2024年中考数学二轮复习常考题：几何最值问题

第二部分专题突破卷

专题卷（五）几何最值问题

类型一将军饮马问题

1如图，C为线段BD上一动点，AB1BD,ED1BD,连接AC,EC,设

BC=X.

4、

BD

(1)若AB=6,DE=3,BD=12,用含x的代数式表示AC+CE的长；

解:・・・AB1BD,AB=6,BD=12,BC=x,・・・CD=12-x.

2222

在Rt△ABC中fAC=VAB+BC=76+x=536+x2,

,:EDJ_BD,DE=3,

・・・在RtADEC中，CE=VCD2+DE2=7(12-x)2+32,

・・.AC+CE=736+x2+7(12-X)2+32.

(2)在(1)的条件下，求AC+CE的最小值；

解：如图1,延长ED至E"使DE'=DE=3,连、、、E

接CE"过点E作EF1AB,交AB的延长线于点"..................0D

E'

F,

1

当A,C,E，三点在同一条直线上时，AE最小,

・・・BD1EE',DE'=DE,

/.CE=CE',

・・.AC+CE=AC+CE'=AE最小.

.ZF=ZDBF=NBDE'=90°,

・・.四边形BDE，F是矩形，

・・・BF=DE'=3,E'F=BD=12,

:.AF=AB+BF=6+3=9.

在Rt△AEF中，AEr=VAF2+EAF2=W+122=15,

：•AC+CE的最小值为15.

(3)求代数式，x2+9+的最小值.

解：如图2，由(2),使AB=3,ED=1,

DB=4,延长ED至点E"使DE，=DE=1,过

点巨作E，F1AB,交AB的延长线于点F,连接

AE'交BD于点C,设BC=X,

则AC+CE=收+9+7(4-x)2+1,

・・.AE，的长即为代数式后物+J(4—x)2+l的

最小值.

v四边形BDE'F是矩形，

・・・BF=DE'=1,E'F=BD=4,

・・・AF=AB+BF=3+1=4.

在Rt△AE，F中，由勾股定理，得AE，=7AF2+EAF2=742+42=4V2,

，代数式序转+J(4-x)2+l的最小值为4四.

2某课题组在探究〃将军饮马问题〃时抽象出数学模型：直线1同旁有两

个定点A,B,在直线1上存在点P,使得PA+PB的值最小.解法：作点A关

于直线1的对称点A，,连接A，B,贝！JA'B与直线1的交点即为P,且PA+PB

的最小值为A，B.

请利用上述模型解决下列问题：

(1)几何应用：如图1,等腰直角三角形ABC的直角边长为2，点E是斜

边AB的中点，P是AC边上的一动点，贝UPB+PE的最小值为同；

【解析】如图1，作点B关于AC的对称点B"连接

BE,交AC于点P,此时PB+PE的值最小，连接

AB'.

•:点B和点B'关于AC对称，

・・・AB=AB'=VAC2+BC2=2V2,PB=PB',1

ZABC=ZABC=45°,・・在公ABB'中,ZBABZ=90°.

・・・点E为AB中点，・・.AE=」AB=鱼，.・.EB'=7AE2+(AB4)2=V10.

2

・・•PB=PB',・・PB+PE=PB'+PE=EB'=V10.

(2)几何拓展：如图2zAABC中，AB=2,NBAC=30°,若在AC,

AB上各取一点M,用吏8乂+MN的值最小，求这个最小值；

解：如图2，作点B关于AC的对称点B"过点B，作

BN1AB于点N,交AC于点M,连接BB，交AC于点

0,此时BM+MN的值最小.

ANB

根据轴对称的性质可知，BB1，

图2

・・•AB=2,ZBAC=30°,ZAOB=90°,

・・.BO=-AB=1,/NBB'=60°,・.BB'=2BO2.

在RtANBB'中，/NBB'=60°,

1

・・・/B'=30。，..NB=±BB'=1,

2

・・・BZN=A/BB2-BN2=V3.

.BM=B'M,BM+MN=B'M+MN=B'N=V3.

(3)代数应用：求代数式后钉+V(4-X)2+4(0<X<4)的最小值.

解：如图3,构造图形，点P是AB边上一点，其中

AB=4,AP=x,AC=1,BD=2,

APB

图3

如图4，作点C关于AB的对称点C"连接CD交AB于点P,c

过点。作CO1BD交DB的延长线于点0.

f、1/

A~zp

根据轴对称的性质可知，AC=AC=1,CP=CP］二…一…

rc，

・・・AB=4,AC'=1,・•.CO=4,BO=AC'=1,一

图4

：•DO=3.

在Rt△COD中，CD=VCO2+DO2=5,

・・・AB=4,AP=x,AC=1,BD=2,

ACP=VAP2+AC2=Vx2+1,DP=VBP2+BD2=J(4—x)2+4,

.CP+DP=CP+DP=C'D=5,

・・・Vx2+1+，(――x)2+4的最小值为5・

类型二费马点问题

3阅读下列材料，完成后面相应的任务:

费马（Ferrmat,1601年8月17日一1665年1月12日）,生于法国南

部图卢兹（Toulouse）附近的波蒙德・罗曼,被誉为业余数学家之王.1643年,

费马曾提出了一个著名的几何问题：给定不在一条直线上的三个点A,

B,C,求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置.另一位数学家托

里拆利成功地解决了这个问题：如图1,△ABC（三个内角均小于120。）

的三条边的张角都等于120。，即满足/APB=ZBPC=ZAPC=120°的

点P,就是到点A,B,C的距离之和最小的点,后来人们把这个点P称为

〃费马点〃.

下面是〃费马点〃的证明过程：如图2,将△APB绕着点B逆时针旋转60。

得到△APB，使得AP落在△ABC外，贝必A，AB为等边三角形,

・・.p'B=PB=PP',于是PA+PB+PC=P'A'+PP'+PC>A'C,….

任务：

(1)材料中,判定△A，AB为等边三角形的依据是一顶角为皿］的等腰二

角形是等边三角形.

【解析】由题知判定依据的是顶角为60。的等腰三角形是等边三角形.

(2)请你完成剩余的部分.

解：补充如下:

・・.当A"P,P,C四点在同一直线上时PA+PB+PC有最小值为A(的

长度.

・・・

PB=PBfZPBP=60°f/.AP'BP为等边三角形,

・・・当A"P"P,C四点在同一直线上时，

ZBPC=180°-NP'PB=180°-60°=120°,

ZAPB=ZAPB=180°-ZBPP=180°-60°=120°,

NAPC=360°-ZBPC-=360°-120°-120°=120°,

・・・满足NAPB=ZBPC=ZAPC=120°的点P,就是到点A,B,C的距

离之和最小的点.

(3)如图3zAABC为锐角三角形,以AC为一边作等边△ACD,O。是

△ACD的外接圆，连接BD交O。于点M,求证：乂是^ABC的费马点.

图3

解：如图，连接MA,MCf

・.△ACD为等边三角形，

・・・ZDAC=ZADC=ZACD=60°.

又・O。是^ACD的外接g

・・.ZAMD=ZACD=60°,

・・.ZAMB=180°-ZAMD=180°60°=120°

同理可得々BMC=120°,

・・.ZAMC=360°-ZAMB-ZBMC=360°-120°-120°=120°,

即点乂是^ABC的“费马点〃.

4数学上称〃费马点〃是位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最短

的点.现定义：菱形对角线上一点到该对角线同侧两条边上的两点距离最

小的点称为类费马点.例如：菱形ABCD,P是对角线BD上一点，E,F是

边BC和CD上的两点，若点P满足PE与PF之和最小，则称点P为类费马点.

(1)如图1,在菱形ABCD中，AB=4,点P是BD上的类费马点

①点E为BC的中点，点F为CD的中点，则PE+PF=-；

【解析】如图1，取AB的中点E"连接PE—

,•四边形ABCD是菱形，,BC=AB=CD,

ZABP=ZCBP.

点E,E，分别是BC,AB的中点，・.BE=BE"

1

(BE=BE；

SABEPfflABEP中，/EBP=4EBP,

BP=BP,

/.ABEP=△BE'P(SAS),

・・・PE=PE',PE+PF=PE'+PF,

・・.当E"P,F三点共线时，PE+PF的值最小，为E，F的长.

\:AE'=DF,AE7/DF，:.四边形AE'FD是平行四边形，

・・.E'F=AB=4,・・・PE+PF=4.

故答案为4.

②E为BC上一^］点，F为CD上一^］点，且ZABC=60°，则PE+PF=2^3

【解析】由①知PE+PF=EF,若E,F为动点，则E，F的最小值为AB与

CD之间的距离，

・,.如图2,过点C作CH1AB于点H.,

在RtABCH中，sinzCBH=案=/，/、、P^/

/.CH=2V3.

・・・点P是BD上的类费马点，

・・.PE+PF的最小值为2信故答案为2叵

(2)如图2,在菱形ABCD中,AB4,连接AC,点P是△ABC的费马点

(即PA,PB,PC之和最小).

4V3

①当/ABC=60°时，BP=~；

【解析】如图3，将△BPC绕点B顺时针旋转60。得

△BP”，连接PP"

・•.BP=BP',PC=PC',NPBP'=60°f

・・.△BPP,是等边三角形，

3

・・.PP'=PBf/.PA+PB+PC=+PP'+PC',

・・.当P,P'在线段AC上时，PA+PB+PC的值最小，为

AC'的长.

・・・连接AU,AC与BD的交点为P点.

.AB=BC=4,ZABC=60°,

・・・ZBAP=ZABP=30°,AC=4V3,

・・.AP=BP,同理BP'=CP,・・.BP=-AC=

'33

故答案为学.

②当/ABC=30。时，你能找到△ABC的费马点P吗？画图做简要说明,

并求此时PA+PB+PC的值.

解：如4，将△BPC绕点B顺时针旋转60°得

△BPC',连接PP'.

・・・BP=BP',PC=PC',NPBP'=60°,

ZCBCA=60°,

・•.△BPP，是等边三角形，:、PP'=PB,

・・.PA+PB+PC=PA+PP'+PC',

・・.当P,P'在线段AC上时fPA+PB+PC的值最小，为AU的长，且点P

是AABC内部的费马点.

・/ABC'=90°,AB=BC'=4,

・・・AC=VAB2+BC2=“+42=4V2,

・・.此时PA+PB+PC的最小值为4鱼.

类型三胡不归问题

5.问题提出：如图1,在RtAABC中/ACB=90。，CB=4,CA=6,

Oc的半径为2,P为圆上一动点，连接AP,BP,求AP+2BP的最小值

0

图1图2图3

(1)尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路，如图2,

连接CP,在CB上取点D，使CD=1,则有搭=黑=巳又

CrCt)Z

•••ZPCD=ZBCP,・•・△PCDBCP.

PD111

/.PD=±BP,AP+-BP=AP+PD.

BP222

请你完成余下的思考，并直接写出答案：AP+/P的最小值为许；

【解析】如图1,连接AD，•:AP+|BP=AP+PDf要使从太

AP+|BP最小，

AP+PD最小，当点A,P,D在同一条直线上时，

AP+PD最小，即AP+|BP最小，为AD的长.在Rt△ACD

中，CD=1,AC=6,AD=VAC2+CD2=VT7,即AP+」BP的最

2

小值为历.故答案为历.

(2)自主探索：在〃问题提出〃的条件不变的情况下;AP+BP的最小

值为9历；3

【解析】如图2,连接CP,在CA上取点D,使CD=:f

CD_CP_1

CP-CA―3-

pn1

.zPCD=zACPf..APCD^ACP

•.PD=-AP,

3，

・・.|AP+BP=BP+PD,・・・同（1）的方法得出

-AP+BP的最值为BD=JBC?+CD2=g,37.

故答案为彳历.

(3)拓展延伸：如图3,已知扇形COD中，/COD=90。，OC=6,

OA=3,OB=5,点P是CD上一点，求2PA+PB的最小值.

解：如图3,延长OA到点E,使CE=6,

.・.OE=OC+CE=12,

连接PE,OP,・・・OA=3,.・・”=2=2

，，fOPOE2

AP1

・ZAOP=ZPOE,・・・△OAPOPE,..竺=2,

图3

・・.EP=2PA,・・.2PA+PB=EP+PB,

・・・当EP,B三点共线时，取得最小值为

BE=VOB2+OE2=13.

6.如图，在RtAABC中,ZACB=90°,AC=BC=2,以C为顶点的正

方形CDEF（C,D,E,F四个顶点按逆时针方向排列）可以绕点C自由转

动，且CD=V2,连接AF,BD.

(1)求证：ABDC=AAFC；

证明：如图1，•:四边形CDEF是正方形，

・・・CF=CD,ZDCF=ZACB=90°,

・•.Z.ACF=ZDCB.vAC=BC,

・・.△FCA=ADCB(SAS).

图1

(2)当正方形CDEF有顶点在线段AB上时，直接写出BD+乎AD的值；

解：①如图2,当点D,E在AB边上时，

・・AC=BC=2,ZACB=90°,AB=2Vl.

vCDJ_AB,・•.AD=BD=V2,

・・.BD+yAD=V2+1.

②如图3,当点EfF在边AB上时，

BD=CF=/，AD=7BD2+AB2=Vio,

・・.BD+—AD=V2+V5.

2

I)

图3

(3)直接写出正方形CDEF旋转过程中，BD+乎AD的最小值

解：如图4,取AC的中点M,连接DM,BM.

.CD=1,CM=1,CA=2,・・.CD?=CMCA,

患=霁・・2DCM=/ACD,MDCMYACD.

DM_CD_V2V2

・DM=—AD.

AD―AC-2

BD+号AD=BD+DM

・・・当B,D,M共线时，BD+噂AD的值最小，最

小值:7CB2+CM2=V5.

类型四阿氏园问题

7.阅读以下材料，并按要求完成相应的任务.

已知平面上两点A,B,则所有符合器=k（k＞。且k,1）的点P会组成一

rD

个圆.这个结论最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，称阿氏圆.阿氏圆基

本解法：构造三角形相似.

【问题】如图1,在平面直角坐标系中在x轴,y轴上分别有点C(m,O),

D(O,n),点P是平面内一动点，且0P=,设需=k,求PC+kPD的最

小值.

阿氏圆的关键解题步骤：

第一步：如图1,在0D上取点M，使得OM:OP=OP:0D=k；

第二步：证明kPD=PM；第三步：连接CM,此时CM即为所求的最小值.

下面是该题的解答过程（部分）：

解：在0D上取点M，使得OM:OP=OP:0D=k,

又•・・ZPOD=ZMOP,/.APOMDOP.

任务:

D

M

图1图2

(1)将以上解答过程补充完整.

解：在0D上取点M,使得OM:OP=OP:0D=k.

又・.ZPOD=ZMOP△POMDOP.

・・・MP:PD=k,・・.MP=kPD,

..PC+kPD=PC+MP,当PC+kPD取最小值时，PC+MP有最小值,

即C,P,M三点共线时有最小值，利用勾股定理得

CM=7OC2+OM2=Jin2+(kr)2=7m2+k2r2.

(2)如图2,在RtAABC中，ZACB=90。，AC=4ZBC=34为4ABC内

一动点，满足CD=2,利用(1)中的结论，请直接写出AD+(BD的最

小值.

解：・・・AC=m=4,累=|,如图，在❷上取一g

DCD

点M,使得CM=|CD=£

・・・AD+|BD的最小值为J42+(I]=苧.M

CA

8.已知AB是。0的直径,AB4V2,AC=BC.

c

A

D

E

Si图2

(1)求弦BC的长；

解：vAB是00的直径,・・・NACB=90°.

・・・AC=BC,・.△ABC是等腰直角三角形/CAB=45°.

・・・AB=4V2,・・・BC=ABsin45°=4.

(2)若点D是AB下方。。上的动点(不与点A,B重合)，以CD为边,

作正方形CDEF,如图1所示，若M是DF的中点，？4是四的中点，求证:

线段MN的长为定值；

证明：连接AD,CM,DB,FB,如图L

・.△ABC是等腰直角三角形，四边形CDEF是正方形,

・・・CD=CF,ZDCF=ZACB=90°,

・・・ZACD=90°-ZDCB=ZBCF.

又AC=BCf/.AACD=△BCF(SA