2024-2025学年高中数学第一章常用逻辑用语1.1命题课时作业含解析北师大版选修2-1

PAGEPAGE4课时作业1命题时间：45分钟——基础巩固类——一、选择题1．下列语句中是命题的是(B)A．周期函数的和是周期函数吗B．sin45°＝1C．x2＋2x－1>0D．2016是一个大数解析：A，C，D不能推断真假，不是命题；B是陈述句，而且能够推断真假，是命题．2．设a，b是向量，命题“若a＝－b，则|a|＝|b|”的逆命题是(D)A．若a≠－b，则|a|≠|b|B．若a＝－b，则|a|≠|b|C．若|a|≠|b|，则a≠－bD．若|a|＝|b|，则a＝－b解析：条件“a＝－b”和结论“|a|＝|b|”互换后得到逆命题：若|a|＝|b|，则a＝－b.故选D.3．命题“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是(B)A．若f(x)是偶函数，则f(－x)是偶函数B．若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数C．若f(－x)是奇函数，则f(x)是奇函数D．若f(－x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数解析：否命题是对原命题的条件和结论都进行否定．4．给出命题：若函数y＝f(x)是幂函数，则函数y＝f(x)的图像不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是(C)A．3 B．2C．1 D．0解析：原命题为真，则其逆否命题为真；逆命题为假，则其否命题也为假，故选C.5．下列有关命题的说法正确的是(B)A．命题“若xy＝0，则x＝0”的否命题为“若xy＝0，则x≠0”B．“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题为真命题C．“若x＝－eq\f(1,2)，则2x2－1<0”的否命题为“若x≠－eq\f(1,2)，则2x2－1>0”D．命题“若cosx＝cosy，则x＝y”的逆否命题为真命题解析：“若xy＝0，则x＝0”的否命题为“若xy≠0，则x≠0”，故A错误．“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题为“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，是真命题，故B正确．C中命题的否命题为“若x≠－eq\f(1,2)，则2x2－1≥0”，故C错误．“若cosx＝cosy，则x＝y＋2kπ或x＝－y＋2kπ”，则D中的命题是假命题，其逆否命题也是假命题．故D错误，选B.6．命题“若α＝eq\f(π,4)，则tanα＝1”的逆否命题是(C)A．若α≠eq\f(π,4)，则tanα≠1B．若α＝eq\f(π,4)，则tanα≠1C．若tanα≠1，则α≠eq\f(π,4)D．若tanα≠1，则α＝eq\f(π,4)解析：由题意知：逆否命题需将原命题的条件和结论否定再交换．关键点是原命题与逆否命题的关系．7．若命题p的否命题为r，命题r的逆命题为s，p的逆命题为t，则s是t的(C)A．逆否命题 B．逆命题C．否命题 D．原命题解析：特例：p：若∠A＝∠B，则a＝b；r：若∠A≠∠B，则a≠b；s：若a≠b，则∠A≠∠B；t：若a＝b，则∠A＝∠B.8．以下命题为假命题的是(A)A．“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实数根”的逆命题B．“面积相等的三角形全等”的否命题C．“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题D．“若A∪B＝B，则A⊆B”的逆否命题解析：对于A，“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实数根”的逆命题是“若方程x2＋x－m＝0有实数根，则m>0”，由判别式Δ＝1＋4m≥0，得m≥－eq\f(1,4)，故是假命题；对于B，“面积相等的三角形全等”的逆命题是“全等的三角形面积相等”为真命题，因为逆命题和否命题互为逆否命题，真假性相同，所以命题“面积相等的三角形全等”的否命题是真命题；对于C，“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题是“若x，y互为倒数，则xy＝1”，为真命题；对于D，“若A∪B＝B，则A⊆B”为真命题，则“若A∪B＝B，则A⊆B”的逆否命题为真命题．二、填空题9．命题“末位数字是0或5的整数，能被5整除”，条件p：一个整数的末位数字是0或5；结论q：这个整数能被5整除；是真命题(填“真”或“假”)．解析：“末位数字是0或5的整数，能被5整除”改写成“若p，则q”的形式为：若一个整数的末位数字是0或5，则这个整数能被5整除，为真命题．10．下列命题：①若xy＝1，则x，y互为倒数；②四条边相等的四边形是正方形；③平行四边形是梯形；④若ac2>bc2，则a>b.其中真命题的序号是①④.解析：①④是真命题，②四条边相等的四边形也可以是菱形；③平行四边形不是梯形．11．若“x∈[2,5]”和“x∈{x|x<1，或x>4}”都是真命题，则x的范围是{x|4<x≤5}．解析：如图：由图知4<x≤5.三、解答题12．把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并推断命题的真假．(1)全等三角形的面积相等；(2)斜率相等的两条直线平行；(3)钝角的余弦值是负数；(4)奇函数的图像关于原点对称．解：(1)若两个三角形全等，则它们的面积相等，真命题．(2)若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行，真命题．(3)若一个角是钝角，则这个角的余弦值是负数，真命题．(4)若一个函数是奇函数，则它的图像关于原点对称，真命题．13．已知命题p：|x2－x|≥6，q：x∈Z，且p假q真，求x的值．解：因为p假q真，所以可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|x2－x|<6，,x∈Z，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－x<6，,x2－x>－6，,x∈Z))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－x－6<0，,x2－x＋6>0，,x∈Z))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2<x<3，,x∈Z.))故x的值为－1,0,1,2.——实力提升类——14．函数f(x)的定义域为A，若x1，x2∈A且f(x1)＝f(x2)时总有x1＝x2，则称f(x)为单函数．例如，函数f(x)＝2x＋1(x∈R)是单函数．下列命题：①函数f(x)＝x2(x∈R)是单函数；②指数函数f(x)＝2x(x∈R)是单函数；③若f(x)为单函数，x1，x2∈A且x1≠x2，则f(x1)≠f(x2)；④在定义域上具有单调性的函数肯定是单函数．其中的真命题是②③④(写出全部真命题的序号)．解析：当xeq\o\al(2,1)＝xeq\o\al(2,2)时，未必有x1＝x2，故①是假命题．对于f(x)＝2x，当f(x1)＝f(x2)时肯定有x1＝x2，故②是真命题．命题③的逆否命题“若f(x)为单函数，x1，x2∈A且f(x1)＝f(x2)，则x1＝x2”为真命题，故③是真命题．当函数在其定义域上单调时，肯定有“若f(x1)＝f(x2)，则x1＝x2”，故④是真命题．15．已知下列三个方程x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0，至少有一个方程有实根，求实数a的取值范围．解：假设三个方程均无实根，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ1＝4a2－4－4a＋3<0，,Δ2＝a－12－4a2＝－3a－1·,a＋1<0，,Δ3＝4aa＋2<0，))解得eq\b\