2024-2025学年天津市河东区高三上册第一次月考数学学情检测试卷（附解析）

2024-2025学年天津市河东区高三上学期第一次月考数学学情检测试卷一、选择题1.已知集合，则（）A. B. C. D.【正确答案】C【分析】根据集合运算的定义计算．【详解】由题意，，．故选：C．2.设，则“”是“”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【正确答案】A【详解】由，解得，由，可知“x<1”是“”的充分不必要条件，选A.3.函数在的图象大致为（）A. B.C. D.【正确答案】D【分析】判断函数为奇函数排除，计算排除，得到答案.【详解】，，函数为奇函数，排除.，排除.故选.本题考查了根据函数解析式选择图像，判断函数的奇偶性是解题的关键.4.已知奇函数，且在上是增函数.若，，，则a，b，c的大小关系为A. B. C. D.【正确答案】C【详解】因为是奇函数，从而是上的偶函数，且在上是增函数，，，又，则，所以即，，所以，故选C．【考点】指数、对数、函数的单调性【名师点睛】比较大小是高考常见题，指数式、对数式的比较大小要结合指数函数、对数函数，借助指数函数和对数函数的图象，利用函数的单调性进行比较大小，特别是灵活利用函数的奇偶性和单调性数形结合不仅能比较大小，还可以解不等式.5.某校抽取名学生做体能测认，其中百米测试中，成绩全部介于秒与秒之间，将测试结果分成五组：第一组，第二组，，第五组．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图，若成绩低于即为优秀，如果优秀的人数为人，则的估计值是（）A. B. C. D.【正确答案】B【分析】利用左边的矩形面积之和为列等式可求得实数的值.【详解】优秀人数所占的频率为，测试结果位于的频率为，测试结果位于的频率为，所以，，由题意可得，解得.故选：B.6.如图，在直三棱柱中，，是等边三角形，点为该三棱柱外接球的球心，则三棱柱外接球表面积与四棱锥体积之比为（）A. B. C. D.【正确答案】A【分析】分别求得三棱柱外接球表面积与四棱锥体积即可解决.【详解】取三棱柱上底面中心D，下底面中心，连接、取中点O，连接则点O为三棱柱外接球球心，为三棱柱外接球半径.由，可得，则则三棱柱外接球表面积为延长交与，则为四棱锥的高则则三棱柱外接球表面积与四棱锥体积之比为故选：A7.已知，函数在内单调递减，则的取值范围是（）A. B. C. D.【正确答案】B【分析】函数在上单调递减,周期,解得:,令可得，由于函数在上单调递减，可得，分析即得解【详解】函数在上单调递减,周期,解得:又函数的减区间满足:解得：由于函数在上单调递减故即又，故则的取值范围是:.故选：B8.设函数，若互不相等的实数、、，满足，则的取值范围是（）A. B. C. D.【正确答案】C【分析】设，作出函数的图象，结合图象可得出的取值范围，结合二次函数图象的对称性可得出，进而可求得的取值范围.【详解】设，作出函数的图象如下图所示：设，当时，，由图象可知，，则，可得，由于二次函数的图象的对称轴为直线，所以，，因此，.故选：C.方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（或取值范围），常用方法如下：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数的取值范围；（2）分离常数法：先将参数分离，转化为求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.9.已知，给出下列结论：①若，且，则；②存在，使得的图像向左平移个单位长度后得到的图像关于轴对称；③若，则在上单调递增；④若在上恰有5个零点，则的取值范围为.其中，所有正确结论的个数是（）A.1 B.2 C.3 D.4【正确答案】B【分析】由二倍角公式可得，利用余弦函数的图像和性质判断各结论即可.【详解】由题意可得，①由且可得两相邻对称轴间的距离为，所以，解得，错误；②的图像向左平移个单位长度得，若关于轴对称，则，即，解得，所以当时符合题意，正确；③当时，所以当时，因为在上单调递减，在上单调递增，所以在上单调递增，在上单调递减，错误；④设，当时，在上恰有5个零点，即在上有5个零点，则，解得，正确；综上②④正确，故选：B二、填空题10.是虚数单位，复数的虚部是______.【正确答案】【分析】由复数模的定义和复数的除法法则计算．【详解】．虚部为-2.故．11.在的展开式中，x的系数为_______．【正确答案】【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于1，求出r的值，即可求得展开式中含x项的系数．【详解】的展开式中，通项公式为，

令，求得，可得展开式中含x项的系数.

故．12.计算：______．【正确答案】【分析】根据换底公式、对数的运算性质计算可得.【详解】解：．故．13.设，，若，则的最小值为_____________.【正确答案】【分析】由已知可得，从而有，展开后利用基本不等式，即可求解.【详解】由题意，因为满足，所以，且，则，当且仅当且，即时取得最小值.故本题主要考查了利用基本不等式求最值问题的应用，合理利用基本不等式求得最值是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.14.甲､乙两名枪手进行射击比赛，每人各射击三次，甲三次射击命中率均为；乙第一次射击的命中率为，若第一次未射中，则乙进行第二次射击，射击的命中率为，如果又未中，则乙进行第三次射击，射击的命中率为.乙若射中，则不再继续射击.则甲三次射击恰好命中1次的概率为______，乙射击次数的期望为______.【正确答案】①.##0.096②.##1.15625【分析】根据n次独立重复实验中恰好发生k次的概率计算空1，空2根据射击次数的取值算出对应概率，求解期望.【详解】根据甲每次射击击中目标的概率是，且各次射击的结果互不影响，故甲三次射击恰好命中1次的概率为.乙射击次数X可能取值为1，2，3，，，，所以.故；15.在菱形ABCD中，，，E，F分别为线段BC，CD上的点，，，点M在线段EF上，且满足，则x=___________；若点N为线段BD上一动点，则的取值范围为___________.【正确答案】①.；②.【分析】根据菱形的性质，建立以为x轴，为y轴的直角坐标系，利用向量的坐标表示形式分别表示出，根据它们的关系求得x的值及M的坐标；设，表示出的函数关系，根据二次函数的性质求得取值范围.【详解】根据菱形的性质，建立以为x轴，为y轴的直角坐标系，如图所示：则，，，，，由题知，，且，设，则，由，则，解得，，设，，，则，则故；.三、解答题16.在中，分别是三个内角的对边，若，且.（1）求及的值；（2）求的值.【正确答案】（1），;（2）.【分析】（1）由正弦定理可得，再利用二倍角的正弦公式可得，从而根据余弦定理可得；（2）利用二倍角的正弦公式，二倍角的余弦公式求得的值，再由两角和的余弦公式可得结果.【详解】（1）中，由正弦定理，得，，，即，解得，在中，由余弦定理，得，解得或．，．（2），，，.本题主要考查余弦定理、正弦定理在解三角形中的应用，属于中档题.正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下几种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.17.如图，在四棱锥中，，，底面为正方形，分别为的中点．（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值．【正确答案】（1）证明见解析（2）【分析】（1）利用中位线定理证明，然后由线面平行的判定定理证明即可；（2）建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面的法向量，由向量的夹角公式求解即可.【小问1详解】∵，分别为，的中点，∴，又平面，平面，故平面.【小问2详解】由题可知DA、DC、DP两两垂直，故以点为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示：设，则，∴，设平面的法向量为，则，令，则，，故，∴，故直线与平面所成角的正弦值为18.在中，角、、的对边分别是、、，且满足，，且的面积.（1）求的值和边的值；（2）求的值.【正确答案】（1），（2）【分析】（1）利用余弦定理化简已知条件，求得的值，进而求得的值，利用正弦定理化简已知条件，结合三角形的面积公式列方程，由此求得的值；（2）由题意求出，再由正弦定理可得，根据二倍角公式以及两角差正弦公式即可求解.【小问1详解】由题意，又因，为内角，所以.因为，所以得，的面积，即，得，所以；【小问2详解】，因为，，解得，，又因为，，解得，由，角为锐角，所以，，，.19.如图，在四棱锥P—ABCD中，平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，其中AD∥BC，，E为棱BC上的点，且（1）求证：DE⊥平面；（2）求二面角的余弦值；（3）设Q为棱CP上的点（不与C、P重合），且直线QE与平面PAC所成角的正弦值为，求的值.【正确答案】（1）证明见解析（2）（3）【分析】（1）以为原点，所在的直线为轴的正方向建立空间直角坐标系，求得，，再由线面垂直的判定定理可得答案；（2）求出平面、平面的法向量，再由二面角的向量求法可得答案；（3）设，利用可得，再由可得答案.【小问1详解】以为原点，所在的直线为轴的正方向建立空间直角坐标系，则，，，，，，所以，，，所以，，所以，，且，所以DE⊥平面.【小问2详解】由（1）知，DE⊥平面，是平面的一个法向量，且，，，设平面的一个法向量为，所以，即，令，则，所以，，由图二面角的平面角为锐角，所以二面角的余弦值为.【小问3详解】由（1）得，，，，设，则，可得，所以，是平面的一个法向量所以，解得.所以.20.已知函数．（Ⅰ）求曲线在点（1，）处的切线方程；（Ⅱ）求函数的单调区间；（Ⅲ）已如函数，若，，不等式恒成立，求实数的取值范围．【正确答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）在（0，）递增，在递减；（Ⅲ）.【分析】（Ⅰ）求函数导数得切线斜率，进而由点斜式即可得解；（Ⅱ）求函数导数，根据导数的正负即可得单调区间；（Ⅲ）由（Ⅱ）得的最大值是，，，不等式恒成立，转化为恒成立，再求的导数，讨论单调性求最值即可.【详解】（Ⅰ）∵，定义域是0,+∞，∴，，，故切线方程为，即；（Ⅱ）由（Ⅰ），令，解得，令，解得，故在（0，）递增，在递减；（Ⅲ