2024年中考数学一轮复习提高讲义：等腰三角形

等腰三角形

知识梳理

1.等腰三角形的概念

有两边相等的三角形叫作等腰三角形.三条边都相等的三角形叫作等边三角形.等边三角形是一类特殊的等腰三

角形.

2.等腰三角形的性质

⑴在同一个三角形中，等边对等角.

(2)等腰三角形三线合一.

3.等腰三角形的判定定理

如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形.(即在同一个三角形中，等角对等边.)

4.等边三角形的判定定理

(1)三个角都相等的三角形是等边三角形.

(2)有一个角是60。的等腰三角形是等边三角形.

典型例题

例1

如图3-1所示，已知O是四边形ABCD内一点QA=OB=OC,4BC=^ADC=70。,则^DAO+NDC。的大小是(

).

470°8.110°

C.140°D.150°

图3-1

分析因为OA=OB=OC,所以NABO=NBAO,/CBO=NBCO,/BAO+NBCO=/ABO+/CBO=/ABC=70。.所

以.44。+4DCO=360°-70°-70°-70°=150°.

解D

例2

如图3-2所示，已知AD=BC,AC=BD,求证:△EAB是等腰三角形.分析要判断△EAB是等腰三角形，则需得证NC

AB=/DBA.解因为AD=BC,AC=BD,AB=BA

DC

所以△ADB^ABCA(SSS)

所以/DBA=/CAB

所以AE=BE^^AEAB是等腰三角形图3-2

例3

如图3-3所示，已知△ABC为等边三角形，点D,E分别在BC,AC边上，且AE=CD,AD与BE相交于点F.

(1)求证:△ABE^ACAD;

⑵求/BFD的度数./

分析利用等边三角形的隐含条件：三边相等，三角相等./\\

解(1)因为AE=CD,AB=CA,/BAE=NACD=60。BDc

所以△ABE0ACAD(SAS)图3-3

(2)因为△ABE^ACAD

所以/ABE=NCAD

所以/AFE=18O°-(ZCAD+ZAEF)=180°-(ZABE+ZAEF)=ZBAC=60°

所以/BFD=60。

例4

如图3-4所示，在边长为4的正三角形ABC中,ADLBC于点D,以AD为一边向右作正三角形ADE.

(1)求^ABC的面积S;4

(2)判断AC,DE的位置关系,并给出证明.

分析利用等边三角形三线合一的性质./\/>£

解(1)S=4x2V3xi=4V3/

2BDC

(2)ACXDE图3-4

因为在正三角形ABC中,AD_LBC

所以/BAD=/CAD=30。

又因为△ADE是正三角形

所以Z.EAF=60°-"AD=30°

所以NEAF=NCAD

所以ACXDE

双基训练

1.等腰三角形的周长为26厘米，一边长为6厘米，那么腰长为（）.

A.6厘米B.10厘米C.6厘米或10厘米D.14厘米

2.已知△ABC,AB=AC,ZB=65°,ZC的度数是（）.

A.50°B.65°C.70°D.75°

3.等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是（）.

A.过顶点的直线B.底边的垂线

C.顶角的平分线所在的直线D,腰上的高所在的直线

4.如图3-5所示,△ABC是等边三角形,D,E,F为各边中点，则图中共有（）正三角形.

A.2个B.3个

C.4个D.5个

5.AABC中,/A:NB:/C=1:2:3,则BC:AB等于（）.

A.2:lB.l:2C.l:3D.2:3

6.等腰三角形的两个—相等（简写成“—”）.

7.已知△ABC,AB=AC,ZA=80°,ZB的度数是.

8.等腰三角形的两个内角的比是1：2,则这个等腰三角形的顶角的度数是一.

9.等腰三角形的腰长是6,底边长5,则周长为—.

10.等边三角形的周长为6厘米，则它的边长为.

11.等边三角形的两条高线相交所成钝角的度数是.

12.在△ABC+,ZA=ZB=ZCJ!]AABC是__三角形.

13.AABC+,ZACB=90°,ZB=60°,BC=3厘米，则AB=.

14.如图3-6所示,AB=AD,AD〃BC,求证:BD平分/ABC.

图3-6

15.如图3-7所示，在△ABC中,AB=AC,D,E分别在AC,AB边上，且BC=BD,AD=DE=EB,求NA的度数.

16.如图3-8所示,△ABC是等边三角形，点D在边BC上,DE〃AC,ABDE是等边三角形吗?试说明理由.

A

E,

BDC

图3-8

17.如图3-9所示，在△ABC中,AB=AD=DC,/BAD=26。,求/B和/C的度数.

图3-9

18.如图3-10所示,AC和BD交于点O.HAB〃DC,OC=OD,求证:OA=OB.

19.已知(如图3-11所示)P,Q是4ABC边BC上的两点，且BP=PQ=QC=AP=AQ,求/BAC的度数.

图3-11

20.如图3-12所示,AD〃BC,BD平分/ABC,求证:AB=AD.

图3-12

能力提升

21.如图3-13所示，在RtAABC中,AB=AC,AD_LBC.垂足为D.E,F分别是CD,AD上的点，且CE=AF.如果/AED

=62。,那么/DBF=().

A.62°B.38°

C.28°D.26°

22.一个等腰三角形的一个外角等于110。，则这个三角形的三个角应该为.

23.等腰三角形的两边长分别为7和3,则这个等腰三角形的周长为.图3-13

24.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30。，它的顶角为.

25.如果等腰三角形的周长为25,一腰上的中线把三角形分成两个三角形，其周长之差是2,则这个等腰三角

形的底边长为—.

26.如图3-14所示，在△ABC中*AB=AC,点D在AC上，且BD=BC=AD,^<AABC中各角的度数.

图3-14

27.已知:如图3-15所示,△ABC中,/人©8=90。人口=8口,/人=30。,求证2BDC是等边三角形.

28.如图3-16所示，乙4=&B,CE\\DA„CE交AB于E,求证:(CE=CB.

图3-16

29.如图3-17所示,AB=AC,^A=40。,,AB的垂直平分线MN交AC于点D,求NDBC的度数.

30.如图3-18所示,D,E分别是AB,AC的中点,CD,AB于D„BE14C于E,求证:AC=AB.

c

D

图3-18

拓展资源

31.上午8时，一条船从海岛A出发，以20海里/时的速度向北航行,11时到达海岛B处，从A,B望灯塔C,测

得乙NAC=40。,NNBC=80。,如图3-19所示，求从海岛B到灯塔C的距离.

N

图3-19

32.正三角形给人以“稳如泰山”的感觉，它具有独特的对称性，请你按要求将图3-20中的正三角形进行分割.

(1)分割后得到的四个等腰三角形面积相等；

(2)分割成四个全等的等边三角形；

(3)分割成两对全等的直角三角形.

图3-20

33如图3-21所示，请在由边长为1的小正三角形组成的虚线网格中，画出：

(1)一个所有顶点均在格点上的等腰三角形；

(2)一个所有顶点均在格点上，且三条边为无理数的等腰三角形.

图3-21

34.请你仔细观察图3-22中等边三角形图形的变化规律，写出你所发现的关于等边三角形内一点到三边距离的

数学事实.

图3-22

35.小明利用两块等边三角形纸板（（△48c与△DEF）进行拼图，如图3-23所示，经过探索后，小明说.AD=

BE=CF,,你同意他的说法吗?说出你的理由.

图3-23

l.B2.B3.C4.D5.B6.底角，等边对等角7.50。

8.36。或90。9.1710.2厘米11.120。12,等边13.6厘米

14.证明:因为AB=AD（已知）

所以NABD=NADB（等边对等角）

因为AD〃:BC（已知）所以NADB=NCBD（两直线平行，内错角相等）

所以NABD=NCBD（等量代换）

所以BD平分/ABC.（角平分线定义）

15.45°

16.ABDE是等边三角形.理由如下：

因为△ABC是等边三角形

所以/A=NB=/C=60。

因为DE〃AC,

所以ZBED=ZA=60°,ZBDE=ZC=60°

所以/B=/BED=/BDE

所以△BDE是等边三角形

17.ZB=77°,ZC=38.5°

18证明:因为OC=OD

所以/ODC=NOCD

又因为AB〃DC

所以NODC=NOBA,/OCD=/OAB

所以NOBA=NOAB

所以OA=OB

19.ZBAC=120°

20.因为AD〃BC

所以NADB=NDBC

又因为BD平分/ABC

所以NDBC=/ABD

所以NADB=NABD

所以AB=AD

21.C22.55°,55°,70°或70°,70°,40°23.17