2024年中考数学复习：运动中的函数图象问题

运动中的函数图象问题

金题精讲

A.基础过关

金题L已知反比例函数y=：的图象经过点(4,乡,若一次函数y=x+l的图象平移后经过该反比例函数图象上

的点B(2,m).

⑴求平移后的一次函数图象与x轴的交点坐标；

⑵求平移后的直线与反比例函数的交点个数.

思路点拨

反比例函数与一次函数的交点问题：将两个解析式组成方程组，判断出方程组解的个数即为双曲线与直线的交

点的个数.

答案解析

⑴由于反比例函数y=勺图象经过点(4彳)，

则工=与

人」24，

解得k=2,故反比例函数为y=|.

又•点B(2,m)在y=拘勺图象上，

2Y

771=-=1.

2

・・・B(2,1).

设直线y=x+l平移后得到的函数解析式为y=x+b,

由题意知y=x+b的图象经过点B(2,l),

则l=2+b,解得b=-l.

故平移后的一次函数解析式为y=x-l.

令y=0厕O=X-1,解得x=l.

故平移后的一次函数图象与X轴的交点坐标为(1,0).

⑵：反比例函数解析式为y=*一次函数解析式为y=x-l,

X=—1

由

y=X-1y=-2

所以交点坐标为(2,1),(-1,-2),即有两个交点.

、、，I——

至一反二

函数y=司勺图象如下图所示,在同一直角坐标系内，如果将直线y=-光+1沿y轴向上平移2个单位后,

那么所得直线与函数y=2的图象的交点共有个.

答案解析

:将直线y=-x+l沿y轴向上平移2个单位.

，新直线的解析式为y=-x+3.

由］E牟得或卮：；

□=_%+3(y-z(yt

那么所得直线与函数y=|的图象的交点共有2个.故答案为2.

总结升华

本例题及变式是一次函数与反比例函数结合的综合题，考查了一次函数、反比例函数的解析式性质及图象变

化；解答此类题型首先要通过条件求出函数的解析式，然后联立解析式组成方程组，通过方程组解的个数，进而判

断出交点的个数，体现了数形结合的思想.

金题2.如下图所示，已知抛物线y=%2-3x经过B(4,4).将直线OB向下平移m个单位长度后，得到的直线

与抛物线只有一个公共点D,求m的值及点D的坐标.

D

思路点拨

当直线与抛物线只有一个公共点时，即联立两个解析式构造一元二次方程，判别式为0.

答案解析

设直线OB的解析式为y=kix,

由点B(4,4)得4=4%,

解得fci=1,

直线OB的解析式为y=x,

直线OB向下平移m个单位长度后的解析式为y=x-m；

cy=x-m

由5_3x得久2-3x=x—m,EPx2—4x+m=0,

又：抛物线与直线只有一个公共点，

.•.A=16-4m=0,解得m=4,

2

此时Xi—x2=2,y=x-3x=-2,

•••口点的坐标为(2,-2).

举一反三

若不论k为何值，直线y=k(x-1)-+与抛物线y=aY+6%+。有且只有—>^公共点，求a、b、c的值.

答案解析

直线y=k(x-1)-勺与抛物线y=ax2+bx+c有且只有一个公共点，

4

，k2

；•方程组\y=k(x_D一丁只有一组解，

y=ax2+b%+c

ax2+(b-k)x+^+k+c=0有相等的实数解，

4

・•・4=(b-k)2—4a+k+c)=0

即(1—ct)k2—2(2,0,+b)k+b2—4ac=0,

若对于k为任何实数，上式恒成立，

1-a=0

<-2(2a+6)=0a=1,6=-2,c=1.

则b2-4ac=0

总结升华

本例题及变式是一次函数与二次函数的综合题，通过一次函数(直线)的平移及一元二次方程根的判别式，确定

与抛物线交点个数，主要考查了一次函数、二次函数及一元二次方程的性质.

B.能力提升

金题1.已知抛物线F:y=ax2+bx+c的顶点为P.

(1)当a=l,b=-2,c=-3,求该抛物线与x轴公共点的坐标；

(2)设抛物线.F:y=a/+法+c与y轴交于点A,过点P作PD1久轴于点D.平移该抛物线使其经过点A、

D，得到抛物线F':y=a'x2+b'x+c'(如下图所示).若a、b、c满足了b2=2ac,求b:b'的值.

思路点拨

⑴首先代入系数确定抛物线解析式，解方程即可求得与x轴的交点坐标.

⑵两个抛物线的开口方向和开口大小都相同，那么(a=优；；它们与y轴交于同一点，那么(c=";；将D的

坐标代入抛物线F的解析式中，即可求得；b:〃的值.

答案解析

⑴当a=l、b=-2、c=-3时,y=x2-2x-3,

当y=0时，x2-2x-3-0,

即(x-3)(x+l)=0,

•••Xi=3,x2=-L

•••抛物线与X轴的交点坐标为(3,0),(-1,0).

⑵由题意可知A(0,c),P(—白，”F3，

\2a4aJ

••・平移得到y-a'%?+b'x+c',

•••a=a',

y=ax2+brx+c，经过点A（O,c）,0（一枭。）

"b（一方）2+，（一£）+"=6

b2bbr,八

•••------------Fc=0,

4a2a

b2-2bb'+4ac=0,

b2=2ac,

b2-2bb'+2b2=0,

：・3b2=2bbr,

・・.3b=2b',

•••b:b'=

3

至一反二

变式1抛物线y=必—依—3与x轴交于点A、B,与y轴交于点C,其中点B的坐标为(l+k,0).

⑴求抛物线对应的函数表达式；

(2)将⑴中的抛物线沿对称轴向上平移，使其顶点M落在线段BC上，记该抛物线为G,求抛物线G所对应

的函数表达式.

变式2.已知关于x的一元二次方程%2+(4-m)x+1-m=0.

⑴求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根；

(2)此方程有一个根是-3，在平面直角坐标系xOy中，将抛物线y=好+(4-m)x+l-m向右平移3个单位,

得到一个新的抛物线，当直线y=x+6与这个新抛物线有且只有一个公共点时，求b的值.

答案解析

变式1.(1)将B(l+k,0)代入y=x2-kx-3中，

得(l+k)2—k(l+k)—3=0,解得k=2,

所以抛物线对应的函数表达式为y=%2-2%-3.

⑵当k=2时，点B的坐标为(3,0).

y=%2—2%—3,

当x=0时,y=-3,

；•点C的坐标为(0,-3).

设直线BC的解析式为y=mx+n,

则俨根+二°解得｛根［,

(九=—3(九二—3

，直线BC的解析式为y=x-3.

vy=%2-2%-3=(x-l)2-4,顶点为(1,・4),

将⑴中的抛物线沿对称轴向上平移时横坐标不变.

把X=1代入y=x-3可得y=-2,

・・・抛物线G的顶点M的坐标为(1,-2),即抛物线向上平移2个单位，

・•・抛物线G所对应的函数表达式为y=(%-I7-2,即y=Y—2%-1.

变式2.⑴证明：•.・J=(4-m)2-4(1-m)

=m2—4m+12

=(m—2)2+8,

AA>0,

・•・无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根.

(2),・•方程有一个根是-3,

把x=-3代入%2+(4—m)x+1—m=0中，

得9-3(4-m)+l-m=0,

解得m=l,

•••y=x2+3x.

即y=(%+1)

:将抛物线y=x2+(4-m)x+1-爪向右平移3个单位，

可知新的抛物线的解析式为y'=(x-1?-

即y'=X1—3x,

•••抛物线y'与直线y=x+b只有一个公共点,

x2=x+b,

即x2—4x—b=0.

VA=O.

,'1(-4)2—4X(—b)=0.

解得b=-4.

I总结升华

本例题及变式是二次函数的综合题型，其中涉及到运用待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，抛物线

的顶点坐标求法，二次函数平移的规律，抛物线在平移过程中各系数的变化情况.熟练掌握抛物线解析式平移变化的

规律，是解决本类问题的关键.

金题2.已知关于x的一元二次方程2Y+4久+k-1=。有实数根，k为正整数.

⑴求k的值;

(2)当此方程有两个非零的整数根时，将关于x的二次函数y=2x2+4x+k-1的图象向下平移8个单位，

求平移后的图象的解析式；

(3)在(2)的条件下，将平移后的二次函数的图象在x轴下方

的部分沿X轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象.请你结合这个新的图象回答：当直线y=l^+

b(b<k)与此图象有两个公共点时，b的取值范围.

思路点拨

⑴利用根的判别式及k的取值要求，求出k的值；

⑵根据对方程根的要求对k的取值进行一一验证，求出符合要求的k值，再结合抛物线平移的规律写出其平

移后的解析式；

(3)根据图象的翻折，取得新的图象，再结合一次函数的解析式确定b的取值范围.

答案解析

(1)：一元二次方程2x2+4x+k-l=。有实数根，

.•.A=16-8(k-l)=24-8k>0.

.'.k<3.

：k为正整数，

k=l,2,3.

⑵设方程2久2+4久+k-1=。的两根为xi、x2,

1/方程有两个非零的整数根，

，X1,X2为非零整数，

当k=l时，方程为2%2+4%=。，即%!—0,x2=—2,

因为有一个根为零，所以厚1；

当k=2时方程2x2+4x+1=0,久i,%2不是整数，

没有两个不同的非零整数根，所以后2；

2

当k=3时，方程2x+4x+2=0,Xt=x2=-1,有两个相同的非零实数根-1.

综上所述,k=l和k=2不合题意，舍去，k=3符合题意.

当k=3时，二次函数为y=2x2+4x+2才巴它的图象向下平移8个单位，

则得到的图象的解析式为y=2x2+4x-6.J*

(3)设二次函数y=2必+4%-6的图象与x轴交于A、B两点，|/

即2久2+4x-6=0,(久+3)(x—1)=0,I/A/

%i=-3,X2=1,\

则A(-3,0),B(l,0).^

依题意，翻折后的图象如右图所示.^\\\

当直线y=|x+b经过A点时代入A(-3,0),可得b=|;\一|

当直线y=|x+b经过B点时代入B(l,0),可得6=一/\\才

由图象可知，符合题意的b(b<3)的取值范围为-得<b<1.

举一反三

变式1.如下图所示，已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过两点(C(-2-5)与D(0,-3),且与x轴相交于A、

B两点，其顶点为M.

⑴求b和C的值;

⑵在二次函数图象上是否存在点P,使SPAB=；SMAB?若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)过点D作直线l〃x轴，将二次函数图象在y轴左侧的部分沿直线1翻折，二次函数图象的其余部分保持不

变，得到一个新的图象，请你结合这个新的图象直接写出当m为何值时直线y=x+m与此图象只有两个公共点.

变式2.在平面直角坐标系xOy中抛物线y-mx2-2mx+x轴交于A、B两点点A的坐标为((-2,0).

⑴求B点坐标；

⑵直线y=|x+4m+ri经过点B.

①求直线和抛物线的解析式；

②点P在抛物线上，过点P作y轴的垂线1,垂足为D(0,d).将抛物线在直线1上方的部分沿直线1翻折，图

象的其余部分保持不变,得到一个新图象G.请结合图象回答：当图象G与直线y=+4爪+n只有两个公共点

时，d的取值范围是____.

答案解析

变式1.解:⑴：点C(-2,5)与。(0，—3)在二次函数y=x2+bx+c的图象上，，户=2b+c,解得(b=-2

l—3=c=—3

(2)由(1)可得抛物线的解析式为y=好—2%—3=(%—I/—4,

当y=0时，则x2-2x-3-0,

•••X1=3,%2=—L

.,.A(-l,0),B(3,0),

・・・AB=4,

.r_4X4_

•••^ABM==o.

设点P的坐标为(①/一2。一3),

=X

^ABP2X|%|=~SMAB,

*'•—x4x[a?—2a—31=—x8,即|Q2—2a—31=5.

当a2—2a—3=5时，

解得CLi=4,a2=-2,

・・・P的坐标为(4,5)或(-2,5);

当a2—2a—3=—5时，

解得Av。,无解；

・・・P的坐标为(4,5)或((-215),,如图1所示.

⑶当直线y=x+m经过点。(0,-3)时，如图2所示，

-3=0+m,

.*.m=-3;

当直线y=x+m与抛物线只有一个交点时，

x+m=x2—2x—3,

图1图2

则A=9+4(3+m)=0,

解得m=-今

综上所述，m的值是-3或-今

4

变式2.解：⑴依题意可得抛物线的对称轴为x=-鲁=1.

:抛物线与x轴交于A、B两点点A的坐标为(-2,0),

...点B的坐标为(4,0).

⑵：点B在直线y=+4m+n上，

0=2+4m+n①.

•・•点A在二次函数y=mx2-2mx+几的图象上，

0=4m+4m+n②.

由①、②可得m=i,n=-4.

抛物线的解析式为y=巳/一”一4,直线的解析式为y=|%-2.

(3)翻折图象即是FDP直线下方的图象，如右图所示.要使得直线y=|x-2与新图象G仅有两个交点，须保

证点P在直线下方，而点F在直线上方.

即直线1分别过直线y=|%-2和抛物线y=之久2-x-4的两个交点时，d取最大和最小值.

即点B(4,0),C(-l，一9，

当直线1过点B时,d=0,

当直线1过点C时，d=—|,

综上所述，-g<d<0.

总结升华

本例题及变式考查的知识点有一元二次方程根的判别式、二次函数及函数图象的平移与翻折，以及与一次函

数的结合等问题.重点和难点是图象经过翻折构造了新的图象，以及运动状态下求交点及有关的量，需要同学们把握

不变量，借助图象来解决问题.

巩固练习

1.已知点A(2,-3)在抛物线y=%2-2%+m±,求经过点A且与抛物线只有一个公共点(直线不与x轴垂直)的

直线解析式.

2.已知关于x的一元二次方程7_3久+k_1=0有实数根，k为正整数.

⑴求k的值;

(2)当此方程有两个不为0的整数根时，将关于x的二次函数y^x2-3x+k-1的图象向下平移2个单位，

求平移后的函数图象的解析式；

(3)在(2)的条件下，将平移后的二次函数图象位于y轴左侧的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得

到一个新的图象G.当直线y=5x+b与图象G有3个公共点时，请你直接写出b的取值范围.

3.已知，抛物线ax2-2ax—3与x轴交于4(-1，0))和B两点，与y轴交于点C,其顶点为M.

⑴求a的值和M的坐标；

(2)如下图所示，将原抛物线x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方得到新图象，当直线y=kx-2k+5与新

图象有3个公共点时，求k的值.

2

4.如图1所示，在平面直角坐标系中,抛物线C1：y=ax-a2(a)0)经过点B(1,O),顶点为A.

⑴求抛物线Q的解析式；

⑵如图2所示，先将抛物线Ci向上平移，使其顶点在原点O，再将其顶点沿直线y=久平移得到抛物线设

抛物线与直线y=久交于C、D两点,求线段CD的长；

⑶在图1中将抛物线(的绕点B旋转180。后得到抛物线。3,直线)/=依-2卜+4总经过一定点乂，若过

定点M的直线1与抛物线(C3只有一个公共点，求直线1的解析式.

图1图2

答案解析

1.解:：点A(2,-3)在抛物线y=xi-2x+m上,

-3=2?-2x2+tn,

解得m=-3,

设经过点A且与抛物线只有一个公共点的直线解析式为y=kx+b,

；.2k+b=-3,

/.b=-3-2k,

经过点A且与抛物线只有一个公共点的直线解析式为y=hx-3-2k,

,/与抛物线只有一个公共点，

kx—3—2fc=%2—2x—3只有一个实数根,即A=0,

•••久2-(2+fc)x+2k=0

/=(2+上＞—8k=。.即(fc-2)2=0,k=2.

；.k=2,b=-3-2k=-7,

,直线的解析式为y=2x-7.

2.解：,.•关于x的一元二次方程x2-3x+k-1=。有实数根，

.•・/=(-3)2-4(fc-1)>0,

解得k<^,

4

•••k为正整数，

，k的值为1,2,3.

(2)当k=l时,x2-3x=0,

显然，方程有一个根为0,即W1；

当k=2时，x2—3x+1=0,

4=(一3¥-4(2-1)=5,

；•方程有两个不相等的无理数根，即k#2；

当k=3时,x2—3x+2—0,

解得Xi=1,%2=2,

；.k=3,

二次函数为y=比2—3x+2,

•••二次图象向下平移2个单位，

•••平移后的函数图象的解析式为y=%2-3%.

(3)当直线y=5x+b与抛物线y=x2-3x只有一个交点时，

(v=5x+b,=。

联L2,得久2-8x-b=0,

(y—x—3x

当两函数图象有一^交点时，/=(-8)2-4x1x(-b)=0,解得b=-16,

翻折后的抛物线的解析式为y=-/+3居

联立/二一及得/+2x+6=。，

(y=5%+D

两函数图象有一个交点时，4=22-4xlxb=0,解得6=1,

所以，直线y=5x+b与图象G有3个公共点时，b的取值范围为：-16<6<L

3.解:⑴将点A(-l,0)代入抛物线解析式可得(0=a+2a-3,解得a=1,

抛物线解析式为y=/一2%-3=(%-1)2-4,

顶点M的坐标为(1,-4).

(2)*.*y=kx-2k+5=k(x-2)+5,

y.

・••直线丫=1瓜-2k+5经过定点N(2,5),

C.

要使直线丫=叁-2k+5与新图象有3个公共点，则可得到如右图所示的两个极限位置.

①直线经过A、N,此时将点A(-1,0)代入可得O=-k-2k+5,解得fc=|.

②直线经过点N与抛物线相切时，

:原抛物线y=x2-2x-3关于x轴翻折，

.••新抛物线解析式为y--(x2-2x-3)=-x