2024年中考数学压轴题型隐圆问题3种模型

专题13隐圆问题3种模型

压轴题密押

通用的解题思路：

隐圆一般有如下呈现方式：（1）定点定长：当遇到同一个端点出发的等长线段时，通常以这个端点为圆心，

等线段长为半径构造辅助圆；（2）定弦定角：当遇到动点对定点对定线段所张的角为定值时，通常把张角

转化为圆周角构造辅助圆。当遇到直角时，通常以斜边为直径构造辅助圆。（3）四点共圆：对角互补的四

边形的四个顶点共圆。隐圆常与线段最值结合考查。

压轴题预测

类型1：定点定长

1.（2023•新城区校级三模）圆的定义：在同一平面内，到定点的距离等于定长的所有点所组成的图形.

（1）己知：如图1,OA=OB=OC,请利用圆规画出过A、B.。三点的圆.若NAOB=70。，则/4CB=

35°

如图，RtAABC中，NABC=90。，ZBCA=30°,AB=2.

（2）已知，如图2.点P为AC边的中点，将AC沿54方向平移2个单位长度，点A、P、C的对应点分

别为点E、F,求四边形引才C的面积和N3E4的大小.

（3）如图3,将AC边沿3C方向平移a个单位至DF,是否存在这样的a,使得直线DF上有一点。，满

足N3Q4=45。且此时四边形B4D尸的面积最大？若存在，求出四边形犷面积的最大值及平移距离a,

若不存在，说明理由.

【分析】（1）利用圆的定义知A,B,C三点共圆，再利用圆周角定理求解.

（2）根据图形的平移性质，判定平移后图形形状，继而确定面积的计算方式和方法，角度问题也迎刃而解.

（3）因角度不变，借助圆周角定点在圆周上运动时角度不变的思想，判断出。点能够向右移动的最大距离,

求出四边形的最大面积.

【解答】（1）以。为圆心，为半径作辅助圆，如图,

ZAOB=70°，

;.ZACB=35°,

故答案为35。.

(2)连接PB,PE,如图,

RtAABC中，ZABC=90°,ZBCA=30°,AB=2.

r.AC=4,ZB4c=60。，BC=273.

尸为RtAABC斜边AC中点，

:.BP^-AC^2,

2

线段AC平移到DF之后，AB=AD=PE=2,BP=AE=2,

.•・四边形ABPE为菱形，

Nfi4c=60°,

:.ZBEA=30°,

CF//BD,且ZABC=90°,

，四边形为直角梯形，

:.S=g(BD+CF)xBC=gx6x26=6®,

(3)如图所示，以AB为斜边在AB的右侧作等腰直角三角形。18,以。为圆心，为半径作O,

当AC边沿3c方向平移。个单位至小时，

满足ZBO4=45°且此时四边形BADF的面积最大，

二直线DF与。相切于点Q,

连接。。交AD于G,过点。作于

则ZAHO=NO/IG=〃QG=90°,ZOAH^45°,ZGDQ=30°,

ZABC=9Q°,ZBG4=30°,AB=2,

BC=2A/3,OA=OB=OQ=垃,

：.AH=OH=I,HG=—,OG=—,

33

:.GQ=^2-^~,£>G=2GQ=2夜一

AO=A"+HG+GO=1+3+2及-迪=1+20-G,

33

tz—1+2,\/2-，x/s,

此时直角梯形ABO的最大面积为：

s=1x(BF+AD)XA5=1X(2^+1+2A/2-A/3+1+272-A/3)X2=4^+2.

【点评】本题主要考查图形的平移，圆心角，圆周角之间的关系，解题的关键是数形结合，找到极值点求

解.

2.(2024•兰州模拟)综合与实践

【问题情境】在数学综合实践课上，“希望小组”的同学们以三角形为背景，探究图形变化过程中的几何问

题，如图，在AABC中，AB=AC,NBAC=90。，点D为平面内一点(点A,B,。三点不共线)，AE为

的中线.

【初步尝试】(1)如图1,小林同学发现：延长AE至点使得ME=AE,连接。0.始终存在以下两

个结论，请你在①，②中挑选一个进行证明：

@DM^AC；②ZMZM+NZMB=180°；

【类比探究】⑵如图2,将4)绕点A顺时针旋转90。得到AF,连接CF.小斌同学沿着小林同学的思

考进一步探究后发现：AE=-CF,请你帮他证明；

2

【拓展延伸】(3)如图3,在(2)的条件下，王老师提出新的探究方向：点。在以点A为圆心，AD为半

径的圆上运动(AD>AB),直线AE与直线CF相交于点G,连接3G,在点。的运动过程中3G存在最大

值.若筋=4,请直接写出3G的最大值.

【分析】(1)利用S4s证明AABEMAMDE,可得=再结合AB=AC,即可证得。暇=AC；由全

等三角形性质可得ZBAE=ZDME,再运用平行线的判定和性质即可证得ZMDA+ZDAB=180°；

(2)延长AE至点〃，使得加E=AE,连接DM.利用&4S证得AACF三ADM4,可得CF=AM,再由

AE=-AM,可证得

22

(3)延长94至使A〃=AD,设AM交CF于N,连接B版交CF于K,取AC中点尸，连接GP,

可证得AAC尸=AABM(S4S),利用三角形中位线定理可得A£7ABM,即4;〃3对，利用直角三角形性质

n\^GP=-AC=-AB=2,得出点G在以尸为圆心，2为半径的尸上运动，连接3尸并延长交；产于G',

22

可得3G的长为3G的最大值，再运用勾股定理即可求得答案.

【解答】(1)证明：①-AE为人钻£>的中线，

:.BE=DE,

在AABE和AMDE中,

BE=DE

<NAEB=ZMED,

AE=ME

:.^ABE=AMDE(SAS),

AB=AC,

.\DM=AC；

②由①知AABE3AMDE,

:.ZBAE=ZDME,

:.AB//DM,

:.ZMDA+ZDAB=180°；

(2)证明：延长AE至点使得血石=钻，连接。0.

图2

由旋转得：AF=AD,NZMF=90。，

ZBAC=90°,ZDAF+ZBAC-^ZBAD+ZCAF=360°,

..ZBAD+ZCAF=180°,

由(1)②得：ZMZM+ZZMB=180。，DM=AB=AC,

.\ZCAF=ZMDA,

在AACF和ADM4中，

AF=AD

<ZCAF=ZMDA,

AC=DM

.\AACF=M)MA(SAS)f

:.CF=AM,

AE=-AM,

2

AE=-CF；

2

(3)如图3,延长A4至M,使=设40交CF于N,连接风0交CF于K,取AC中点尸，连

接GP,

F

图3

由旋转得：AF=AD,ZDAF=90°,

:.AF=AM,ZMAF=180°-90°=90°,

ZBAC=900,

/.ZMAF+Z.CAM=ZBAC+Z.CAM,

即ZCAF=ZBAM,

在AACF和AABW中，

AC=AB

<ZCAF=ZBAM,

AF=AM

:.AACF=AABM(SAS),

:.ZAFC=ZAMB,^ZAFN=AKMN,

-ZANF=ZKNM,

:.ZFAN=ZMKN=90°,

.\BM±CF,

E、A分别是08、DM的中点，

.•.人石是ABDM的中位线，

:.AE//BMf即AG//BM,

.\AG±CF,

ZAGC=90°,

•点P是AC的中点，

:.GP=-AC=-AB=2,

22

.•.点G在以尸为圆心，2为半径的：尸上运动,

连接成并延长交,：尸于G'

，3G的长为BG的最大值,

在RtAABP中，BP=JA印2+4-、=必+22=26,

.­.BG'=BP+PG'=2^/5+2,

的最大值为2石+2.

【点评】本题是几何综合题，考查了三角形的全等的性质与判定，两直线垂直的判定，三角形中位线定理，

勾股定理，圆的性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解决本题的关键.

3.（2022•番禺区二模）已知抛物线>=依2+云-］（4>0）与x轴交于点A,3两点，OA<OB,AB=4.其

顶点C的横坐标为-1.

（1）求该抛物线的解析式；

（2）设点。在抛物线第一象限的图象上，DELAC垂足为E,OF//y轴交直线AC于点当ADEF面

积等于4时，求点。的坐标；

（3）在（2）的条件下，点M是抛物线上的一点，M点从点3运动到达点C,FM工FN交直线BD于点N,

延长与线段OE的延长线交于点7/,点尸为N,F,a三点构成的三角形的外心，求点尸经过的路线

长.

【分析】（1）利用对称性，求得A和3的坐标，然后用待定系数法求得抛物线的解析式；

（2）证明ACG4和ADEF都为等腰直角三角形，利用等面积法求得DF=4,再求得直线AC的解析式为

y=x-l,设点。的坐标，得到点P的坐标，然后求解即可；

（3）先求得ZBDF=45°,推出点P的运动路径时HN的中点绕点F逆时针旋转90。得到N2H的中点之间

的弧长，证明四边形。以/石为正方形，即可求解.

【解答】解：（1）.,点A,点3两点关于直线x=-1对称，AB—4,

.•.4(1,0),6(-3,0),

.3

代入y=ax2+Z?x——得，

3

a+b——=0r1

.2,解得："=5,

9a-3b——=0b=l

[21

抛物线的解析式为y=-x2+x--.

"22

(2)如图1所示：

DP//y轴//GC,

.\ZGCA=ZDFE,

2

抛物线的解析式为y=；/+X-|=1(X+1)-2,

顶点C(-l,-2),

A(1,O),

r.AG=2,CG=2,

;.ACG4为等腰直角三角形，

ZGCA=ZDFE=45°,

DEYAC,

」.ADEF为等腰直角三角形，

:.DE=EF,DF=^2DE,

S^EF=；DE-EF=4,

DE=2A/2,

:.DF=yf2x2y/2=4,

设直线AC的解析式为丫=区+6,则

k+b=Ok=l

解得:

-k+b=-2b=-l

直线AC的解析式为y=x-1,

设点D(x,—x2+x--),则F(x,x-1),

22

1311

:.DF=-x19+x------(x—1)=—％92一=4,

2222

解得：%=3或尤=—3(舍),

.-.£)(3,6),F(3,2).

(3)如图2所示，

A/VFH是直角三角形，

/.ANFH的外心是斜边NH的中点，

当点M位于点5时，其外心是斜边乜乂的中点，

当点M位于点。时，得△生产石，其外心是斜边乂区的中点，即外石的中点,

D(3,6),5(-3,0),

3+3

tanZBDF=——=1,

6

:.ZBDF=45°,

由(2)得，NFDE=45°,

ZDBA=ZBAC=45°,

:.BD//AC,

:.FN±BD,

尸平分ZBDE,ZBDE=90°,

.•.点D,N,F,"四点共圆，

二点尸在线段DF的垂直平分线上，即点尸在上运动，即点尸的运动轨迹是一条线段.

Z.DN2F=ZN2DH=NDHF=90°,FN2=FE,

四边形DV?尸E为正方形，

此时点尸在。尸上，且EP=2；

当点M与点C重合时，此时点P在。尸上，即为外，且理=砍=2,

由题意，BN2=BD-DN2=4,BF=25,N4=2也,FN2/!DHl,

:ZFN[SABH\D,

BN2—,解得Fg=质,

BD

:.F^=45,

由勾股定理可得：45=1，

即点P的运动轨迹长为1.

【点评】本题主要考查二次函数的综合问题，包括待定系数法确定函数解析式，三角形外接圆的性质，弧

长公式，勾股定理，三角函数解直角三角形等，理解题意，作出相应辅助线是解题的关键.

4.（2021•红谷滩区校级模拟）（1）学习心得：小刚同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到有一些几何

问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易.

例如：如图1,在AABC中，AB=AC,ABAC=80°,。是AABC外一点，且AD=AC,求N3DC的度数.若

以点A为圆心，AB为半径作辅助圆A,则点C、。必在A上，ZB4c是A的圆心角，而N3DC是圆

周角，从而可容易得到NBDC=_40。—.

(2)问题解决:

如图，在四边形ABCD中，ZBAD=ZBCD=9Q>°,NBDC=25。,求NBAC的度数.

(3)问题拓展：

抛物线y=-；(x-l)2+3与y轴交于点A,顶点为3,对称轴BC与x轴交于点C,点尸在抛物线上，直线

PQ//3C交x轴于点。，连接3。.

①若含45。角的直线三角板如图所示放置，其中，一个顶点与C重合，直角顶点。在3。上，另一顶点E在

尸。上，求。的坐标；

②若含30。角的直角三角板一个顶点与点C重合，直角顶点。在2。上，另一个顶点E在尸。上，点。与点

B,点。不重合，求点P的坐标.

【分析】(1)利用同弦所对的圆周角是所对圆心角的一半求解.

(2)由A、B、C、。共圆，得出NBDC=Nfi4C,

(3)①先求出抛物线顶点的坐标，再由点£)、C、。、E共圆，得出NCQB=NOEO=45。，求出CQ,

再求点Q的坐标.

②分两种情况，I、当30。的角的顶点与点C重合时，II、当60。的角的顶点与点C重合时，运用点。、C、

Q、E共圆，求出CQ即点P的横坐标，再代入抛物线求出点P的纵坐标，即可求出点P的坐标.

【解答】解：(1)AB=AC,AD=AC,

,以点A为圆心，点3、C、。必在A上，

ZBAC是A的圆心角，而N3D。是圆周角，

ZBDC=-ABAC=40°,

2

(2)如图2,

■/ZBAD=NBCD=90。,

，点A、B、C、。共圆,

:.ZBDC=ZBAC,

NBDC=25。,

.\ZBAC=25°,

.•.点B的坐标为(1,3),

45。角的直角三角板如图所示放置，其中，一个顶点与。重合，直角顶点。在5Q上，另一顶点石在尸。上,

.•.点。、C、。、石共圆，

ZCQB=ZCED=45°,

/.CQ=BC=3,

.•.点。的坐标为(4,0),

I、当30。的角的顶点与点C重合时，

,直角三角板30。角的顶点与点C重合，直角顶点。在上，另一个顶点E在PQ上

:.点D、C、Q、E共圆，

ZCQB=ZCED=6Q°,

:.CQ=^-BC=y/3,

02=1+73,

.•.把1+有L代入＞=一一1（％-1）2+3得'=一9,

44

...点尸的坐标是（1+拓，2）

直角三角板60。角的顶点与点。重合，直角顶点。在5。上，另一个顶点石在尸。上

.•.点。、C、。、石共圆，

ZCQB=ZCED=30°f

:.CQ=y/3BC=3A/3,

OQ=1+3y/3,

.•.把1+36代入y=-，（x-l）2+3得y=_"，

"44

二点P的坐标是（1+3』，-，）

综上所述，点P的坐标是（1+退，》或（1+3君，

【点评】本题主要考查了圆的综合题，解题的关键就是运用同弦对的圆周角相等.

类型2：定弦定角

1.（2022•雁塔区校级三模）问题提出

（1）如图①，已知AASC为边长为2的等边三角形，则AABC的面积为—6_；

问题探究

（2）如图②，在AABC中，已知NBAC=120。，BC=6百,求AABC的最大面积；

问题解决

（3）如图③，某校学生礼堂的平面示意为矩形ABCD,其宽AB=20米，长3。=24米，为了能够监控到

礼堂内部情况，现需要在礼堂最尾端墙面CD上安装一台摄像头”进行观测，并且要求能观测到礼堂前端

墙面AB区域，同时为了观测效果达到最佳，还需要从点〃出发的观测角4MB=45。，请你通过所学知识

进行分析，在墙面CD区域上是否存在点M满足要求？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由.

【分析】（1）作于。，由勾股定理求出题的长，即可求出面积；

（2）作AABC的外接圆O,可知点A在BC上运动，当HO_L3C时，AABC的面积最大，求出的长，

从而得出答案；

（3）以AS为边,在矩形ABCD的内部作一个等腰直角三角形AOB,且NAOB=90。，过O作HG_LAB于

H,交CD于G,利用等腰直角三角形的性质求出。4,OG的长，则以O为圆心，为半径的圆与CD相

交，从而：。上存在点满足Z4MB=45。，此时满足条件的有两个点过监作于F,作

“。，加/于石，连接OF,利用勾股定理求出OE的长，从而解决问题.

【解答】解：（1）作ADLBC于。，

A4BC是边长为2的等边三角形,

AD=VAB2-BD2=73,

.•.AABC的面积为一x2x真=5

2

故答案为：百；

（2）作AABC的外接圆二O,

ZfiL4C=120°,BC=6y/3,

.,.点A在5C上运动,

图②

当AO_L3C时，AABC的面积最大，

:.ZBOA=60°,BH=CH=30,

:.OH=3,03=6,

:.AH=OA-OH=6-3=3,

1lr-

;.AASC的最大面积为—x6括x3=9j3；

2

(3)存在，以AB为边，在矩形ABCD的内部作一个等腰直角三角形493,且NAOB=90。,

过O作“G_LA3于交CD于G,

B

图③

AB=20米，

:.AH=OH=10^,04=10忘米，

3c=24米，

.•.OG=14米，

100>14,

，以。为圆心，Q4为半径的圆与CD相交，

O上存在点满足N4MB=45。，此时满足条件的有两个点M,

过作//_LAB于尸，作EO_LM/于E,连接',

D

图③

.­.EF=OH=10^z,0Ml=10&米,

EM,=14米,

:.OE=JOM；-ME=2米,

:.CM}=8尸=8米,

同理CM?=2H+OE=10+2=12（米），

MC的长度为8米或12米.

【点评】本题是四边形综合题，主要考查了等边三角形的性质，矩形的性质，等腰直角三角形的性质，勾

股定理，垂径定理等知识，熟练掌握定角定边的基本模型是解题的关键.

2.（2023•浦桥区校级模拟）问题提出：（1）如图①，AA5c为等腰三角形，NC=120。，AC=3C=8,D

是AB上一点，且CD平分AABC的面积，则线段CD的长度为4.

B

图②图③

问题探究：（2）如图②，AABC中，ZC=120°,AB=10,试分析和判断AABC的面积是否存在最大值,

若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由.

问题解决：（3）如图③，2023年第九届丝绸之路国际电影开幕式在西安曲江竞技中心举行，主办方要在会

场旁规划一个四边形花圃A5co，满足3c=600米，CD=300米，ZC=60°,NA=60。，主办方打算过3C

的中点M点（入口）修建一条径直的通道ME（宽度忽略不计）其中点E（出口）为四边形ABCD边上一

点，通道VE把四边形ABCD分成面积相等并且尽可能大的两部分，分别规划成不同品种的花圃以供影迷

休闲观赏.问是否存在满足上述条件的通道ME?若存在，请求出点A距出口的距离短的长；若不存在,

请说明理由.

【分析】（1）由题意可知，8是AABC的中线，利用等腰三角形的性质推出CD，AB,利用三角函数求解

即可解决问题；

（2）当AABC的AB边上的高CD最大时，三角形ABC的面积最大，即CD过圆心O,连接AO.求出CD

的最大值即可得出答案；

（3）连接DA/,BD.首先证明NBDC=90。，求出瓦＞,推出ABDC的面积是定值，要使得四边形ABCD

的面积最大，只要A4BD的面积最大即可，因为3。为定值，为定角=60。，推出当AABD是等边三角

形时，求出四边形ABCD的面积最大值，然后再求出NMDE=90。，构建方程解决问题即可.

【解答】解：（1）如图①，

图①

CD平分AABC的面积,

AD—DB,

AC=5C=8,

:.CDLAB,ZACD=ZBCD=-ZACB=60°,

2

/.CZ)=ACcosZACD=8cos60°=4,

.•・CD的长度为4,

故答案为：4；

（2）存在.如图②,

图②

AB=10,NACB=120。都是定值,

.•.点。在AB上，并且当点。在AB的中点时，AABC的面积最大;

连接OC交AB于点。，则CD_LAB,AD=BD=-AB=5,

2

ZACD=-ZACB=60°,

2

“cAD5AD5A/3

..tan2^ACD-......fCD------------------

CDtan6003

=-ABCD=^^-

一•q

23

答：AABC的面积最大值是苧

BD,

图③

M是的中点,

/.CM=-BC=300，

2

:.CM=CD,

又ZC=60°,

NCMD是等边二角形,

/.ZMDC=ZCMD=60°,CM=DM=BM,

ZCBD=ZMDB=30°,

，NBDC=90。,

:.BD=CD-tan60°=300百米，

在AABD中，8£>=3006米，NA=60。为定值，

由（2）可知当钻=4）时，即AABD为等边三角形时A4BD的面积最大,

此时也为四边形ABCD的最大值（A3DC的面积不变），

=5x300x30。用j3。。后=112500。

AABD是等边三角形，

:.ZADB=60°,

ZADM=ZADB+ZBDM=90°,

由^\EMD+S&CDM=弓2at，付：

-DEx300+—x3002=-x112500^,

242

解得：DE=225A/3,

:.AE=AD-DE=300A/3-225A/3=75A/3（米），

答：点A距出口的距离AE的长为75百米.

【点评】本题是圆的综合题，考查了勾股定理，垂径定理，解直角二角形，等边二角形的判定和性质等知

识，解题的关键是理解题意构造辅助圆，灵活运用所学知识解决问题，难度较大，属于中考压轴题.

3.(2023•柯城区校级一模)如图，点A与点8的坐标分别是(1,0),(5,0),点尸是该直角坐标系内的一个

动点.

(1)使NAPB=30。的点P有无数个;

(2)若点尸在y轴上，且NAPB=30。，求满足条件的点尸的坐标；

(3)当点P在y轴上移动时，NAPB是否有最大值？若有,求点P的坐标，并说明此时NAPB最大的理由；

若没有，也请说明理由.

5-

4-

3-

2-

1-WB

IIII

-4-3-2-1O12345X

【分析】(1)已知点A、点5是定点，要使Z4PB=30。，只需点P在过点A、点3的圆上，且弧所对

的圆心角为60。即可，显然符合条件的点P有无数个.

(2)结合(1)中的分析可知：当点P在y轴的正半轴上时，点尸是(1)中的圆与y轴的交点，借助于垂

径定理、等边三角形的性质、勾股定理等知识即可求出符合条件的点尸的坐标；当点尸在y轴的负半轴上

时，同理可求出符合条件的点P的坐标.

(3)由三角形外角的性质可证得：在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角大于同弧所对的圆外角.要NAPB最

大，只需构造过点A、点3且与y轴相切的圆，切点就是使得NAPB最大的点P,然后结合切线的性质、

三角形外角的性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识即可解决问题.

【解答】解：（1）以4?为边，在第一象限内作等边三角形ABC,

以点C为圆心，AC为半径作।C,交y轴于点耳、P2.

在优弧上任取一点P,如图1,

则ZAPB」ZACB=1*60。=30。.

22

.•.使ZAPB=30。的点P有无数个.

故答案为：无数.

(2)①当点尸在y轴的正半轴上时，

过点C作CG_LAB,垂足为G,如图1.

点4(1,0)，点3(5,0),

；Q=1,OB=5.

「点C为圆心，CG±AB,

:.AG^BG=-AB=2.

2

/.OG=OA+AG=3.

,AA5C是等边三角形，

,\AC=BC=AB=4.

:.CG=^AC--AG2

=>/42-22

=2A/3.

.•.点C的坐标为(3,2下).

过点C作轴，垂足为。，连接Cg,如图1,

.点C的坐标为(3,273),

；.CD=3,OD=2A/3.

片、£是：C与y轴的交点,

:.ZAPtB=ZAP2B=30°.

CP2=CA=4,CD=3,

DP2=442-32=由.

点C为圆心，CD±I]P2,

:.P.D=P,D^yp.

12V

.•.2(0,2凤近).6(0,20+").

②当点尸在y轴的负半轴上时，

同理可得：4(0,-2石-S).巴(0,-26+屿).

综上所述：满足条件的点P的坐标有：

(0,2^/3—^7)>(0,2\/3+•J1')>(0,—2A/3—A/7)(0,—2^/3+^7).

(3)当过点A、3的一£与y轴相切于点尸时，ZAPB最大.

2

理由：可证：ZAPB^ZAEH,当NAPB最大时，ZAEH最大.由sinNAEH=——得：当AE最小即PE最

AE

小时，ZAEH最大.所以当圆与y轴相切时，ZAPB最大.

①当点尸在y轴的正半轴上时，

连接E4,作EH_Lx轴，垂足为H,如图2.

E与y轴相切于点尸，

:.PE±OP.

EHLAB,OP工OH,

ZEPO=ZPOH=ZEHO=90°.

.•.四边形OPE"是矩形.

:.OP=EH,PE=OH=3.

EA=3.

ZEHA=90°,AH=2,EA=3f

EH=dEA2-AH。

=732-22

=百

：.OP=y/5

:.p（o,5.

②当点尸在y轴的负半轴上时，

同理可得：尸（0,-小）.

理由：

①若点尸在y轴的正半轴上，

在y轴的正半轴上任取一点M（不与点尸重合），

连接Ml,MB,交E于点N,连接N4,如图2所示.

N/WB是AAMV的外角，

:.ZANB>ZAMB.

ZAPB=ZANB,

:.ZAPB>ZAMB.

②若点尸在y轴的负半轴上，

同理可证得：ZAPB>ZAMB.

综上所述：当点尸在y轴上移动时，Z4P3有最大值，

此时点P的坐标为（0,A/5）和（0,-正）.

J*____・）

~~O'x

-图1

【点评】本题考查了垂径定理、圆周角定理、勾股定理、等边三角形的性质、矩形的判定与性质，切线的

性质、三角形外角性质等知识，综合性强.同时也考查了创造性思维，有一定的难度.构造辅助圆是解决

本题关键.

类型3：四点共圆

1.（2022•中原区校级模拟）阅读下列材料，并完成相应的任务.

西姆松定理是一个平面几何定理，其表述为：过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点

作三边或其延长线的垂线，则三垂足共线（此线常称为西姆松线）.

某数学兴趣小组的同学们尝试证明该定理.

如图（1）,已知AABC内接于O,点P在。上（不与点A,B,C重合），过点P分别作

AB,BC,AC的垂线，垂足分别为点。，E,F.求证：点。，E,尸在同一条直线上.

如下是他们的证明过程（不完整）：

如图（1）,连接PB,PC,DE,EF,取PC的中点Q,连接QE.QF,

贝l」EQ=_FQ=gpC=PQ=CQ,（依据1）

.■点E,F,P,C四点共圆，

:.ZFCP+ZFEP=18O°.（依据2）

又-ZACP+ZABP=18O°,

:.ZFEP=ZABP.

同上可得点B,D,P,E四点共圆，

任务:

（1）填空:

①依据］指的是中点的定义及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；

②依据2指的是—.

(2)请将证明过程补充完整.

(3)善于思考的小虎发现当点尸是3c的中点时，BD=CF,请你利用图(2)证明该结论的正确性.

【分析】(1)利用直角直角三角形斜边上的中线的性质和圆内接四边形对角互补即可；

(2)利用直角三角形斜边上中线的性质证明点E,F,P,C和点3,D,P,E四点分别共圆，再说

明NEEP+ND£P=180。，可证明结论；

(3)连接PB,PC,利用HL证明RtAPBD三RtAPCF,从而得出结论.

【解答】(1)解：①依据1指的是中点的定义及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，

②依据2指的是圆内接四边形对角互补，

故答案为：①直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；②圆内接四边形对角互补；

(2)解：如图(1),连接P3,PC,DE,EF,取PC的中点。，连接QE.QF,

贝！］E。=/。=；尸。=尸。=。。，

:.点、E,F,P,C四点共圆，

;.NFC尸+NFE尸=180°,

又：ZACP+ZABP=180°,

:.ZFEP=ZABP,

同上可得点3,D,P,E四点共圆，

:.ZDBP=ZDEP,

ZABP+ZDBP=180°,

ZFEP+ZDEP=180°,

:.点、D,E,尸在同一直线上;

（3）证明：如图，连接B4,PB,PC,

BP=PC,

:.BP=PC,APAD=ZPAC,

又-PDLAD,PFYAC,

:.PD=PF,

RtAPBD=RtAPCF(HL),

;.BD=CF.

【点评】本题主要考查了四点共圆，以及圆内接四边形的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性

质等知识，证明RtAPBD=RtAPCF是解题的关键.

2.（2021•哈尔滨模拟）（1）【学习心得】

于彤同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以

使问题变得非常容易.

例如：如图1,在A4BC中，AB=AC,ZBAC=90°,。是AABC外一点，且AD=AC,求"DC的度数.若

以点A为圆心，为半径作辅助；A,则点C、。必在A上，44c是A的圆心角，而N3DC是圆周

角，从而可容易得到NfiDC=45

（2）【问题解决】

如图2,在四边形/WCD中，ZBAD=ZBCD=90°,NBDC=25。,求NBAC的度数.

（3）【问题拓展】

如图3,如图，E,尸是正方形ABCD的边相>上两个动点，满足AE=O/.连接CF交班）于点G,连接

BE交AG于点、H.若正方形的边长为2,则线段D"长度的最小值是—.

【分析】（1）利用同弦所对的圆周角是所对圆心角的一半求解.

（2）由A、B、C、。共圆，得出ZBDC=/a4C,

（3）根据正方形的性质可得AB=AD=CD,ZBAD=ZCDA,ZADG=ZCDG,然后利用“边角边”证

明AABE和ADCF全等，根据全等三角形对应角相等可得4=/2,利用“SAS”证明AADG和ACDG全

等，根据全等二角形对应角相等可得N2=N3,从而得到4=N3,然后求出/讨/6=90。，取AB的中点O,

连接OH、OD,根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得08=，AB=1,利用勾股定理列式求

2

出C©,然后根据三角形的三边关系可知当。、D、”三点共线时，DH的长度最小.

【解答】解：（1）如图1,AB=AC,AD=AC,

,以点A为圆心，AB为半径作圆A,点3、C、。必在（A上，

NS4c是A的圆心角，而NBZJC是圆周角，

ZBDC=-ABAC=45°,

2

故答案为：45；

（2）如图2,取瓦）的中点O,连接AO、CO.

■.NBAD=NBCD=90。,

.•.点A、B、C、。共圆，

:.ZBDC=ZBAC，

■ZBDC=25°,

:.ZBAC=25°,

（3）如图3,在正方形ABC。中，AB=AD=CD,ZBAD=ZCDA,ZADG=ZCDG,

在AABE和ADCF中，

AB=CD

<NBAD=ZCDA,

AE=DF

二.AABE二ADCF(SAS),

.-.Z1=Z2,

在AADG和ACDG中,

AD=CD

ZADG=ZCDG,

DG=DG

:.^ADG=^CDG(SAS),

...N2=N3,

/.Z1=Z3,

ZBAH+Z3=ZBAD=90°,

/.Zl+Z£H77=90o,

ZAHB=180°-90°=90°,

取AB的中点O,连接O〃、OD,

2

在RtAAOD中，OD=^AO2+AD2=#+22=45,

根据三角形的三边关系，OH+DH>OD,

.•.当O、D、〃三点共线时，的长度最小,

最小值=OD-OH=y/5-l.

（解法二：可以理解为点”是在RtAAHB,A5直径的半圆AB上运动当O、H、。三点共线时,。〃长

度最小）

故答案为：A/5-I.

BC

图3

【点评】本题主要考查了圆的综合题，需要掌握垂径定理、圆周角定理、等腰直角三角形的性质以及勾股

定理等知识，难度偏大，解题时