2024年中考数学压轴题突破训练：三角形的相关概念及性质（原卷版+解析）

压轴热点考点08三角形的相关概念及性质

压轴突破—2024年【中考・冲刺】数学高频热点考点好题精编

一、单选题

1.平面内，将长分别为2,4,3的三根木棒按如图方式连接成折线A-3-C-。，其中43可以绕点B任

意旋转，保持NC=90。，将A,。两点用绷直的皮筋连接，设皮筋长度为d,则d不可能是（）

2.如图，ABC中，AO是/54C的平分线，BE是中线，AD与BE交于点F,于点连接CO,

且AC=C£>,四边形ABDC的面积是27,则V3Z>的面积与尸的面积之差为（）

A.27B.18C.9D.3

3.如图，已知ABC内接于O,ZBAC=0（O<3<6O°）,BC=6,点、P为ABC的重心，当点A到2C

的距离最大时，线段尸O的长为（）

21

B.

tan0sin0tan0sin0

C.tang—2sineD.2tan9-sing

4.有一内角是30。的直角三角尺CDE与直尺如图放置，三角尺的斜边与直尺交于点R若NCDE的平分

线。G平行于直尺的短边AB,则NABC的度数是（）

D

C.20°D.30°

5.物理学光的反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位

于法线两侧；入射角等于反射角.这就是光的反射定律.如图，两平面镜与3C的夹角为a,一条光线

经过两次反射后，ZAEF=NGEB,ZBGE=ZCGH,仍可以使入射光线E尸与反射光线G〃平行但方向

相反，则a的度数为（）

C.90°D.100°

6.某驱逐舰在海上执行任务后刚返回到港口A,接到上级指令，发现在其北偏东30。方向上有一艘可疑船

只C,与此同时在港口A处北偏东60。方向上且距离10km处有另一艘驱逐舰8也收到了相关指令，驱逐舰

3恰好在可疑船只C的南偏东30。的方向上，则可疑船只C距离港口A的距离为（）

A

A.述kmB.坦叵kmC.迎鼠mD.10瓜m

333

AR3

7.如图，在矩形A3CD中，E是边8上的一动点，以AE为直径的）0经过边上的一点孔若

BC4

CF

使一ZME最小，则当的值为（）

8.在数学拓展课上，有两个全等的含45。角的直角三角板ADE,A3C重叠在一起.李老师将三角板ADE

绕点A顺时针旋转（保持/班£<90。），延长线段,与线段CB的延长线交于点/（如图所示），随着N54E

的增大，C尸-EF的值（）

A.一直变小B.保持不变C.先变小，后变大D.一直变大

二、填空题

9.如图，已知ABC的面积为18,点/和点N分别为A8边和8C边上的中点，分别连接AN、CM相交

于点尸.

（1）PN:PA=；

（2）的面积为.

10.如图，在..ABC中，点。在3C边上，沿AD将，ABC折叠，使点C与BC边上的点C'重合，展开后得

到折痕。.

BCDC

（1）折痕”是ABC的；（填“角平分线”“中线”或“高”）

（2）若NB4C'=15。，则NC比，B的度数大°.

11.如图，已知，ABC的面积为12,结合尺规作图痕迹所提供的条件可知，的面积为

I

12.如图，双骄制衣厂在厂房。的周围租了三幢楼A、2、C作为职工宿舍，每幢宿舍楼之间均有笔直的

公路相连，并且厂房。与每幢宿舍楼之间也有笔直公路相连，且BC>AC>AB.已知厂房。到每条公路

的距离相等.

（1）则点。为‘ABC三条的交点（填写：角平分线或中线或高线）；

（2）如图，设3c=a,AC=b,AB=c,OA=x,OB=y,OC=z,现要用汽车每天接送职工上下班

后，返回厂房停放，那么最短路线长是.

13.如图，直线a,b,c在同一平面内，直线a,c交于点。，4=75。，/2=50。.

（1）a,b相交所成的锐角为。；

（2）保持直线b,c固定不动，直线a绕点。最少旋转。时，可使直线

14.如图，在一ABC中，BC=10,AC=8,ZC=30°.若将，ABC沿EF折叠，点A与边BC的点。恰

好重合，点H,G分别在8。，8上.将ABC沿E”折叠，点B与点。恰好重合.将ABC沿FG折叠，

点C与点。恰好重合，则四边形ER汨的周长为.

15.如图，在AABC中，AB=4,点P为AC边上一点，PELAB于点E,PFL8C于点孔将NA、/C分

别沿PE、尸尸折叠，使点A、C分别落在边A3、BC上的点G、H处.

(1)当/8=50。时，则NGPH=.

(2)当四边形BHPG为平行四边形时，则PE+PF的值为

3

16.如图，AABC中，ZB=90°,BC=3,AB=5,ZA=a,易知tana=-,聪明的小强想求tan2a的值,

于是他在AB上取点。，使得CZ)=A。，贝Utan2a的值为

17.如图，城市A发生了小型地震，地震发生后，城市8的甲救援队与城市C的乙救援队同时接到讯息,

同时乘直升机赶往城市A.城市C在城市8的正东方向，城市A位于城市8的北偏东60。方向上，位于城

市C的北偏东29。方向上，己知城市A,8之间的距离为100km.若甲救援队的飞行速度为90km/h,乙救

援队的飞行速度为60km/h.问哪支救援队先到达城市A?请说明理由.(参考数据：sin29°»0.48,

cos29°«0.87,tan29°«0.55,sin310-0.52,cos310-0.86,tan31°®0.60,石«1.73)

18.某校数学兴趣小组模仿七巧板制作了一副如图所示的五巧板，①和②分别是等腰RtABE和等腰

RtBCF,③和④分别是RtCDG和RtDAH,⑤是正方形EFGH.这副五巧板恰好拼成互不重叠也无缝

隙且对角互补的四边形ABCD,直角顶点E,F,G,"分别在边3尸，CG,DH,AE上.

⑴求证：ZADH=NDCG；

(2)若AH="E=2,求。G的长;

DG5.DA_

⑶若“求而的值.

GH

19.如图,已知：ABC,M为边AC上一动点，AM=mMC,D为边BC上一动点、,BD=nDC,8M交AD

于点N.

(1)【问题提出】三角形的三条中线会相交于一点，这一点就叫做三角形的重心，重心有很多美妙的性质,

请大家探究以下问题

若心〃，则深=

=1(直接写出结果)

BN

(2)【问题探究】若加=1,猜想与“存在怎样的数量关系？并证明你的结论

MN

s

(3)【问题拓展】若"7=1,〃=2,则…=______(直接写出结果)

D四边形CDNM

20.如图，ABC中，AB=40m,AC=20m,ABAC=150°.

(1)尺规作图：作ASC的高CH,垂足为H；(不写作法，保留作图痕迹)

(2)要在空地ABC上种植草皮美化环境，已知这种草皮每平方米。元，则购买这种草皮一共需要多少元?

压轴热点考点08三角形的相关概念及性质

压轴突破—2024年【中考・冲刺】数学高频热点考点好题精编

一、单选题

1.平面内，将长分别为2,4,3的三根木棒按如图方式连接成折线A-3-C-O,其中可以绕点8任

意旋转，保持NC=90。，将A,。两点用绷直的皮筋连接，设皮筋长度为d,则，不可能是（）

【答案】D

【分析】连接50,根据勾股定理可得的长，在分两种情况讨论即可;

【详解】连接50,则BD=432+41=5-

如图1,当点A在线段8。上时，d=5-2=3；

如图2,当点A在03的延长线上时，4=5+2=7,

的取值范围为3W4V7,

故选：D.

【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用、三角形的三边关系，解题的关键是构造直角三角形，利用勾股

定理求出BD.

2.如图，ABC中，AD是NBAC的平分线，3E是中线，AD与BE交于点、F,于点连接CD,

S.AC=CD,四边形ABDC的面积是27,则V3D尸的面积与△AEF的面积之差为（）

A

A.27B.18C.9D.3

【答案】C

【分析】延长AC,交5。的延长线于点G,证明BDA=^GDA(ASA),可得BD=G。，SABD=^S

再证明CD=CG,可得2As从而可得SABO=2SA8，由四边形ABDC的面积是27,

可得S.=S板=18,再根据m是ABC的中线，可得S.=9,从而求得S®-Sa.=9,即可求解.

【详解】解：延长AC,交3。的延长线于点G,如图所示，

•・•AD是/BAC的角平分线，

：.ZBAD=ZGADf

9：BD±AD,

：.NBDA=NGDA,

在△B/M和△G/M中，

/BAD=NGAD

<AD=AD,

ZBDA=ZGDA

：.,BDA=GDA(ASA),

:.BD=GD,

•,SABD=5SABG，

,:AC=CD,

：.ZCAD=ZCDA,

ZADG=9Q0,

：.ZCAD+ZAGD=90°,

・•.NCDG=ZAGD,

:・CD=CG,

,:AC=CG,

,,SACD=万$,ADG=WSABG，SABC=]ABG=gABD，

••0ABD-ZPACD，

,/四边形ABAC的面积是27,

SABD=SABC=18,

；BE是A6C的中线,

•••0VABE—=9>'

••-5^-5^=18-9=9,

NBDF的面积与△AEF的面积之差为9,

故选：C.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形中线的性质、角平分线的定义，添加合适的辅助线

构造全等三角形是解题的关键.

3.如图，已知ASC内接于O,ZBAC=3(0<0<60°),3C=6,点尸为ABC的重心，当点A到BC

的距离最大时，线段PO的长为（

2]

B.

tan0sin0

C.tang—2sin£D.2tan9-sing

【答案】B

【分析】根据题意作出对应的图形，连接OC,B0,得AHLBC,由垂径定理得BH=g8C=3,再由

翁*京，si"=黑，2。=亮,半径相等，爪看再由点尸为g重心,

222

可知AP=7AH,得AP=--+——,最后列式OP=AP—49即可.

3tanusin6

【详解】解：如图所示，连接A0,过点。作0"，3c于"，连接0C,B0,如图所示，设点A到BC的

距离为h：

9：h<OA+OH,

・•・当点A到的距离最大时，AO,H三点共线,

：.AH±BC,BH=LBC=3,

2

•・・NBAC=，(0v，v60。),

AZBOC=20,ZBOH=0,BH=-BC=3,

2

八BHsin八也

;在RtBOH,tan6=-----,

OHOB

33

・•.OH=------,BO=——，

tan。sin。

;AO=BO,

333

AAO=——,AH=AO+OH=------+——

sin0tan0sin0

・・,点尸为，ABC的重心，

AP=-AH=-(AO+OH)=-x(^—+^—]=-^—+^—

33'3<tansin0)tansin0

22321

.・.OP=AP-AO=----+------；—=-------；—,

tan0sin0sin0tan0sin0

故选：B.

【点睛】本题主要考查的是解直角三角形以及三角形的重心，正确掌握三角形的重心是三条中线的交点是

解题的关键.

4.有一内角是30。的直角三角尺CDE与直尺如图放置，三角尺的斜边与直尺交于点尸.若NCDE的平分

线。G平行于直尺的短边则NAFC的度数是（）

D

【答案】B

【分析】本题考查了平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键.

设。G与■交于点根据角平分线的定义和外角的性质求得NDGE="CE+/CDG=75。，然后利用

直角三角形两锐角互余计算求解.

【详解】解：设DG与AF交于点如图，

NCDG=-ZCDE=45°,

2

NDCE=30。,

：.ZDGE=ZDCE+ZCDG=75°,

DG//AB,ABYAF,

：.DG±AF,即/GMF=90°,

/.ZAFC=90°-ZDGE=15。，

故选：B.

5.物理学光的反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位

于法线两侧；入射角等于反射角.这就是光的反射定律.如图，两平面镜与3C的夹角为a,一条光线

经过两次反射后，ZAEF=ZGEB,NBGE=NCGH,仍可以使入射光线E尸与反射光线GH平行但方向

相反，则a的度数为（）

A

A.60°B.80°C.90°D.100°

【答案】C

【分析】分别过点E、G作即，AB,DGA.BC,垂线相交于点由入射角等于反射角，可得

NGED=g/GEF,NEGD=；NEGH,再根据平行线的性质可得NGEb+NEG”=18O。，即

NEGD+NGED=90。，再由43EG+NGEZ)=9O。，NBGE+NEGD=90。,可得ZfiEG+/BGE=90。，再

利用三角形内角和定理即可求解.

【详解】解：分别过点E、G作田，AB,DGLBC,垂线相交于点Z),

•••入射角等于反射角，

AGED=-NGEF,ZEGD=-ZEGH,

22

:EF//GH,

：.ZGEF+ZEGH=180°,即2NGED+2NEGD=180°,

ZGED+ZGED=90°,

又ZBEG+ZGED=90°,ZBGE+NEGD=90°,

/.ZBEG+NBGE=90。,

Za=180°-(ZBEG+ZBGE)=180°-90°=90°,

故选：C

【点睛】本题考查平行线的性质、三角形内角和定理，理解题意，熟练掌握平行线的性质是解题的关键.

6.某驱逐舰在海上执行任务后刚返回到港口A,接到上级指令，发现在其北偏东30。方向上有一艘可疑船

只C,与此同时在港口A处北偏东60。方向上且距离10km处有另一艘驱逐舰8也收到了相关指令，驱逐舰

3恰好在可疑船只C的南偏东30。的方向上，则可疑船只C距离港口A的距离为（）

,'C

1

1

A.施kmB.C.20,小D.106km

33

【答案】c

【分析】由题目条件NC4B=30。，ZACB=6O°,得到是直角三角形，由/ACB的正弦定义即可求

解.

【详解】解：船只C在港口A北偏东30。方向，3在港口A处北偏东60。方向，

.•.ZG4B=60°-30o=30°,

.驱逐舰B在可疑船只C的南偏东30。的方向上，

,-.ZACB=30°+30°=60°,

ZABC=180°-30°-60°=90°,

AB

sinZACB=-----,AB=10km,

AC

.-.AC=AB=

sinZACBsin6003

故选：C.

【点睛】本题考查了解直角三角形-方位角的应用,.三角形内角和定理，熟练掌握特殊角的三角函数值是解

题的关键.

7.如图，在矩形ABCD中，—7,£是边。上的一动点，以AE为直径的O经过BC边上的一点尺若

BC4

CF

使1D4E最小，则修的值为（）

DE

Q

4

A.1B.一C.-D.-

543

【答案】B

【分析】根据NZME最小得到以AE为直径的与8C相切于点F,设」。与AB交于点G,连接EG,OF,

EG与OF交于点H,设筋=3尢，则BC=43设BG=EC=x,贝=-x,OF=^(3k+x),

AE^2OF^3k+x,利用矩形的性质，圆的切线的性质，圆周角定理和勾股定理求得x值，即可得到答案;

【详解】解：最小，

；.AE为直径的O与2C相切于点K如图所示，

设(。与43交于点G,连接EG,OF,EG与OF交于点H,

•..四边形ABCD是矩形，

.•.々="=90。，AD=BC,AB=CD,

；AE为直径，

/AGE=90。，

NBGE=90。,

，四边形5CEG是矩形，

BG=EC,

,/BC为二。的切线，

/.OF±BC,

：.OF//AB//CD,

：.OF为梯形ABCE的中位线，

/.OF=1(AB+CE),

••丝=3

BC4'

：.T^AB=3k,则5c=4左，设BG=EC=x,贝ij£)E=3Z—尤,

O斤=；(3人+尤)，

/.AE-2OF—3k+x,

在Rt^ADE中，

AD2+DE2=AE2,

：.(4左了+(3左一尤y=(3%+x)2,

4

解得：x=—k,

4

EC=-k,

3

DE=CD-CE=-k,

3

・3__4

DE55

—k

3

故选：B；

【点睛】本题主要考查了矩形的性质，圆的有关性质，圆周角定理，切线的性质定理，梯形的中位线定理，

勾股定理，利用已知条件确定出符合条件的图形是解题的关键.

8.在数学拓展课上，有两个全等的含45。角的直角三角板ADE,A3C重叠在一起.李老师将三角板ADE

绕点A顺时针旋转（保持NBAE<90。），延长线段DE,与线段CB的延长线交于点尸（如图所示），随着NBAE

的增大，CF-EF的值（）

A.一直变小B.保持不变C.先变小，后变大D.一直变大

【答案】B

【分析】利用证明RtABF^RtADF,得BF=DF,从而CF-EF=2BC,则可得出结论.

【详解】解：如图，在FC上截取FG=FE,连接AG,AF,

由题意得：ZABF^ZADF^90°,AB=AD,DE=BC,

在RtAB尸和Rt4加中，

AF=AF

AB=AD

.'.RtABF=RtADF(HL),

:.BF=DF,

:.CF-EF=BC+BF-EF=BC+DE+EF-EF=BC+DE=2BC,

.•.CF-EF的值保持不变.

故选：B.

【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，熟记旋转的性质是解题的关键.

二、填空题

9.如图，已知ABC的面积为18,点M和点N分别为A8边和3C边上的中点，分别连接AN、CM相交

于点P.

(1)PN:PA=；

(2)的面积为.

【答案】1:26

【分析】(1)利用中位线的性质，证明△PMNs/\pc4,即可解答;

(2)根据同高的两个三角形之比等于底边之比即可解答.

【详解】解：(1)点M和点N分别为AB边和BC边上的中点，

.•.山〃4(7且加=以。，

2

ZPMN=ZPCA,ZPNM=ZPAC,

:.APMNSAPCA,

:.PN:PA=MN:AC=1:2-,

(2)QPN:PA=1:2,

.u△APC_2

'△PCN

221

S/\PAC~]S^ANC^AABC=6.

故答案为：1:2；6.

【点睛】本题考查了中位线的判定及性质，中线的性质，利用等高的三角形的面积之比为底边之比是解题

的关键.

10.如图，在二ABC中，点。在BC边上，沿AD将.ASC折叠，使点C与BC边上的点C'重合，展开后得

到折痕。.

(1)折痕。是ASC的；(填“角平分线”“中线”或“高”)

(2)若/BAC'=15。，则NC比N3的度数大

【答案】高15

【分析】(1)由折叠的性质结合三角形角平分线，中线，高的定义即可判断；

(2)由折叠的性质结合三角形外角的性质即可求解.

【详解】(1)由折叠的性质可知ADJ.BC,ACAD=ACAD,CD=ZC'D,

二折痕。是ABC的高.

故答案为：高；

(2):由折叠的性质可知NC=NACZ>,ZAC'D=ZB+ZBAC,

：.ZC-ZB=ZAC'D-ZB=ABAC=15°.

故答案为：15.

【点睛】本题考查折叠的性质，三角形角平分线，中线，高的定义，三角形外角的性质.熟练掌握上述知

识点是解题关键.

11.如图，已知ABC的面积为12,结合尺规作图痕迹所提供的条件可知，的面积为.

I

【答案】4

【分析】由作图知M,N分别为他的中点，利用中位线定理得出MN再利用等底

同高三角形面积相等得SACM=12,最后利用相似比得出面积比，即可得解;

【详解】连MN,由作图知N分别为AB,8c的中点，

MNAC,MN=-AC,

2

由等底同高三角形面积相等得sACM=SBCM=：xSABC=：x12=6

•22

又・.,4W〃AC

ZPAC=ZPNM,ZPCA=NPMN,

：.-ACPNMP

.MPMN_1

**PC-^4C-2

・PC_2_2

**CM-l+2-3

,22

S--=-x6=4

APC3ACM3

故答案为：4

【点睛】本题考查了尺规作图，三角形的中位线，相似三角形的判定和性质，三角形中线的性质等知识点，,

熟练掌握其性质是解决此题的关键.

12.如图，双骄制衣厂在厂房。的周围租了三幢楼A、B,。作为职工宿舍，每幢宿舍楼之间均有笔直的

公路相连，并且厂房。与每幢宿舍楼之间也有笔直公路相连，且已知厂房。到每条公路

的距离相等.

（1）则点。为二.ABC三条的交点（填写：角平分线或中线或高线）；

（2）如图，设3。=。，AC=b,AB=c,OA=x,OB=y,OC=z,现要用汽车每天接送职工上下班

后，返回厂房停放，那么最短路线长是.

【答案】角平分线y+c+b+z

【分析】(1)根据角平分线上的点到角两边的距离相等，进行作答即可;

(2)根据题意，得到三条路线，在上截取=连接。E,证明，丝EBO(SAS),利用三角

形的三边关系，即可得到最短路径.

【详解】解：(1)•••厂房。到每条公路的距离相等，

二点。为ABC三条角平分线的交点；

故答案为：角平分线.

(2)如图：

有三条路线可走：dl=x+c+a+z,d2=x+b+a+y,d3=y+c+b+z,

在3C上截取=连接0E,

:点。为ASC三条角平分线的交点，

ZABO=ZOBE,

在，450和E3O中，

AB=BE

<乙ABO=ZOBE,

BO=BO

：.tA3O乌EBO(SAS),

Z.OA=OE,AB=BE,

在(ECO中，y-x<a-b,

4-4<。，

同理&一d,<0,

二4最短，

即最短路线长为：y+c+b+z.

故答案为：y+c+b+z.

【点睛】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系.熟练掌握相关知识点

并灵活运用，是解题的关键.

13.如图，直线a,b,c在同一平面内，直线a,c交于点。，4=75。，Z2=50°.

(1)a,b相交所成的锐角为°；

(2)保持直线b,c固定不动，直线a绕点。最少旋转。时，可使直线0，6.

【答案】2565

【分析】(1)由三角形外角的性质得到NA=N1-N2=75。-50。=25。，即可得到〃，6相交所成的锐角;

(2)过点。作03,，于点B,垂足为点B,则=90。，根据三角形内角和定理得到

Z3=180°-ZA-ZABO=65°,即可得到答案.

【详解】解：如图，直线。相交所成的锐角为-A,

c

：.ZA=Z1-Z2=75°-50°=25°,

即6相交所成的锐角为25。,

故答案为：25

(2)如图，过点。作03,6于点2,垂足为点2,

则NAFO=90°,

,?ZA+Z3+ZABG>=180°,

/.Z3=180°-ZA-ZABO=180°-25°-90°=65°,

即直线。绕点。最少旋转65。，可使直线°工人

故答案为：65

【点睛】此题考查了三角形外角的性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握三角形外角的性质、三角形

内角和定理是解题的关键.

14.如图，在ABC中，BC=W,AC=8,ZC=30°.若将，ABC沿E尸折叠，点A与边8c的点。恰

好重合，点H,G分别在BO,CD上.将ABC沿E"折叠，点B与点。恰好重合.将ABC沿FG折叠,

点C与点。恰好重合，则四边形加的周长为.

［分析】将uABC沿EF折叠，点A与边5c的点。恰好重合,得的是.ABC的中位线,可证明四边形EFGH

为矩形，根据NC=30。，可得/G=2,即可解答.

【详解】解：：将ABC沿所折叠，点A与边BC的点。恰好重合，

；.EF是ABC的中位线，

/.EF=-BC=5,EF//BC,AF=FC=-AC=4,

22

由折叠的性质可得：EHIBC,FG工BC,

:.EFLEH,GF±EF,

：.ZEHG=ZHGF=NHEF=ZEFG=90°,

二四边形£7^汨为矩形，

"?ZC=30°,

FG=-FC=2,

2

二四边形EFGH的周长为2(EF+PG)=2x7=14,

故答案为：14.

【点睛】本题考查了翻折变换，三角形中位线定理，含30。角的直角三角形，矩形的判定与性质，解决本

题的关键是掌握上述知识点.

15.如图，在AABC中，43=4,点尸为AC边上一点，PELAB于点E,PFLBC于点尸，将NA、/C分

别沿PE、尸尸折叠，使点A、C分别落在边A3、BC上的点G、H处.

(1)当/8=50。时，则NGPH=.

(2)当四边形BHPG为平行四边形时，则PE+尸尸的值为.

【答案】80°273

【分析】(1)根据三角形的内角和与折叠的性质即可求解；

(2)根据四边形8HPG为平行四边形时得到△ABC是等边三角形，再根据解三角形的性质即可求解.

【详解】(1)当NB=50。时,则/A+NC=130°,

由折叠可得，ZAGP=ZA,/PHC=/C,

：.ZAGP+ZPHC=\?>00,

：.ZAPG+ZCPH=(180°-ZA-ZAGP)+(180°-ZC-ZP//C)=360°-(ZA+ZC)-CZAGP+ZPHC)=100°,

AZGPH=18O0-(NAPG+NCPH)=80°,

故答案为：80°；

(2)当四边形为平行四边形时，AB//PH,GP//BC,

：.ZAGP=ZB,NPHC=NB,

VZAGP=ZA,ZPHC=ZC,

：.ZA=ZB=ZC,

.,.△ABC是等边三角形，AC=AB=4,

：.ItRt^AGPRt^PCF,PE+PF=APcos600+PCcos600=(AP+PC)cos600=ACcos60°=4x=273,

2

故答案为：2石.

【点睛】此题主要考查平行四边形与几何综合，解题的关键是熟知平行四边形的性质、三角形内角和定理、

折叠的性质、解直角三角形的方法.

,,3

16.如图，△ABC中，ZB=90°,BC=3,AB=5,NA=a,易知tana=y,聪明的小强想求tan2a的值,

于是他在A3上取点。，使得CZ)=A。，则tan2a的值为.

【答案】V

O

【分析】根据等边对等角可得NA=NACZ),再利用三角形的外角可知NCD8=2a,然后在7？公。8中利

用勾股定理先求出BD即可解答.

【详解】解：

/.ZA^ZACD,

是△ACO的外角，

ZCDB=ZA+ZACD=2a,

在用ACDB中，设8。为x,则A0=CO=5-X,

•；BC2+BD2=CD2,

A32+x2=(5-x)2,

.*.x=1.6,

：.BD=1.6,

tan2oc——,

8

故答案为：v-

o

【点睛】本题考查等腰三角形性质，三角形外角性质，勾股定理，锐角三角函数定义，掌握等腰三角形性

质，三角形外角性质，勾股定理，锐角三角函数定义解题关键.

三、解答题

17.如图，城市A发生了小型地震，地震发生后，城市8的甲救援队与城市C的乙救援队同时接到讯息,

同时乘直升机赶往城市A.城市C在城市5的正东方向，城市A位于城市3的北偏东60。方向上，位于城

市C的北偏东29。方向上，已知城市A,8之间的距离为100km.若甲救援队的飞行速度为90km/h,乙救

援队的飞行速度为60km/h.问哪支救援队先到达城市A?请说明理由.(参考数据：sin29°®0.48,

cos29°®0.87,tan29°«0.55,sin31°®0.52,cos31°~0.86,tan31°®0.60,石»1.73)

【答案】乙救援队先到达城市A.理由见解析

【分析】本题考查了解直角三角形的应用，三角形内角和定理，含30。的直角三角形.解题的关键是掌握

直角三角形的有关性质和三角函数的定义及其应用，三角函数的应用题常常需要作垂线段，构造直角三角

形.

法一：如图1,过点A作AD13C的延长线于点。.则AO=；A8=50km,甲救援队到达城市A所用的时

间为华=粤=次h),则乙救援队到达城市A所用的时间约为尝然后比较时间的大小关

9090960cos290-60

系并作答即可;法二:如图2,过点C作CD，AB,垂足为。.设CD=xkm,则3。=—=氐(km).由

三角形内角和定理可求/A=31。，则AO=Z“：x(km).由8D+AD=AB可得氐+：x=100,即可求

tanA33

^=150(373-5),乙救援队到达城市A所用的时间约为罢=二半左，然后比较时间的大小关系并作答

\)60sinA-60

即可.

【详解】解：乙救援队先到达城市A,理由如下:

法一：解：如图1,过点A作AD1BC的延长线于点。.

图1

由题意得，/ABC=90。一60。=30。,

•/AD±BC,AS=100km,

AD=IAB=50km,甲救援队到达城市A所用的时间为署=黑=£(h),

,/ZCAD=29°,

ACAn57IQ

乙救援队到达城市A所用的时间约为茄=小而。而=而3,

..10^19

920

；•乙救援队先到达城市A.

法二：解：如图2,过点C作CDLAB,垂足为。.

设CD=xkm,

由题意得，ZASC=90°-60°=30°,

CD

BD==^x(km).

tanZABC

ZA=180°-30°-90°-29°=31°,

CD5

・•・AD=——

tanA3v7

'：BD+AD=AB,

.**y/3xH—x=100,

3

解得％=150(3g-5),

ACCD150（3A/3-5）150X25（373-5）19

乙救援队到达城市A所用的时间约为荀=嬴而=520=一百羡6—“三（可，

----xoU

..1019

920

，乙救援队先到达城市A.

18.某校数学兴趣小组模仿七巧板制作了一副如图所示的五巧板，①和②分别是等腰RtABE和等腰

RtBCF,③和④分别是RtCDG和RtDAH,⑤是正方形EFG".这副五巧板恰好拼成互不重叠也无缝

隙且对角互补的四边形ABCD,直角顶点E,F,G,"分别在边3尸，CG,DH,AE上.

⑴求证：ZADH=NDCG；

⑵若AH二HE=2,求DG的长;

DG5.DA,,,,

⑶若GH"求友的假

【答案】（1）见解析

(2)a-1

（3）1

【分析】（1）根据题意利用等腰三角形性质得NABC=NABE+NCBb=90。，再利用三角形内角和性质即

可得到本题答案；

（2）根据题意利用正方形性质得〃E=EF=FG=GH,再利用相似三角形判定得△ZMHS^CDG,后利

用对应边成比例即可得到本题答案；

(3)根据(2)中相似的结论利用相似三角形性质即可得到本题答案.

【详解】（1）解：证明：ABE和△5C5都是等腰直角三角形,

/.ZABE=45°,ZCBF=45°,

ZABC=ZABE+ZCBF=90°

四边形ABCD是对角互补的四边形，

.•.ZADC+Zz4BC=180°,

/.ZADC=90°,即ZAZ）//+NCDG=90。.

CDG是直角三角形，

/.ZDCG+ZCDG=90°.

:.ZADH=ZDCG；

（2）解：四边形£FG”是正方形，

,\HE=EF=FG=GH.

ABE和ABCF都是等腰直角三角形，

:.AE=BE,BF=CF,

AH=HE=2,

：.AE=BE=4,BF=CF=6,CG=8,

AH4H和-CDG都是直角三角形，

/.ZAHD=ZDGC=90°,

由（1）得ZADH=/DCG,

:.△DAHsACDG.

AHDH目门2DG+2

/.=---,即——=-------,

DGCGDG8

DG=y/17-l;

（3）解：设:DG=5k,GH=4k,AH=x,则HE=EF=FG=4k,

AE=BE=4k+x,BF=CF=8左+x,CG=12左+x,

由（2）知：LDAHsMDG,

.AH_DH_AD

'~DG~~CG~~DC'

DA_3

DC-5

【点睛】本题考查等腰直角三角形性质，三角形内角和性质，正方形性质，相似的判定及性质.熟悉相关

图形的性质，弄清图中线段间的关系是解题的关键.

19.如图，已知一ABC,M为边AC上一动点，AM=mMC,。为边8C上一动点，BD=nDC,BM交.AD

于点M

(1)【问题提出】三角形的三条中线会相交于一点，这一点就叫做三角形的重心，重心有很多美妙的性质,

请大家探究以下问题

若rn=〃=l,贝4黑BN=______(直接写出结果)

MN

(2)【问题探究】若〃2=1,猜想B管N与“存在怎样的数量关系？并证明你的结论