2024年中考数学专项复习：垂线段最短（解析版）

II大招垂线段最短模型

模型介绍

0【结论一】

如图直线外一点A到直线上所有点的距离中，垂线段AM最小.

0【结论二】

如图，在三角形ABC中，M、N分别是DE、BC上的动点，连接AM,MN,求AM+MN

的最小值。则有以下结论成立：

过A作BC的垂线，垂足为Q,于DE相交于P,当M、N分别与P、Q重合时，AM+MN

有最小值，即为AQ的长度.

团方法点拨

1.题型特征:

①一定点②动点的运动轨迹为直线

回2.模型本质:过定点作定直线的垂线，垂线段最短.

词蜀例题精讲

【例1].如图，在RtZXABC中，NA4c=90°，AB=5,AC^12,P为边BC上一动点,,PE

_LAB于E,PFLACF,M为EF中点，则AM的取值范围是理

解：连接AP,

'：PE.LAB,PF±AC,：.ZAEP=ZAFP=90°,

\"ZBAC=90°,

四边形AEPB是矩形，.

VZBAC=90°,M为E/中点，：,AM=^-EF=^AP,

22

:在RtZ\ABC中，ZJBAC=90°,AB=5,AC=12,

BC=VAB2+AC2=13,

当AP_L2C时，AP值最小，

此时SkBAC=2X5X12=2X13><AP,

22

即AP的范围是AP2空■,.•.2AM2也

1313

的范围是毁，

13

'：AP<AC,BPAP<12,：.AM<6,

.•.迦WAM<6.

13

故答案为：理•WAM<6.

13

A

A变式训练

【变式1】.如图，三角形ABC中，ZACB=90°,AC=3,8C=4,尸为直线AB上一动点,

连接PC,则线段PC的最小值是理.

—5―

由垂线段最短可知，此时PC最小，

由勾股定理得，AB=«BC2+hC2=142+)2=5,

S^ABC=-XACXBC=—XABXPC,即2X3X4=2X5义PC,

2222

解得，尸c=&,

5

故答案为：12.

5

【变式2】.如图，正方形ABC。的边长为4,/ZMC的平分线交。C于点E,若点尸、。分

别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值是，点.

解：作。关于AE的对称点。'，再过。'作P'于P

'：DD'LAE,

：.ZAFD=ZAFD',

"：AF^AF,ZDAE=ZCAE,

：./\DAF^/\D'AF,

：.D'是。关于AE的对称点，AD'=AD=4,：.D'P即为OQ+P。的最小值,

•••四边形ABC。是正方形，

：.ZDAD'=45°,：.AP'=P'D',.•.在RtZ\AP'D'中，

P'D'2+AP'2=A。'2,AD'2=16,

'CAP'=P'O',

IP'D'2=AD'2,BPIP'D'2=16,：.P'D'=2&,

即DQ+PQ的最小值为26，

故答案为：2瓜

【变式3】.如图，在锐角三角形ABC中，BC=，M，ZABC=45°,2D平分/ABC,M、

N分别是3。、BC上的动点，试求CM+MN的最小值.

解：过点C作CELAB于点£,交BD于点M',过点作N'L2C于N',则

CE即为CM+MN的最小值，

VBC=4A/2，ZABC=45°,平分/ABC,

/.小BCE是等腰直角三角形，

.•.CE=BC*cos45°=4&X返=4.

【变式4】.如图，在菱形ABC。中，A2=AC=10,对角线AC、8。相交于点0,点M在线

段AC上，且AM=3,点尸为线段2。上的一个动点，则MP+工的最小值是上返.

2—2―

:四边形A8CD是菱形，AB=AC=IO,

.,.AB=2C=AC=10,NABD=/CBD,

/.△ABC是等边三角形，

AZABC=ZACB=60°,

AZCB£>=30°,

'：PE.LBC,

：.PE=—PB,

2

:.MP+\PB=PM+PE,

2

当点M,点尸，点E共线且MELBC时，PM+PE有最小值为ME,

'：AM=3,

:.MC=7,

：sinNACB=坦=近，

MC2

2

.•.MP+JiPB的最小值为工Zl,故答案为宏2.

222

实战演练

1.如图，在Rt^ABC中，NC=90°,是NA4c的平分线，点E是AB上任意一点.若

8=5,则。E的最小值等于（）

A.2.5B.4C.5D.10

解：当。E_LAB时，OE的值最小，

•.,AD是NBAC的平分线，ZC=90°,CD=5,

的最小值=8=5,故选：C.

2.如图，在△ABC中，AC=2C=10,ZACB=4ZA,BD平分/ABC交AC于点。，点E,

厂分别是线段BO,BC上的动点，则CE+EF的最小值是（）

解：作C点关于8。的对称点G,过G点作GFLBC交BC于尸，交BD于E,

：.EG=EC,

：.EC+EF=EG+EF=GF,止匕时EC+EF最小，

;①）平分N4BC,

•\G点在AB上,

:.BC=BG,

'：AC=BC=10,

：.BG=10,

ZACB=4ZA,

：.ZA=ZB=30°,

：.GF=^BG=5,

2

；.EC+M的最小值是5,故选：C.

A

G

1TA/

FC

3.如图，在菱形ABC。中，AC=6&,BD=6,£是8C边的中点，P,M分别是AC,AB

上的动点，连接PE,PM,则PE+PM的最小值是（）

D

A.6B.3aC.276D.4.5

解：如图，作点E关于AC的对称点E',过点E'作E'于点M,交AC于点P,

D

则点P、M使PE+PM取得最小值，

PE+PM^PE'+PM=E'M,

•.•四边形ABC。是菱形，

.•.点在CD上，

：AC=6&,BD=6,

•'-AB=7（3V2）2+32=3F,

由S菱形48<7。=2402。=42・石'MW-

2：

解得：E'M=2娓,

即PE+PM的最小值是2注,故选：C.

4.如图，矩形ABC。中，AB=4,AD=2,E为AB的中点，/为EC上一动点，P为DF

中点，连接尸8,则PB的最小值是（）

D.2V2

当点尸与点C重合时，点尸在尸1处，CP1=DP1,

当点尸与点E重合时，点尸在尸2处，EP2=DP2,

：.P尸2〃CE且尸1P2=」CE,

2

当点尸在EC上除点C、E的位置处时，有DP=FP,

由中位线定理可知：PP〃CE且PP=』CE,

2

点P的运动轨迹是线段PlP2,

.,.当时，取得最小值，

:矩形ABCD中，AB=4,AD=2,E为A8的中点，

:.丛CBE、AADE、△8CP为等腰直角三角形，CPi=2,

：.ZADE=ZCDE=ZCPiB=45°,ZDEC=90°,

2Pl=90°,

：.ZDP\P2=45°,

：.ZP2P\B=9Q°,即8Pl_LPIP2,

...BP的最小值为BP\的长，

在等腰直角△BCPi中，CPi=BC=2,

:.BP\=2#1，，网的最小值是26.故选：D.

5.如图所示，在菱形ABCD中，ZA=60°,AB=2,E,尸两点分别从A,B

两点同时出发，以相同的速度分别向终点8,C移动，连接EP,在移动的过

程中，£尸的最小值为（）

A.1B.V2C.D.V3

DC

AEB

解：连接。3,作于反，如图，

..•四边形ABC。为菱形，

：.AD^AB^BC^CD,

而NA=60°,.♦.△ABD和△BCD都是等边三角形，：.ZADB=ZDBC=60°,AD=BD,

在RtAAZM/中，AH=1,A£）=2,；.£>"=«,

'AD=BD

在△ADE和△BOP中，ZA=ZFBD,AAADE^ABDF,：.Z2=Z1,DE=DF

AE=BF

：.Z1+ZBDE=Z2+ZBDE=ZADB=60°,...△£）所为等边三角形，：.EF=DE,

而当E点运动到〃点时，OE的值最小，其最小值为近，的最小值为次.故选：D.

AEHB

6.如图，在△ABC中，ZACB=90°,AC=BC=4,点。是BC边的中点，点P是AC边

上一个动点，连接尸£>,以尸。为边在尸。的下方作等边三角形P。。，连接C。.则C。

的最小值是（）

0

A.叫B.1C.V2D.2

22

解：解法一：如图在8的下方作等边△COT,作射线TQ.

'：ZCDT=ZQDP=60°,DP=DQ,DC=DT,：.ZCDP=ZQDT,

'DP=DQ

在和△TDQ中，，NCDP=NTDQ,:.△CDP/ATDQ(SAS),

DC=DT

：.ZDCP=ZDTQ=90°,

VZCTO=60°,.*.ZCre=30°,.•.点。在射线7。上运动(点T是定点，NCTQ是

定值)，当CQLT。时，CQ的值最小，最小值=LcT=1a>=L8C=l,

224

解法二：如图，CD的上方，作等边△COM,连接PM,过点于”.

°

VADPQ,△QCM都是等边三角形，：.ZCDM=ZPDQ=60°,

"：DP^DQ,DM=DC,：./\DPM^/\DQC(SAS),:.PM=CQ,

...PM的值最小时，CQ的值最小，当时，PM的最小值=力=±。=1,

，C。的最小值为L故选：B.

T

7.如图，在△ABC中，A2=6,SAABC=10,点M是NABC平分线3。上一动

点，点N是8C上一动点，则CM+初V的最小值是.

解：过点C作CELAB于点E,交BD于点、M,过点M作MNLBC于点M

7点M是/ABC平分线上一动点，MELAB,MN±BC,:.MN=ME,

：.MN+CM=ME+CM=CE,

•：CELAB,：.CE是点C到AB最短的线段，即CM+MN的最小值就是线段CE的长度,

在△ABC中，AB=6,SAABC=10,又：上乂小==8钻。，AX6XCE=10,

22

：.CE=—

3

故答案为改.

3

8.如图，在直角△ABC中，NABC=90°,A。平分/BAGE、尸分别为线段

AD,AB上的动点，其中AB=8,AC^10,BD=里,贝UBE+EF的最小值

3

解：过点。作。。工4？交于点夕，过夕作B/LAB交4。于点E,交48于点R

VZABC=90°,AD平分/BAG；.BD=B'D,：.RtAADS'RtAADB(HL),

与夕关于对称，.,.要求8E+EF的最小求g尸的最小即可，

VAB=8,AC=10,BD=&,:.B'D=&,BC=6,

33

'：AB=AB',：.AB'=S,

,.•sin/C42=&=支1=艺上，尸=建，.♦.BE+M的最小值为建，故答案为处.

10AB78555

C

9.如图，正方形A8C£）的边长为2,E是的中点，F,G是对角线AC上的两个动点,

且FG二®连接EF,BG,则EF+BG的最小值为_遥_.

解：如图，取BC的中点E,连接EE,GE,

；E为AB的中点，

；.EE为△ABC的中位线，即E£〃AC,且EE=』AC,

2

正方形ABCD的边长为2,

，AC=VAB2+BC2=2加，

：.EE=-^AC=y/2<

,:FG=®

：.EE=FG,且EE=FG,即四边形EEGF为平行四边形，

：.EF=EG,

连接DG,DE,根据正方形的对称性可知，BG=DG,

：.EF+BG=EG+DG,

根据两点间线段最短可得，当点E,G,。在同一直线上时，EG+OG取得最小值,

即此时EF+BG的最小值为线段ED的长度，

连接EG,则在Rtz\E'CZ）中,

；EC=1,CD=2,

ED=&'12长02=V5，

故EF+BG的最小值为遥，

故答案为：Vs-

10.如图，在菱形ABC。中，A=60°,AB=6.折叠该菱形，使点A落在边8C上的点M

处，折痕分别与边AB,交于点E,F.当点M的位置变化时，。尸长的最大值为6

解：连接40交所于点。，过点。作。于点K,交BC于点T,过点A作AGL

OKLCG,

.*./G=NAKT=NGTK=90°,

四边形AG7X是矩形，

：.AG=TK=AB^sin6Q°=3«,

•.•折叠该菱形，使点A落在边BC上的点“处，

J.OA^OM,NAOK=NMOT,NAKO=NMTO=90°,

...△AOK<△MOT(AA5),

：.OK=OT=^^~,

2

OK±AD,

：.OR^OK=^^-,

2

VZAOF=90°,AR=RF,

.•.AF=2OR23«,

尸的最小值为3«,尸的最大值为6-3«.故答案为：6-3A/3.

11.如图，边长为8«的等边三角形ABC中，E是对称轴上的一个动点，连接EC,将

线段EC绕点C逆时针旋转60°得到FC,连接DF,则在点E运动过程中，DF的最小值

由旋转可得，CE=FC,NECP=60°,;△ABC是等边三角形,

J.AC^BC,ZACB=60°,:./ACE=NBCF,

AC=BC

在△ACE和△BCF中，,ZACE=ZBCF,.,.△ACE^ABCF(5A5),：.ZCBF=ZCAE,

CE=CF

,/边长为8的等边三角形ABC中，E是对称轴AD上的一个动点,

：.ZCAE^30°,BD=4近,AZCBF=30°,

即点尸的运动轨迹为直线2凡.,.当。尸，2尸时，最短，

此时，。尸=/2£)=/*4«=2\巧，上。尸的最小值是2«

故答案为2近.

12.如图，在RtZkABC中，NC=90°,AC=3C=8,点尸为AB的中点，E为BC上一动

点，过C、E、P三点OO交AC于F点，连接EF,则EF的最小值为.

解：•.•经过P、E、尸三点确定。。，由圆周角定理可知：。。的直径为EF,

连接PC,PF,PE,,：AC=BC=S,...△ABC是等腰直角三角形，

丁点尸是AB的中点，；.CP平分NACB,AZACP=45°,：.ZACP=ZPEF=45°,

...△EEP是等腰直角三角形，.../‘E=&PE,当PEJ_3C时，PE最小，即EF最小，

此时PE=*AC=4,的最小值=4加，故答案为：4后.

13.如图，在平面直角坐标系中，点P,A的坐标分别为(1,0),(2,4),点8是y轴上

一动点，过点A作ACLA8交无轴于点C,点M为线段8c的中点，则PM的最小值为

解：如图，过点A作AFJ_y轴于点R连接AM,OM,

'：ZBAC=ZBOC=90a,M为3c中点，

C.AM^OM,

...点M在线段AO的垂直平分线上，

作线段A。的垂直平分线交y轴，无轴于点E,当PMLDE,PM最小,

连接A£),则AD=OD,

：.AF^2,0F=4,

设O£)=A£)=r,贝U尸£)=4-t,

\"FD2+AF2=AD2,

：.(4-t)2+22=?,

VZFOA+ZAOE^90°,ZAOE+ZOED^90°,

：.ZFOA=ZOED,

VZAFO^ZDOE^90°,

/.△FM)sMODE,

.AFOF

••----—"9

ODOE

即AF'OE=OD'OF,

：.OE=5,

；P(1,0),

，PE=4,

在RtAAFO中，

OA=7QF2+AF2=2脏，

当RW_L£)£时，PM最小,

AZPME=ZAFO=90°,

APMEsAAFO,

.PMPE

••-

AFOA

.PM4

••----=----^=~f

2275

5

故答案为：生区.

5

14.如图，菱形ABC。中，48=4,乙4=60°,点E为AB上一点，连接。E,以。E为斜

边作等腰直角三角形EOF,NEFD=90°,则8尸的取值范围是.

解：如图1,以A£＞为斜边在下方作等腰直角△AGD,

ZADG=ZEDF=45°,：.ZADE=ZGDF,:.△ADEs^GDF,

.../。6尸=/04£=60°,，点产的运动轨迹是6尸,，8尸的最短距离为工义2&=&；

2

如图2,当点E移动到点8时，BF最大,在等腰直角三角形BOF中,

BF=*~BD=2版,所以BF的取值范围为2近-2WBFW2®

故答案为：版WBFW2®

15.如图，RtZXABC中，ZACB=90°，AC=BC=l,动点M、N在斜边AB上，ZMCN

=45°,求MN的最小值.

图①

,:NMCN=45°,在AB上方以MN为斜边作等腰RtZ^MOM

以OM为半径作△CMN的外接OO,连接OC、OM.ON,

取MN的中点为尸，AB的中点为。，连接。尸、CP、CQ,

设。的半径为r,在RtZiABC中，AC=BC=\,

在Rt^/ON中，OM=ON=r,

，CQ=亚，0P=亚厂，MN=y/2r.

22

OC+OP2cp2C。,:.噂GCP噜.

如图②,

图②

当且仅当点C、。、P共线，且CP与C。重合时，叶亚厂=亚，

22

此时r最小，解得r=J5-l,MN=Mr=2-五,即MV的最小值为2-&.

16.如图，四边形ABCD是菱形，AB=4,且NA8C=60°,M为对角线(不含B点)

上任意一点.

(1)求AW+8M+CM的最小值；

(2)求的最小值.

解：（1）连接AC,MC,将△BCM绕点B逆时针旋转60°得△B4A/',再将绕

点8逆时针旋转60°得△54'M',连接C4',与A8交于点E,如图，则A'M'=

AM,BM'=BM,A1B=AB=BC=4,AABA1=ZABC=60°,ZABM'=ZCBM=

：.AM+BM+CM=A'M+MM'+CM^A'C,

当A'、M'、M、C四点共线时，AM+BM+CM^A'M+MM'+CM^A'C的值最小,

22

此时A'C=2CE=2^BC2_BE2=274-2=4V3-

故AM+BM+CM的最小值为473；

(2)如图，过点A作4T_LBC于T,过点M作于H.

•.,四边形ABCD是菱形，ZABC=60°,

：.ZDBC=^ZABC=30°,

2

:.NBHM=90°,

2

AM+—BM=AM+MH,

2

'：AT±BC,

：.ZATB=90°,

：.AT=AB-sm60°=2我，

"：AM+MH^AT,

：.AM+MH^243>

„+工8〃与2«,

2

：.AM+^BM的最小值为2丁百，

故答案为：2«.

17.如图，二次函数y蒋x2-2x的图象与X轴交于。、A两点，顶点为C,连接OC、AC,

若点B是线段0A上一动点，连接BC,将△ABC沿BC折叠后，点A落在点A'的位置，

线段A'C与x轴交于点。，且点。与。、A点不重合.

(1)求点A、点。的坐标；

(2)求证：20CDsBD；

(3)求理的最小值.

BA

AA(4,0),

V±2_=A(尤-2)2-2,

vy=22X2

：.C(2,-2),

的坐标为(4,0),C的坐标为(2,-2)；

图1

由翻折得：ZOAC=ZA',

由对称得：OC=AC,

：.ZAOC=ZOAC,

：.ZCOA=ZA',

:ZA'DB=ZODC,

：./\OCD^/\A'BD；

(3)解：,：XOCDsXNBD,

•0CCD

,•----:------=-------,

A'BBD

'：AB=A'B,

.BD=CD

"AB0C'

.•.里的最小值就是生的最小值,

AB0C