用导数研究函数性质-高考数学备考复习重点资料归纳

第10讲用导数研究函数性质

真题展示

2022新高考一卷第10题

已知函数/⑶=V-x+l,则()

A./“)有两个极值点B.『㈤有三

个零点

C.点(0,1)是曲线)，=/(工)的对称中心D.直线

y=2x是曲线)，=/“)的切线

【思路分析】对函数“V)求导，判断其单调性和极值情况，即可判断

选项AB；由/(4)+/(-x)=2,可判断选项C；假设k2x是曲线y=/(x)的

切线，设切点为(。力)，求出a/匕的值，验证点(aS)是否在曲线.v=f(x)

上即可.

【解析】

【解法一】(验证切点)：ra)=3ff,令/，(的＞0，解得、＜_曰或文〉g,

令ra)〈o,解得-日＜x＜

“㈤在(f-亭,(笔内)上单调递增，在(当今上单调递减,且

吟;0,呼=厘＞0,

.方⑶有两个极值点，有且仅有一个零点，故选项A正确，选项5错误；

54f(x)+f(-x)=X3-X+\-X3+X+\=2,则关于点(0,1)对称,故选项C正

确；

假设尸21是曲线y=/(x)的切线，设切点为"，则尸［2,解得］：=；

2a=b［b=2

或忙，

显然(1,2)和(-1,-2)均不在曲线y=/(x)上，故选项。错误.

故选：AC.

【解法二】(二级结论)：对于A、B的判断，同法一；

对于C,应用结论：三次函数的对称中心为其拐点，而拐点的横坐标

满足广(x)=0。

1(%)=3式一1J〃a)=6x,由/"(x)=6x=0得x=0,X0)=1z故点(0,1)是曲

线y=7U)的对称中心，C正确；

对于D,设过原点的直线与函数人1)切于点(m,n),则切线斜率

k=3〉-1=心智，解得再，D错误。

m-0i/2

【解法三】(平移)：对于A、B的判断，同法一；

对于C力1)是由g(x)=%3-x向上平移一个单位而得到，显然g(x)

是奇函数，其对称中心为(0,0),将其向上平移一个单位得到人幻的对

称中心。1)。下同法二。

【试题评价】本题考查利用导数研究函数的单调性，极值以及曲线在

某点的切线方程，考查运算求解能力，属于中档题.

试题亮点

试题通过设计适当的函数，将函数的单调性、极值、零点、切线、

函数图像等概念和性质有机地整合到所创设的问题情境中，设问简

洁，考查点全面.试题既注重基础，又能使考生主动探究的能力得到

展示.试题着重考查考生的理性思维素养和数学探究素养，为高校选

拔人才提供有效依据.

知识要点整理

一、函数的单调性与其导数的正负之间的关系

定义在区间(〃，b)内的函数y=/(x)：

/(X)的正负人犬)的单调性

fW>0单调递增

fW<0单调递遍

利用导数判断函数的单调性的一般步骤

(1)确定函数y=«x)的定义域;

⑵求出导数/（x）的零点；

（3）用，（x）的零点将«r）的定义域划分为若干个区间，列表给出，（%）

在各区间上的正负，由此得出函数y=/（x）在定义域内的单调性.

三、函数图象的变化趋势与导数的绝对值的大小的关系

一般地，设函数在区间3，份上：

导数的绝对函数值变

函数的图象

值化

比较“陡峭”（向上或向

越大快

下）

比较“壬缓”（向上或向

越小慢

下）

四、函数极值的定义

1.极小值点与极小值

若函数y=7（x）在点x=a的函数值大。）比它在点x=a附近其他点的函

数值都小，f（«）=0,而且在点x=a附近的左侧f（尤）＜0,右侧

f'（x）＞0,就把心叫做函数y=/U）的极小值点，侬叫做函数y=j[x）

的极小值.

2.极大值点与极大值

若函数y=式幻在点x=人的函数值fib）比它在点％=/?附近其他点的函

数值都大，f0）=0,而且在点x=b附近的左侧f。）＞0,右侧

/。）＜0,就把上叫做函数y=/U）的极大值点，您叫做函数y=j[x）

的极大值.

3.极大值点、极小值点统称为极值息；极大值、极小值统称为极值.

五、函数极值的求法与步骤

1.求函数y=/U）的极值的方法

解方程/(x)=0,当/(xo)=O时，

(1)如果在xo附近的左侧/(%)>0,右侧，(x)<0,那么/U))是极大值;

(2)如果在xo附近的左侧/(x)<0,右侧/(工)>0,那么/Uo)是极小值.

2.求可导函数7U)的极值的步骤

⑴确定函数的定义域，求导数/(x);

(2)求方程(0=0的根；

⑶列表；

(4)利用/(%)与7U)随x的变化情况表，根据极值点左右两侧单调性

的变化情况求极值.

六、函数最值的定义

1.一般地，如果在区间口，切上函数y=/U)的图象是一条连续不断

的曲线，那么它必有最大值和最小值.

2.对于函数兀)给定区间/,若对任意x^h存在沏仁/,使得

於)却>0)，则称zu。)为函数/U)在区间/上的最小值；若对任意工金/,

存在沏W/,使得犬尢)三/5))，则称X沏)为函数式X)在区间/上的最大值.

思考如图所示，观察区间3,加上函数)，=/(%)的图象，找出函数ZU)

在区间出，切上的最大值、最小值.若将区间改为(公。)，«¥)在3,

/?)上还有最值吗？

答案函数y=/(x)在区间［。，切上的最大值是火。)，最小值是於3).

若区间改为3,与，则凡X)有最小值“T3)，无最大值.

七、求函数的最大值与最小值的步骤

函数“X)在区间,，切上连续，在区间(m与内可导，求7U)在［mb］

上的最大值与最小值的步骤如下：

(1)求函数/U)在区间3,。上的极值;

(2)将函数yu)的各极值与端点处的函数值加£^久比较，其中最大的

一个是最大值，最小的一个是最小值.

三年真题

一、单选题

I.〃力是定义在(0，心)上的非负可导函数，且满足寸(x)+/(x)40.对任意正数a,b,

若a〈b,则必有()

A.af(b)<bf(a)B.bf(a)<.af(b)

C.af(a)<f(b)D.bf(b)<f(a)

【答案】A

【详解】解：令ga)=〃a),g'a)=ix)+短(%)MO,

所以gW在(o,*o)上为常函数或递减，

1若g(x)在(0,e)上为单调递减，所以g(a)>gS),

即")>"伍)"①，3>,>0②

两式相乘得：

所以号>华="(。)>5(6)，

2若g(%)在(。,+8)上为常函数，且，(幻=0,则g(a)=为力=0,

即4(〃)="㈤=0③，4->p->0@,

③©两式相乘得：

所以¥=^nlrf(a)=af(b),

综上所述，bf(a)>af(b)

故选：A

2.设/(幻、g。)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当“<()时,

r(x)g(x)+f(x)g，(x)>0.且g(-3)=0,则不等式/&)g(x)<0的解集是()

A.(-3,0)53,+00)B.(-3,0)50,3)

C.(-oo,-3)u(3,4<o)D.(―℃>,—3)kJ(0,3)

【答案】D

【详解】令九(x)=/(x)g(x),则力(—X)=/(—x)g(—x)=-『(x)g(x)=-力(%)，因此函数令X)在

R上是奇函数.

①当xv0时，h\x)=/'(x)g(x)+/(x)g'(x)>0,力(幻在xvO时单调递增，

故函数"X)在R上单调递增.

〃(—3)=/(—3)g(—3)=0,

.•/(X)=f(x)g(x)<0=A(-3),

.\X<-3.

②当x>0时，函数人。)在R上是奇函数，可知：人(/)在(0,—)上单调递增，且力(3)

=_«3)=0,

：,h(x)<Qt的解集为(0,3).

③当x=0时，力(0)=0,不符合要求

..•不等式f(x)g(x)<0的解集是Ho,450,3).

故选：D

3.用计算器验算函数,=竽2)的若干个值，可以猜想下列命题中的真命题只能是(

)

A.y=处在(L+oo)上是单调减函数处,X€(l,+8)的值域为

B.

xX

C.y=9,xe(l,+8)有最小值D.lim—=O,/i€N

xn->8n

【答案】D

【详解】由〃6二竽得二焉：Tgx」ge?gx,

当x>e时，/'(x)<0,当l<x<e时，/^x)>0,

则〃x)=竽在(l,e)上单调递增，在(e,+o>)上单调递减，A错误

*㈤"何=配工孥,B错误；

e3

f(x)=处在(l,e)上单调递增，在(e,+o>)上单调递减，其在。,内)上无最小值，C错误;

X

综上，可排除A8C,

故选：D.

4.己知c>0,在下列不等式中成立的一个是()

c

A.C>2B.C.D.

【答案】D

【详解】A.令f(x)=2-Mx>0),则r(x)=2'ln2-l>ln2-l>0,函数〃力在(0,+功上

单调递增，所以f(c)=2C-c>〃0)=l,即c<2J故选项A不正确.

B.当c=g时，(g)>c,当c=l时，(g)<c.故选项B不正确.

C.c>0时，2。.故选项C不正确.

D.由C选项知选项D正确.

故选：D.

5.没一(力是函数f(x)的导函数，y-7(切的图像如图所示,则y-f(x)的图像最有可能

的是()

【答案】C

【详解】由导函数的图象可得当XV。时，/＜x）＞0,函数/（X）单调递增；

当0vxv2时，，'（力＜0,函数〃力单调递减;

当4＞2时，制勾＞0,函数/（X）单调递增.

只有C选项的图象符合.

故选:C.

6.函数/（x）的定义域为开区间（49，导函数广（另在（。⑼内的图象如图所示，则函数/（力

在开区间（。2）内有极小值点（）

【详解】解:由导函数r（力在区间（。山）内的图象可知,函数广（可在（。㈤内的图象与x轴

有四个公共点，

在从左到右第一个交点处导数左正右负，它是极大值点；在从左到右第二个交点处导数左负

右正，它是极小值点；在从左到右第三个交点处导数左正右正，它不是极值点；在从左到右

第四个交点处导数左正右负，它是极大值点.所以函数在开区间（〃/）内的极小值点有1

个.

故选：A.

7.当x=l时，函数f（x）=alnx+2取得最大值_2,则八2）=（）

x

A.-1B.一；C.\D.1

【答案】B

【详解】因为函数/（x）定义域为（0,+8）,所以依题可知，/（1）=-2,/（1）=0,而

广（'=@—与，所以力=一2,々一〃=0,即〃=-2/=一2,所以广（力=一；+马，因此函数〃力

XXXX

在（0,1）上递增，在（1收）上递减，工=1时取最大值，满足题意，即有八2）=T+；=-g.

故选：B.

8.函数/(x)=cosx+(x+l)sinx+l在区间［0,2司的最小值、最大值分别为()

nit7i一加兀c3nn

A.—，-B3T.T>—C.—»—+2D.----，-H

22222222

【答案】D

［详解］(x)=-sinx+sinx+(x+l)cosx=(x+l)cosx,

所以/(x)在区间归，和停,2冗|上网x)>0,即/(X)单调递增；

在区间(碧)上,㈤<0,即因力单调递减,

/=+1+1=，

又/(0)=/(2兀)=2,/电=5+2,{T}~^3)~T

所以〃力在区间［0,2可上的最小值为号，最大值为畀2.

故选：D

311］

9.已知。=—,Z?=cos—,c=4sin-,则()

3244

A.c>b>aB.b>a>cC.a>b>cD.a>c>b

【答案】A

【分析】由：=4tanJ结合三角函数的性质可得c>优构造函数

b4

/(X)=COSX+92_I,X«O,+8),利用导数可得入,即可得解

【详解】［方法一］:构造函数

因为当xe(0，'|')，xvtanx

clc

ife-=4tan->l,故7>1,所以c>b；

b4b

设/(x)=cosx+gx2-i,xw(。，”)，

f(x)=-sinx+x>0,所以f(x)在(0,y)单调递增，

故/(小/⑼力，所以cos；4>0,

所以b>“，所以C>Z?>4,故选4

［方法二］:不等式放缩

因为当xe(0,5j,sinxvx,

取x=!得：cos—=l-2sin2->=—,故人”

84818J32

4sin-+cos—=Vf7sinf-+^?|,其中e］,且sin/=-^l=,cos0=-^=

44)I2JV17VI7

当4sin；+cos；=JT7时，:+(p=；,及9=］一;

…•141I

此时sin—=COSQ=—?=,cos—=sm^?=—T=

4VI74VI7

u114.1..I

故c°,二而,而”/<4加"故b<c

所以6>a,所以C>%>。，故选A

［方法三］:泰勒展开

1Ancmu31,0.252L1,0.2520.254

设x=0.25,则a=—=1---------,b=cos-«1----------+--------,

322424!

Sin24

..14i0.250.25工的,曰L....A

c=4sin-=­：­»1----—+——,计算得c>b>a,故选A.

4，3!5!

4

［方法四］:构造函数

因为£=4tanL因为当外sinx<x<tanx,所以taJ>,，即苫>1,所以。>力；设

b42J44〃

/(x)=cosx+^x2-i,xe(0,-Hx>),f,(x)=-sinx+x>0,所以/(x)在(0,+<»)单调递增，贝ij

/(£|>/(0)=0,所以cos；-号>0,所以〃…所以

故选：A.

［方法五］:【最优解】不等式放缩

因为£=4tan，，因为当X£(0,；1,sinx<xvtanx,所以tan，>」,即!>1,所以c>b；因

为当工€(0，11,3111<］，取X=［得8$，=1-25亩2，>1-2|<1］=—,故所以c>b>a.

I2；848⑻32

故选：A.

【整体点评】方法4：利用函数的单调性比较大小，是常见思路，难点在于构造合适的函数,

属于通性通法；

方法5：利用二倍角公式以及不等式xe(0,］)sinx<x<tanx放缩，即可得出大小关系，属

于最优解.

10.已知正四棱锥的侧棱长为/,其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为36万，且

3</<3>/3,则该正四棱锥体积的取值范围是（）

,81]「2781]「27641

A.18,—B.—C.—-D.M[1O8,271

L4JL44JL43J

【答案】C

【详解】•・•球的体积为的灯,所以球的半径R=3,

[方法一]:导数法

设正四棱锥的底面边长为2%高为人

则尸=却+力2,32=2。2+（3-〃）2,

所以6人=/，2a2=l2-h2

11o/4I2]（/6A

所以正四棱锥的体积丫=94=94/、〃='（『一三口?二厂一三

333Jo69^Joy

所以

当时，Vf>0,当2"</«3G时，F<0,

所以当1=2指l时，正四棱锥的体积丫取最大值6，4最大值为半，

27e1

又/=3时，V=—,/=36时，V=—,

44

所以正四棱锥的体积丫的最小值为2一7，

4

2764

所以该正四棱锥体积的取值范围是—.―.

43

故选：C.

[方法二]:基本不等式法

由方法一故所以=人的/?」02-2〃）/?XA-X。2-2'）+〃+"=处（当且

333333

仅当人=4取到），

时,得。嚼，则JU（翁）葭|宁

当，=36时，球心在正四棱锥高线上，此时力=尹3=，

《〃=羊=〃=莘，正四棱锥体积*=92人、（辈）2x==U＜],故该正四棱锥体积的取

22，233，2243

值范围是

43

二、多选题

11.已知函数/（©=■?-x+1,贝！（）

A./（%）有两个极值点B.f（x）有三个零点

C.点（0,1）是曲线y=/（X）的对称中心D.直线y=2X是曲线）=f（x）的切线

【答案】AC

【详解】由题,小）=3k-1,令/"）＞0得x邛或一冬

令八幻＜。得

所以f（x）在（-8,-普），（4,+8）上单调递增，（-#,#）上单调递减，所以x=±立是极

值点，故A正确；

因/（-季=1+竽＞0,/（亭=1一竽＞0，/（-2）=-5＜0,

所以，函数/（“在-%-亭）上有一个零点，

当x/时，“X）之/图＞0,即函数小）在件+8上无零点，

综上所述，函数/（幻有一个零点，故B错误；

令/?"）=1?一X,该函数的定义域为R,A（-x）=（-X）3-（-X）=-X3+x=-A（x）,

则〃（X）是奇函数，（0,0）是力。）的对称中心，

将〃（x）的图象向上移动一个单位得到一。）的图象,

所以点9D是曲线y=八幻的对称中心，故c正确；

令/(力=3/-1=2,可得H,X/(D=/(-l)=l,

当切点为(1,1)时，切线方程为y=2x-l,当切点为时，切线方程为y=2x+3,故D错

误.

故选：AC.

12.已知函数，(幻及其导函数八x)的定义域均为R,记g(x)=r。)，若据一2x),g(2+x)

均为偶函数，则()

A./(O)=OB.g(T)=。C./(-D=/(4)D.g(-l)=g(2)

【答案】BC

【详解】［方法一］:对称性和周期性的关系研究

对于/⑼因为小一2,为偶函数，所以y(Q+Wq即*-+虑+,①,

a

所以/(3—x)=/(x),所以/*)关于x对称，则/(-1)=/(4),故C正确；

对于g(x)，因为g(2+x)为偶函数，g(2+x)=g(2-x),g(4-x)=g(x),所以g(x)关于x=2

对称，由①求导,和g(x)=/'(%),得

咋+=-呜r卜《泊”畀卜(泊，所以

g(3T)+g(x)=O,所以g(x)关于g,0)对称，因为其定义域为R,所以g(|)=O,结合g(“)

关于x=2对称，从而周期7=4x(2_|)=2,所以且卜升同他且㈠心8⑴/⑵,

故B正确，D错误；

若函数满足题设条件，则函数/(x)+C(C为常数)也满足题设条件，所以无法确定/(幻

的函数值，故A错误.

故选：BC.

［方法二］:【最优解】特殊值，构造函数法.

由方法一知g(x)周期为2,关于X=2对称，故可设g(x)=C0S(7U),则/(x)=Ling)+c,

71

显然A,D错误，选BC.

故选：BC.

［方法三］:

因为g(2+x)均为偶函数，

所以/(|一24)=/(1+24)即/(1一%)=/1|+工)g(2+x)=g(2一%),

所以"3T)"(X),g(4-r)=g(x),则故C正确；

函数/⑴，8。)的图象分别关于直线x=；,x=2对称，

又g(x)=f'(x),且函数〃唠可导,

所以g图=0以(3-力=旬力，

所以g(4-x)=g(x)=-g(3-x),所以g(x+2)=-g(x+l)=g(x),

所以g1一£|=g(T)=O，g(T)=g(l)=—g(2)，故B正确，D错误；

若函数f(”)满足题设条件，则函数/0)+C(C为常数)也满足题设条件，所以无法确定/(”)

的函数值，故A错误.

故选：BC.

三年模拟

一、单选题

1.设定义R在上的函数产“力，满足任意xwR,都有/(x+4)=/(x),且xe(0,4］时,

才(x)>f(x),则“2021),"22),42°23)的大小关系是()

3

A.“2021)〈符〈华B.Z®</(2021)<ZM

C.ZM<ZM</(2021)D,竿</(2021)〈警

【答案】A

【详解】依题意，任意KER,都有/(x+4)=/(力，所以/(%)是周期为4的周期函数.

所以〃2。2〜⑴，牛=学竿=零.

构造函数尸(x)=§(O<x44),F'(x)="‘°［；」®>O,

所以产(力在区间(0,4］上单调递增，所以F(1)<F(2)<F(3),

即犯〈组〈组，也即小⑼)〈丝㈣〈小㈣.

12323

故选：A

2.设门力是函数/(力的导函数，且门力>3/(x)(xeR),/(1j=e(e为自然对数的底

数)，则不等式/(lnx)<V的解集为()

A.„B.(；,+8)C.(0,^/e)D.(%,+<jo)

【答案】C

【详解】令g(x)=华，则g，3

ee

因为f'(X)>3/(x)(%wR),

所以g，(j)J(x)；3/(x)>0,

e

所以函数g(x)在R上为增函数，

Z(M<i

不等式〃lnx)<d即不等式《f,

x>0

又四力等"竽,g卧

所以不等式*nx)<d即为g(ln.r)<g1；j,

即lnx<；,解得0<x<加，

所以不等式川nx)vV的解集为(0,泥).

故选：C.

3.已知函数/(x)=sin2x-28sx,下列说法中，正确的是()

A.函数/(力不是周期函数

B.点(兀0)是函数/(x)图象的一个对称中心

C.函数/(力的增区间为卜E—g2E+2](此Z)

D.函数/(可的最大值为2

【答案】C

【详解】对于A,/(x+27r)=sin[2(x+2n)]-2cos(x+27i)=sin2x-2cosx=/(x),

故函数/（力是周期函数，A错；

对于B.f（2n-x）=sin[2（2TC-2cos（2n—x）=sin（4TC-2x）-2cosx=—sin2x—2cosx

一(力，

所以，点(九,0)不是函数/(X)图象的一个对称中心，B错；

对于C,由//(X)=2cos2x+2sin.v=2(1-2sin2x+sinx)=-2(2sin2x-sinx-Q>0,

可得一,WsinxWl,解得2E—二4x«2E+乂(攵eZ),

266

所以，函数的增区间为2E-1，2E+等(AwZ),C对;

oo

对于D,由r（x）＜0可得sinx＜」，解得2E+X＜xv2E+监AeZ）,

266

所以，函数八力的单调递减区间为(2E+?In,2E+

6

由A知，函数/(x)为周期函数，且2兀为函数/(x)的一个周期,

不妨考虑函数/(x)在区间等上的最大值,

o6

由题意知，函数/(可在区间上单调递增，在区间乎上单调递减，

所以，/(X)=/f—LsinZ^-2cos—=—+^=—,D错.

一皿」I6J3622

故选：C.

4.已知函数=版2+cx+d有两个极值点//，若/(%)二%＜12，则关于“的

方程［『a)T+"(x)+c=0的不同实根个数为()

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

22

【详解】解：f'(x)=^-3x+^-2bx+c=x+bx+ct

由题意知是函数的两个极值点，即毛,々是方程W+bx+c=0的两根，

从而关于/(“)的方程［/(力了+"⑴+”0有两个根，/⑴=百或/(x)=x?,

若/(再)二百＜七，所以根据题意画图，

由图可看出/")=%有两个不等实根，/(X)=%2只有一个不等实根,

综上方程卜⑴了+"(x)+c=O的不同实根个数为3个.

故选：B.

1117

5.已知a=3sin[,b=cos-c=—,则()

33tIo

A.a>b>cB.c>b>a

C.h>a>cD.a>c>b

【答案】A

【详解】设/(x)=cosx+g/-l,0<x<l.

则r(x)=x-sinx,设g(x)=x-sinx,0<x<l.

/(x)=l-cosx>0,所以g(x)在(0,1)单调递增，g(x)>g(O)=O.

所以制x)>0,即f(力在(0,1)单调递增,

所以BP/(^)=cos1+-^-l>0,BPcos|>^,b>c.

31o31o

设/z(x)=tanx-x,0<x<l,hf(x)=-—-1=*?>0

cosxcos'x

所以〃(*)在(0,1)单调递增.h(x)>h(O)=O,即tancn

.1

sin-.[]

所以---y>-,即3sin->8s-,即白>人，

…1333

cos-

3

所以a>b>c.

故选：A

6./(©=的最小值是t,则实数。的取值范围是()

ax'-x+1—a,x>1

【答案】A

【详解】当工,1时，r(x)=xe\令/(力=0,得户0,则“X)在(Y,o)上单调递减，(0,1)

上单调递增，即函数/(x)在x=0处取得最小值-1,

所以问题转化为a?_X+1一a.1在(L+00)上恒成立，

令g(x)=ar2-x+2一〃，则g(x”0在上恒成立

当4,0时，不符合.

当a>0时，对称轴工=丁，则｛为或《2a

2a[g⑴=a-1+2-〃之0[△=l-4t?(2-6r)<0

解得或三叵领h

222

故选:A.

7.已知函数/(x)在R上存在导函数r(x),对于任意的实数x都有〃T)=/(X),当x<0

时，2f(x)+xff(x)>0,若。=0.25/(-0.5),=/(-1),c=4f(2),则”，。，c的大小关

系是()

A.b>c>aB.a>b>cC.c>b>aD.c>a>b

【答案】C

【详解】令g(x)=x2/(x),,・,当xvO时，2/(刈+才(力>0,贝ljg，(x)=.r[2f(x)+4'(x)]<。,

所以当xvO时，函数g(x)单调递减.

因为对于任意的实数x都有=所以g(—x)=(—x)2/(—x)=f・/(x)=g(H，即

g(x)为偶函数，

所以当x>0时，函数g(“)单调递增.

又a=：/(一£)=(一£)力=/(T)=(T)2/(T)=g(T)=g0)，

C=4/(2)=22/(2)=^(2),

i(1A

又2>1>不所以g(2)>g⑴,g-L即

2

故选:c.

8.给出定义：若函数在区间。上可导，即/'（X）存在，且导函数/'（X）在。上也可导,

则称“X）在D上存在二阶导函数.记尸（耳=（7（X））'，若广（*）<0在Q上恒成立，则称/（*）

2

在。上为凸函数.若g（x）=^+lnx在（0,1）上是凸函数,则实数。可取的最大整数值为（）

A.0B.IC.2D.3

【答案】C

【详解】因为g'（x）=,x+frW=y-4

由凸函数的定义可得，g"（x）<0在x«0,l）恒成立，

即停一!<0="3■在工4°”）恒成立，

且当z时,白）「1，

所以a«|,则实数a可取的最大整数值为2

故选:C.

9.已知/（工）二一£一cosx,若〃=/e4,0=/（ln1）c=则小b,c的大小

关系为（）

A.c<b<aB.c<a<bC.b<c<aD.a<c<b

【答案】D

【详解】因为-cosx,xwR,定义域关于原点对称，

f（一4）=-（-x）2-cos（-x）=-x2-cosx=f（x）,

所以f（x）为R上的偶函数，

当xNO时,/'（x）=-2x+sinx,,设g（x）=-2x+sinx,

则g'（x）=-2+cosx,-1WcosxS1,•.g'（x）v0,

所以g。）即f（X）在［o,小）上单调递减，所以r（X）</（0）=o,

所以在ro,-K»）上单调递减,又因为f（x）为偶函数，

所以f（x）在（-00,0］上单调递增，

-111

又因为e4>e“

e4

因为』=Ine支「=e,f-l«2.4<e,所以e7>3,

4111M4

1515

所以Ine4>ln2,即一>ln-,

444

_2i5

所以e，〉一>ln-,

44

所以/同<唱<小］

RPa<c<b.

故选：D.

10.已知a>b,且ef=ej=I.01,则下列说法正确的有()

①人<一1；®0<«<—；③Z?+a<0；®a-b<\.

2

A.①②③B.@®@C.②④D.③④

【答案】B

【详解】令〃x)=e=x,则/'(x)=e*T,

当xvO时，r(x)<0；当x>0时，/^x)>0：

故〃x)<0在(0,2)上为增函数，在(~,0)上为减函数，

而“。)=/(。)，a>b,故

而/(一〈1=:+；>〈+上=答>1()2>1.3=/0),故一:<b<0,故①错误.

又吗卜G；>"^_g=L6_05>101=〃a),故0<々<；，

故②正确，it匕时a-bvl,故④正确.

^A(x)=/(x)-/(-x)=e'-ev-2x,x^0,

则”（力=e”+e7-222&xx尸一2=0（不恒为零），

故〃（力在［0,+8）上为增函数，

故心＞0,必有h（x）＞/i（O）=OEP/（x）＞/（-x）（x＞0）,

所以/（々）＞/（一。），即/。）＞/（一々），

由“X）的单调性可得人〈-。即。+6＜0,故③成立.

故选：B.

二、多选题

II.已知函数f(x)=半，则下列说法正确的是()

X+1

A.当。=2时，函数/J)在定义域内是减函数

B.存在一个实数%使得函数Ax)满足/(x-2)=/(-%)

C.对于任意的实数。，函数/(X)无极值点

D.当^<1时;若曲线y=/(x)在点(1,/(D)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为:，

O

则"=q

【答案】BC

【详解】A选项：当。=2时，/(上)===1+—二，定义域为卜,工-“，显然函数/(外在

X+lX+II11

定义域内不具有单调性，故A不正确：

B选项：当。=1时,f(x)=l(x^-l),此时满足/。-2)=〃-劝,故B正确;

C选项：当。=1时，f(x)=l(x^-l),此时函数/(%)是常函数，无极值点；当。工1时，函

数/(外=g;=1+二，在(力，-1)和(T,KO)上都是单调的，因此不存在极值点，故C正

x+lx+\

确；

D选项：当avl时，由/'(")=言亍，八1)=宁，/⑴二等，因此曲线y=/(x)在

点(1J(D)处的切线方程为y-"=F(xT)，即)'=Fx+孚，则切线与坐标轴交点

2444

.(八3。+1、『3〃+1八3a+l3a+11Kg_7,,__

坐标为：。，——»---»所以彳--------:--------=-，解得。=0或。=一套，故D不

\4)\a)24a-\89

正确.

故选：BC.

12.已知函数/(x)=(sinx+coa¥)sin2x,则()

A.八幻在[0,2兀]上有7个零点B.f。)的图象关于直线对称

C./⑶的最小正周期为几D./a)的值域为[-夜,历

【答案】AD

【详解】A选项：令,。)=0,得sinx+cosx=0或sin2x=0.由sinx+cosx=0,得tanx=—l,

31T77Tk

因为xe[0,27c],所以x=尊或％=?；由sin2x=0,得x=；7t,&cZ,因为XW[0,2TT],所

442

以％=0或*=5或］=兀或x=/或x=2兀.故/(X)在［0,2泪上有7个零点，故A正确.

B选项:因为.呜卜血,/用=0,所以/(升/用，则Ax)的图象不关于直线T

对称，故B错误.

C选项：/(x+^)=［sin(x4-^)+cos(x+^)］sin(2x+2^-)=-(sinx+cosx)sin2x^/(x),故

C错误.

D选项：

/(x)=(sinx+cosx)^(sinx+coso:)2-1j=(sinx+cosx)3-(sinx+cosx)=2x/2sin3(x+^-5/2sin^x

,令痴in卜+()=，，则，w亚1，令展。=/一，则g()=3产一1,所以当/€-&,一等］

时，g'Q)>0,g«)单调递增；当代—¥，¥时，/⑺<°，8⑺单调递减；当，及

时，g'Q)>0,g")单调递增.而g(夜)=应，

g图=-平>gN)=S所以/(4-(-&)=-0，〃“2=8(&)=&,

即/(-v)的值域为［-夜，夜］,故D正确.

故选：AD

【点睛】关键点睛：利用换无法，结合导数的性质是解题的关键.

13.已知函数/(x)=d+o?+加+。(。，b,ceR),则下列说法正确的是()

A.若实数%,再是f(x)的两个不同的极值点，且满足％+9=中2,则。>0或av>6

B.函数/(x)的图象过坐标原点的充要条件足c=0

C.若函数/(x)在R上单调，则3bK/

D.若函数/(力的图象关于点0J⑴)中心对称，则。=-3

【答案】ABD

【分析】对于A：由题意知实数5,占是/'(力=0的两个不等实根，得到百+々，X也，再由

%+毛=%占得6=-勿，最后由A〉o可求得。的取值范围；对于B：从充分性和必要性两方

面分别进行证明即可；对于C：由函数/(“在R上单调，则一定有，(X)20恒成立，显然

C不正确；对于D：由题意知/(1+力+〃1一力=2/⑴恒成立，可求得〃=-3,D正确.

【详解】A选项：f\x)=3x2+2ax+b,由题意知实数玉,当是方程3f+2or+0=0的两个不

等实根，(注意：极值点与导函数的零点之间的关系)

所以△=4/_]3>0,且不+9=-''b，由％+占=入/，得人=一2。，所以/+64>0,

解得〃>0或a<-6,所以A正确；

B选项：若函数/(4)的图象过坐标原点，则/(0)=c=0,故必要性成立；反之，若c=0,

则〃0)=c=0,故函数/(力的图象过坐标原点，充分性成立，所以B正确；

C选项：若函数/(同在R上单调，则/'(力=3/+*+620恒成立，所以依2T助40，

即初2",所以C不正确；

D选项：因为函数“力的图象关于点(1J⑴)中心对称，所以f(l+K)+〃l—力=2/(1),

即(l+x)3+a(l+x)2+b(l+x)+c+(l-x)3+a(l-x)2+O(l-x)+c=2(l+a+b+c),整理得

(«+3)<=0,所以〃=一3,所以D正确.

故选：ABD.

14.对于三次函数/(耳=混+加^+以+/々/。)，给出定义：设尸(x)是函数)，=/(x)的导

数，尸(力是函数f'(x)的导数，若方程/〃(力=0有实数解》,则称■，/(%))为函数

y=/(x)的“拐点”.某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数

o49

都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.若函数〃力=(丁72-121+高，则下列说法正确

的是()

A.，(力的极大值点为12,[Z)

B./(力有且仅有3个零点

C.点1,2)是f(x)的对称中心

1232021

D.f+/=4042

2022202