2024年中考数学复习讲义：反比例函数复习讲义

反比例函数复习讲义

典例1如图，若双曲线y=:与边长为5的等边.△AOB的边OA、AB分别相交于C、D两点,且OC=3BD,求

实数k的值。

解法一

思维导向利用含有特殊角60。的直角三角形及OC=3BD,利用BD的长度表示直角三角形各边长，从而表示

点C、D的坐标，再通过k=K(・%=和•丹建立方程，从而求得未知数，最后求得k的值。

过点C作CEXOB交OB于点E,作DFXOB交OB于点F,

：OC=3BD,设OC=3a,BD=a,

@频OEC中,OE=|a,CE=手a,二C（|a-子a）,

①RtEDADFB中,FB=汕DF=噂a,又：OB=5,

OF=5-1，.'.D（5-］号a），由k=x^-yc=xD-yD,

日、

—r/守k7=3~dXCL=（5「——a1XV—3CL,

解得Gj.=1,。2=。（舍去），

•・•"凡一也《。

4

解法二

思维导向由直线OA过原点且与x轴正半轴夹角(60。可得直线解析式，从而设点C的坐标，再由OC=3BD

联想构造相似三角形，通过对应线段成比例求得点D坐标，由k=和•%=和•丹建立方程，或将点C、D代入

y=」建立方程组求得k的值。

X

NAOB=60。，・,・直线OA为:y=旧居设即OE=a,CE=V3a,

VZCEO=ZDFB=90°,ZCOE=ZDBF=60°,AAOEC^ABPD,

CEOEOC有a

•••——=——=—=o3,DF=—a,FB=-

DFBFDB33

OF=5--.'.Df5--<—a\

3\337

<k=V3a

a

3

将点c、D的坐标代入y=：\ka解得a=

32’

4

5-—CL

3

...0倍,逋），...々=三*延=迪

\227224

多维评析：解法一是通过对含有特殊角60。的直角三角形设边长，从而表示点C、D的坐标；解法二是根据直

线OA的解析式设点C坐标，由相似三角形对应边之比得点D坐标，两种方法对点的坐标处理有所不同，但其本

质都是通过求点坐标进而求得k的值。

典例2如图，直线y=与双曲线y=3（%＞。）交于点A,将直线y=向下平移6个单位后，与双曲线y=

§（%〉0）交于点B,与x轴交于点Co

求:（1）点C的坐标；

思维导向由点A、B在双曲线上，再由霁=2得点A、B坐标间的关系，设其中一个点的坐标，再由关系表

示出另一点，最后利用k=xA-yA=xB-犯建立方程求解。

⑴如图①，由平移可知/BC：V=打—6,令y=0得比=*故C9。）。

⑵；点A在直线y=［比上，设a（a，［a）。

过点B作BB，〃x轴交10A于点B,,易得四边形OBBC为平行四边形,.,.BiOBC,

又：2。=2,••・夕为0A中点，由中点坐标公式得F'g-ja）,

•••夕8=。。=>/+苦a）,

•••点A、B都在”沁〉0）上，

k=a•（a=（：+Ja（a丰0）

,

；.a=3,..k=12o

解法一中点A还可以由直线OA的解析式设为（3a,4a）,从而简化运算。

解法二

思维导向由点A、B是一次函数与反比例函数的交点可联想联立方程，用k表示出点A,再由芈=2,从而表

DC

示出点B,最后由k=xAyA=%8如建立方程直接求解k值。

如图②，•••点A是y=:与y=［x的交点，；.联立y=:与y=［久可得A（苧，等），由解法一知点得B为0A

中点，且夕B=0C=|,因此可得B（亨+苧），

…苧・竽=（苧+3•喳解得k=I"

（这里还可先联立y=-k与y=:求解点B,从而再求点A，但计算量较大。）

解法三

思维导向由黑=2可联想过点A、点B作x轴垂线构造相似三角形，再由k的几何意义及点C的坐标求解点

B的坐标，最后由k=次如得k的值。

图③

如图③,连接OB,过点A、B作AM±x轴,BN1x轴..必AOM>△BCN,由k的几何意义可知SA0M=SB(vN,

AO^AAOM.SAFMM：

,•,-----=2a・,・---------=4fa・,•---------二3、/«

BCS^BCNS^B1.N

—=3,•••OC=

CN2

CN=I，N(6,0),xB=6,将其代入y=^x-6,

得yB=2,；.B(6,2),.”=12。

解法四

思维导向类比解法三，过点A、B向x轴、y轴作垂线构造矩形，再由线段间的比例关系求解。

如图④,过点A作x轴、y轴的垂线分别交于点Q、P,过点B作x轴，y轴的垂线分别交于点N、M,易得△

AOQ^ABCN,

设马=a,则xQ=a,

..”.丝_丝_?

BCBNCN

由k的几彳可意义知S矩形AP<>Q=S矩形BMON,

AP1r

•••—=・••x=2a.

BM2un

AP=0(Q=a,CN=pvxc=:.ON=)+],・,・初=]+*

由次=XN得：2a=|+*即a=3,k=12o

解法五

思维导向由力。=2可联想借用中点构造全等三角形，由点C的坐标表示出点D的坐标，设点A的坐标，再

由中点坐标公式表示点B的坐标，最后利用k=xAyA=与犯建立方程进而求解。

图⑤

如图⑤，连接AB并延长交x轴于点D,过点B作BB7X轴交0A于点次,,由AON28c得B、B分别是AD、

A0中点,易得△ABB=ABCD,

Q

7OC=^=B'B=CD,OD=9,•••0(9,0),

设A(3a,4a),由中点坐标公式得B(若，2a),

由A、B在y=-上可得k=3a■4a=--—,2a,

又.*.a=l,.*.A(3,4),.*.k=12o

多维评析：对于反比例函数丫=:中k的求解方法大致有两种，一种是计算出双曲线上某一点，利用k=久y求

解，另一种是利用k的几何意义构造出矩形或直角三角形，利用面积求解；此题解法五中的三角形是由特殊的比

例式与=2联想得中点从而得特殊三角形，但最终还是转化到求点的坐标进而求k。

DL.

典例3如图，在①RSAOB中,(。4=4,4B=5,,点C在OA上,AC=1,OP的圆心P在线段BC上，且。P

与边AB、AO都相切。若反比例函数丫=三也手0)的图像经过圆心P,求k的值。

思维导向要求k的值，可先求点P的坐标，因此联想过点P作x轴，y轴的垂线，设OP的半径r,在直角三

角形中，利用勾股定理建立方程求解r,从而求得点P的坐标，最后由k=X1-为得解。

如图①，设。P与OA、AB分别相切于点E、H,连PE、PH,过点P作PR1OB交OB于点R。

图①

•.,在AOB中,AO=4,AB=5,；.OB=3,

VAC=1,.,.OC=3=OB,.-.(ERt©ABOC,@lt@APEC,(|Rt©ABRP都为等腰直角三角形，设。P半径为r,

.\EC=r,OE=3-r=PR=BR,AE=l+r,

.\@Rt@ABRP中,BP=&PR=V2(3-r),由切线长定理知AH=AE=l+r,

・・.BH=5-AH=4-r,

2

在(gRtOABHP中，由BH2+PH2=BP?可得((4-r)2+x2=[V2(3-r)],

・•・r=1-,

5151,515

・•・RP=-PEP,/c=-X-=一

2f2.22.224

解法二

思维导向要求k的值，可过点P作x轴，y轴的垂线求点P的坐标，又由切线长定理联想过点P作AB的垂

线，连接PA，得PH=PE,PA平分N/ME,又由RQIQA得等腰△PQA,从而利用小PHQs^BOA得比例线段,用半

径r表示HA,又由HA=EA=OA-OE建立关于r的方程求解r,进而求解点P的坐标。

图②

如图②，过点P作OA的平行线分别交OB、AB于点R、Q,设。P与。A、AB相切于点E、H,连接PE、PH0

易得.△PHQ-ABOA,设PE=PH=r,

一，4q

则PH:HQ:PQ=OB-.OA-.AB=3:4:5,/.HU=^r,PQ=|r,

又：NHAP=ZPAE,PQ//OA,：.ZQPA=ZPAE=ZPAH,

，在△PQA中,“P4=/-QAP,：.QP=QA=|r,

45

•••HA=-r+-r=EA=1+r,

33

•••r=I，=1+r=I，PR=0E=0A-EA=Pg1),

,5

•'k=]。

解法三

思维导向利用角平分线定理及切线长定理求解。

设。P与OA相切于点E,如图③,连接PA,PE得PA平分乙BAC,,由角平分线定理知器=詈5,

V®Rt@AAOB中，OA=4,AB=5,；.OB=3,又；CA=1,

.*.BO=OC=3,.\BC=3鱼，由BP=5PC,BP+PC=3式可得PC=y,

•.•△PEC为等腰直角三角形,

.：PE=EC=l，.：OE=l，

解法四

思维导向利用等面积法求0P的半径，进而求点p坐标

如图④，连接圆心P与切点H、E,连接PA,

设。P半径为1',由S4cB=S4PB+S^pc可得

-AC-OB=-AB-PH+-AC-PE,

222

解法五

思维导向由0P与AB、AO都相切联想将。P构造成直角三角形内切圆，由内切圆半径「=:求解OP半

径。

图⑤

如图⑤，作0A的垂线MN与。P相切于点Q,分别交OA、AB于点N、M。

设。P半径r,易证四边形PQNE为正方形，

；.PQ=PE=EC=r,NC=2r,NA=l+2r,：©P内切于MNA,

MN+NA-MA

.*.r=---------------------*,

2

△MNA^ABOA,

MN-.NA-.MA=3:4:5,MW=-(1+2r),MA=-(1+2r),将MN、MA代入※式,