2024年中考数学暑假复习讲义：“将军饮马”模型分类复习讲义

“将军饮马”模型

“将军饮马”问题是指动点在直线上运动，线段和差的一类最值问题，往往通过对称进行等量代换，转化成两

点之间的距离或点到直线的距离，或利用三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求得最值。解决这类

问题要用到两个基本知识点：“两点之间线段最短”和“垂线段最短”.

【类型一两定一动基本型】

1.同侧、异侧两线段之和最小

问题:在直线1上求一点P,使PA+PB值最小.

做法:连接AB,与1交点即为P,PA+PB的最小值为AB.

问题:在直线1上求一点P,使PA+PB值最小.

做法:作A关于1的对称点A',连AB,与1交点即为P,PA+PB的最小值为A'B.

2.同侧、异侧两线段之差最大、最小

问题：在直线1上求一点P,使\PA-PB|的值最小.

做法：连接AB，作AB的中垂线，与直线1的交点即为P,此时\PA-PS|=O.

问题：在直线1上求一点P,使|P4-P用的值最大.

做法：作直线AB,与直线1的交点即为P根据三角形任意两边之差小于第三边，\PA-PB\<AB,\PA-PB\

的最大值=人3.

问题:在直线1上求一点P,使IPA-PBI的值最大.

做法:作B关于1的对称点B：作直线AB1,与1交点即为P.|PA-PB|SABLPA-PB曲最大值=人8：

*B，•§

p"、

A

【例1】已知锐角小ABC中,BC=4V2,ZABC=45°,点D在BC边上,且BD=2.BE是/ABC的角平分线，点P

为BE上的一个动点，则PC+PD的最小值为

【简答】作点C关于BE的对称点C,VBE是/ABC的角平分线，落在AB上,连接CD,CP,则PC+PD=P

C'+PD>C'D,当P,C,D三点共线时,PC+PD取得最小值,

过C，作C'HJ_BC于H,：BC=BC=4a,NABC=45。，，BH=C'H=4,：BD=2,；.DH=2,在RTACDH中，由勾股

定理可求得CD=2V5,PC+PD的最小值为2遍.

【例2】如图，在RTAABC中.ZACB=90°,AC=BC=4,点D是边BC的中点，点E是AC上的点,且满足受=

1，点P为边AB上的动点，当点P在AB上移动时，四边形PDCE周长的最小值为

【简答】作点D关于AB的对称点D1,连接D'E,则D,H=1,EH=4,D,E=V17,VPD+PE=PD'+PE>D'E=VT7,：

CD=2,CE=3,.•.四边形PDCE周长的最小值为V17+5.

［例3］如图,在矩形ABCD中,AB=3,AD=4,连接AC,0是AC的中点,M是AD上一点且MD=1,P是BC上一

动点则PM-PO的最大值为

【解答】:,在矩形ABCD中,AD=4,MD=1,AM=3,

连接MO并延长交BC于P,贝妣时,PM-PO的值最大,且PM-PO的最大值=0M,

VAM//CP,AZMAO=ZPCO,VZAOM=ZCOP,AO=CO,

/.△AOM^ACOP(ASA),.\AM=CP=3,OM=OP,PB=1,

过M作MN_LBC于N,..四边形MNCD是矩形,MN=CD,CN=DM,

PN=4-1-1=2,MP=V32+22=OM=手.

PC+PD

【例4］如图,在菱形ABCD中,AB=6,/A=135。,点P是菱形内部一点,且满足SPCD=2sg…，则

6囱衽ABCD

【解答】如图，在BC上取一点E，使得EC=\BC=2,作EF〃AB,交AD于F,则P在线段EF上运动，作点C

关于EF的对称点C,CC交EF于G,连接DC交EF于P,连接PC,此时SPCD=rPC+PD的值最小,最小

6彼港ABCD

值为DC的长，：四边形ABCD是菱形，ZA=135°,AZCEG=ZB=45°,

ZCGE=90°,NECG=45°,：NBCD=135°,ZC'CD=90°,

EC=2,CC=2V2,­••CD=6,.-.DC=2VH,PC+P。的最小值是2VT1.

【针对练习1］

1.如图,已知正方形ABCD的边长为4,对角线相交于点O,M为CO的中点,N在边BC上.且CN=1,点P为BD

上的一个动点，则PM+PN的最小值是—.

B

2.已知如图,一次函数y=-2x+4与y轴、x轴分别交于A、B两点点C是AB的中点点P是直线x=-l上的一

个动点，则PC+PB取得最小值时，点P的坐标为—.

3.如图，已知△ABC为等腰直角三角形,AC=BC=4,ZBCD=15°,P为CD上的动点,则|PA-PB由勺最大值是

4.如图,在小ABC中,AB=AC,BC=4,面积是16,AC的垂直平分线EF分别交AC,AB边于E,F点，若点D为B

C边的中点，点M为线段EF上一动点，则4CDM周长的最小值为.

5.如图,在矩形ABCD中,AB-AD=4,动点P满足SPAB=”矩形ABCD令AD=x,△PAB面积为y,贝Uy与x的

6.如图,在小ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线交BC于点N,交AB于点M,△ACN的周长为19,BC=12,若点

P在直线MN上,则IPC-PB由勺最大值为.

C

BN

【类型二两次对称型】

【类型二问题：在直线kb上分别求点M、N,使小PMN的周长最小.

做法:分别作点P关于两直线的对称点P和P”,连接P'P”,与两直线交点即为M,N.PM+MN+PN的最小值为线段

PP”的长.

问题：在直线1L上分别求点M、N,使四边形PQNM的周长最小.

做法：分别作点P、Q关于直线的对称点P'和Q',连Q'P,与两直线交点即为M,N.四边形PQNM周长的

最小值为Pg+PQ的值.

Q'

［例1］如图.ZAOB=30°,ZAOB内有一定点P,且OP=10,在OA上有一点Q,OB上有一点R,则仆PQR周长

得最小值为一.

【解答】分别作P关于OA、OB的对称点E、F,交OA、OB于M、N两点连接EF与OA相交于Q,与OB

相交于R,再连接PQ,PR,则4PQR即为周长最短的三角形.

VOA是PE的垂直平分线，，EQ=QP;同理0B是PF的垂直平分线，FR=RP,.-.APQR的周长=EF.

,/OE=OF=OP=10,且NEOF=/EOP+NPOF=2NAOB=60。，.二△EOF是正三角形，；.EF=10,

即在保持OP=10的条件下小POR的最小周长为10

［例2］如图,在四边形ABCD中,484。=110。,NB=功=90。.在BC,CD上分别找一点M,N,使△AMN周

长最小，则此时/AMN+/ANM的度数为

G

【解答】如图，作点A关于BC的对称点A：关于CD的对称点A',连接.44与BC、CD的交点即为所求的点

M、N,•.,ZBAD=U0°,ZB=ZD=90°,ZA'+ZA'=180°-l10°=70°,

由轴对称的性质得:ZA'=ZA'AM,ZA'=ZA'AN,ZAMN+ZANM=2(ZA'+ZA')=2x70o=140°.

［例3］如图”已知矩形ABCD中，乙4BD=70°,AD=4,E、F是对角线BD上的两个动点，6是BC上的动点.

连接CE、EG、GF,则(CE+EG+GFF的最小值是____.

【简答】作C关于BD的对称点C,作线段BD关于BC的对称线段BD1,F关于BC的对称点F；则CE=C,E,GF

=GF',*.•NABD=70°,NCBD=2O°,ZC'BH=60°,

°=4xf=2V3.

过C作CH1BD'于H,则（CE+EG+GFCE+EG+GF>CH2b，故CE+EG+GF的最小值是2痘.

【针对练习2]

1.如图,NMON=40°,P为NMON内一定点，A为OM上的点，B为ON上的点，当△P4B的周长取最小值

时：

(1)找到人、B点，保留作图痕迹；

(2)求此时.41PB等于多少度；如果4MON=仇乙4PB又等于多少度？

M

2.如图，在x轴上找一点C,在y轴上找一点D，使.AD+CD+BC最小，并求直线CD的解析式及点C、D

的坐标。

3.如图,ZMON=20°,A,B分别为射线OM、ON上两定点，且。4=2,OB=4,,点P、Q分别为射线OM、O

N两动点,当P、Q运动时,线段.AQ+PQ+PB的最小值是

M

4

BN

4.如图，在RTA&BC中,NB"=90。,4。=3,4B=2"。点D、E在BC边上,BD=CE=1,点G、F分别是

边AB、AC上的两个动点，则四边形DEFG周长的最小值是.

5.如图，乙4OB=20。,点M、N分别是边OA、OB上的定点，点P、Q分别是边OB、OA上的动点记NMPQ=

a/PQN=°,当MP+PQ+QN最小时，则£一a的值为.

6.如图,已知矩形ABCD中,AB=12,4。=3,E、F分别为AB、DC上的两个动点,则AF+FE+EC的最小值

为一

EB

【类型三平移型】

问题:在直线1上求两点M、N(M在左)，使MN=a,并使AM+MN+NB的值最小.

做法：将点A向右平移a个长度单位得A1,作A，关于1的对称点艇,连接A”B.交直线1于点N,将N点向左平

移a个单位得M.AM+MN+BN的最小值为A"B+MN.

【例1】如图，某中学教学区与住宿区被公路隔开，为了保障师生安全，学校准备在公路上建设一座过街天桥

CD(公路两边互相平行，且要求天桥与公路垂直).已知该校教学楼A到公路一边的距离AE=20m,宿舍楼B到公路

一边的距离BF=25m,公路宽度为35m,教学楼A与宿舍楼B的直线距离AB-lOOm，则修建的天桥CD若保证从

教学楼A与宿舍楼B的距离(即AC+CD+DB)最短，则这个最短距离是_m.

【解答】如图，将点A竖直向下平移到点使AA，等于公路的宽度，连接AB,与公路b交于点D,过点

D作CD，公路a于于C,连接AC、BD.

则天桥建在CD处能使由A经过天桥走到B的路程最短，最短路线的长：AC+CD+DB=A,B+CD,在RtAAB

H中,由题意,.AB=1OO.AH=80,BH=V1002-802=60,

在Rt△中,BA'=yjBH2+HA'2=V802+452=5V337,这个最短距离为35+5V337m.

［例2］如图，已知四边形ABCD四个顶点的坐标为A(l,3),B(m,0),C(m+2,0),D(5,1),当四边形ABCD的周

长最小时,m的值为__.

【解答】将C点向左平移2单位与B重合，点D向左平移2单位到D1(3,1),作D关于x轴的对称点D",则

点D”(3,-l),

HLn”雨上从如切旧1

.,•直线4。”的解析式为y=-2%+5,当y=0时,x=|,即B(|，0),TH=|.

【针对练习3]

1.如图,长为1的线段AB在x轴上移动C(0,l)、D(0,2),则.AC+BD的最小值是—；当.AC+BD取得最小值时

2.在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，A(3,

0),B(0,4),D为边OB的中点。

⑴若E为边OA上的一个动点，求△CDE的周长最小值；

⑵若&F为边OA上的两个动点,且EF=1,当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标。

3.如图,△力BC中,AC=BC=2,乙4cB=90。,线段MN在边AB上运动，MN=V2,D是BC的中点,则DM+C

4.如图.已知A（3,l）与B（1,O）,PQ是直线y=x上的一条动线段且y=xPQ=a（Q在P的下方），当AP+PQ+

QB最小时，Q点坐标为（）

5.已知某护城河拐角如图所示,ACB是护城河外的一条小路，乙4cB=90°,AC=852米,

BC=652米，护城河宽52米，从A到B需经过MM和NN两座桥（桥的方向均与河岸垂直）,那么应该将桥造在何

处，才能使从A到B的路程最短?在备用图中画出MM，和NN的位置,并求出A到B的最短路程。

备用图

【类型四点到直线垂线段最短】

问题:点P在锐角ZAOB内部,在OB边上求作一点D,在OA边上求作一点C.使PD+CD最小.

做法：作点P关于直线0B的对称点P1,向直线0A作垂线，与0B的交点为所求点D,垂足即为点C.根据

“垂线段最短”，可知PD+CD的最小值为P'C的长度.

［例1］如图.在菱形ABCD中,AB=6,ZB=60°,点G是边CD边的中点,点E、F分别是AG、AD上的两个动

点，则EF+ED的最小值是___.

【解答】如图作DH±AC垂足为H与AG交于点E,：四边形ABCD是菱形，：AB=AD=CD=BC=6,：NB=6

0。，.•.NADC=NB=60。，.二△ADC是等边三角形，：AG是中线，；.NGAD=/GAC,.•.点H关于AG的对称点F在A

D上,此时EF+ED最小=DH,；.EF+DE的最小值=DH=3V3.

［例2］如图矩形ABCD中,AD=5,AB=12,点M在AC上点N在AB上厕BM+MN的最小值为

［例3］如图,已知NAOB=30。,点M在NAOB的角平分线上OM=6,点E在射线OB上，点F在射线OA上,

则ME+EF的最小值是_____

【简答】作M关于OB的对称点M',过M，作OA的垂线,交OB于E,交OA于F,此时ME+EF最小,•.0

M'^OM=6/M0F=45M'F=3近.

【针对练习4］

1.如图,在RtAABC中,NACB=90。,AC=6,BC=8,AD是NBAC的平分线。若P,Q分别是AD和AC上的动

点，则PC+PQ的最小值是___.

A------------------------------------B

2.如图,在正方形ABCD中,AB=4,E是BC边的中点,F是CD边上的一点,且DF=1,若M、N分别是线段A

D、AE上的动点,则MN+MF的最小值为.

”_D

N\

BEC

3.如图,菱形ABCD中,AB=2,ZA=120°,点P,Q,K分别为线段BC,CD,BD上任意一点,则PK+QK最小值为

Q

B

4.如图,在^ABC中,AB=AC=6,ZA=120°,D为BC上一动点,E为AC上一动点,则AD+DE的最小值为.

5.如图,在矩形ABCD中,AB=2,BC=28，点E是对角线AC上一点,过点E作EF//BC,交AB于点F,则BE

+BF的最小值为.

6.如图，边长为2近的等边AABC面积是2旧点D,E,F分别是边AC,AB,BC上的一个动点,则DE+DF的最小

值是____.

【类型五三动点“将军饮马”问题】

［例1］已知如图，〃=300,BC=4,SABC=16,点D、E、F分别是AB、BC、AC边上的动点，则△DEF

的周长的最小值是

BECBEHC

【简答】分别作E点关于AB、AC的对称点E；E”,连接分别交AB、AC于D、F两点,易得/EAE=6

0°,AE'=AE"=AE=此时△DEF的周长=EE'=AE,

.••当AE最小时,△DEF的周长最小。

过A作AHLBC于H,；BC=4,SAABC=16,；.AH=8,：E是BC上的动点，.•.当AELBC时,AE取得最八nrn.从

田上从里小结日.0

【例2]已知如图,AB=6,AC=3V2,ZX=45。,而所对的圆心角为90。,分别在相线段AB和AC上选

取点P、E、F,求PE+EF+FP的最小值.

【简答】设BC所在圆的圆心为O,连接AP,OP,分别作出P关于AB的对称点为Pi,P关于AC的对称点为

P2,连接P』2,交AB于点E,交AC于点F,连接PE、PF,

AP±=AP=AP?,易彳导乙PjAPz=90°,APR=<2AP.

PE=P]E,PF=P2F,

■.PE+EF+PFPrE+EF+P2F=P1P2=五AP,

；•当AP最小时.P[E+EF+P?F可取得最小值，

•••AP+OP>OA,

AP>OA-OP,即点P在OA上时，AP可取得最小值，

过点C作（CM1于M,连接BC,易证^ABC=45。,乙4cB=90°,

•••BC=AC=3V2,OB=QC/BOC=90。，1OB=3

易得NAB。=90AO=7AB2+BO2=V62+32=3乘,

VOP=OB=3,.*.AP=OA-OP=3遍-3,/.PE+EF+PF=P1P2-V2AP=3V10-3V2.

PE+EF+PF的最小值为3VIU-3V2.

【针对练习5】

1.在AaBC中,AD是BC边上的高,8。=3,CD=1,4D=2,P、Q、R分别是BC、AC边上的动点则APQR

周长的最小值为—.

2.如图,已知AD\\BC,AB=90°,ZC=60。,BC=2AD=4,点M为边BC的中点,点E、F在边AB、CD上运动,

点P在线段MC上运动,连接EF、EP、PF,则仆EFP的周长最小值为一.

3.如图,扇形花坛AOB的半径为20m,^AOB=45。.根据工程需要.现想在AB上选点P,在边OA上选点E,

在边OB上选点F,用装饰灯带在花坛内的地面上围成一个△PEF,使晚上点亮时，花坛中的花卉依然赏心悦目.为

了既节省材料，又美观大方，需使得灯带PE+EF+FP的长度最短，并且用长度最短的灯带围成的△PEF为等腰

三角形.试求PE+EF+FP的值最小时的等腰△PEF的面积（安装损耗忽略不计）

A

OB

【类型六相对运动思想的运用】

【例1】直线1外有一点D,点D到直线1的距离为5,AABC中乙4BC=90°,AB=6,tan^CAB=右边AB在

直线1上滑动，则四边形ABCD周长的最小值为一.

【简答】要使四边形ABCD周长最小，只需AD+CD最小，

将小ABC看做不动，点D相对于AC在直线m上运动,作C关于m的对称点C,连接AC,则AD+CD的最小值

为AC=1O,则四边形ABCD周长的最小值为AC'+AB+BC=18.

【例2】如图，在RTAACB中,Z.BCA=90。/4=30°,AC=V3,点D在线段AB上运动，点E在线段AB

的延长线上,且BE=AD,则CE+CD的最小值是.

【简答】：ZA=30°,AC=®：.AB=2,：BE=AD,DE=AB=2,将DE看做不动，点C相对于DE在直线1上

运动，作E关于1的对称点E',连接DE,则CE+CD的最小值为DE，的长度，易求得EE=',DE=2,：.DE'=

手,CE+CD的最小值是手,

【针对练习6]

1.如图在△ABC中.AB=AC=5,BC=6,点D为BC的中点.E、F分别为BC边上两个动点,且DE=FC厕△AEF

周长的最小值为—.

2.如图.已知sinzMOAZ=刍点A在边OM上,OA=5,B、C为边ON上的两个动点,且BC=2,则小ABC周长的最

小值为.

3.已知菱形ABCD中，ZABC=60°,对角线AC、BD相较于点O,点E、F是对角线BD上的两个动点，且满足B

E=OF,连接CE、CF,若CE+CF的值为7,则AC长的最大值为

4.如图.在平面直角坐标系xOy中,点A(-2,0),B(0,1),C(0,4),将线段AB左右平移,在平移过程中IAC-BQ的最

大值是最小值是—.

5.在平面直角坐标系中,直线1：y=-x+5与x轴、y轴分别交于A、B两点在直线上方作RTAABC,使得/ACB

=90。,且：=/现将△ABC沿着直线1滑动，则OB+OC的最小值为.

【思维拓展提升】

其实上面的这种思维方法适用于大多数多动点联动回题，对于多个点运动并且是联动的这类问题，我们都可

以采用相对运动法，可以让这多个点静止，让原本的定点动起来，这样就减少了动点的个数，使得问题简单化。

(原则是：让数量少的点动，让数量多的点休息)如下面这道天津中考题的最后一问。

［例1］在平面直角坐标系中.四边形AOBC是矩形，点O的坐标为(0,0),点A的坐标为(5,0),点B的坐标为(0,

3)以点A为中心，顺时针旋转矩形AOBC,得到矩形ADEF,点O,B,C的对应点分别为D,E,F.

(1)如图1,当点D落在BC边上时,求点D的坐标.

(2)如图2,当点D落在线段BE上时,连接AB,AD与BC交于点H.

①求证:△ADB^AAOB;

②求点H的坐标.

⑶记K为矩形AOBC对角线的交点，S为4KDE的面积，求S的取值范围(直接写出结果即可).

【简答】(1)VA(5,0),B(0,3),AOA=5,OB=3,

:四边形AOBC是矩形，，AC=OB=3,OA=BC=5,ZOBC=ZC=90°,

,/矩形ADEF是由矩形AOBC旋转得至！J,，AD=AO=5,

在RtAADC中,CD=YAD2+ACZ=4,；.BD=BC-CD=1,；.D(1,3).

(2)①由四边形ADEF是矩形,得到/ADE=90。，：点D在线段BE±./.ZADB=90°,

由⑴可知,AD=AO,又AB=AB.ZAOB=90°,

RtAADB^RtAAOB.

②如图b中,SAADB^AAOB,彳导至!JNBAD=NBAO,

又在矩形AOBC中,OA/7BC,AZCBA=ZOAB.ANBAD=NCBA,

.*.BH=AH,设AH=BH=m,贝！］HC=BC-BH=5-m,

在RtAAHC中，•：AH2=HC2+AC2,m2=32+(5-m)2,

m-BH=y,H(£’3)

(3)要求AKDE面积的取值范围，我们只要考虑K、D、E三个点的运动情况即可，由于D、E两个点都在运

动，△KDE面积的取值范围不好确定。

y

因此我们用相对运动的思想，固定D、E两点不动，让它们在初始位置，即O、B处，让K点绕着A点运动

起来,运动轨迹为圆A如图，当K位于给处时，△KB。,也就是△KDE的面积最小，位于七处时面积最大。易求

zB30-3V34/0,30+3回

【类型七先找“河”，再“饮马”】

为了总结的完整性，这部分内容放在了这里，建议大家先学习后面的压轴模型“主从联动模型”，学习完以后

再来看这一类型，会更容易理解。

【例1】如图，已知正方形ABCD的边长为3,点E是AB边上的一动点，连接ED,将ED绕点E顺时针旋

转90。到EF,连接DF、CF,贝!］DF+CF的最小值是.

【简答】由主从联动思想可知：点E和点F分别为主动点和从动点，点F可看作是点E绕着点D逆时针旋转

45。再放大鱼倍得到的，点E的轨迹为线段AB,将其绕着点D逆时针旋转45。再放大鱼倍就得到了F的轨迹，

如图，点F的轨迹就是线段BG.

这就转化为基本的两定一动将军饮马问题，作点C关于BG的对称点C,DF+CF的最小值就是DC的长，易

得DC=3V5.

［例2］如图.△力BC是边长为4的等边三角形，点D在BC边上，以AD为边作等边三角形ADE,F为AC

的中点,贝U.AE+FE的最小值为.

【简答】将线段BC绕点A逆时针旋转（60。得到线段CG,则点E在CG上运动，

作A关于CG的对称点A',连接A'F,则AE+FE^A'E+FE>A'F,

过F作FH1BC于H,则FH=y/3,AH=5,A'F=2夕,AE+FE的最小值为2夕.

【针对练习7]

1.在平面直角坐标系中,已知A(3,0),B为y轴上一个动点,在AB上方作正方形ABCD,求(OC+4c的最小

2.已知x轴上一点A(l,0),B为y轴上的一动点,连接AB,以AB为边作等边△ABC如图所示,已知点C随着

点B的运动形成的图形是一条直线，连接OC,4C+OC的最小值是.

3.如图,在矩形ABCD中,AB=6,BC=10,点E是AD边的中点，点F是线段AB上任一点，连接EF,以EF

为直角边在AD下方作等腰直角△EFGFG为斜边,连接DG,贝必DEG周长最小值为.

B