2024年中考数学提高复习讲义：四边形与多边形

中考专题复习之四边形与多边形

知识梳理

1.四边形的内角和与外角和定理

(1)四边形的内角和等于360°.

(2)四边形的外角和等于360°.

2.多边形的内角和与外角和定理

(l)n边形的内角和等于((n-2)x180°.

⑵任意多边形的外角和等于360。.

3.平行四边形的性质

(1)两组对边分别平行；

(2)两组对边分别相等；

四边形是平行四边形=(3)两组对角分别相等；

(4)对角线互相平分；

(5)邻角互补.

4.平行四边形的判定

(1)两组对边分别平行；

(2)两组对边分别相等；

(3)两组对角分别相等；该四边形是平行四边形.

(4)一组对边平行且相等；

(5)对角线互相平分；

5矩形的性质

(1)具有平行四边形的所有通性；

四边形为矩形=(2)四个角都是直角；

(3)对角线相等.

6.矩形的判定

(D平行四边形+一•?直角；

(2)有三个角是直角；该四边形是矩形.

⑶对角线相等的平行四边形；

7.菱形的性质

⑴具有平行四边形的所有通性；

四边形是菱形土2)四条边都相等；

(3)对角线垂直且平分对角.

8.菱形的判定

(1)平行四边形+一组邻边相等；

(2)四条边都相等；该四边形是菱形.

(3)对角线互相垂直的平行四边形；

9.正方形的性质

(1)具有平行四边形的所有通性；

四边形是正方形四条边都相等，四个角都是直角;

.(3)对角线相等、垂直且平分对角.

10.正方形的判定

(1)平行四边形+一组邻边相等+一个直角；

(2)菱形+一个直角；一该四边形是正方形.

⑶矩形+一组邻边相等；

典型例题

例1

如图所示，P为平行四边形ABCD边AD上一点，E,F分别为PB,PC的中点,△PEF,APDC,APAB的面积分

别为S,SSiS,若S=2,则Si+S2=.

解析本题主要考查平行四边形的性质和图形的相似的性质.

过P作PH平行DC交BC于H.

因为四边形ABCD为平行四边形，且有PH〃DC,

所以PH〃DC〃AB,

所以四边形DCHP和四边形PHBA为平行四边形，

所以有△PDC^ACHP,APAB^ABHP,

所以SpDC=ScHP，Sp4B=SBHP>

所以S]+S2=SpBu

又因为E,F分别为PB,PC的中点，

所以△PEF^APBC,

所以SpEF=~SpBC>

所以Si+52=4SpEF=8.

例2

如图所示,正方形ABCD的对角线交于点。，以AD为边向外作RtAADE,/AED=90。,连接OE,DE=6,OE=8

鱼,则另一直角边AE的长为.

解析如图所示，过。作OM,AE于M,ON±ED的延长线于N.

因为四边形ABCD为正方形，

所以AO±BD且有AO=OD.

又因为NAED=90o,AO_LBD,

所以A,E,D,0四点共圆.

又因为AO=OD,ZAED=90°,

所以/AEO=NOED=45。.

因为OM_LAE,ON_LED,/AED=90°,ZAEO=ZOED=45°,

所以四边形MENO为正方形,

所以OM=ON.

在RtAAMO与RtADNO中，

因为AO=ON,AO=DO,

例2图

所以△AMO^ADNO,

所以AM=DN,

所以AE=ME+AM=ME+DN=EN-ED+EN=2EN-ED.

因为OE=8V2,

所以EN=8,

所以AE=10.

例3

如图⑴所示，菱形ABCD和菱形EFGC的边长分别为2和3,若NA=120。,则图中阴影部分的面积是.

解析如图(2)所示，设BF,CE相交于点M.

因为菱形ABCD和菱形ECGF的边长分别为2和3,

所以△BCM^ABGF,

例3图(1)

所以称=黑，

即?=

32+3

解得CM=1.2.

所以DM=2-1.2=0.8,

因为NA=120°,

所以A4BC=180°-120°=60°,

所以菱形ABCD边CD上的高为2sin600=2xy=V3,

菱形ECGF边CE上的高为3sin60°=3X'=子，

所以阴影部分面积—^BDM+SDFM

=—x0.8xV3H—x0.8x——

222

=V3.

例4

如图⑴所示，平行四边形ABCD中过A作.4M1BC于M,交BD于E,过C作CN±AD于

AND

点N,交BD于F,连接AF,CE.

(1)求证:四边形AECF为平行四边形.

(2)当AECF为菱形,M点为BC的中点时，求AB:AE的值.解析⑴证明一个四边形为平行四B

边形有四种方法：两组对边平行，两组对边相等，一组对边平行且相等，两组对角分别相等，例4图⑴

对角线互相平分.本题也可以采用对角线互相平分来证明.

连接AC交BD于G,如图⑵所示

因为四边形ABCD为平行四边形，

所以/ABC=/CDA,AB〃CD,AB=CD,BG=DG,AG=CG,

所以NABD=NBDC.例4图(2)

因为4M1BC,CN1AD

所以/BAM=NNCD.

因为AB=CD,NABD=NBDC,/BAM=/NCD,

所以△ABE四△CDF,

所以BE=DF.

因为BG=DG,BE=DF,

所以FG=EG.

因为FG=EG,AG=CG,

所以四边形AECF为平行四边形.

(2)因为四边形AECF为菱形，

所以AC与EF垂直且平分，即EG=FG.

由⑴得BE=DF,且EG=FG,

所以AC与BD垂直且平分，

所以四边形ABCD为菱形，即AB=BC.

又因为AMJ_BC,且M点为BC的中点,AB=BC,

所以△ABC为等边三角形.

因为在等腰三角形AEB中，AABE=ABAM=30。,,设AE=1,

所以AB=V3,

所以=V3.

双基训练

1.已知四边形ABCD中,NA与ND互补,/B=l10。,则/C的度数为（）.

A.70°B.90°C.110°D.140°

2在四边形ABCD中，且/A-NC=/D-/BJ5L|().

A.ZA=ZBB.ZA+ZD=180°

C.ZA+ZC=180°D.AD〃BC

3.一个多边形截去一个角后形成另一个多边形，其内角和为720°,那么原多边形的边数为（）.

A.5B.5或6

C.5或7D.5或6或7

4.如图所示，平行四边形ABCD的对角线交于O,且AD=4,△OAD的周长为14,则平行四边形ABCD的对

第4题图

A.4cm<OC<10cmB.4cm<OC<20cm

C.8cm<OC<10cmD.8cm<OC<20cm

6.下列图形中既是轴对称图形，也是中心对称图形的是（）.

7.如图所示,在平行四边形ABCD中,E,F分别为AD,BC中点,AC分别交BE.DF于点M,N,下列结论错误的是

A.AABM^ACDN

1

B.AM=-AC

3

C.DN=2NF

第7题图

D.AAME^ADNC

8.如图所示,将平行四边形ABCD的一边BC延长至E,若NA=45。则NDCE=

AD

AD

O

BCEBEC

第8题图第9题图

9.平行四边形ABCD的对角线相交于O,且ZBWZD,,过点O作OELBD交BC于点E,若△CDE的周长为1

0,则平行四边形ABCD的周长为—.

10.如图所示，在△中,E,D,F为AB,BC,CA的中点,.AB=3,AC=2,,则四边形AEDF的周长为.

11.如图所示，在△ABC中,AB=BC=6,NABC=8(r,BD是NABC的平分线,DE〃BC,贝!]DE=

12如图所示,△ABC中,AAB=AC=13,BC=10,AD为BC边上中点,四边形ADBE为平行四边形，则

S=

四边形ADBE-.

13.如图所示，顺次延长正方形ABCD各边AB,BC,CD,DA至E,F,G,H且使BE=CF=DG=AH=AB=1,,则

四边形EFGH的面积为.

14.如图所示,四边形ABCD为正方形，延长AB到E,使AE=AC,则/BCE的度数为

15.如图所示,在平行四边形ABCD中,AD=4AB,CE平分/BCD交AD于点E,且AE=6,则AB=.

第15题图第16题图

16.如图所示，在四边形ABCD中，对角线4C1BD,垂足为O,点E,F,G,H分别为边AD,AB,CB,CD中点，且有

AC±BD,AC=12,BD=6,则四边形EFGH的面积为.

17.如图所示,在平行四边形ABCD中,E为BC边上一点，延长BC到F,使得.BE=CR若/BAE=30。,则/CDF=_

第17题图第18题图

18.如图所示,在平行四边形ABCD中,/BAD=120o,E,F分别在CD.BC的延长线上,AE〃BD,EF，BC,DF=10j^

EF=.

19.如图所示,在平行四边形ABCD中,BC上有一点E,连接AE,ED在ED上取一点F使得NAFE=NB,若NB=6

第19题图第20题图

20.在平行四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点E在边AD上，且AE:DE=1:3,连接BE,BE与AC相

交于点M,若.AC=隹则MO的长为

能力提升

21.如图所示，平行四边形ABCD中,F为BC边的中点，连接DF并延长交AB的延长线于点E,则下列结论中正

确的个数有().

(1)ZA=ZC;(2)BF=FC;(3)DF=EF;(4)AB=BE;(5)SAADE=SnABCD

A.2B.3C.4D.5

22.如图所示,在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,M,N为对角线AC上两点，且AM=CN,则

下列结论中正确的个数为().

①ZABM=NCDN;②MO=NO;③BM〃DN;④BM=DC

A.①②B.②③C.①②③D.①②③④

23.一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为一.

24.如图所示,D为△ABC内一点,BD，CD,AD=6,BD=4,CD=3,E,F,G,H分别为AB,AC,CD,BD中点，则四边形EF

GH的周长是.

第24题图

25.如图所示,正方形ABCD的对角线AC上取一点E使CD=CE,过E作EF±AC交AD于点F,若AE=x，则FC=

26.如图所示在菱形ABCD中边长为10,乙4=60。,顺次连接菱形ABCD各边中点，可得四边形4道©。1；；

顺次连接四边形4B1C1D1各边中点，可得四边形4B2C2D2；顺次连接四边形2c各边中点，可得四边形

力3B3c3。3；按此规律继续下去，则四边形AzB2c2。2的周长是—；四边形.（。谓⑶2013c2。13。2。13的周长是一

27.如图所示，在正方形ABCD中.E是AB上一点,BE=2,AE=3BE,P是AC上一动点，则PB+PE的最小值为

28.如图所示在直角梯形ABCD中,AB〃DC且,AD1DC,AB=4,,将BC以B为中心，逆时针旋转90。至BE,连

接AE,EC,AABE面积为8,则DC=

第29题图

29.如图所示，在等腰梯形ABCD中，已知AB〃CD,AD=BC,AB=3,DC=6,延长DC至I」F,使AB=CF若ACLBD,则

等腰梯形ABCD的高BE=.

30.在平行四边形ABCD中,AB=2,NB,NC的平分线分别交AD于点E,F,且EF=1,则BC的长为.

拓展资源

3L如图所示,M为AABC的边BC的中点,AN平分/BAC,BN_LAN于点N,已知AB=8,BC=10,MN=5厕△ABC

的周长为

第31题图

32.如图所示，菱形ABCD中,AB=2,NA=120。,点P,Q,K分别为线段BC,CD,BD上任意一点，则PK+QK的最小值

为（）.

A.lB.V3C.2D.V3+1

第32题图

33.如图所示,AB=AC,AD=AE,DE=BC,且NBAD=NCAE,则下列结论中正确的个数有（）.

①/AED=NADE;②4AEB之△ADC;③NABC=60。;④四边形BCDE为矩形

A.lB.2C,3D.4

34.如图所示，在△2BC中,AB=延长BC至点口,使（CD=BC,,点E在边AC上以CE,CD为邻边作平行

四边形CDEF,过点C作交EF于点G,连接BG,DE.

（DZACB与NGCD有怎样的数量关系?请说明理由.

（2）求证：△BCG=ADCE.

34.已知平行四边形ABCD中,AE18C,垂足为E,CE=CD,,点F为CE的中点，点G为CD上一点，连接D

F、EG、AG,N1=N2.

(1)若CF=2,4E=3,求BE的长.

⑵求证:/-CEG=^AGE.

B

第35题图

1-5ADDBA6-7DD

8.135°9.2010.511.3cm12.6013.5

14.22.5°15.216.1817.30°18,5V319.120020.噂

21.D22.C23.624.1125.J4+2缶

26.20,5+5V327.1028.829.|

30.3或531.36

32.B提示:因为四边形ABCD为菱形，

所以AD^BC.

因为/A=120°,

所以乙B=180°-N4=60°.

作点P关于BD的对称点P,连接PQPC,则P'Q的长即为PK+QK的最小值，由图可知，当