2024年中考数学提高复习讲义：二次函数的图像与性质

二次函数的图像与性质

知识梳理

1.二次函数的性质

(l)a>0时抛物线开口向上，对称轴是%=-卷顶点坐标是(-白崎)；在对称轴的左侧，即当x<-寮寸，

y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当乂>-方时,y随x的增大而增大；抛物线有最低点，当％/时，

y有最小值，4然=噤,

(2)a<0时抛物线开口向下，对称轴是%=-白顶点坐标是(-；在对称轴的左侧，即当乂<-5时，

y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当x>一总时,y随x的增大而减小；抛物线有最高点，当x=-/时,

y有最大值，2次=喑・

2.二次函数的解析式有三种形式

(1)一般式:y=。产+力％+c(a,b,c均为常数,a#0);

⑵顶点式:y=a(x-h)2+k(a,h,k均为常数,a?0);

(3)两根式:y=。(％-%i)(x-&).

3.抛物线y=收+力％+c中a,b,c的作用

a表示开口方向：a>0时，抛物线开口向上，a<0时，抛物线开口向下；

b与对称轴有关：对称轴为x=-白a与b左同右异；

2a

C表示抛物线与y轴的交点坐标：(0,C).

4.二次函数与一元二次方程的关系

一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x轴的交点坐标.

因此一元二次方程中的4=/-4ac,在二次函数中表示图像与x轴是否有交点.

当△>0时，图像与x轴有两个交点；

当△=0时，图像与x轴有一个交点；

当A<0时，图像与x轴没有交点.

5.求抛物线的顶点、对称轴的方法

⑴公式法：顶点是对称轴是直线久=-《；

\2a4a72a

(2)配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为y=a(x-犷+k的形式，得到顶点为(h,k),对称轴是直

线x=h.

6.平移

y=a(x-K)2+k可以由y=ax?平移得到.上加下减，左加右减.

典型例题

例1

2

已知二次函数y^ax+bx+c(0<X<3)的图像如图所示，关于该函数所给自变量取值范围,下列说法正确

的是().

A.有最小值0,有最大值3

B.有最小值-1,有最大值0

C.有最小值-1,有最大值3

D.有最小值-1,无最大值

例1图

解析在二次函数中，a决定开口方向，c决定与y轴的交点.在本题中，开口方向向上，所以二次函数在顶点

处取到最小值，且函数的对称轴为.久=1,,在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，在对称轴的右侧，y随x的增

大而增大.因为(0<%<3,所以由图像可以得到该函数有最小值-1,有最大值3.故选C.

的取值范围是：-1<x<0或x>1.

例3

二次函数y=收+法+c中，当x>l时，y随x的增大而增大，则a与b之间的关系是—.

解析当x>l时，y随x的增大而增大，则可以判断开口向上，即a>0,所以对称轴％?在x=l的左侧，所以

有1，则有2aN-b.

2a

例4

已知二次函数，当x=l时，函数取得最小值16,且图像在x轴上截得线段的长度为8,求二次函数的解析式.

解析二次函数的解析式有以下三种形式.

(1)一般式:y=ax2+bx+c(a,b,c均为常数,a?0);

(2)顶点式:.:y=a(x-h)2+k(a,h,k均为常数,a^O);

(3)两根式:y=a(x-%i)(x-x2).

求二次函数的解析式，要根据题意设适当的解析式.

因为当x=l时，函数取得最小值16,

所以设二次函数解析式为y=a(久-I)?+16.

又因为图像在x轴上截得线段的长度为8,对称轴为x=l,

所以根据二次函数图像与x轴的交点为：(5,0)和(-3,0).

将(5,0)代入y=a(%—l)2+16中得:a=-l,贝(].y=-(x-I)2+16.

双基训练

1.已知函数y=(爪一1)/经过点(一1,一2),则m的值为().

A.lB.-1C.2D.-2

.抛物线222的共同特点是().

2y=4x,y=-4x,y=4~x+3

A.开口向上B.对称轴为y轴

C.顶点坐标为(0,0)D.开口向下

3.抛物线y=3久2一6的顶点坐标是().

A.(1,-3)B.(0,-3)C.(l,-3)D.(0,-6)

4.已知二次函数y=ax?+1的图像开口向上，则直线y=ax+l经过象限为().

A.第一、二、三象限B.第二、三、四象限

C.第一、三、四象限D.第一、二、四象限

5.函数y=ax2+a与y=|(a0)在同一直角坐标系的图像可能为().

6.下列关于y=4/和y=-4r的图像的说法：①它们都为抛物线；②它们都为轴对称图像；③它们的顶点相

同，对称轴也相同；④它们关于x轴对称.其中正确的个数为().

A.4B.3C.2D.1

7.y=-12x2+6的对称轴为().

A.直线%=[B.直线y=

C.y轴D.直线x=2

8.抛物线直线y=2x2-12x+19的顶点坐标为().

A.(3,l)B.(3,-l)C.(-3,1)D.(-3,-l)

9.下列二次函数中，图像以直线x=2为对称轴，且过点(0,1)的是().

X.y=(%—2)2+1B.y=(久+2)2+1

C.y=(x—2)2—3D.y=(x+2)2-3

10.把抛物线y=-3/向左平移1个单位，再向上平移3个单位，则平移后抛物线为().

A.y=-3(x-l)2+3B.y=-3(%-I)2-3

C.y=-3(x+l)2-3D.y=-3(x+l)2+3

11.抛物线y=-3/可以看成是由抛物线y=-3X2+5才安下列何种变换得到的().

A.向上平移5个单位B.向下平移5个单位

C.向左平移5个单位D.向右平移5个单位

12.在平面直角坐标系中，若将抛物线y=%2-4%+3先向左平移2个单位，再向下平移2个单位，则所得抛

物线的顶点坐标是().

A.(2,-1)B.(-l,2)C.(0,-3)D.(-3,0)

13.已知二次函数y=尤2_8x+c的图像的顶点在x轴上，则c=().

A.4B.8C.12D.16

14.已知二次函数y=ax2+bx+c(a丰0)上的两点(-1,2)和(5,2),那么它的对称轴直线为().

A.x=-3B.x=lC.x=2D.x=3

15.若二次函数y=(久-k)2-1,当x<2时，y随X的增大而减小，则k的取值范围是().

A.k=2B.k>2C.k>2D.k<2

2

16.设A(-3,yi),B(0,y2),3°/(2,bx)o在抛物线丫=-(%+l)+a上的三点，则yi,y2,y3的大小关系是().

A.yr>y2>y3B.y1>y3>y2

C-y-i>72>yiD.y2>y3>yi

17.抛物线y=+3,当l<x<4时,y的最大值是().

A.3B.|C.-5D.O

18.若二次函数y=ax2+bx+c中,〃=四且x=0时,y=-4,则().

A.y最大值=4B.y最/」'值=4yt

UY放电=一3D.y最小值==3\：/

19.二次函数3/=,2+3%+抑惧最小值为().\；/

A.-1B.-2--r\o:ijx

c.-3D.-4本J

20.已知二次函数yax2+bx+c(a丰0)的图像如图所示，下列说法错误的是().|；

A.图像关于直线x=l对称第2。题图

B.函数y-ax2+bx+c(a0)的最小值是-4

C.-l和3是方程ax2+bx+c(a丰0)的两个根

D.当x<l时,y随x的增大而增大

能力提升

21.满足a<O,b>O,c=O的函数图像是下列图像中的().

A.D.

22.已知二次函数y=-%2+2x+m2+zn,则其图像顶点在第()象限.

A.-B.二C.三D.四

23如图所示，抛物线.y=%2-4上有两点M,N,且线段MN±y轴若MN=2(遍+1)则直线MN的解析式为

A.y=3

B.y=4

C.y=-2V3

D.y=2A/3

24.已知y=3/,若抛物线不动，把坐标原点向右、向上各平移3个单位，那么新坐标系下抛物线的图像的解

析式为().

4y=3(久一3¥+3

B.y=3(久+3)2-3

C.y=3(久-3¥—3

D.y=3(x+3)2+3

25.设抛物线y=%2-2014%+2015与x轴的两个交点坐标为(a,0),(b,0)厕④-2015a+2015)(〃—2015b

+2015)的值为().

A.-2014B.-2015

C.2014D.2015

26.如图所示，矩形纸片ABCD中,BC=4,AB=3,点P是BC边上的动点(点P不与点B,C重合)，现将△PCD沿PD

翻折得到4PCD作/BPC的角平分线，交AB于点E,设BP=x,BE=y则下歹幅像中,能表示y与x函数关系的大致

图像是().

第26题图

27.已知二次函数y=-6.8(%+2产，则函数开口方向对称轴，顶点坐标

x2(x<2)

.若直线为常数)与函数y的图像恒有三个不同的交点，则常数的取值范围是.

28y=m(m.浓2)m

29.如图所示抛物线的顶点为P(-2,2),与y轴交于点A(0,3).若平移该抛物线使其顶点P沿直线移动到

点P(2,-2),点A的对应点为A；则抛物线上PA段扫过的区域(阴影部分)的面积为

30.已知抛物线y=ax2{a丰0)与直线y=2x-3交于点(l,b).

⑴求a,b.

(2)求抛物线丫=ax\a丰0)的解析式、顶点坐标和对称轴.

(3)当x取何值时，二次函数.y=ax2(a丰0)中y随x增大而增大？

(4)求抛物线y=ax2(a丰0)与y=-2两个交点及顶点构成的三角形面积.

第29题图

拓展资源

31.已知二次函数y=ax2+bx+c(aW0)的图像如图所示，下列结论中正确的是().

A.ac>0

8.a+2bW0

C.b<a+c

D.4a+2b+c>0

第31题图

32如图所示，抛物线y=ax2+c(a<0)交x轴于点G,F,交y轴于点D,在x轴上方的抛物线上有两点B,

E,它们关于y轴对称，点G,B在y轴左侧,BALOG于点A,.BC10。于点C,四边形OABC与四边形ODEF的面

积分别为6和10,则△A8G与△BCD的面积之和为

33.抛物线y=+2(m+l)x+m+3与x轴交于M,N两点，且(。”:ON=5:1，求m的值.

34.如图所示，对称轴为直线.x=-1的抛物线y=ax2+bx+c(a*0)与x轴相交于A,B两点，其中点A

坐标为((-3,0).

⑴求点B的坐标

(2)已知a=1,C为抛物线与y轴的交点.

①若点P在抛物线上，且Sp℃=4SB",求点P的坐标.

②设点Q是线段AC上的动点，作QD，久轴交抛物线于点D,求线段QD长度的最

大值.

第34题图

35.如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y=-K2+2%+3与y轴交于点C,点D是该抛物线的顶点.

(1)求直线AC的解析式及B,D两点的坐标.

⑵点P是x轴上一个动点，过P作直线4MC交抛物线于点Q,试探究：随着P点运动，在抛物线上是否存在

点Q，使以点A、P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形?若存在，请直接写出符合条件的点Q的坐标；若不存

在，请说明理由.

(3)请在直线AC上找一点M,使△BDM的周长最小，求出M点的坐标.

1-5BBDAD6-10ACACD11-15BCDCC16-20DBCDD

21-26CADBDD27开口向下,x=-2,(-2,0)28,0<m<229.12

30.(l)a=-l,b=-l;⑵y=-x2,(0,0),y=0为对称轴;(3)x<0;(4)2V2

31.D32.4

2

33.设N(xi,0),M(X2,。)则则有Xi=—5%i,且x1和x2为y=-x+2(m+l)x+m+3的两个根.所以Xi+x2=

2

-4xi=2(m+l)①,Xix2=-5xi=-(m+3)@.

由①得:久】=—等,代入②中得：5(—等丫=-(m+3)

解得：加=金|旦.

因为由图像知：\x2\>>0>

所以X1+%2>0,Xi%2<0,

cr-|\I-3+2VT1

所以m=---.

34.(1)因为对称轴为直线x=-l的抛物线y=a/+汝+c(a丰0)与x轴相交于A,B两点,所以点A,B关于x=-l

对称.

因为A(-3,0),

所以B(l,0).

(2)①因为当a=l时，且x=-l,

所以b=2,

所以二次函数解析式为y=/+2%+a

又因为B(1,0)在二次函数y=x2+2x+c的图像上，

所以c=-3,即OC=3,y=Y+2x-3.

所以SBX=：X08X0C=|.

设P(x,y)

因为Sp(K=4SRX，

所以|x3X|x|=4XI，解得:x=±4.

将x=±4分别代入y=f+2久—3中得：

点P的坐标为(4,21)或(-4,5).

②设直线AC的解析式为y=kx+t,将A(-3,0),C(0,-3)代入.

得｛-3竺解得：忆二;

直线AC的解析式为y=-x-3.

设Q(x,-x-3)(-3WxW0),则D(x>x2+2%-3)

QD=-x2-3久=(x+|)+*

由二次函数性质知：当x=-1时，QD有最大值(

35.(1)当y=0|时,-X2+2X+3=0

解得:x=-l或3.

因为点A在点B的左侧

所以A.B的坐标分别为(-1,0),(3,0).

当x=0时,y=3,所以C点的坐标为(0,3).

设直线AC的解析式为.y=k1x+bi(fci丰0)

则.瓦U0,解得：需二

直线AC的解析式为y=3x+3.

由二次函数解析式得：D(1,4).

(2)存在三个这样的Q坐标分别为(2,3),(1+«,-3),(1-V7,-3)

(3)过B作BB'XAC于点F使B'F=BF,,则B为点B关于直线AC的对称点，连埼早,交直线AC于点M厕

点M为所求.