2024年中考数学复习：与圆的性质相关的辅助线模型复习讲义

与圆的性质相关的辅助线模型复习讲义

与圆的性质有关的题目常用的作辅助线方法一般有以下几种：连接半径构造等腰三角形，有弧弦中点则连接圆

心构造垂径定理，有同弧（或等弦）时作其所对的圆周角（圆心角）找等角，直径所对的圆周角找直角，求弦长时作弦心

距.此外，题目中有定弦时，对定角转化为点圆距离求最小值问题也经常出现在中考题中.

模型一有弦弧中点连接圆心，或作弦心距构造直角三角形

场景：如图，E是弦AB的中点、F是弧CD的中点.

作辅助线方法:连接OE,OF,CD.

结论：OE_LAB,OF_LCD.

一D-D

解题时，可根据题目过圆心作弦的垂线，应用垂径定理来解答.如果有其他线段的中点时也可以连接圆心，构造

以直径为一边的三角形的中位线.

精选例题

例如图，在半径为旧的0O中，弦AB与CD交于点E,NDEB=75o,AB=6,AE=l厕CD的长是（）.

A.2V65.2V10D

C.2VT1D.4V3//\

解析

取AB的中点G,连接0G,可知OGLAB,满足垂径定理，可根据条件求出0G,0E,结合/DEB=75。,得

到NOED=30。,然后再取DE的中点F,可求OF和DF,进而求出CD.

解如图，取AB,CD的中点G,F,连接OG,OF,OE,OB,OD,易得OFLCDQGLAB.则DF=CF,AG=BG=1AB=

.\EG=AG-AE=2.

在RtABOG中，OG=>JOB2-BG2=V13-9=2,

EG=OG.AEOG是等腰直角三角形.-G

Z_OEG=45°,OE=V2OG=2V2.

•••ZDEB=75°,AOEF=30OF=-OE=V2.

2

在RtAODF中，DF=<OD2-OF2=“3-2=Vil,

CD=2DF=2VT1.

故选c.

精选练习

1.如图，四边形ABCD内接。O,连接BD.若AC=BC.A.BDC=50。，则/ADC的度数是（）.

2.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（血），点O是这段弧所在圆的圆心，AB=40m,点C是^AB的中点，点

D是AB的中点，且（CD=107n,则这段弯路所在圆的半径为（）.

A.25mB.24mC.30mD.60m

3.如图,AD是。。的直径,BC是弦,四边形OBCD是平行四边形,AC与OB相交于点P.下列结论错误的是（

）.

A.AP=20PB.CD=20PC.OB±ACD.AC平分OB

模型二作同弧所对的圆心角或圆周角

场景：如图，弧AB所对的圆周角为ZC.

作辅助线方法：连接OA,OB,作圆周角.乙D.

结论：乙4cB=乙ADB=^AOB.

例如图，点A,B,C,D,E在0O上，且AS=50。，则乙E+乙C=.

解析

由NC+Z.DEA="+LDEB+Z.BEA=180。,故只需求出NBE4即可,由模型只需作出弧AB所对的圆心角

和圆周角，由圆心角和圆周角的关系及血的度数，不难求出答案.

解如图，连接OA,OB,AE.

由筋=50。可知乙4OB=50°.

XVZAOB和/AEB分别为防所对的圆心角和圆周角，

•••乙4EB=-^AOB,

2

即乙AEB=25°.

又：四边形AEDC是。O的内接四边形，

.­./.ACD+^AED=180°.

又：/AEB=25°,

.­./.ACD+乙BED=180°-25°=155。..故答案为155。.

精选练习

L如图，点A,B,S在圆上，若弦AB的长度等于圆半径的&倍，则NASB的度数是（）.

D.600

2.如图,△ABC是OO的内接三角形,NC=30。,。。的半径为5.若点P是。。上的一点在AABP中,PB=AB,则P

A的长为（）.

A.5B.第C.5V2O.5V3

模型三90。圆周角与直径构造直角三角形

场景一：如图,AB是直径,AC是弦.

作辅助线方法：连接BC.

结论：NC=90°.

场景二：如图，乙C=90°.

作辅助线方法：连接AB.

结论:AB是直径.

应用：当题目中已知某个角的度数和某条线段的长度，要求其他线段的长度时，经常作直径及其所对的圆周角.

精选例题

例如图.四边形ABCD内接于。O,AB为直径AD=CD过点D作DE_LAB于点

3

E.连接AC交DE于点F.若s,\n/.CAB=，。尸=5,则BC的长为（

5

A.8B.10

C.12D.16

解析

已知sm^CAB=|,要求BC,只需求出直径AB,而在RtAACB中，已知条件不足以求AB,可考虑连接BD,

则/ADB所对的弦是直径AB,根据条件，围绕RtAADB求出AB即可.

解如图，连接BD.

VAD=CD,.\ZDAC=ZACD.

VAB为直径,，ZADB=ZACB=90°,.\ZDAB+ZABD=90°.

VDEXAB,.'.ZDAB+ZADE=90°,.\NADE=NABD.

NABD=NACD,NDAC=NADE.JAF=DF=5.

在RtAAEF中，sinzCXB=-=

AF5

EF=3,AE=4.DE=3+5=8.

由DE2=AE-EB,得BE=器=?=16.

.•.AB=16+4=20.

在RtAABC中,sin^CAB=^=|.

/.BC=12.

精选练习

1.如图,△ABC内接于。O,NCAB=3(T,/CBA=45o,CD，AB于点D.若。0的半径为2,则CD的长为

O€>

第1题图第2题困

2如图.△ABC是。O的内接三角形,AB=BC,NBAC=3(F,AD是直径,AD=8,则AC的长为().

A.4B.4V3C.|V3D.2V3

模型四与圆有关的最值

模型4-1定义法

场景:如图.点P在运动过程中始终满足OP=OA=OB=OC=r.

结论：点P的运动轨迹就是以O为圆心、半径为r的圆.

依据：根据圆的集合定义“在同一平面内，到定点0的距离等于定长r的点的集合，其中定点0叫圆心，定长

r叫半径”.

P

模型4-2定弦定角

场景：如图，动点P与定线段AB组成的三角形中，定线段AB所对的乙4PB是定值（此时点P在线段AB

的同侧运动）.

结论：动点P的运动轨迹是以AB为弦、乙4PB为圆周角的两条圆弧，即.△2PB的外接圆.圆心0在线段A

B的垂直平分线上，且满足（OA=OB=OP..此处只给出一条圆弧，想一想，另一条圆弧是什么？

应用：定边AB对定角.NP,,点P是动点当“为锐角时，动点P的轨迹是一段过A,P,B三点的优弧AP

B,如下图.（此时点P在AB的上方，想一想点P在AB的下方是什么情况）

拓展：当NP为钝角时，动点P的轨迹是一段过A,P,B三点的劣弧AB,如下图.

定边48

P

注意：上面的弧所在的圆的圆心在定边的垂直平分线上.

模型特例定边对直角模型

场景：如图，动点P与定线段AB组成的三角形中，定线段AB所对的乙APB=90。不变.

结论：动点P的运动轨迹是以AB为直径，乙4PB为圆周角的圆,即AaPB的外接圆该圆的圆心O为线段

AB的中点,半径r=\AB.

依据：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半.

p

B

应用：如图，定边AB对直角/P,这里点P是动点，则动点P的轨迹是以AB为直径的圆（不包括A,B点）.

P（动点）

P（动点）（P的^^

（定点3'\（定边）/（定点④

模型4-3点圆最值

场景：如图，点P是动点，运动轨迹是以0为圆心，r为半径的圆点A是圆外一个定点，到圆心0的距离

AO=d作射线AO交圆O于点P1,P2.

结论：PA的最小值为线段.Pz4P2A=-P2。=d—r;最大值为线段P1A,P1A=。4+P10=d+r.

应用：解答动点轨迹为圆的有关最值问题，关键在于以下几点：

⑴判断动点的轨迹是否是圆；

（2）找出圆的圆心及半径；

⑶利用相关模型求解.

精选例题

例1.如图,在等腰R3ABC中,/BAC=9（T,AB=AC,BC=4&,点D是AC边上一动点，连接BD,以AD为直径

的圆交BD于点E,则线段CE长度的最小值为.

解析

连接AE,AD为已知圆的直径，所以/AED=/AEB=90。为一定值,AB固定.符合“定弦定角”模型，可以判定点E

在以AB为直径的圆上.

解如图，连接AE.

/.AEXBD.

ZAED=ZAEB=90°.

二AAEB为直角三角形.

取AB的中点0,连接E0,

•/A0=B0=0E,

，点E在以点O为圆心、AB为直径的圆0上.

连接€：0.在4COE中，

CE>C0-0E,

当点E在CO上时,CE=CO-OE,

即CE>CO-OE.

AABC是等腰直角三角形,NBAC=9(r,AB=AC,BC=4V2,

；.AB=AC=4.

.*.AO=BO=OE=2.

•••CO=y/AC2+AO2=V42+22=2V5,

CE>0C-OE=2V5-2.

ACE最小值为2遮-2.故答案为2遮-2.

例2.已知边长为2旧的等边△ABC,D,E为AB,BC上的动点，满足AD=BE,AE与CD交于点P,号接BP,则BP

的最小值为.

部解析

计算出NAPC=120。为一定值，且对边为一定值，可利用“定边对定角”模型，结合“点圆最值”模型来解答.

解AB=AC,BE=AD,ZABE=ZCAD=60°,

/.AABE^ACAD.

ZBAE=ZACD.

ZAPD=ZACP+ZPAC=ZBAP+ZPAC=60°,

NAPC=120。,即NAPC=120。为定值.

如图，作△APC的外接圆0,圆心为。，点。在AC的垂直平分线上，连接0B.

贝！IOB_LAC,且OB平分AC,

/ABO=/CBO=30。（等腰三角形“三线合一”）.

ZAPC=120°,

•••弧APC所对的圆周角为60°.

ZAOC=120°.

连接0。0人,可得^^人0=/人（30=30。.

ZBCO=ZACB+ZACO=60°+30°=90°.

/.ABCO是直角三角形，且/CBO=30。.

设OC=x，则OB=2x,则

2

0C2+BC2=0B2,x2+（2V3）=（2x）2.

解得xi=2,%2——2（舍去）.

即OC=2,OB=4.

根据前面的例题和模型的结论可知，当P点在OB上时BP的长度最小，其最小值为OB-2=2.故答案为2.

例3.如图在RtAABC中,BC=2,NBAC=30。,斜边AB的两个端点分别在相互垂直的射线OM,ON上滑动.下列

结论：①若C,O两点关于AB对称，则OA=2禽;②C,0两点距离的最大值为4;③若AB平分CO,则AB±CO;®

斜边AB的中点D运动路径的长为，其中正确的是________(把你认为正确的结论的序号曙R填上£

oAM

解析

①先根据直角三角形中30。角的性质和勾股定理分别求出AC和AB,由对称的性质可知，AB是OC的垂直平

分线，所以OA=AC;②CD=OD=2,OCWCD+OD,当OC经过AB的中点D时,OC最大;③当NABO=30。时,易证四边形

OACB是矩形.此时AB与CO互相平分，由矩形对角线的性质可判断;④/MON=9(F,AB是R3OAB的斜边.所以O

D=2为定值根据“定义法”模型，点D在定圆上运动，结合弧长公式进行计算即可.

解在RtAABC中,：BC=2,/BAC=30。,

AB=4,AC=V42-22=2V3.

若C,O两点关于AB对称，如答图1,

•••AB是OC的垂直平分线.

贝!IOA=AC^2V3,

所以结论①正确.

②如答图1,取AB的中点D,连接ODCD.

ZAOB=ZACB=90°,

1

.­-0D=CD=-AB=2.

2

当0C经过点D时,OC最大，

则c,O两点距离的最大值为4.

所以结论②正确.

③如答图2,当NABO=30。时,NOBC=NAOB=NACB=90。，

..•四边形AOBC是矩形，

；.AB与OC互相平分，

但AB与0C的夹角为60。,120。,不垂直，

所以结论③不正确.

④如答图3,斜边AB的中点D的运动路径是以O为圆心,以2为半径的圆周的［，则普

所以结论④不正确.

综上所述，本题正确的结论有①②.

故答案为①②.

精选练习

1.如图，在平面直角坐标系中,已知点C(3,4),以点C为圆心的圆与y轴相切.点A,B在x轴上，且OA=OB.

点P为。C上的动点NAPB=90。,则AB长度的最大值为.

2.如图，点A,B的坐标分别为A(2,0),B(0,2),点C为坐标平面内一点,BC=1,点M为线段AC的中点，连接OM厕

OM的最大值为().

A.V2+1S.V2+IC.2V2+1O.2V2

5.1与圆的性质相关的辅助线模型

精选练习

模型一

1.解:如图，连接OAQBQC.

ZBDC=50°,

ZBOC=2ZBDC=100°.

•••AC=BC,

：.ZBOC=ZAOC=100°.

1

AABC=-/LAOC=50°,

2

AAADC=180°-ZXBC=130°.

故选B.

2.解析:如图，连接OD.由垂径定理可知，点O,C,D在同一条直线上,OCLAB.设半径为r,则OC=OA=r,AD=2

0,OD=OA-CD=r-10.在RtAADO中,由勾股定理知r2=202+(r-10产解得r=25.故选A.

3.解析：：AD是直径,3ZACD=90°.

四边形OBCD是平行四边形，

；.CD〃OB,CD=OB.；.ZCPO=90°.

即OB_LAC,选项C正确.

又；O是AD的中点,.•.OP是小ACD的中位线，

CD=2OP.选项B正确.

.•.CD=OB=2OP,即P是OB的中点.

/.AC平分OB,选项D正确.

AP与OP的数量关系无从得出，选项A错误.

答案A.

模型二

1.解析：设圆心为O.如图，连接OAQB.

•••弦AB的长度等于圆半径的加倍，即.AB=420A,

：.OA2+OB2=AB2.

AAOAB为等腰直角三角形,NAOB=90。.

^ASB=2。B=45。.故选C.

2.解析:连接OA,OB,OP根据圆周角定理求得/APB=NC=30。进而求得NPAB=/APB=3(F,/ABP=120。根据

垂径定理得到OB，AP,AD=PD,/OBP=/OBA=60。,即可求得4AOB是等边三角形，从而求得PB=OA=5,解直角三

角形求得PD,即可求得PA.

解:如图，连接OA,OB,OP,OB交AP于点D.

ZC=30°,

ZAPB=ZC=30°.

VPB=AB,

/.ZPAB=ZAPB=30°.

ZABP=120°.

VPB=AB,

.\OB±AP,AD=PD.

/.ZOBP=ZOBA=60°.

VOB=OA,

.•.△AOB是等边三角形.

.\AB=OA=5.

...在RSPBD中，PD=cos30°-PB=曰x5=*.

PA=2PD=5V3.

故选D.

模型三

1.解析：连接CO并延长交。。于点E,连接BE,于是得到NE=NA=30o,NEBC=90。,解直角三角形即可得到结

论.

解：如图，连接CO并延长交。O于点E,连接BE,则/E=/A=30。,NEBC=90。.♦.•。0的半径为2,...CE=4....B

C=|CE=2.CD±AB,ZCBA=45°,A

2.解:如图，连接CD.

VAB=BC,ZBAC=30°,

ZACB=ZBAC=30°.

ZB=180°-30°-30°=120°.

ZD=180°-ZB=60°.

ZCAD=30°.

；AD是直径，D

：.ZACD=90°.

VAD=8,

i

CD=-AD=4