2024年中考数学复习：最值综合练习复习讲义

最值综合练习复习讲义

典例精析

【题目6-17］已知0<a<l,0<b<l,求，yja2+b2+Ja2+(1—b)2+J(1—a)2+炉的最小值.

解法如图6-64,在平面直角坐标系中，在x轴、y轴正半轴上分别取点B,A,使得OB=OA=1,P为第一象限内的

点，过点P作PMLy轴于点M,PNLx轴于点N,设OM=b,ON=a.

易知OP=y/ON2+PN2=加+炉,

AP=VXM2+PM2=Ja2+(i一、)2,

BP=y/PN2+BN2=yjb2+(1-a)2.

求7dz+炉+1呼+(1—b)2+—a)2+炉的最小值,即为求OP+AP+BP的最小值，问题转化成了“费马

点问题

将4OAP绕点O逆时针旋转60。至4OCD处，连接DP,AC,易知△OAC与△ODP均为等边三角形，故OP+AP+

BP=CD+DP+PB,其中C,B两点为固定点.

故当C,D,P,B四点共线时,OP+AP+BP的值最小，即为线段BC的长.

易知BC=^CH2+BH2=72+V3=电.J(V3+1)2=月底,即所求最小值为空产.

点拨：通过观察可以发现三个根式的被开方数均为平方和，不禁让人联想到勾股定理，从而构造几何图形求解.

赏析数形结合往往能够达到意想不到的效果.

【题目6-18］如图6-65,在矩形ABCD中,AB=2,BC=6,E,F为AD上两点，且/EBC+NFCB=90。,求四边形BE

FC面积的最大值.

解法1如图6-66,过点E作EH〃FC交BC于点H,贝|NEHB=NFCB,NEBH+/EHB=90。,故点E在以BH为直

径的。0上.

要使得四边形BEFC面积最大，则EF要最大，即HC最大，从而BH最小，即。0最小.

当。。与AD相切时,。0最小，如图6-67.

VOB=OE=OH且OEXAD,

/.0E=AB=2,

.*.BH=2OE=4,

.\HC=2.

•••四边形EHCF为平行四边形，

.\EF=HC=2,

•••四边形BCFE面积的最大值Smax=竺等乌=竺譬=8.

点拨:核心条件"NEBC+/FCB=90。”中的两个角是分散的，故通过构造平行四边形将两个角放到一个直角三角

形里，再根据直角所对的弦为直径，将求面积最大问题转化为求圆最小问题，可知相切时圆最小.

解法2如图6-68.

Zl+Z2=Z2+Z4=90°,ADZ/BC,

・・・/1二/3二/4,

AABE^ADFC,

.DF_CD

••AB-AE'

设AE=x，则—=-,DF=

2xx

：.EFAD-(AE+DF)=6—(x+£)W2,当且仅当x=%即.x=2时，x+(取得最小值4,

'.当且仅当x=2时，EF取得最大值2,

..四边形BCFE面积的最大值Smax="等0=至詈=8.

点拨:在矩形内结合NEBC+/FCB=90。联想到相似，设未知数，利用相似表示线段，最后用均值不等式求出最

值，属于代数解法.

解法3如图6-69,过点C作CH/7BE交AD的延长线于点H,设DF=a,DH=b.

ZEBC+ZFCB=90°,CH/7BE,

ZFCH=90°,AABE^ADCH,

；.DH=AE=b,

.,.△CDF^AHDC,

吆=空，即CD2=DF-DH,

DFCD

ab=4.

_(EF+BCyCD

••、”边BCFE~

2

_(AD-AE-DF+BCyCD

一2

=(6-a-1+6)X2

一2

=12-(a+b),

又：a+b之2A/OF=2V4=4,当且仅当a=b=2时取等号,

AS四边形BCFE=12-(a+b)S12-4=8,即面积的最大值为8.

图6-69

点拨：通过构造平行转线移角得到直角三角形，利用射影定理从而得到线段的乘积为定值，再利用均值不等式

求最值.

解法4如图6-70,延长BE,CF交于点P,过点P作PM±AD于点M,延长PM交BC于点N.

易知NBPC=90。,故点P在以BC为直径的。O上.

„_(EF+BC》CD

"5可逆：SBCFE=2，

.,•要使得S四边形BCFE最大，即EF最大.

"?APEF^APBC,

EFPMEFPN-22

—=--，即Bn—=----=1----.

BCPN6PNPN

:点P在。O上，

APN小于等于。O的半径，即PN<3,

EF2一321

—=1------41-----=―,

6PN33

AEF<25

竺苧也〈处詈=8,即面积的最大值为8.

S四边^REE

图6-70

点拨：通过延长构造直角，利用PN小于等于半径及相似求得面积的最大值，几何解法，甚为奇妙.

赏析解法1、解法4为几何解法，利用了圆中的最值技巧，解法1利用相切取最值，解法4利用圆和相似求

最值，但是都脱离不了利用“直角所对的弦为直径”构造圆来解题.解法2、解法3均利用相似及均值不等式，从代数

角度求解.几何法、代数法各有优点.

【题目6-19］如图6-71,一次函数的图象经过点P(2,3),交y轴的正半轴于点A,交x轴的正半轴于点B,

求4AOB的面积的最小值.

图6-71

解法1如图6-72,过点P作PM，y轴于点M,PN，x轴于点N,设AM=x.

：PM=2,PN=3,又易知△AMP^APNB,

tAM_MPnr.x_2

,,PN-BN'3―BN'

ABN=

X

OAOB_（3+%乂2+£）9

=6+大

'''SAOB=22

2,••%+->2x•I=6,当且仅当x=3时取等号,

x7

•••SAOB=6+^4-X>12,当且仅当x=3时取等号,

•••△AOB的面积的最小值为12.

点拨：设未知数后，通过相似表示出其他线段，最终利用均值不等式求出最值.

解法2:一次函数过定点P(2,3),

/.设一次函数的解析式为y=k(x-2)+3,

即y=kx+3-2k,

.\A(0,3-2k),B(2-3/k,0),

■■■SA0B=10X-0F=|(2-g(3-2k)=|[12—(4k+£)].

Vk<0,

・•・4fc+1<-2tfc4=一12,当且仅当4k=之即k=一三时取等号，

k7kk2

SMB=|[12-(4fc+3]>|(12+12)=12,

即AAOB面积的最小值为12.

点拨：可以设出过定点的一次函数解析式，从而求出函数与x轴、y轴的交点，再来计算面积，最终利用均值

不等式求解.因为k为负数，故4k与9/k同负，也可以使用均值不等式，只是要提取一个负号，所以要注意符号的

变化.

解法3同解法2,得S1.=|[12—（4k+£）].

令SAAOB=S,.则12-4k-三=2S,

两边同乘以k得4k2+（2S-12）fc+9=0.

：k为负数，这个关于k的一元二次方程必有解，

b2-4ac=（2S-12）2-4x4x920,

S2-12s>0.

利用数形结合的方法可知S>12或SW0（舍去），故小AOB面积的最小值为12.

点拨：通过变形后，将S作为常数，k作为未知数，利用k有解从而得出b2-4ac>0„解出S的取值范围.

解法4如图6-73,当P为AB的中点时,△AOB面积最小.理由如下：

过点P任作一条直线交y轴于点M,交x轴于点N,过点B作BH〃y轴交MN于点H,过点P作PC±y轴于

点C,作PDLx轴于点D.

易知NMAP=NHBP,

又PA=PB,ZAPM=ZHPB,

.,.△AMP^ABHP,

SA0B=SAMP+s可逆在MOBP=SBHP+S四边形MOBP=S四边形MOBH<SAMON,

...当P为AB的中点时,△AOB面积最小.

:此时OB=2OD=4,OA=2OC=6,

；•SOB=]X4X6=12,即4AOB面积的最小值为12.

图6-73

点拨：通过规律知点P在特殊位置（即中点）时面积最小，再反过来证明.此法虽然是几何法，但属于逆向思维，

过程很容易理解，但是想到P为中点时面积最小还是有些难度的.

赏析解法1、解法2都是用均值不等式求最值，区别在于解法1利用相似，解法2利用点P设出一次函数的

解析式，都有值得学习的地方.解法3将S当作常数，利用根的判别式求出S的取值范围，在某些代数最值问题

中可以借鉴.解法4为几何法，但此类情况比较少见.

【题目6-20]如图6-74,在扇形BAC中,AB=5,BC=8,E是BC上一动点，过点E作ED〃AB交圆弧于点D,求

DE的最大值.

解法1如图6-75,过点A作AMLBC于点M,过点D作DNLBC于点N.

VAB=5,BM=CM=4,

•••AM=7AB2-BM2=V52-42=3.

又•.,△EDNS^BAM,

设DN=3a,则DE=5a.

若DE最大，则DN最大，易知当D为BC的中点时DN最大，此时DN=5-3=2=3a,

210

X-=——.

33

图6-75

点拨：通过题目条件得到三边之比为3：4：5的AABM,再利用平行得到角相等，得到三角形相似，从而得

到DN:DE=3:5,最后利用DN的最值来得到DE的最值.

解法2如图6-76,连接AD,易知△EPDS/\BPA.

设DE=y,DP=xWAP=5-x,

则有吆="，即

ABPA55-%

'曰_5x_5(x-5)+25_25-

侍y=r=--—=r-5.

要使y最大，则笄最大，从而5—x最小，可知当DPJ_BC时DP最小，为5—3=2,

'5-x

利用代数法求出最值.

赏析两种解法均需要用相似将DE与其他线段联系起来，解法1采用几何法，解法2采用代数法，各有优势.

【题目6-21】已知a,b,c都是正数，且c^+b2=c2,求分的最大值.

C

解法1如图.6-77①，构造RtAABC,/ACB=9(r,AB=c,AC=b,BC=a，令AB长度固定，则点C在以AB为直径的。

O上运动，延长AC至点P,使得CP=CB,则AP=a+b,ZP=45°.

,/NP=45。（定角）,AB=c（定弦）,

以AB为直径向上构造等腰RtAADB,则A,B,P三点在0D上.

VAB长度固定,AP=a+b,

当A,D,P三点共线时AP最长，如图6-77@.

•..此时AP为。D的直径，

/.△ABP为等腰直角三角形，

图6-77

点拨：利用a2+/=c2产生的直角，构造以c为直径的圆，将a+b转换为一条线段后发现定角45°,从而由

定弦、定角得到隐圆，由圆中最大线段为直径求出结果.

解法2如图6-78,在线段AB上取点P,令AP=a,BP=b，作ACJ_AB且AC=AP,作DB_LAB且BD=BP,贝UPC=y/2

a,PD=42b,CD=y/PC2+PD2=V2a2+2b2=V2c.

由“斜大于直”可得AB<CD,gp.a+b<夜c,故—<V2.

c

点拨：由a?+/=©2联想到勾股定理，构造勾股定理的基本图形，最后利用“斜大于直”得到最值.

解法3如图6-79,在线段AB上取点P,使得AP=b,PB=a，构造△ACP^ABPD.

易知PC=PD=c且4PCD为等腰直角三角形，则CD=缶.

由“斜大于直''可得AB<CD,BP（a+b<V2c,

故差W也

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