朗取最小值时，求力〃的长.

答案：(1)见解析；(2)①30°；②2

解析：

(1)根据等边三角形的性质求解即可；

(2)①方法一：连接死过点尸作8〃比分别交仍然于点G,Q、易知△4G0和△囱均为等边三角形，

得到△仞％△侬5(小⑸,即可得解；方法二：在以上取陈力£证明△?!后△利(弘⑼,即可

得解；②在加上取现七4£当MP1BE时，/羽取得最小值，得到/W=2,PB=2V3,过点、G作GH1BP千点、H,

利用直角三角形的性质求解即可；

解：(1)在等边△力比中，:止AC,4力二乙力除乙。二60°,

乙EDF=60°,JLADE^LBDF-乙ADE+乙AED=120°,

人AED二人BDF；

(2)①方法一：如答题图1,连接能过点尸作&〃9分别交力反〃'于点G,Q

易知△4G。和△叱均为等边三角形，

:.BG-CQ,乙力G0=6O°,

/.乙ADE+jBDF=乙ADE+乙AED=120°,

二.人AED;LBDF,同理乙位户二LEPQ、

二.可证：△ADXXGPM2QEP(4网,

:.AgGkQE、

24

•.­CE=2AD=CQ+EQ=AIhBG,:.PG;BG、

乙DBP=乙胸=30°；

方法二：如答题图2,在加上取DG二AE,

,：LAED-LBDF

又：DP=DE、LADE^LGPD(S4S),

：.PG=AD,乙尸⑺=60°,

•/CE=AC-AE=AB~DG=AD+BG=2AD、

BG-AD-PG,

乙DBP=4板=30°；

答题图2

②如答图3,在如上取哙佰,

由①可知乙糜=30°,AD-BG-PG',

当MP1BE时，取得最小值；

在RtXBMP中,a㈱=30°,B时=4,

25

:.PM:2,PB-2V3；

过点G作/"L利于点〃-：BG=PG,.■.掰二百；

在RtRBGH中,LGBP=30°,BH=W

c.BG-2,:.AD-BG-2.

小提示：

本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的综合应用，准确计算是解题的关键.

25、在初、高中阶段，要求二次根式化简的最终结果中分母不含有根号，也就是说当分母中有无理数时，要将

其化为有理数，实现分母有理化.比如：

.、2_2乂6_2V3.

⑴而=标=『

⑵2一2(岳I)2阳1)_b

WV3+1-(73+1)(75-1)273/

试试看，将下列各式进行化简：

⑴*；

⑵Wl；

(3)熹+嬴+…+嬴。

答案：(1)y；(2)V2-1；(3)2

解析：

26

（1）根据第一个例子可以解答本题；

（2）根据第二个例子和平方差公式可以解答本题；

（3）根据第二个例子和平方差公式把原式化简，找出式子的规律得出结果即可.

解•⑴上=区1=立•

廨.卬鱼72X722'

⑵丽-（在+1）x（逅-1）72一\'

⑶表+短+…+嬴

1X（V2-1）1X（V3-V2）lX（>/9->/8）

■（1+您）x（6-1）+（您+6）x（6-®十…十（而+百）x（89

=V2-1+V3-V2+-+V9-V§,

=V9-1,

=3-1

=2.

小提示：

本题考查了二次根式的混合运算、分母有理化和平方差公式，解答本题的关键是明确分母有理化的方法.

26、如图，/〃是的角平分线，DE、加分别是△/必和少的高.

（1）求证：力〃垂直平分厮；

（2）gAB+AC=10,SAABC=15,求应的长.

27

答案:(1)见解析；(2)DE=3

解析：

(1)由角平分线的性质得如二生再根据应证明应△力瓦上位△月做得四二"；从而证明结论；

(2)根据加二网得S“BD+S“CD制•ED+)C•。尸=»E(AB+AC)=15,代入计算即可.

(1)证明：•"〃是△被7的角平分线，DE、灰分别是△力勿和△力曲的高，

：.DE=DF、

在RtAAED与放△力，〃中，

(AD=AD

IDE=DF'

:.RtXAEXRtRAFD(血),

:.AE=AFt

'：DE=DF,

•,・力〃垂直平分所；

(2)解:：DE=DF、

•••SAABD+SMCD="B-ED+^AC.DF=^DE(AB+AC)=15,

\-Aff+AC=10,

，DE=3.

小提示：

本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，解题的关键是掌握这些知识点.

27、已知关于》的一元二次方程产+(2m+l)x+m2=0有两个不相等的实数根.

(1)求m的取值范围；

28

(2)若该方程的两个根都是整数，写出一个符合条件的m的值，并求此时方程的根.

答案：(1)m>-；；(2)当m=2时，方程的两个整根为$=-4,x2=-1

解析：

(1)根据根的判别式即可求出"的取值范围；

(2)根据题意写一个勿的值，然后代入方程求出方程的根即可.

解：(1)由题意，A=b2-4ac>0,

即(2m+l)2-4ni2>o.

解得，m>-

4

⑵■-X=

由题意，4=4m+1是平方数，

设m=2,

原方程为/+5x4-4=0,

(%4-1)(%+4)=0,

%+4=0或工+1=0,

解得，X1

=-4.%2=-1.

一.当时，方程的两个整数根为%=

m=2-4,x2=-1.

小提示：

本题考查的是一元二次方程根的判别式、一元二次方程的解法，掌握当△>()时，方程有两个不相等的两个实

数根是解题的关键.

28、如果抛物线心的顶点在抛物线8上，抛物线4的顶点也在抛物线心上时，那么我们称抛物线a与&"互

29

为关联”的抛物线.如图L已知抛物线C//=；/+*与x+c是“互为关联”的抛物线，点4B

4

分别是抛物线0Q的顶点，抛物线Q经过点〃(6,-1).

⑴直接写出48的坐标和抛物线Q的解析式；

⑵抛物线心上是否存在点£使得△力跖是直角三角形？如果存在，请求出点E的坐标；如果不存在，请说明

理由；

⑶如图2,点6(-6,3)在抛物线G上，点M、分别是抛物线Q。，上的动点，且点,KN的横坐标相同，

记面积为S(当点"与点4尸重合时$=0),的面积为&(当点A，与点4夕重合时，&=0),

令5=5+&观察图象，当力乏度时，写出x的取值范围，并求出在此范围内S的最大值.

答案：(1)4(・2,-1),B(2,3)；抛物线&的解析式为％=・#+>+2

⑵存在，点少的坐标E(6.-1)或£、(10,-13)

⑶-2&XW2,当£=2时，S的最大值为16

解析：

(1)将抛物线口改为顶点式可得4-2,-1),将力(-2,-1),D(6,-1)代入y2=Q/+》+c,求得y?=

一：(牙-2)2+3,即可求出〃(2,3)；

(2)易得直线血的解析式：y=x+l,①若8为直角顶点，BELAB,E(6,-1)；②若力为直角顶点，AE1AB,

E(10,-13)；③若E为直角顶点，设£(见-l2,不符合题意；

4m+rn+2)

(3)由匕这以得-2—W2,设M(£,；t2+t),N(t,一;上？十―？)，且一2工£工2,易求直线"'的解析式：

30

y=-*-3,过就作x轴的平行线第交游于QSI=“2+4£+6,设的交稠于点月易知夕（£,t+1）,

52=2-女2,所以s=S］+S2=4t+8,即当£=2时，S的最大值为16.

⑴

抛物线Cr.y1=+%=；（%+2）2-1

力（-2,-1）,

将力（-2,-1）,攵6,-1）代入抛物线C?：为=收+%+.得：］怒工［:：一；，

解得：卜=4,

Ic=2

./=_%2+工+2=一：（叉-2）2+3,

・•・B⑵3）；

⑵

设直线的解析式为：y=kx+b,

则厂2k+b=-l

人2k+b=3'

解得:忆；

••・直线力夕的解析式：7=^+1,

①若8为直角顶点，BELAB,kBE-kAB=-l,

：.kBE=-l,

故可设直线座解析式为y=-X+"，

将〃点坐标代入，得：3=-2+〃，

解得："=5,

31

直线比'解析式为y=—%+5.

(y=-x+5

联立fy=-^x2+x+2,

解得俨i=2(X2=6

廨F%=3'卜2=一1'

:E(6,-1)；

②若力为直角顶点，AE1AB,

同理得力£解析式：、=一不一3.

联乂]丫=一浮+%+2，

解得产】=-2(x2=10

解F%=T'1力=一13'

:.E(10.-13)；

③若£为直角顶点，设£(优-^m2+m+2)

4

由力E_L庞得kBEkAE=・1,

„-T»n2+m-l-Tm2+m+l

即七h•七k…

整理，得：(m+2)理-2)[(m-2)(m-6)+16]=0,

//H-2=0或m-2=0或(m-2)(m-6)+16=0(无解)

••・解得卬=2或-2(不符合题意舍去)，

•・•点£的坐标£(6,-1)或£(10,-13)；

⑶

•.%工力，

A-2<%<2,

32

设M(t,+N(t,-)2+£+2),且—2WtW2,

设直线"的解析式为y=m+u则｛二支曹:;

•・•直线"的解析式：y=-x-3.

如图，过"作x轴的平行线匝交",于°,

则Q(_12-t-3,it2+t),

<'-Si=：QM•|yF—X41=112+4t+6.

设仍交郴于点尸，易知rgt+i).

2

S2=1PN^xA-xB\=2-^t,

-,.S=Si+S2=4t4-8,

.•・当£=2时，S的最大值为16.

小提示：

本题为二次函数综合题，考点有利用待定系数法求函数解析式，二次函数的顶点，两直线垂直其比例系数相乘

等于-1等知识，为压轴题.利用分类讨论和数形结合的思想是解题关键.

29、如图，把长方形纸片4BCD沿EF折叠，使点8落在边上的点夕处，点4落在点〃处.

33

A

(1)试说明&E=BF；

(