贵州省黔南布依族苗族自治州都匀市贵定县高三上学期第一次模拟考试数学试题

黔南州2025届高三年级第一次模拟考试数学注意事项：1、本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟.2、答题前将姓名、准考证号、座位号准确填写在答题卡指定的位置上.3、选择题须使用2B铅笔将答题卡相应题号对应选项涂黑，若需改动，须擦净另涂；非选择题在答题卡上对应位置用黑色墨水笔或黑色签字笔书写.在试卷、草稿纸上答题无效.一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知全集，集合，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】用列举法表示集合，再利用补集的定义求出结果.【详解】依题意，，所以.故选：B2.已知向量，.若，则（）A. B. C. D.12【答案】C【解析】【分析】根据给定条件，利用向量垂直的坐标表示列式计算得解.【详解】向量，，由，得，所以.故选：C3.样本数据：11，12，15，13，17，18，16，22，36，30的第70百分位数是（）A.16 B.19 C.20 D.22【答案】C【解析】【分析】利用百分位数的定义进行求解.【详解】共有10个数，，故从小到大排列，选择第7个数和第8个数的平均数作为第70百分位数，即20为第70百分位数.故选：C.4.曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为（）A. B.1 C. D.【答案】A【解析】【分析】利用导数的几何意义求出切线方程，进而求出三角形面积.【详解】由，求导得，则，而，因此曲线在点处的切线为，该切线交于点，交轴于点，所以该切线与两坐标轴围成三角形的面积.故选：A5.若为圆上的动点，则点到直线的距离的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出圆心到直线的距离，再利用圆的性质求出最小值.【详解】圆的圆心，半径，点到直线的距离，即直线与圆相离，又点在该圆上，所以点到直线的距离的最小值为.故选：A6.若，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用诱导公式及二倍角余弦公式计算得解.【详解】由，得，即，解得，所以.故选：C7.三次函数的图象如图所示.下列说法正确的是（）A.，，， B.，，，C.，，， D.，，，【答案】D【解析】【分析】求出函数的导数，结合函数的图象特征确定各项系数的正负.【详解】函数，求导得，观察函数图象，得函数有异号两个极值点，且，函数在上单调递增，在上单调递减，，排除A；由，得则，，得，排除C；由不等式的解集为，得，即，排除B；又是方程的二根，，则，选项D符合题意.故选：D8.通常用小时内降水在平地上的积水厚度（单位：）来判断降雨量的大小，如下表：降雨等级小雨中雨大雨暴雨大暴雨特大暴雨积水厚度（）某同学用如图所示的圆台形容器接了小时雨水，则这小时内降雨的等级是（）A.中雨 B.大雨 C.暴雨 D.大暴雨【答案】A【解析】【分析】利用圆台的体积公式得到容器内的雨水体积，然后求降雨厚度判断降雨等级即可.【详解】作圆台的轴截面如图，由题意得，，，所以容器内雨水的体积，所以小时内降水在平地上的积水厚度为，因为，所以这小时内降雨等级是中雨.故选：A.二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.已知等差数列的前项和为，等比数列的前项和为.下列说法正确的是（）A.数列为等差数列 B.若，，则C.数列为等比数列 D.若，则数列的公比为2【答案】ACD【解析】【分析】利用等差数列前项和公式，结合定义判断A；利用等差数列片断和性质计算判断B；利用等比数列定义及前项和计算判断CD.【详解】对于A，令等差数列公差为，则，，为常数，数列为等差数列，A正确；对于B，等差数列中，成等差数列，则，解得，B错误；对于C，令等比数列的公比为，则，为常数，数列为等比数列，C正确；对于D，等比数列的公比为，由，得，则，而，解得，D正确.故选：ACD10.函数的部分图象如图所示.下列说法正确的是（）A.函数y=fx在区间上单调B.函数y=fx在区间上有两个极值点C.函数y=fx的图象关于点中心对称D.函数y=fx的图象与直线在区间上有两个公共点【答案】BD【解析】【分析】根据图象得到，然后代入的方法判断ABC选项，将的图象与直线的交点个数转化为方程的根的个数，然后解方程判断D选项.【详解】由图象可知，最小正周期，所以，将，代入中得，结合，解得，所以，，则，因为在上不单调，所以在上不单调，故A错；，则，因为在上单调递增，在上单调递减，所以在上单调递增，在上单调递减，所以在有两个极值点，故B正确；，所以不是的对称中心，故C错；令，解得或，因为，所以或，所以的图象与直线在上有两个公共点，故D正确.故选：BD.11.已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于，两点.若抛物线在点，处的切线的斜率分别为，，且抛物线的准线与轴交于点，则下列说法正确的是（）A.的最小值为4B.若，则C.若，则直线的方程为D.直线倾斜角的最小值为【答案】ABD【解析】【分析】求出抛物线的焦点坐标及准线方程，设出直线的方程，并与抛物线方程联立，借助韦达定理求出关系式，利用抛物线定义结合基本不等式求解判断AB；利用导数求出切线斜率求解判断C；求出直线的斜率范围判断D.【详解】抛物线的焦点，准线方程为，，显然直线的斜率存在，设其方程为，，由消去得，显然，，对于A，，当且仅当时取等号，A正确；对于B，由选项A知，，而，因此，B正确；对于C，由，求导得，则，由，得，则，解得，直线的方程为，C错误；对于D，直线的斜率，，当且仅当时取等号，则或，因此直线的倾斜角，直线的倾斜角的最小值为，D正确.故选：ABD三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知是虚数单位，复数满足，则___________.【答案】【解析】【分析】利用复数的除法法则计算得到，然后求即可.【详解】，所以.故答案为：.13.的展开式中，常数项为___________.(用数字作答)【答案】【解析】【分析】求得二项展开式的通项，结合通项确定的值，代入即可求解.【详解】由题意二项式展开式的通项为，令，可得展开式的常数项为.故答案为：.14.已知集合为不超过的正整数，.若，，则的最大值与最小值之和为___________.【答案】【解析】【分析】根据题意，分析可得对于的最小值，要尽可能让每一项取较大值，对于的最大值，要尽可能让每一项取较小值，结合等差数列的求和公式代入计算，分别求得的最小值以及最大值，即可得到结果.【详解】由题意可得，，且，，对于的最小值，要尽可能让每一项取最大值；对于的最大值，要尽可能让每一项取最小值；当尽可能取大的值时，会取到最小值，当时，n取到最大值，最大值为60；当时，因为，，所以取时，，此时n恰好取到最小值，综上的最大值为，的最小值为，则的最大值与最小值之和为.故答案为：【点睛】关键点睛：本题主要考查了集合定义的理解以及数列求和的内容，难度较大，解答本题的关键在于分析出对于的最小值，要尽可能让每一项取较大值，对于的最大值，要尽可能让每一项取较小值，即可得到结果.四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出相应的文字说明、证明过程或演算步骤）15.已知的三个内角，，所对的边分别为，，，且，，.（1）求和；（2）已知点在线段上，且平分，求的长.【答案】（1），（2）.【解析】【分析】（1）弦化切求出，再利用余弦定理求出.（2）由（1）的结论，利用三角形面积公式列式求出.【小问1详解】在中，由，得，而，则，由余弦定理，得，即，即，而，所以.【小问2详解】由（1）知，，由平分，得，即，则，即，所以.16.已知函数.（1）讨论函数单调性；（2）若当时，函数有两个不同的零点，求实数的取值范围.【答案】（1）答案见解析.（2）【解析】【分析】（1）求出函数的导数，再按分类讨论导数值正负即可.（2）由（1）可得的最小值，再结合函数值的变化情况求出最小值小于0的的范围.【小问1详解】函数的定义域为R，求导得，当时，，函数在R上单调递减；当时，由，得；由，得，即函数在上单调递减，在上单调递增，所以当时，函数的单调递减区间是；当时，函数的单调递减区间是，单调递增区间是.【小问2详解】由（1）知，当时，，当时，；当时，，要函数有两个不同的零点，当且仅当，解得，所以实数的取值范围.17.如图，四棱锥的底面为平行四边形，底面，.（1）求证：平面平面；（2）若，求平面与平面的夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）利用线面垂直的性质、判定，面面垂直的判定推理得证.（2）过作直线，以点为原点建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，再利用面面角的向量求法求解.【小问1详解】在四棱锥中，由底面，底面，得，由，得，而平面，则平面，又平面，所以平面平面.【小问2详解】过作直线，由底面，得底面，直线两两垂直，以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，令，又为平行四边形，则，，设平面的法向量为，则，取，得，设平面的法向量为，则，取，得，所以平面与平面的夹角的余弦值为.18.已知椭圆的左、右焦点分别为，，且椭圆经过点.过点且斜率不为0的直线交椭圆于，两点，过点和的直线与椭圆的另一个交点为.（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线的倾斜角为90°，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用椭圆的定义求出，进而求出得的标准方程.（2）根据已知可得直线不垂直于坐标轴，设其方程并与椭圆方程联立，结合韦达定理求出直线与轴交点的横坐标即可.【小问1详解】椭圆的二焦点为，，点在椭圆上，则，解得，则，所以椭圆的标准方程为.【小问2详解】依题意，点不在轴上，即直线不垂直于轴，且直线不垂直于轴，否则重合，设直线方程为，，由消去得，，显然，设，由直线的倾斜角为90°，得点，则，所以，直线的方程为，当时，，所以.19.若无穷正项数列同时满足下列两个性质：①为单调数列；②存在实数，对任意都有成立，则称数列具有性质.（1）若，，判断数列，是否具有性质，并说明理由；（2）已知离散型随机变量服从二项分布，，，记为奇数的概率为.（ⅰ）当时，求，；（ⅱ）求，并证明数列具有性质.【答案】（1）不具有，具有，理由见解析；（2）（ⅰ），；（ⅱ），证明见解析.【解析】【分析】（1）利用给定的定义分别判断数列，即可.（2）（ⅰ）利用二项分布的概率公式求出，；（ⅱ）利用二项式定理求