2024年中考数学复习：最值系列之瓜豆原理

最值系列之瓜豆原理

在辅助圆问题中，我们了解了求关于动点最值问题的方式之一一求出动点轨迹，即可求出关于动点的

最值.

本文继续讨论另一类动点引发的最值问题，在此类题目中，题目或许先描述的是动点P,但最终问题问

的可以是另一点Q,当然P、Q之间存在某种联系，从P点出发探讨Q点运动轨迹并求出最值，为常规思路.

一、轨迹之圆篇

引例1：如图.P是圆O上一个动点,A为定点连接AP,Q为AP中点

考虑：当点P在圆。上运动时，Q点轨迹是？

【分析】观察动图可知点Q轨迹是个圆，而我们还需确定的是此圆与圆0有什么关系?

考虑到Q点始终为AP中点，连接A0,取A0中点M,则M点即为Q点轨迹圆圆心，半径MQ是0P

一半,任意时刻，均有AAMQs/XAOP,QM:PO=AQ:AP=1:2.

【小结】确定Q点轨迹圆即确定其圆心与半径，由A、Q、P始终共线可得:A、M、。三点共线，由Q为AP

中点可得:AM=1/2AO.

Q点轨迹相当于是P点轨迹成比例缩放.

根据动点之间的相对位置关系分析圆心的相对位置关系；

根据动点之间的数量关系分析轨迹圆半径数量关系.

引例2：如图，P是圆。上一个动点，A为定点，连接AP,作2Q1HP且AQ=AP.

考虑：当点P在圆。上运动时，Q点轨迹是？

【分析】Q点轨迹是个圆，可理解为将AP绕点A逆时针旋转90。得AQ,故Q点轨迹与P点轨迹都是

圆接下来确定圆心与半径.

考虑AP14Q,可得Q点轨迹圆圆心M满足AM1AO;

考虑AP=4Q,可得Q点轨迹圆圆心M满足，AM=AO,,且可得半径MQ=PO.

即可确定圆M位置，任意时刻均有△APO=AAQM.

引例3:如图,UPQ是直角三角形，NP4Q=90。且4P=2AQ,,当P在圆O运动时，Q点轨迹是?

【分析】考虑AP1AQ,,可得Q点轨迹圆圆心M满足AM140;考虑AP-AQ=2:1,可得Q点轨迹圆圆心

M满足.AO-.AM=2:1.即可确定圆M位置，任意时刻均有△APOA2QM,且相似比为2.

为了便于区分动点P、Q,可称点P为“主动点”，点Q为“从动点”.

此类问题的必要条件：两个定量

主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（/PAQ是定值）；

主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP：AQ是定值）.

Q

【结论】⑴主、从动点与定点连线的夹角等于两圆心与定点连线的夹角：ZPAQ=ZOAM;

(2)主、从动点与定点的距离之比等于两圆心到定点的距离之比：

AP:AQ=AO:AM,也等于两圆半径之比.

按以上两点即可确定从动点轨迹圆，Q与P的关系相当于旋转+伸缩.

古人云：种瓜得瓜，种豆得豆.“种”圆得圆，“种”线得线，谓之“瓜豆原理”.

【思考1］：如图，P是圆0上一个动点，A为定点，连接AP,以AP为一边作等边△APQ.

考虑：当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？

【分析】Q点满足(l)NPAQ=60。;⑵AP=AQ,故Q点轨迹是个圆：

考虑4PAQ=60。,可得Q点轨迹圆圆心M满足AMAO=60°;

考虑AP=AQ,可得Q点轨迹圆圆心M满足AM=AO,且可得半径MQ=PO.

即可确定圆M位置,任意时刻均有AAPO注△AQM.

【小结】可以理解AQ由AP旋转得来，故圆M亦由圆O旋转得来，旋转角度与缩放比例均等于AP

与AQ的位置和数量关系.

【思考2】如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP,以AP为斜边作等腰直角.△APQ.

考虑：当点P在圆O上运动时，如何作出Q点轨迹？

Q

【分析】Q点满足⑴NPAQ=45。;⑵AP+AQ=V2:l,故Q点轨迹是个圆.

连接A0,构造/OAM=45。且,AO-.AM=V2:1,M即为Q点轨迹圆圆心，此时任意时刻均有AAOPs4

AMQ.即可确定点Q的轨迹圆.

【练习】如图，点P(3,4),圆P半径为2,A(2.8,0),B(5.6,0),M是圆P上的动点,C是MB的中点，则AC

的最小值是—.

【分析】M点为主动点，C点为从动点，B点为定点.考虑C是BM中点，可知C点轨迹：取BP中点

。，以O为圆心，OC为半径作圆，即为点C轨迹.

当A、C、O三点共线且点C在线段OA上时，AC取到最小值，根据B、P坐标求O,利用两点间距离

公式求得OA,再减去OC即可.

如图，在等腰1Rt△力BC中,AC=BC^2vx点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点，当

半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长为

【分析】考虑C、M、P共线及M是CP中点，可确定M点轨迹：

取AB中点O,连接CO取CO中点D,以D为圆心,DM为半径作圆D分别交AC、BC于E、F两点，则弧

EF即为M点轨迹.

当然，若能理解M点与P点轨迹关系，可直接得到M点的轨迹长为P点轨迹长一半，即可解决问题.

如图.正方形ABCD中,AB=2V5,O是BC边的中点，点E是正方形内一动点，OE=2,连接DE,将线段

DE绕点D逆时针旋转90。得DF,连接AE、CF.求线段OF长的最小值.

【分析】E是主动点，F是从动点，D是定点，E点满足EO=2,故E点轨迹是以O为圆心，2为半径

考虑DEXDF且DE=DF,故作DMXDO且DM=DO,F点轨迹是以点M为圆心,2为半径的圆.

直接连接OM,与圆M交点即为F点，此时OF最小.可构造三垂直全等求线段长，再利用勾股定理求

得OM,减去MF即可得到OF的最小值.

【练习】△4BC中MB=4,4C=2,以BC为边在△ABC外作正方形BCDE,BD、CE交于点O,则线段

AO的最大值为.

【分析】考虑到AB、AC均为定值，可以固定其中一个，比如固定AB,将AC看成动线段，由此引发

正方形BCED的变化，求得线段AO的最大值根据AC=2,可得C点轨迹是以点A为圆心，2为半径的圆.

接下来题目求A0的最大值，所以确定0点轨迹即可，观察ABOC是等腰直角三角形，锐角顶点C的

轨迹是以点A为圆心，2为半径的圆，所以0点轨迹也是圆，以AB为斜边构造等腰直角三角形，直角顶点

M即为点0轨迹圆圆心.

连接AM并延长与圆M交点即为所求的点O,此时AO最大，根据AB先求AM,再根据BC与BO的

比值可得圆M的半径与圆A半径的比值，得到MO,相加即得AO.

此题方法也不止这一种，比如可以如下构造旋转，当A、C、A，共线时，可得A0最大值.

或者直接利用托勒密定理可得最大值.

二、轨迹之线段篇

弓I例:如图,P是直线BC上一动点，连接AP,取AP中点Q,当点P在BC上运动时,Q点轨迹是?

【分析】当P点轨迹是直线时，Q点轨迹也是一条直线.

可以这样理解：分别过A、Q向BC作垂线，垂足分别为M、N,在运动过程中，因为4P=24Q,所以

QN始终为AM的一半，即Q点到BC的距离是定值，故Q点轨迹是一条直线.

【弓I例】如图,AAPQ是等腰直角三角形,NPAQ=90。且AP=AQ,当点P在直线BC上运动时,求Q点轨迹?

【分析】当AP与AQ夹角固定且AP：AQ为定值的话,P、Q轨迹是同一种图形.

当确定轨迹是线段的时候，可以任取两个时刻的Q点的位置，连线即可，比如Q点的起始位置和终点

位置，连接即得Q点轨迹线段.

Qi

Q\

如图，已知点A是第一象限内横坐标为22旧的一个定点，AC1x轴于点M,交直线y=-x于点N,

若点P是线段ON上的一个动点，.NAPB=30°,BA1PA„则点P在线段ON上运动时,A