沪教版九年级数学核心知识点与常见题型通关讲解练第07讲锐角的三角比(原卷版+解析)

第07讲锐角的三角比【知识梳理】一．锐角三角函数的定义在Rt△ABC中，∠C＝90°．（1）正弦：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA．即sinA＝∠A的对边除以斜边=a（2）余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cosA．即cosA＝∠A的邻边除以斜边=b（3）正切：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA．即tanA＝∠A的对边除以∠A的邻边=a（4）三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数．二．特殊角的三角函数值（1）特指30°、45°、60°角的各种三角函数值．sin30°=12；cos30°=3sin45°=22；cos45°sin60°=32；cos60°=1（2）应用中要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记．（3）特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多．【考点剖析】一．锐角三角函数的定义（共5小题）1．（2022春•浦东新区校级期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4．下列四个选项，正确的是（）A．tanB=34 B．cotB=43 C．sinB=2．（2021秋•浦东新区校级期末）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，那么下列式子中正确的是（）A．sinA＝ B．cosA＝ C．tanA＝ D．cotA＝3．（2021秋•崇明区期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2，AC＝1，那么cosB的值是（）A． B． C． D．24．（2021秋•嘉定区期末）在△ABC中，∠C＝90°，cosB=14，BC＝4，那么AB＝5．（2021秋•宝山区期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果ACBC=34，那么sinA6．（2021秋•青浦区期末）在△ABC中，∠C＝90°，如果tan∠A＝2，AC＝3，那么BC＝．7．（2021秋•浦东新区期末）如果在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（3，4），射线OP与x轴的正半轴所夹的角为α，那么α的余弦值等于．二．特殊角的三角函数值（共7小题）8．（2022春•徐汇区校级期中）30°的值等于339．（2021秋•杨浦区期末）计算：cos245°﹣tan30°sin60°＝．10．（2021秋•黄浦区期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果ACAB=32，那么∠11．（2021秋•松江区期末）已知sinα＝，那么锐角α的度数是（）A．30° B．45° C．60° D．75°12．（2021秋•浦东新区校级期末）计算：3cot60°+2sin45°＝．13．（2021秋•嘉定区期末）计算：．14．（2021秋•崇明区期末）计算：3tan30°+2cos45°﹣2sin60°•cot45°．15．（2021秋•徐汇区期末）计算：sin60°+3tan30°⋅cos60°1−2cot45°+cot30°16．（2021秋•普陀区期末）计算：4sin17．（2021秋•黄浦区期末）计算：tan30°2cos30°+cot245°﹣sin18．（2021秋•静安区期末）计算：tan45°sin60°⋅cot30°−(sin30°【过关检测】一、单选题1．如果∆ABC的各边长都扩大为原来的3倍，那么锐角A的正弦、余弦值是（

）A．都扩大为原来的3倍 B．都缩小为原来的C．没有变化 D．不能确定2．中，，下列关系中正确的是（

）A． B． C． D．3．在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则cos∠B的值为（

）A． B． C． D．4．⊿ABC中，∠C=90°，下列关系中正确的是（

）A． B． C． D．5．在中，∠C=90°，∠A=30°，则sinA+sinB的值是

（

）A．1 B． C． D．46．在中，若tanA=1，cosB=，则下列判断最确切的是（

）A．是等腰三角形 B．是等腰直角三角形C．是直角三角形 D．是一般锐角三角形二、填空题7．在⊿ABC中，∠B＝90°，AB＝5，BC＝12，则______．8．在中，C=90°，tanA=3，tanB=________9．若三角形的三边之比为，则此三角形的最小内角的正弦值是______．10．如图，已知RtABC中，斜边BC上的高AD＝4，cosB，则AC＝_____．11．计算=___________．12．若sin30°=cosB，那么∠B=________°．13．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，则sinA＝_____________14．在中，∠C=90°，AB=13，AC=5，______．15．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则tanA的值为_____．16．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝，则sinA＝___，cosB=____,cosA=________,sinB=_______.17．已知在△ABC中，∠A、∠B为锐角，且sinA＝，cosB＝，∠C＝_____．18．在Rt△ABC中，∠C＝90°，3a＝b，则∠A＝______度，sinA＝________．三、解答题19．在中，，，求、的正切值．20．在⊿ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=8.求和的値．21．如图，在中，，，垂足为，，．求的值．22．计算：（1）（2）．23．计算：（1）；

（2）．24．已知，其中为锐角，求、、的値．25．在⊿ABC中，∠C=90°，BC=2，．求AC的长．

第07讲锐角的三角比【知识梳理】一．锐角三角函数的定义在Rt△ABC中，∠C＝90°．（1）正弦：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA．即sinA＝∠A的对边除以斜边=a（2）余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cosA．即cosA＝∠A的邻边除以斜边=b（3）正切：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA．即tanA＝∠A的对边除以∠A的邻边=a（4）三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数．二．特殊角的三角函数值（1）特指30°、45°、60°角的各种三角函数值．sin30°=12；cos30°=3sin45°=22；cos45°sin60°=32；cos60°=1（2）应用中要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记．（3）特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多．【考点剖析】一．锐角三角函数的定义（共5小题）1．（2022春•浦东新区校级期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4．下列四个选项，正确的是（）A．tanB=34 B．cotB=43 C．sinB=【分析】根据勾股定理求出BC的长，根据锐角三角函数的定义判断即可．【解答】解：如图，根据勾股定理得：BC=AtanB=ACcotB=1sinB=ACcosB=BC故选：C．【点评】本题考查了勾股定理，锐角三角函数的定义，掌握cotB=12．（2021秋•浦东新区校级期末）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，那么下列式子中正确的是（）A．sinA＝ B．cosA＝ C．tanA＝ D．cotA＝【分析】先利用勾股定理求出BC的长，然后再利用锐角三角函数的定义逐一判断即可．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，∴BC＝＝＝3，∴sinA＝＝，故A不符合题意；cosA＝＝，故B符合题意；tanA＝＝，故C不符合题意；cotA＝＝，故D不符合题意；故选：B．【点评】本题考查了勾股定理，锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．3．（2021秋•崇明区期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2，AC＝1，那么cosB的值是（）A． B． C． D．2【分析】根据勾股定理求出BC的长，然后进行计算即可．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2，AC＝1，∴BC＝＝＝，∴cosB＝＝，故选：B．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，勾股定理，熟练掌握正弦，余弦，正切的定义是解题的关键．4．（2021秋•嘉定区期末）在△ABC中，∠C＝90°，cosB=14，BC＝4，那么AB＝【分析】根据锐角三角函数的定义进行计算即可．【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，cosB=14，∴AB=BC故答案为：16．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的正弦，余弦，正切是解题的关键．5．（2021秋•宝山区期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果ACBC=34，那么sinA的值是【分析】根据题意设AC＝3k，则BC＝4k，由勾股定理求出AB，再根据锐角三角函数的定义进行计算即可．【解答】解：由于在Rt△ABC中，∠C＝90°，ACBC可设AC＝3k，则BC＝4k，由勾股定理可得，AB=AC2∴sinA=BC故答案为：45【点评】本题考查锐角三角函数的定义，掌握锐角三角函数的定义以及勾股定理是正确解答的关键．6．（2021秋•青浦区期末）在△ABC中，∠C＝90°，如果tan∠A＝2，AC＝3，那么BC＝6．【分析】根据锐角三角函数的定义进行计算即可．【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，tan∠A＝2，AC＝3，∴BC＝ACtan∠A＝3×2＝6，故答案为：6．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的正弦，余弦，正切是解题的关键．7．（2021秋•浦东新区期末）如果在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（3，4），射线OP与x轴的正半轴所夹的角为α，那么α的余弦值等于．【分析】画出图形，根据勾股定理求出OP，根据锐角三角函数的定义求出即可．【解答】解：过P作PA⊥x轴于A，∵P（3，4），∴PA＝4，OA＝3，由勾股定理得：OP＝5，∴α的余弦值是＝，过答案为：．【点评】本题考查了勾股定理和锐角三角函数的定义的应用，主要考查学生的计算能力．二．特殊角的三角函数值（共7小题）8．（2022春•徐汇区校级期中）30°的正切值等于33【分析】直接利用特殊角的三角函数值得出答案．【解答】解：30°的正切值等于33故答案为：正切．【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．9．（2021秋•杨浦区期末）计算：cos245°﹣tan30°sin60°＝0．【分析】原式利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果．【解答】解：cos245°﹣tan30°sin60°=1故答案为：0．【点评】此题考查了特殊角的三角函数值，实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．10．（2021秋•黄浦区期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果ACAB=32，那么∠【分析】根据∠B的正弦值即可判断．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果ACAB那么sinB=AC∴∠B＝60°，故答案为：60°．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的函数值是解题的关键．11．（2021秋•松江区期末）已知sinα＝，那么锐角α的度数是（）A．30° B．45° C．60° D．75°【分析】根据sin60°＝解答．【解答】解：∵sin60°＝，∴∠A＝60°，故选：C．【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．12．（2021秋•浦东新区校级期末）计算：3cot60°+2sin45°＝+．【分析】把特殊角的三角函数值代入进行计算即可解答．【解答】解：3cot60°+2sin45°＝3×+2×＝+，故答案为：+．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．13．（2021秋•嘉定区期末）计算：．【分析】把特殊角的三角函数值代入进行计算即可．【解答】解：＝＝＝．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．14．（2021秋•崇明区期末）计算：3tan30°+2cos45°﹣2sin60°•cot45°．【分析】把特殊角的三角函数值代入进行计算即可．【解答】解：3tan30°+2cos45°﹣2sin60°•cot45°．＝3×+2×﹣2××1＝＝．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．15．（2021秋•徐汇区期末）计算：sin60°+3tan30°⋅cos60°1−2cot45°+cot30°【分析】把特殊角的三角函数值代入进行计算即可．【解答】解：sin60°+3tan30°⋅cos60°=3=3=3=3+【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．16．（2021秋•普陀区期末）计算：4sin【分析】原式利用特殊角的三角函数值计算即可求出值．【解答】解：原式==4×=3−1−1=1=3【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．17．（2021秋•黄浦区期末）计算：tan30°2cos30°+cot245°﹣sin【分析】把特殊角的三角函数值代入进行计算即可．【解答】解：tan30°2cos30°+cot245°﹣sin=332×3=13+=5【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．18．（2021秋•静安区期末）计算：tan45°sin60°⋅cot30°−(sin30°【分析】把特殊角的三角函数值代入进行计算即可．【解答】解：tan45°sin60°⋅cot30°−(sin30°=132×3−=2=7【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．【过关检测】一、单选题1．如果∆ABC的各边长都扩大为原来的3倍，那么锐角A的正弦、余弦值是（

）A．都扩大为原来的3倍 B．都缩小为原来的C．没有变化 D．不能确定【答案】C【分析】根据相似三角形的判定定理、正弦、余弦的概念解答．【详解】三角形各边长度都扩大为原来的3倍，∴得到的三角形与原三角形相似，∴锐角A的大小不变，∴锐角A的正弦、余弦值不变，故选：C．【点睛】三角形的形状没有改变，边的比值没有发生变化．2．中，，下列关系中正确的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据直角三角形中正切值的求法直接可得出答案．【详解】设的对边为，的对应边为b，的对应边为c，由题意可得：．故选B．【点睛】本题主要考查锐角三角函数的定义，熟记锐角三角函数的求法是解题的关键．3．在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则cos∠B的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】作AD垂直BC的延长线于点D得出△ABD为等腰直角三角形，再根据45°角的cos值即可得出答案.【详解】作AD垂直BC的延长线于点D则△ABD为等腰直角三角形，∠B=45°∴故答案选择B.【点睛】本题考查的是锐角三角函数，比较简单，需要理解并记忆特殊锐角三角函数值.4．⊿ABC中，∠C=90°，下列关系中正确的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据三角函数的定义就可以解决．【详解】解：如图所示，Rt△ABC中，设AC=b，BC=a，AB=c．根据锐角三角函数的定义：A、∵tanA=，cotA=，，∴，故成立；B、∵tanA=，cotB=，，∴，故不成立；C、∵tanA=，cotB=，∴，故不成立；D、∵cotA=，tanB=，∴，故不成立；故选：A．【点睛】本题考查直角三角形中两锐角的三角函数之间的关系，结合图形容易求解．5．在中，∠C=90°，∠A=30°，则sinA+sinB的值是

（

）A．1 B． C． D．4【答案】B【分析】先根据直角三角形的性质求出，再根据特殊角的正弦值进行计算即可得．【详解】在中，，，，，故选：B．【点睛】本题考查了直角三角形的性质、特殊角的正弦值，熟记特殊角的正弦值是解题关键．6．在中，若tanA=1，cosB=，则下列判断最确切的是（

）A．是等腰三角形 B．是等腰直角三角形C．是直角三角形 D．是一般锐角三角形【答案】B【分析】先根据正切值、余弦值求出、的度数，再根据三角形的内角和定理可得的度数，然后根据等腰直角三角形的定义即可得．【详解】、是的内角，且，，，，，是等腰直角三角形，故选：B．【点睛】本题考查了特殊角的正切值与余弦值、三角形的内角和定理、等腰直角三角形的定义，熟记特殊角的正切值与余弦值是解题关键．二、填空题7．在⊿ABC中，∠B＝90°，AB＝5，BC＝12，则______．【答案】【分析】根据余弦的定义进行解答【详解】在Rt△ABC中，AC＝，，故填．【点睛】本题考查三角函数的定义，余弦值＝角的邻边与斜边之比．8．在中，C=90°，tanA=3，tanB=________【答案】【分析】根据解直角三角形，由，即可得到tanB.【详解】解：在中，C=90°，∴，∴.故答案为.【点睛】本题考查了解直角三角形，解题的关键是掌握正切值等于对边比邻边.9．若三角形的三边之比为，则此三角形的最小内角的正弦值是______．【答案】【分析】根据边长的比值即可证得该三角形为直角三角形，根据正弦的定义即可解题．【详解】解：设三边长为1、、2，∵12＋()2＝22，∴该三角形为直角三角形，斜边长为2，边长1所对的角是最小内角，故最小内角的正弦值是，故答案为．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理和三角函数的定义，本题中根据勾股定理的逆定理判定该三角形为直角三角形是解题的关键．10．如图，已知RtABC中，斜边BC上的高AD＝4，cosB，则AC＝_____．【答案】【分析】根据题意，则，即可求得．【详解】解：RtABC中，故答案为：【点睛】本题考查了同角的余角互余，余弦的定义，求得是解题的关键．11．计算=___________．【答案】3【分析】根据特殊角的正切函数值、二次根式的乘法即可得．【详解】，故答案为：3．【点睛】本题考查了特殊角的正切函数值、二次根式的乘法，熟记特殊角的正切值是解题关键．12．若sin30°=cosB，那么∠B=________°．【答案】60【分析】根据特殊角的三角函数值即可得．【详解】，，，故答案为：60．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题关键．13．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，则sinA＝_____________【答案】【分析】根据正弦的定义解得即可．【详解】∵∠C=90°，AB=5，BC=4，∴sinA=，故答案为：．【点睛】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．14．在中，∠C=90°，AB=13，AC=5，______．【答案】【分析】先根据勾股定理求出的长，再利用余切公式．【详解】解：中，，．故答案为：．【点睛】本题考查勾股定理以及余切定理，掌握这两个定理是解题的关键．15．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则tanA的值为_____．【答案】【分析】根据三角函数的定义直接解答．【详解】解：如图：∵在中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，∴tanA＝＝．故答案为．【点睛】此题主要考查了锐角三角函数定义，正确把握其定义是解题关键．16．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝，则sinA＝___，cosB=____,cosA=________,sinB=_______.【答案】【分析】根据勾股定理求出AB的长，再根据直角三角形中正弦、余弦的定义即可得到答案.【详解】∵∠C＝90°，AC＝1，BC＝，∴AB=2，∴sinA＝=，cosB==，cosA==，sinB==，故答案为(1).

(2).

(3).

(4).【点睛】本题考查正弦、余弦的定义，在直角三角形中，正弦是角的对边与斜边的比，余弦是角的邻边与斜边的比，熟练掌握正弦和余弦的定义是解题关键.17．已知在△ABC中，∠A、∠B为锐角，且sinA＝，cosB＝，∠C＝_____．【答案】75°【分析】分别根据特殊角的三角函数值求出∠A和∠B的度数，然后根据三角形的内角和定理求得∠C的度数．【详解】∵sinA＝，cosB＝，∠A、∠B为锐角，∴∠A＝45°，∠B＝60°，则∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝75°．故答案为75°．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．18．在Rt△ABC中，∠C＝90°，3a＝b，则∠A＝______度，sinA＝________．【答案】30【分析】根据三角形边的关系，可求出tan∠A的值，从而得出∠A的度数及sinA的值．【详解】解：∵∠C=90°，3a=b，∴=，即tan∠A=，∴∠A=30°，∴sinA=sin30°=．故答案为30，.【点睛】本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系．三、解答题19．在中，，，求、的正切值．【答案】，【分析】设a=3k

b=5k利用正切定义求解【详解】解：，设a=3k，b=5k，故答案为，【点睛】本题考查了角的正切值，熟练掌握正切的概念是解题的关键.20．在⊿ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=8.求和的値．【答案】2；2【