2024-2025学年湖北省武汉市高一上册9月月考数学检测试卷（含解析）

2024-2025学年湖北省武汉市高一上学期9月月考数学检测试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知命题：，，则命题的否定为（）A.， B.，C.， D.，2.下列各组函数是同一个函数的是（）A.与 B.与C与 D.与3.“”是“”的（）A充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.若，，且，，则（）A. B.C. D.5.已知集合，，则（）A. B. C. D.6.不等式的解集为，则函数的图象大致为（）A. B.C D.7.关于x的不等式的解集中恰有2个整数，则实数a的取值范围是（）A. B.C. D.8.已知表示不超过x的最大整数，集合，，且，则集合B的子集个数为（）．A.4 B.8 C.16 D.32二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有错选得0分．9.已知非空集合都是的子集，满足，，则（）A. B.C. D.10.已知函数，下列关于函数的结论正确的是（）A.的定义域是 B.的值域是C.若，则 D.的图象与直线有一个交点11.已知，则下列正确是（）A.的最大值为 B.的最小值为C.最大值为8 D.的最大值为6三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知集合，，若，则实数的取值范围是______.13.函数的定义域是_________．14.定义集合“长度”是，其中a，R．已如集合，，且M，N都是集合的子集，则集合的“长度”的最小值是_____；若，集合的“长度”大于，则n的取值范围是__________.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.已知为全集，集合，集合．（1）求集合A；（2）若，求实数的取值范围．16.已知集合，且.（1）若“命题，”是真命题，求实数的取值范围；（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.17.已知，且．（1）证明:．（2）若，求的最小值．18.LED灯具有节能环保的作用，且使用寿命长．经过市场调查，可知生产某种LED灯需投入的年固定成本为4万元每生产万件该产品，需另投入变动成本万元，在年产量不足6万件时，，在年产量不小于6万件时，．每件产品售价为6元．假设该产品每年的销量等于当年的产量．（1）写出年利润(万元)关于年产量(万件)的函数解析式．(注：年利润＝年销售收入－固定成本－变动成本)（2）年产量为多少万件时，年利润最大？最大年利润是多少？19.问题：正实数a，b满足，求的最小值.其中一种解法是：，当且仅当且时，即且时取等号.学习上述解法并解决下列问题：（1）若正实数x，y满足，求的最小值；（2）若实数a，b，x，y满足，求证：；（3）求代数式的最小值，并求出使得M最小的m的值.2024-2025学年湖北省武汉市高一上学期9月月考数学检测试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知命题：，，则命题的否定为（）A.， B.，C.， D.，【正确答案】C【分析】根据全称量词命题的否定求得结果.【详解】根据命题的否定，任意变存在，范围不变，结论相反，则命题的否定为“，”.故选：C.2.下列各组函数是同一个函数的是（）A.与 B.与C.与 D.与【正确答案】A【分析】根据相同函数的定义，依次判断选项即可.【详解】A：函数和的定义域为R，解析式一样，故A符合题意；B：函数与的定义域为R，解析式不一样，故B不符合题意；C：函数的定义域为，的定义域为R，解析式一样，故C不符合题意；D：函数的定义域为，的定义域为R，解析式不一样，故D不符合题意.故选：A3.“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【正确答案】D【分析】根据充分必要条件的定义分别判断即可．【详解】解：时，由，解得：，时，解得：，不是必要条件，反之也推不出，比如，不是充分条件，故“”是“”的既不充分也不必要条件．故选：D．4.若，，且，，则（）A. B.C. D.【正确答案】B【分析】解一元二次不等式，求出，或，结合，得到正确答案.【详解】因为，，所以，又因为，所以或，因为，所以不合要求，所以，综上.故选：B5.已知集合，，则（）A. B. C. D.【正确答案】A【分析】由集合，中的元素特征判断可得.【详解】，当时，表示的整数倍与的和，表示的整数倍与的和，故，故选：A6.不等式的解集为，则函数的图象大致为（）A. B.C. D.【正确答案】A【分析】根据题意，可得方程的两个根为和，且，结合二次方程根与系数的关系得到、、的关系，再结合二次函数的性质判断即可．【详解】因为的解集为，所以方程的两根分别为和1，且，则变形可得故函数的图象开口向下，且与x轴的交点坐标为和，故A选项的图象符合.故选：A7.关于x的不等式的解集中恰有2个整数，则实数a的取值范围是（）A B.C. D.【正确答案】C【分析】分类讨论，与三种情况下原不等式的解集，结合题意可得该整数，列不等式即可得到的取值范围．【详解】由可得，当时，，即原不等式无解，不满足题意；当时，原不等式解得，由于解集中恰有2个整数，所以该整数解为2和3，因此可得，即；当时，原不等式解得，由于解集中恰有2个整数，所以该整数解为和0，因此由数轴法可得，即；综上：或，所以实数的取值范围为或．故选：C．8.已知表示不超过x的最大整数，集合，，且，则集合B的子集个数为（）．A.4 B.8 C.16 D.32【正确答案】C【分析】由新定义及集合的概念可化简集合，再由可知，分类讨论的归属，从而得到集合的元素个数，由此利用子集个数公式即可求得集合的子集的个数.【详解】由题设可知，，又因为，所以，而，因为的解为或，的两根满足，所以分属方程与的根，若是的根，是的根，则有，解得，代入与，解得或与或，故；若是的根，是的根，则有，解得，代入与，解得或与或，故；所以不管如何归属方程与，集合总是有4个元素，故由子集个数公式可得集合的子集的个数为.故选：C二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有错选得0分．9.已知非空集合都是的子集，满足，，则（）A. B.C. D.【正确答案】ABD【分析】根据交集、并集、补集的定义及性质判断各选项.【详解】对于A，由可得，故A正确；对于B，由，可得，从而，故B正确；对于C、D，结合与，可知，又，所以，故C错误，D正确.故选：ABD.10.已知函数，下列关于函数的结论正确的是（）A.的定义域是 B.的值域是C.若，则 D.的图象与直线有一个交点【正确答案】BCD【分析】根据函数的定义域、值域、由函数值求自变量、函数图象等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】A选项，的定义域是，所以A选项错误.B选项，当时，，当时，，所以的值域是，所以B选项正确.C选项，由B选项的分析可知，若，则，解得，所以C选项正确D选项，画出的图象如下图所示，由图可知，D选项正确.故选：BCD11.已知，则下列正确的是（）A.的最大值为 B.的最小值为C.最大值为8 D.的最大值为6【正确答案】BC【分析】根据基本不等式对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】依题意，，A选项，，，解得，当且仅当，即时等号成立，所以，所以A选项错误.B选项，，，，当且仅当时等号成立，所以B选项正确.D选项，，整理得，，当且仅当时等号成立，所以D选项错误.C选项，，由D选项的分析可知：，所以C选项正确.故选：BC方法点睛：用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：“一正，二定，三相等”.（1）“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方，注意多次运用不等式，等号成立条件是否一致.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知集合，，若，则实数的取值范围是______.【正确答案】【分析】在数轴上画出两个集合对应的范围，利用可得实数的取值范围.【详解】如图，在数轴表示，因为，故，填.含参数的集合之间的包含关系，应借助于数轴、韦恩图等几何工具直观地讨论参数的取值范围，解决此类问题时，还应注意区间端点处的值是否可取.13.函数的定义域是_________．【正确答案】【分析】根据偶次方根的被开方数非负、分母不为零得到方程组，解得即可；【详解】解：因为，所以，解得且，故函数的定义域为；故14.定义集合的“长度”是，其中a，R．已如集合，，且M，N都是集合的子集，则集合的“长度”的最小值是_____；若，集合的“长度”大于，则n的取值范围是__________.【正确答案】①.##②.【分析】空1：根据区间长度定义得到关于的不等式组，再分类讨论即可；空2：代入得到，再根据区间长度大于，得到关于的不等式组，解出即可.【详解】集合，，且M，N都是集合的子集，

由，可得，由，可得．要使的“长度”最小，只有当取最小值、取最大或取最大、取最小时才成立.

当，，，“长度”为，

当，，，“长度”为，

故集合的“长度”的最小值是；

若，，

要使集合的“长度”大于，故或

即或又，故.故；.关键点点睛：本题的关键是充分理解区间长度的定义，再根据交并集的含义得到不等式组，结合分类讨论的思想即可.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.已知为全集，集合，集合．（1）求集合A；（2）若，求实数的取值范围．【正确答案】（1）（2）或【分析】（1）将分式不等式化为，解出解集，得到集合A；（2）由（1）得到，根据得到，从而列出不等式，求出实数的取值范围.【小问1详解】因为，即，即，所以，解得：，故；【小问2详解】由（1）得：，所以或，因为，所以，又，因为，故，则或，解得：或，综上：实数的取值范围为或.16.已知集合，且.（1）若“命题，”是真命题，求实数的取值范围；（2）若是充分不必要条件，求实数的取值范围.【正确答案】（1）（2）【分析】（1）由命题是真命题，可知，又，可得的取值范围；（2）由是的充分不必要条件,得是的真子集，又，可得的取值范围.【小问1详解】因为，所以命题是真命题，可知，因为，，，,故的取值范围是.【小问2详解】若是的充分不必要条件,得是的真子集，，，解得，故的取值范围是.17.已知，且．（1）证明:．（2）若，求的最小值．【正确答案】（1）证明见解析（2）【分析】（1）利用基本不等式可得，，，求和即可证明；（2）原不等式可化为，且，利用基本不等式可求得的最小值.【小问1详解】，①②③①+②+③得，即，当且仅当时，等号成立．【小问2详解】由，得，即，所以由，得，得，即，所以．所以的最小值为，当且仅当，即时，等号成立．18.LED灯具有节能环保的作用，且使用寿命长．经过市场调查，可知生产某种LED灯需投入的年固定成本为4万元每生产万件该产品，需另投入变动成本万元，在年产量不足6万件时，，在年产量不小于6万件时，．每件产品售价为6元．假设该产品每年的销量等于当年的产量．（1）写出年利润(万元)关于年产量(万件)的函数解析式．(注：年利润＝年销售收入－固定成本－变动成本)（2）年产量为多少万件时，年利润最大？最大年利润是多少？【正确答案】（1）（2）当年产量为10万件时，年利润最大，最大年利润为15万元．【分析】(1)根据“年利润＝年销售收入－固定成本－变动成本”，分和即可求出L(x)的解析式；(2)根据二次函数和基本不等式分别求出L(x)在和时的最大值，比较即可得到答案．小问1详解】∵每件产品售价为6元，∴万件产品的销售收入为万元，依题意得，当时，，当时，．∴【小问2详解】当时，，当时，取得最大值．当时，，当且仅当，即时，取得最大值15．∵，∴当年产量为10万件时，年利润最大，最大年利润为15万元．19.问题：正实数a，b满足，求的最小值.其中一种解法是：，当且仅当且时，即且时取等号.学习上述解法并解决下列问题：（1）若正实数x，y满足，求的最小值；（2）若实数a，b，x，y满足，求证：；（3）求代数式的最小值，并求出使得M最小的m的值.【正确答案】（1）（2）证明见解析（3）时，取得最小值．【分析】（1）利用“1”的代换凑配出积为定值，从而求得和的最小值；（2）利用已知，，然后由基本不等式进行放缩：，再利用不等式的性质得出大小．并得出等号