2024年中考数学压轴题型（江苏专用）几何中的尺规作图（解答压轴题）

专题05几何中的尺规作图（解答压轴题）

压轴题密押

通用的解题思路：

尺规作图的解题思路主要包括以下几个步骤：

1.理解题目要求：首先，你需要清楚理解题目要求你做什么。这可能涉及到绘制特定的图形，如等边三角

形、正方形或圆，或者可能涉及到构造特定的线段或角度。

2.分析已知条件：接下来，你需要分析题目给出的已知条件。这可能包括特定的线段长度、角度大小或其

他几何信息。这些信息将是你进行作图的基础。

3.确定作图步骤：基于题目要求和已知条件，你需要确定作图的步骤。这可能涉及到使用直尺和圆规来绘制

线段、作角、作垂线等。

4.执行作图步骤：在确定了作图步骤后，你需要按照步骤来执行。在执行过程中，你需要保持精确，确保

每一步都符合题目要求和几何原理。

5.检查答案：最后，你需要检查你的答案。这可能涉及到验证你的作图是否满足题目要求，或者验证你的

作图是否符合几何原理。

经典例题

1.（2023•江苏・中考真题）如图，在Rt^ABC中，ZC=90°.

（1）尺规作图：作。，使得圆心。在边A8上，。过点8且与边AC相切于点。（请保留作图痕迹，标明

相应的字母，不写作法）；

⑵在（1）的条件下，ZABC=60°,AB=4,求。与重叠部分的面积.

【答案】（1）见解析

工4布

（2）—71+-------

279

【分析】（1）作/ABC的角平分线交AC于点D,过点。作DOLAC,交A3于点。，以。为圆心，OB为

半径作，即可；

（2）根据含30度角的直角三角形的性质，求得圆的半径，设:。交8c于点E,连接OE,可得△OBE是

等边三角形，进而根据。与"c重叠部分的面积等于扇形面积与等边三角形的面积和，即可求解.

【详解】（1）解：如图所示，。即为所求;

(2)解：VZABC=60°,AB=4,是。的切线,

4=30°,

：.DO=OB=-AO,

2

贝U49+03=303=4,

4

解得：OB=-f

如图所示，设交BC于点E,连接0E,

△OJ5E1是等边二角形,

如图所示，过点石作石产_15。于点尸,

114

・•・OF=-OE=-x-

223

在RtAOEF中，EF=4OE2一OF2==|x|x>/3,

/.S=-XOBXEF=-X-X-X-X

0OEEBB22323

ZBOE=60°,则ZAOE=120°,

,，-。与MC重叠部分的面积为却=3+华.

【点睛】本题考查了基本作图，切线的性质，求扇形面积，熟练掌握基本作图与切线的性质是解题的关键.

2.（2023•江苏宿迁•中考真题）如图，在YABCD中，AB=5,AD=3垃,ZA=45°.

（1）求出对角线BD的长；

（2）尸那伊图:将四边形ABCD沿着经过A点的某条直线翻折,使点B落在CD边上的点E处,请作出折痕.（不

写作法，保留作图痕迹）

【答案】（1）&?

（2）作图见解析

【分析】（1）连接8。，过。作。尸，AB于尸，如图所示，由勾股定理先求出尸=g=3,在RtABDF

中再由勾股定理，BD7DF+BF?=屈；

（2）连接EB,根据轴对称性质，过点A尺规作图作线段旗的垂直平分线即可得到答案.

【详解】（1）解：连接8。，过。作DWLAB于歹，如图所示:

.在YABCD中，AD=30，NA=45。，

4尸=。/=丝=3,

J2

AB=5,

BF=AB-AF=5-3=2,

在Rt^BD尸中，ZBFD=90°,DF=3,BF=2,贝U30=尸」+342=,32+2?=屈；

(2)解：如图所示：

【点睛】本题考查平行四边形背景下求线段长，涉及勾股定理、尺规作图作线段垂直平分线，熟练掌握勾

股定理求线段长及中垂线的尺规作图是解决问题的关键.

3.（2023•江苏无锡•中考真题）如图，已知NAP8,点〃是尸8上的一个定点.

（图I）（图2）

（D尺规作图：请在图1中作。，使得：。与射线尸8相切于点同时与R4相切，切点记为N；

（2）在（1）的条件下，若/APB=60。，PM=3,则所作的。的劣弧与•、尸N所围成图形的面积是

【答案】（1）见解析

⑵38-万

【分析】（1）先作的平分线PQ,再过”点作尸8的垂线交尸。于点。，接着过。点作0N_LR4于N

点，然后以。点为圆心，为半径作圆，贝心。满足条件；

（2）先利用切线的性质得到ONLPN,根据切线长定理得到NMPO=4PO=30。，则

ZMON=120°,再利用含30度角的直角三角形三边的关系计算出0M=石，然后根据扇形的面积公式，利

用。。的劣弧MN与PM、尸N所围成图形的面积=S四边形PMON-$扇形“CW进行计算.

【详解】（1）解：如图，。为所作;

(2)解：•••尸加和PN为：。的切线，

Z.OM1PB,ON1PN,NMPO=NNPO=工ZAPB=30。,

2

：.NOMP=ZONP=90°,

AMON=180°-ZAPB=120°,

在RtPOM中，ZMPO=30°,

(9M=PM-tan30°=—x3=73,

3

二「。的劣弧MN与P"、PN所围成图形的面积

2

120x/rx

=2x—x3x百一

2360

=3^/3—7T.

故答案为：3百-万.

【点睛】本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基

本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作.也考查了切线的判定与性质、扇形的面积计算.

4.(2023•江苏盐城•中考真题)如图，AB=AE,BC=ED,ZB=NE.

(2)用直尺和圆规作图：过点A作AFLCD,垂足为尸.(不写作法，保留作图痕迹)

【答案】(1)见解析

(2)见解析

【分析】(1)根据边角边证明A4BC四△AED即可证明结论成立;

(2)根据过直线外一点向直线最垂线的作法得出即可.

【详解】(1)证明：：=ZB=NE,BC=ED,

：.ABC丝AED(SAS),

/.AC^AD；

【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，过直线外一点向直线最垂线的作法，熟练记忆正确作

法是解题关键.

5.(2023•江苏镇江•中考真题)小磊安装了一个连杆装置，他将两根定长的金属杆各自的一个端点固定在

一起，形成的角大小可变，将两杆各自的另一个端点分别固定在门框和门的顶部.

如图1是俯视图，OA,03分别表示门框和门所在位置，M,N分别是。408上的定点，

OM=27cm,ON=36cm,MF,NF的长度固定，NMZW的大小可变.

(1)图2是门完全打开时的俯视图，止匕时，OA±OB,NMFN=180。,求的度数.

(2)图1中的门在开合过程中的某一时刻，点厂的位置如图3所示，请在图3中作出此时门的位置0B.

(用无刻度的直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹)

(3)在门开合的过程中，sinNONM的最大值为.(参考数据：sin37°®0.60,cos37°»0.80,tan37°®0.75)

【答案】⑴/肱VB=143。

(2)见解析

(3)0.75

【分析】(1)在中，利用锐角三角函数求得结果；

(2)以点。为圆心、ON的长为半径画弧，与以点尸为圆心、FN的长为半径的弧交于点乂,N?,连接

得出门OB的位置；

(3)当NOMW最大时，sin/OMW的值最大，过点。作MN的垂线段，当这条垂线段最大时，NONM最大,

OM27

即当垂线段为0M即垂足为M时，NONM最大,故sin/OMW的最大值为痂7=而=0.75.

OMZ1

【详解】(1)解：在Rt^O肱V中，tanZONM=——=—=0.75,

ON36

NONMx370.

ZMNB近80°-37°=143°.

(2)门的位置如图1中。用或。生所示.(画出其中一条即可)

门框所在位置O

/

(3)如图2,连接NM,过点。作交M0的延长线于点”.

H

门所住位置f

•••在门的开合过程中，NONM在不断变化，

当ZONM最大时，sinZONM的值最大.

由图2可知，当与OAf重合时，取得最大值，此时NONM最大，

OM27

・•・sinZONM的最大值为-=—=0.75.

ON36

故答案为：0.75

【点睛】本题考查了旋转、尺规作图、锐角三角函数等知识，准确作图，数形结合是解题的关键.

6.（2023•江苏徐州•中考真题）两汉文化看徐州，桐桐在徐州博物馆“天工汉玉”展厅参观时了解到；玉壁,

玉环为我国的传统玉器，通常为正中带圆孔的扇圆型器物，据《尔雅•释器》记载：“肉倍好，谓之璧；肉好

若一，调之环.”如图1,“肉”指边（阴影部分），“好”指孔，其比例关系见图示，以考古发现看，这两种

（2）利用圆规与无刻度的直尺，解决下列问题（保留作图痕迹，不写作法）.

①图2为徐州狮子山楚王墓出土的“雷纹玉环”及其主视图，试判断该件玉器的比例关系是否符合“肉好若

一，，？

②图3表示一件圆形玉坯，若将其加工成玉璧，且比例关系符合“肉倍好”，请画出内孔.

【答案】（1）32:27

（2）①符合，图见详解；②图见详解

【分析】（1）根据圆环面积可进行求解；

（2）①先确定该圆环的圆心，然后利用圆规确定其比例关系即可；②先确定好圆的圆心，然后根据平行线

所截线段成比例可进行作图.

【详解】⑴解：由图1可知：璧的“肉”的面积为万义（32-12）=8万；环的“肉”的面积为%x（32-1.52）=6.75万，

它们的面积之比为87:6.75%=32:27；

故答案为32:27：

（2）解：①在该圆环任意画两条相交的线，且交点在外圆的圆上，且与外圆的交点分别为A、8、C,则分

别以A、B为圆心，大于;AB长为半径画弧，交于两点，连接这两点，同理可画出线段AC的垂直平分线,

线段A3,AC的垂直平分线的交点即为圆心O,过圆心O画一条直径，以。为圆心，内圆半径为半径画弧,

看是否满足“肉好若一''的比例关系即可

A

主视图

由作图可知满足比例关系为1:2:1的关系;

②按照①中作出圆的圆心。，过圆心画一条直径A3,过点A作一条射线，然后以A为圆心，适当长为半径

画弧，把射线三等分，交点分别为C、D、E,连接班，然后分别过点C、。作防的平行线，交A2于点尸、

G,进而以尸G为直径画圆，则问题得解；如图所示:

图3

【点睛】本题主要考查圆的基本性质及平行线所截线段成比例，熟练掌握圆的基本性质及平行线所截线段

成比例是解题的关键.

7.（2022•江苏扬州•中考真题）【问题提出】如何用圆规和无刻度的直尺作一条直线或圆弧平分已知扇形

的面积？

【初步尝试】如图1,已知扇形。AB,请你用圆规和无刻度的直尺过圆心。作一条直线，使扇形的面积被

这条直线平分；

【问题联想】如图2,已知线段MN,请你用圆规和无刻度的直尺作一个以为斜边的等腰直角三角形

MNP■,

【问题再解】如图3,已知扇形（MB,请你用圆规和无刻度的直尺作一条以点。为圆心的圆弧，使扇形的

面积被这条圆弧平分.

（友情提醒：以上作图均不写作法，但需保留作图痕迹）

AA

【答案】见解析

【分析】【初步尝试】如图1,作的角平分线所在直线即为所求；

【问题联想】如图2,先作MN的线段垂直平分线交MN于点0,再以。为圆心为半径作圆，与垂直平

分线的交点即为等腰直角三角形的顶点；

【问题再解】如图3先作的线段垂直平分线交于点N,再以N为圆心NO为半径作圆，与垂直平分

线的交点为加，然后以。为圆心，。加为半径作圆与扇形Q钻所交的圆弧即为所求.

【详解】【初步尝试】如图所示，作NAOB的角平分线所在直线。尸即为所求；

【问题联想】如图，先作的线段垂直平分线交于点。，再以O为圆心为半径作圆，与垂直平

分线的交点即为等腰直角三角形的顶点；

【问题再解】如图，先作。8的线段垂直平分线交08于点N,再以N为圆心N。为半径作圆，与垂直平分

线的交点为然后以。为圆心，为半径作圆与扇形。钻所交的圆弧CD即为所求.

【点睛】本题考查了尺规作图，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，扇形的面积等知识，解决此类

题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，掌握基本作图方法.

压轴题预测

1.综合与实践：折纸中的数学

折纸是我国传统的民间艺术，也是同学们喜欢的手工活动之一，幸运星、纸飞机、千纸鹤、密信等折纸活

动在生活中都是广为流传的，通过折纸我们可以得到许多美丽的图形，同时折纸的过程还蕴含着丰富的数

学知识，折纸往往从矩形纸片开始，下面就让我们带着数学的眼光来探究一下有关矩形纸片的折叠问题,

看看折叠矩形纸片蕴含着哪些丰富的数学知识.

（1）折纸1：如图1,在一张矩形纸片上任意画一条线段将纸片沿线段A8折叠（如图2）

问题1：重叠部分的AFC的形状（是、不是）等腰三角形.

问题2：若AB=4cm,3c=5cm,则重叠部分ABC的面积为cm2

(2)折纸2：如图3,矩形纸片A3CD,点E为边CO上一点，将3CE沿着直线班折叠，使点C的对应点产

落在边AD上，请仅用无刻度的尺子和圆规在图3中找出点E的位置(保留作图痕迹，不写作法).

⑶折纸3：如图4,矩形纸片A3CD,AB=5,BC=6,若点叔为射线3C上一点，将沿着直线A0

折叠，折叠后点8的对应点为玄，当点夕恰好落在BC的垂直平分线上时，求8M的长.

【答案】⑴是；2万

(2)见解析

⑶g或15

【分析】本题考查了平行线的性质，解直角三角形，折叠的性质，勾股定理；

(1)①设纸片右下角的点为点M,根据平行线的性质以及折叠的性质可得NCB4=/C4B,即可；②过点

C作SLAB于点X,则A//=38=：A2=2cm,根据勾股定理可得S的长，再由三角形的面积公式计

算，即可；

(2)以点8为圆心，以BC长度为半径作圆交AD于点/，作/EBC的角平分线BE,交CO于点E,即可;

(3)分两种情况讨论：当点笈落在长方形纸片A8CD的外部时；当点B'落在长方形纸片ABCD的内部时结

合锐角三角函数，即可求解.

【详解】(1)问题1：如图②，设点”是纸片下边上的点，

图②

•纸片为矩形，贝IJ3C〃AM,

NCBA=NBAM,

由折叠的性质知，ZMAB=ZCAB,

：./CBA=NCAB,

.ABC的形状为等腰三角形，

故答案为：是；

问题2：过点C作CHLA3于点

贝1]4〃=3〃=为8=2,

2

贝!I8-AH?=6-22=历，

贝ijABC的面积=gxABxC〃=gx4x回=2万(cm?)

故答案为：2回;

(2)以点8为圆心，以BC长度为半径作圆交AD于点/，作/EBC的角平分线BE,交CD于点E,作图

过程如下：

图③

(3)当点B落在矩形内部时，如图，过点？作B'LBC于点交AD

,点、B恰好落在BC的垂直平分线上，i^AN=DN=^AD=^BC=3,

在RtAB'N中，cosZB'A7V=^=3=sinZAB'N,

AB'5

4

A4=5，AN=3,则？N=4,贝ljtan2V=^,

则577=5—4=1,

ZBfAN+ZABrN=90°,NAB'N+NHB'M=90。，

/HB'M=NB'AN,

HMHM4

在RtB'HM中,tanZHBfM=—^=——=tanZBW=-,

B'H13

445

解得：HM=—,BM=BH-MH=3——=-

33

当点6落在矩形外部时，如图,

4

AB'=5<AN=3,则8'N=4,IjllJtanZBW=-,

贝!]8'H=4+5=9,

NB'AN+ZAB'N=90°，ZAB'N+ZHB'M=90°，

ZMB'H=ZB'AN,

在RtB'HM中,tanNHB'M=^=^=tanNB，AN=+,

B'H93

解得：HM=12,贝==3+12=15.

故3M的长为g或15.

2.如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，ASC的顶点43、C均落在格点上，以A3为直径的半

圆的圆心为O,仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图.(保留作图痕迹)

(1)在图1中线段BC上确定一点尸，使得。尸〃AC；

(2)在图2中作出ABC的AC边上的高80；

(3)在图3中作出。的切线AE.

【答案】(1)见解析

(2)见解析

(3)见解析

【分析】(1)如图，设8C与网格交于点利用三角形的中位线定理解决问题即可;

(2)如图，延长AC交C。于点。，连接BD即可；

(3)如图，取格点E,连接AE即可.

【详解】(1)解：如图，线段5即为所求；

(2)解：如图，线段8。即为所求;

(3)解：如图，直线AE即为所求.

【点睛】本题考查作图，三角形的中位线定理，圆周角定理，切线的判定和性质等知识，解题的关键是理

解题意，灵活运用所学知识解决问题.

3.如图，已知在11ABe中，AB=AC,以A为圆心，的长为半径作圆，CE是A的切线与朋的延长

(1)请用无刻度的直尺和圆规过点A作的垂线交EC的延长线于点Z).(保留作图痕迹，不写作法)

(2)在(1)的条件下，连接80.

①试判断直线8。与A的位置关系，并说明理由；

3

②若tanE=：,A的半径为3,求的长.

4

【答案】(1)见解析

(2)①与(A相切，理由见解析；②6

【分析】(1)使用尺规作图作线段垂线，分别以点3、点C为圆心，作半径相同的圆弧，交于一点，连接

点A与该点并延长交EC的延长线于点D.

(2)①根据垂直平分线性质求得ZABC+NO3C=/3CD+NACB=90。，则8。与C，A相切；

3

②在RJAEC中，由勾股定理可得AE即可得BE,在比3DE中，由tanE=：即可求解.

【详解】(1)

如图，AD为所作垂线;

（2）①3。与＜A相切，理由如下：

•在ASC中，AB^AC,AD是BC的垂线，

ZABC=ZACB,且AD是3C的垂直平分线,

DB=DC9

，ZDCB=ZDBC,

CD与4相切于点C,

ZBCD+ZACB=90°,即ZABC-^-ZDBC=90°,

•・BD与/相切；

②在RtAEC中，

tanE=—=,AC=3,

4CE

..EC=4

根据勾股定理，得：AE=732+42=5,

.\BE=AB+AE=3+5=8

在Rt3。石中，tanE=^^=—,

BE4

BD-6.

【点睛】本题考查圆的切线的判定定理、垂直平分线性质和勾股定理，锐角三角函数，熟练掌握切线的判

定定理是解题的关键.

4.如图，在.ABC中，ZABC=90°,ZA=60°,AB=3.

(1)尺规作图：在2C上找一点P,作，「P与AC,A3都相切，与AC的切点为。；(保留作图痕迹)

⑵在（1）所作的图中，连接BQ,求sinNCBQ的值.

【答案】（1）见解析

（2）sinZCBg=1

【分析】（1）结合切线的判定与性质，作4c的平分线，交BC于点P,以点尸为圆心，依的长为半径

画圆即可.

（2）由题意可得RtAABP&RtA4QP,则AB=A。，可得A5Q为等边三角形，即川0=60。，贝|

ZCBQ=30°,进而可得答案.

【详解】（1）解：如图，作/BAC的平分线，交BC于点P,以点尸为圆心，依的长为半径画圆，交AC

于点Q,

AP=AP,

.■.RtABP^RtAQP（HL）,

AB=AQ,

ZBAC=6D0,

AS。为等边三角形，

:.ZABQ=60°,

:.ZCBQ=30°,

sinZCBQ=sin30°=g.

【点睛】本题考查作图一复杂作图、切线的判定与性质、等边三角形的性质、特殊角的三角函数值等知识

点，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键.

5.如图，在四边形A8CD中，AC.3D相交于点。.

（1）给出下列信息：①AB〃CD；®AO=OC；③/ADB=NCBD.请从上面三个选项中选出两个作为条件,

一个作为结论，构成一个真命题，并加以证明.你选择的条件是，结论是.（填序号）

⑵在（1）的条件下，已知请用无刻度的直尺和圆规作菱形顶点E,尸分别在边3C,AD

上（保留作图痕迹，不要求写作法）.

【答案】（1）①②，③（答案不唯一）；见解析

（2）见解析

【分析】（1）条件①②，结论③；或条件②③，结论①；都是真命题，证明全等三角形，推出四边形ABCD

是平行四边形，即可证明结论成立；

（2）作线段8。的垂直平分线分别交边3GAD于点E,F,则四边形为所作的BEE厅菱形.

【详解】（1）解：条件①②，结论③；或条件②③，结论①；都是真命题，

选择：条件①②，结论③；

---AB//CD,

:.ZABO=NCDO,ZBAO=ZDCO,

---AO=OC,

：.BAO^,DCO（AAS）,

AB=CD,

'：AB//CD,

...四边形ABC。是平行四边形，

ZADB=NCBD；

选择：条件②③，结论①；

；ZADB=NCBD,ZAOD=ZCOB,AO=OC,

；AOD^COB（AAS）,

：.AD=BC,

,：ZADB=NCBD,

：.AD//BC,四边形ABC。是平行四边形,

，AB//CD■,

故答案为：①②，③（答案不唯一）；

（2）解：菱形BEE*如图所示：

【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，菱形的判定，全等三角形的判定和性质，作线段的垂直平

分线.掌握平行四边形的判定是解题的关键.

6.阅读材料：尺规作图是起源于古希腊的数学课题，是指用没有刻度的直尺和圆规作图.无刻度直尺在作

图时只可用来画直线、射线或线段.请根据以上材料按要求进行作图.

（1）如图1,在ABC中，ZACB=90°,请用无刻度直尺与圆规在BC边上作出一点。，使得。过点C且与

A3相切.（保留作图痕迹，不需说明作图步骤）

⑵如图2,在正方形网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，点42,C,。是网格的四个格点，且NACB=90。.

①作图：请在图2中仅用无刻度直尺作出一点O,使得。过点C且与相切于点。；（保留作图痕迹,

不需说明作图步骤）

②若此网格中每个小正方形边长为1,则，。的半径为.（可利用图2备用图计算）

【答案】（1）见详解

（2）①见详解②，立

【分析】本题考查了线段垂直平分线和角平分线的尺规作图，圆的切线判定，勾股定理，全等三角形的判

定及性质，相似三角形的判定及性质等；

（1）作出/BAC的平分线交3C于0,即可求解；

（2）①连接CO,作CD的垂直平分线，过。作A3的垂线，交C。的垂直平分线于O,即可求解;

②由AAS可判定，FG〃乌MEH,由全等三角形的性质得的=工£^=好，FH=MH=\由〃拉〃GN可

222

CHHM

判定..QHMSOGN,由相似三角形的性质得力7=二,求出3,由勾股定理得OD=Ja?2+DE，，即

OGGN

可求解；

掌握作法，能利用判定方法及性质进行求解是解题的关键.

【详解】（1）解：如图，

。是所求作的点;

。是所求作的点;

②如图,

EP=2,GN=2,

由作图过程得：EG=《EP2+GP2

=V22+12

=A/5,

DE=A/12+22

=5/5，

ZGFH=ZEMH

在【FGH和J^EH中，,ZGHF=ZEHM,

FG=ME

/.FGH"MEH（虹S）,

GH=EH,

FH=HM,

:.EH=-EG=—,

22

,FH=MH=-,

2

HM//GN.

OHM^OGN,

.OHHM

*OG-G2V，

£

.OH_2

2

解得：OH=M

6

:.OE=EH-OH

_且_好

~~2r

-3'

,\OD=ylOE2^-DE2

+

故答案：]也.

7.问题探究：

（1）将一直角梯形A3CD放在如图1所示的正方形网格（图中每个小正方形的边长均为一个单位长度）中，

梯形ABCZ）的顶点均在格点上，请你在图中作一条直线/，使它将梯形ABCD分成面积相等的两部分；（画

出一种即可）

（2）如图2,/[〃4，点A、。在《上，点8、C在4上，连接AC、BD,交于点。，连接48、CD.试说

明：SAAOB=S^DOC；

问题解决：

（3）如图3,在平面直角坐标系中，不规则五边形ABCDE是李大爷家的一块土地的示意图，顶点B在y轴

正半轴上，C。边在无轴正半轴上，AE平行于x轴，AE的中点P处有一口灌溉水井，现结合实际耕种需求，

需在CD上找一点。，使P2将这块土地的面积分为相等的两部分，用于耕种两种不同的作物，并沿尸2修一

条灌溉水渠（水渠的宽度忽略不计）.

①请你利用有刻度的直尺在图中画出尸。的位置，并简要说明作图过程；

②若点A的坐标为（2,4）,03=1,0C=4,0D=12,AE=6,请求出直线PQ的解析式.

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）①见解析；②直线PQ的解析式为、=-5苫+20

【分析】本题考查同底等高的三角形的面积关系、用待定系数法求一次函数解析式、一次函数平移的性质,

熟练掌握相关知识是解题的关键.

（1）根据网格和梯形的面积公式求解即可；

=

⑵根据^AABCS&DCB,SAABC—LBOC=^ADCB~,即可求解;

（3）①如图，连接AC,平移AC,使其经过点8,交x轴于点连接AM,交BC于点N,量出。饮的

中点。，连接PQ,由由/〃AC,可得SABC二S4M。，从而可得SMMN=S&ABN，可证,五边形ABCDE~梯形4|〃汨，

再由PQ平分梯形4WDE的面积，即可求解;

②由题意可得尸(5,4),利用待定系数法求得直线AC的解析式为y=-2x+8,再根据一次函数平移的规律可

设直线BM的解析式为V=-2x+1，再把3(0,1)代入求得直线BM的解析式为V=-2%+1,从而可得。［彳,0

再利用待定系数法求解即可.

【详解】解：(1)直线/的位置如图所示.(答案不唯一)，

理由如下：如图，直线/分别交A。、BC于点、E、F,

(4+6)x4(2+3)x4

・S梯形ABCD=2=20，S梯形同班E二-=1C

•S四边形EFCO_S梯形Ageo_S梯形ABFE=10；

(2)设4、4之间的距离为加・・・An〃3C，

S^ABC=SADCB=_BCh,

S&ABC-S公BOC=S^DCB-S^BOC，

…•*q4AOB~—o4vDOC•

(3)①如图，连接AC,平移AC,使其经过点8,交工轴于点〃，连接AM,交BC于点、N,

量出。M的中点Q,连接尸。，尸。的位置如图所示.

・：BM//AC,

••,suABC=SuAMC，

又•SABC—SMC=SAMC-S插。,

•.•q°ACMN_-q°4ABN>

^AMDE，

•/P。平分梯形4WDE的面积，

；•尸2平分五边形ABCDE的面积，

②由题意得，A(2,4),B(0,l),C(4,0),0(12,0),£(8,4),

，P(5,4).

设直线AC的解析式为y=kx+b,

[2k+b=4

将A(2,4),C(4,0),代入得

[4左+6=0

[k=-2

解得

/.直线AC的解析式为y=-2x+8,故可设直线BM的解析式为y=-2x+t,

将3（0,1）代入，得t=l,

直线BM的解析式为y=-2x+l.

当y=0时，一2x+l=0,解得了=工.

2

设直线PQ的解析式为y=mx+n,

x、5m+n=4

将尸(5,4),。字,0,代入得25八，

I4)——m+n=0

I4

16

,m=---

解得5,

〃=20

8.在平面内，将一个多边形先绕自身的顶点A旋转一个角度6（0°＜。＜180。），再将旋转后的多边形以点A为

位似中心放大或缩小，使所得多边形与原多边形对应线段的比为3称这种变换为自旋转位似变换.若顺时

针旋转，记作T（A,顺6,k）；若逆时针旋转，记作T（A,逆。，k）.

例如：如图①，先将，ABC绕点3逆时针旋转50°,得到VABG，再将VA8G以点8为位似中心缩小到原

来的g，得到s&BG，这个变换记作T（8,逆50。，1）.

D

陷I图②

⑴如图②，ABC经过T(C,顺60°,2)得到△A9C,用尺规作出△A9C.(保留作图痕迹)

(2)如图③，ABC经过T(B,逆"，匕)得到△£»£>,ABC经过T(C,顺力，心)得到△FDC,连

接AE,AF.求证：四边形AEDE是平行四边形.

(3)如图④，在.ABC中，Z4=150。，AB=2,AC=1.若ABC经过(2)中的变换得到的四边形AFDE是

正方形.

I,用尺规作出点。(保留作图痕迹，写出必要的文字说明)；

II.直接写出AE的长.

【答案】(1)见解析

(2)见解析

⑶①见解析；②AE二手

【分析】

(1)旋转60°,可作等边△O3C和3CE,从而得出8点和点A对应点D，E,进而作出图形;

(2)根据△旗。和；ABC位似，△EDC与ASC位似得出对应角相等及对应边成比例，进而推出

EBAs^DBC,从而二八二宝/，进而得出AE=_DF,同理可得：DE=AF,从而推出四边形AFDE是平行

CDBC

四边形;

(3)要使，AFDE是正方形，应使/E4F=90。，AE=AF,得出N&4E+NE4c的度数，得出/O3C+/DCB

的度数，从而求出/或心=60。，于是作等边BCG,保证ZBE>C=NG=60。，作直径60,保证3D=2CD,

这样得出作法.

【详解】(1)解：如图,

1.以8为圆心，3C为半径画弧，以C为圆心，BC为半径画弧，两弧在BC的上方交于点。，分别以A,

C为圆心，以AC为半径画弧，两弧交于点E,

2.延长C。至使D8=CD,延长CE至4,使AE=CE,连接ABL

则△4QC就是求作的三角形；

(2)证明：.EBD和aABC位似,AEDC与二ASC位似,

3…，条等,/第

:./EBA=/DBC,

ES4s.DBC,

.AEAB

'~CD~~BC'

.AEDF

CD-CD'

:.AE=DF,

同理可得：DE=AF,

四边形AFDE是平行四边形;

(3)解:如图，

*

1.以BC为边在BC上方作等边..G8C,

2.作等边［3CG的外接圆。，作直径班），连接CD,

3.作NDBE=/ABC,ZBDE=ZACB,延长54，交（。于/，连接C/,DF,

则四边形AFDE是正方形,

证明：由上知：EBAs&DBC,、FACs«DBC,

:—B,NFAC=NDBC,符翳言，务嚏$，

:.ZBAE+ZFAC=ZDCB+ZDBC,

要使〜1FDE是正方形，应使/石4f=90。，AE=AF,

ZBAE+ZFAC+ZBAC=270°,BD=2CD,

ZBAE+ZFAC=270°-ZBAC=270°-150°=120°,

:.ZDBC+ZDCB=nOP,

.../3DC=60°,

；•作等边〈BCG,保证NMC=NG=60。，作直径8。，保证8D=2CD,这样得出作法;

ZABE=ZDBC=30°,ZEAB=Z.BCD=90°,AB=2,

【点睛】

本题考查了相似三角形的判定和性质，圆周角定理，确定圆的条件，平行四边形的判定，尺规作图等知识,

解决问题的关键是掌握并灵活运用相关知识.

9.如图1,在，ASC中，点。在边上，若满足=则称点尸是点。的“和谐点”.

图1

图3备用图

（1）如图2,Z.BDP+ZBPC=180°.

①求证：点P是点D的“和谐点”；

②在边AC上还存在某一点。（不与点尸重合），使得点。也是点。的“和谐点”，请在图2中仅用没有刻

度的直尺和圆规作图，并写出证明过程.（保留作图痕迹）

（2）如图3,以点A为原点，为x轴正方向建立平面直角坐标系（6,0）,C（2,4）,点P在线段AC上，且点

产是点。的“和谐点”.

①若AD=1,求出点尸的坐标；

②若满足条件的点尸恰有2个，直接写出AD长的取值范围是

【答案】（1）①详见解析；②详见解析

⑵①点P的坐标为［三里?］或［¥，乜铲］;

②|加《

【分析】（1）①由/3。尸+/3尸。=180。考虑平角APC,只要证明=即可；

②分别做线段。3、3尸的中垂线，两条中垂线交于点。，则。为△PD8的外心，以。为圆心，OP为半径

作圆交AC于点。，点。即为所求.用同弧所对的圆周角相等证明；

（2）①通过求出3尸的长度，然后求出直线AC的表达式为：y=2x,设点尸的坐标为（工,2尤），

利用8、尸两点间的距离公式解方程求出点尸；②求出两个临界状态时的AD：一是当点尸与点C重合时;

二是△BDP的外接圆与线段AC恰有一个交点时，即可求解.

【详解】（1）①证明：.ZBDP+ZBPC=180°,

ZBDP=ZBAC+ZAPD,

NBAC+ZAPD+ZBPC=180°,

ZAPD+ZBPD+ZBPC=180°,

:.4PD=ZBAC,

.••点P是点。的“和谐点”；

②解：如图，分别做线段£>3、3尸的中垂线，交于点。，则。为△尸口的外心，。尸为半径作圆交AC于点

Q-

c

;DB=DB，

NBPD=ZDQB,

,ZBPD=ZBAC,

/./DQB=NBAC,

・・・。也是点。的“和谐点”；

(2)解：①。ZBPD=ZBAP,

ZPBD:ZABP,

PBDsABP,

.BDBP

••丽一瓦’

•5_Bp

,•=,

BP6

:.BP=5，

C(2,4),

•・•直线AC的表达式为：y=2x,

设点P的坐标为(x,2x),

3(6,0),

二.(x-6『+(2村=30,

5x?—12x+6=0，

6—^/66+A/6

Xj=-------,%2=-------

12+25

•••点P的坐标为［，父12一；"［或

"5

7

②当点尸与点C重合时，△友乃的外接圆与线段AC恰有两个交点，如图:

5（6,0）,C（2,4）

=4A/2,

由①知二尸,

.BDBC

••沃―瓦'

即与=逑，

6V26

:.AD=AB-BD

2

当的外接圆与线段AC恰有一个交点时，如图:

此时△BDP的外接圆与线段AC相切，贝ijAP_L依,

:.ZPDB=90°,

P（x,2x）,

/.AD=x,PD=2x,

ZPAD-^-ZPBD=90°f

ZPAD+ZAPD=90°,

:.ZAPD=/PBD,

ZADP=ZPDB=90°,

.ADpsPDB,

.ADPD

.•而一丽’

:.PD?=ADDB，

即(2x)2=x(6-x),

6

:.x=—f

AD=-；

5

综上，若满足条件的点P恰有2个，AD长的取值范围是

35

故答案为：jAD<—.

【点睛】本题在新定义下考查了三角形相似，解直角三角形，圆的性质，直线与圆的位置关系等知识，理

解定义，紧扣NBPD=NB4C,找出两个临界状态时的AD：一是当点P与点C重合时；二是△&)尸的外接

圆与线段AC恰有一个交点时，用方程思想和数形结合的思想是解题的关键.

10.尺规作图蕴含丰富的推理，还体现逆向思维，请尝试用无刻度的直尺和圆规完成下列作图，不写作法，

保留作图痕迹.

C

C

(1)【圆的作图】点P是/B4C中AB边上的一点，在图1中作。，使它与NBAC的两边相切，点P是其

中一个切点;

(2)点尸是/R4c中边上的一点，在图2中作。，使它满足以下条件:

①圆心。在A3上；②经过点尸；③与边AC相切;

(3)【不可及点的作图】如图3,从墙所边上引两条不平行的射线£3、FC(交点在墙口的另一侧，画不

到)，作这两条射线所形成角的平分线.

【答案】(1)见解析

(2)见解析

(3)见解析

【分析】(1)根据尺规作图角平分线、垂直平分线作出结果；

(2)根据尺规作图角平分线、垂直平分线、已知线段作出结果，有多种不同做法.

(3)根据尺规作图作角平分线、作垂直平分线、作已知线段、作垂线作出结果，有多种不同做法.

【详解】