第12章整式的乘除（章节复习）（难点练）解析版

第12章整式的乘除（章节复习）（难点练）一、单选题1．（2020·全国八年级课时练习）当a<0，n为正整数时，（－a）5·（－a）2n的值为（）A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数【答案】A【解析】（－a）5·（－a）2n=（－a）2n+5，因为a<0，所以－a>0，所以（－a）2n+5>0，故选A．2．（2020·全国八年级单元测试）把多项式分解因式正确的是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】利用公式法分解因式的要点，根据平方差公式：，分解因式为：.故选B.3．（2021·全国八年级专题练习）如果多项式能用公式法分解因式，那么k的值是()A．3 B．6 C． D．【答案】D【详解】由于可以利用公式法分解因式，所以它是一个完全平方式，所以.故选D.4．（2021·全国八年级专题练习）已知（）.A．3 B．-3 C．5 D．-5【答案】A【分析】观察已知m2-m-1=0可转化为m2-m=1，再对m4-m3-m+2提取公因式因式分解的过程中将m2-m作为一个整体代入，逐次降低m的次数，使问题得以解决．【详解】∵m2-m-1=0，∴m2-m=1，∴m4-m3-m+2=m2(m2-m)-m+2=m2-m+2=1+2=3，故选A．【点睛】本题考查了因式分解的应用，解决本题的关键是将m2-m作为一个整体出现，逐次降低m的次数.5．（2021·全国八年级专题练习）若，，则下列结论正确是（）A．a＜b B． C．a＞b D．【答案】B【详解】，故选B.【点睛】本题考查了有关幂的运算、幂的大小比较的方法，一般说来，比较几个幂的大小，或者把它们的底数变得相同，或者把它们的指数变得相同，再分别比较它们的指数或底数.6．（2021·全国八年级专题练习）已知a，b，c是三角形的三边，那么代数式a2-2ab+b2-c2的值（）A．大于零 B．等于零 C．小于零 D．不能确定【答案】C【详解】a2-2ab+b2-c2=（a-b）2-c2=（a+c-b）[a-（b+c）]．∵a，b，c是三角形的三边．∴a+c-b＞0，a-（b+c）＜0．∴a2-2ab+b2-c2＜0．故选C．7．（2021·全国八年级专题练习）因式分解x2+mx﹣12＝（x+p）（x+q），其中m、p、q都为整数，则这样的m的最大值是（）A．1 B．4 C．11 D．12【答案】C【详解】分析：根据整式的乘法和因式分解的逆运算关系，按多项式乘以多项式法则把式子变形，然后根据p、q的关系判断即可.详解：∵(x＋p)(x＋q)=x2＋（p+q）x+pq=x2＋mx－12∴p+q=m，pq=-12.∴pq=1×（-12）=（-1）×12=（-2）×6=2×（-6）=（-3）×4=3×（-4）=-12∴m=-11或11或4或-4或1或-1.∴m的最大值为11.故选C.点睛：此题主要考查了整式乘法和因式分解的逆运算的关系，关键是根据整式的乘法还原因式分解的关系式，注意分类讨论的作用.8．（2019·启东市百杏中学八年级期中）若的计算结果中不含x的一次项，则m的值是（）A．1 B．-1 C．2 D．-2．【答案】A【分析】根据多项式相乘展开可计算出结果.【详解】=x2+(m-1)x-m，而计算结果不含x项，则m-1=0，得m=1.【点睛】本题考查多项式相乘展开系数问题.9．（2018·全国八年级单元测试）已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2＋2b2＋c2－2b(a＋c)＝0，则此三角形是()A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．不能确定【答案】B【分析】运用因式分解，首先将所给的代数式恒等变形；借助非负数的性质得到a=b=c，即可解决问题．【详解】∵a2+2b2+c2﹣2b（a+c）=0，∴（a﹣b）2+（b﹣c）2=0；∵（a﹣b）2≥0，（b﹣c）2≥0，∴a﹣b=0，b﹣c=0，∴a=b=c，∴△ABC为等边三角形．故选B．【点睛】本题考查了因式分解及其应用问题．解题的关键是牢固掌握因式分解的方法，灵活运用因式分解来分析、判断、推理活解答．10．（2018·河南许昌·八年级期末）在矩形ABCD中，AD=3，AB=2，现将两张边长分别为a和b（a＞b）的正方形纸片按图1，图2两种方式放置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分的面积为S2．则S1﹣S2的值为（）A．-1 B．b﹣a C．-a D．﹣b【答案】D【分析】利用面积的和差分别表示出S1、S2，然后利用整式的混合运算计算它们的差.【详解】∵∴故选D.【点睛】本题考查了整式的混合运算，计算量比较大，注意不要出错，熟练掌握整式运算法则是解题关键.二、填空题11．（2019·广东八年级期末）现在生活人们已经离不开密码，如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理是：如对于多项式，因式分解的结果是，若取，时则各个因式的值是：，，，把这些值从小到大排列得到，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码．对于多项式，取，时，请你写出用上述方法产生的密码_________．【答案】101030【分析】把所求的代数式分解因式后整理成条件中所给出的代数式的形式，然后整体代入即可．【详解】4x3−xy2＝x（4x2−y2）＝x（2x＋y）（2x−y），当x＝10，y＝10时，x＝10；2x＋y＝30；2x−y＝10，把它们从小到大排列得到101030．用上述方法产生的密码是：101030．故答案为：101030．【点睛】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，读懂题目信息，正确进行因式分解是解题的关键，还考查了代数式求值的方法，同时还隐含了整体的数学思想和正确运算的能力．12．（2021·全国八年级课时练习）（a-b）2（x-y）-（b-a）（y-x）2＝（a-b）（x-y）×________.【答案】（a-b+x-y）【详解】运用公因式的概念，把多项式（a-b）2（x-y）-（b-a）（y-x）2运用提取公因式法因式分解（a-b）2（x-y）-（b-a）（y-x）2＝（a-b）（x-y）×（a-b+x-y）.故答案为（a-b+x-y）.点睛：此题主要考查了提公因式法分解因式，关键是根据找公因式的方法，确定公因式，注意符号的变化.13．（2021·全国八年级专题练习）任何一个正整数n都可以进行这样的分解：n＝s×t(s，t是正整数，且s≤t)，如果p×q在n的所有这种分解中两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解，并规定：、例如18可以分解成1×18，2×9，3×6这三种，这时就有．给出下列关于F(n)的说法：(1)；(2)；(3)F(27)＝3；(4)若n是一个整数的平方，则F(n)＝1．其中正确说法的有_____．【答案】2【分析】把2，24，27，n分解为两个正整数的积的形式，找到相差最少的两个数，让较小的数除以较大的数，看结果是否与所给结果相同．【详解】∵2=1×2，∴F（2）=，故（1）是正确的；∵24=1×24=2×12=3×8=4×6，这几种分解中4和6的差的绝对值最小，∴F（24）==，故（2）是错误的；∵27=1×27=3×9，其中3和9的绝对值较小，又3＜9，∴F（27）=，故（3）是错误的；∵n是一个完全平方数，∴n能分解成两个相等的数，则F（n）=1，故（4）是正确的，∴正确的有（1），（4）．故答案为2．【点睛】本题考查了题目信息获取能力，解决本题的关键是理解答此题的定义：所有这种分解中两因数之差的绝对值最小，F（n）=（p≤q）．14．（2021·全国八年级专题练习）把方程x2+4xy﹣5y2＝0化为两个二元一次方程，它们是_____和_____．【答案】x+5y＝0x﹣y＝0【分析】通过十字相乘法,把方程左边因式分解,即可求解.【详解】∵x2+4xy﹣5y2＝0，∴(x+5y)(x﹣y)＝0，∴x+5y＝0或x﹣y＝0，故答案为x+5y＝0和x﹣y＝0．【点睛】该题重点考查了因式分解中的十字相乘法,能顺利的把方程左边因式分解是解题的关键所在.十字相乘法相关的知识点是:必须是二次三项式,并且符合拆解的原则,即可利用十字相乘分解因式.15．（2021·全国八年级专题练习）如图，有一张边长为x的正方形ABCD纸板，在它的一个角上切去一个边长为y的正方形AEFG，剩下图形的面积是32，过点F作FH⊥DC，垂足为H.将长方形GFHD切下，与长方形EBCH重新拼成一个长方形，若拼成的长方形的较长的一边长为8，则正方形ABCD的面积是____.【答案】36.【分析】根据题意列出，求出x-y=4，解方程组得到x的值即可得到答案.【详解】由题意得：∵，∴x-y=4，解方程组，得，∴正方形ABCD面积为，故填：36.【点睛】此题考查平方差公式的运用，根据题意求得x-y=4是解题的关键，由此解方程组即可.16．（2021·全国八年级专题练习）如果关于的二次三项式在实数范围内不能因式分解，那么的值可以是_________.（填出符合条件的一个值）【答案】5【分析】根据前两项，此多项式如用十字相乘方法分解，m应是3或-5；若用完全平方公式分解，m应是4，若用提公因式法分解，m的值应是0，排除3、-5、4、0的数即可.【详解】当m=5时，原式为，不能因式分解，故答案为：5.【点睛】此题考查多项式的因式分解方法，熟记每种分解的因式的特点及所用因式分解的方法，掌握技巧才能熟练运用解题.三、解答题17．（2020·青岛超银中学八年级月考）分式求值有许多技巧，我们要充分观察题目的特点，对分式进行灵活变形．如：已知，求的值．解：因为，所以，即，所以．仿照上面这种方法，完成下面各题：已知，（1）求；（2）求．【答案】（1）3；（2）．【分析】（1）仿照题干中的例子，先求出，然后根据完全平方公式对所求变形，最后整体代入进行计算即可；（2）首先分子分母同时除以，然后直接利用（1）中的结果整体代入即可．【详解】（1），，∴；（2）∴．【点睛】本题主要考查分式求值，读懂题意并掌握完全平方公式及整体代入法是解题的关键．18．（2020·右玉县第三中学校八年级月考）如图，将一个边长为的正方形图形分割成四部分，观察图形，解答下列问题：（1）根据图中条件，请用两种方法表示该阴影图形的总面积方法1：_________________方法2__________________；由此可得等量关系：______________________________；应用该等量关系解决下列问题：（2）若图中的a，b（）满足，，求的值；（3）若，求的值．【答案】（1）；；；（2）；（3），【分析】（1）根据图形和图形中的数据可以用代数式表示出阴影部分的面积；（2）根据题意和（1）中的结果可以求得a＋b的值；（3）根据a2−4a＋1＝0，通过变形可以求得所求式子的值．【详解】（1）由题意可得，阴影图形的总面积方法1：a2＋b2，方法2：（a＋b）2−2ab，∴a2＋b2＝（a＋b）2−2ab，故答案为：a2＋b2；（a＋b）2−2ab；a2＋b2＝（a＋b）2−2ab；（2）∵a，b（a＞b）满足a2＋b2＝38，ab＝13，∴38＝（a＋b）2−2×13，解得，a＋b＝8或a＋b＝−8（舍去），即a＋b的值是8；（3）∵a2−4a＋1＝0，∴a−4＋＝0，∴a＋＝4，∴（a＋）2＝16，∴a2＋2＋＝16，∴a2＋＝14．【点睛】本题考查完全平方公式的应用，解答本题的关键是明确完全平方公式运算的计算方法，利用数形结合的思想解答．19．（2019·重庆八中）阅读下列材料：1637年笛卡尔在其《几何学》中，首次应用“待定系数法”将四次方程分解为两个二次方程求解，并最早给出因式分解定理．他认为：对于一个高于二次的关于x的多项式，“是该多项式值为0时的一个解”与“这个多项式一定可以分解为（）与另一个整式的乘积”可互相推导成立．例如：分解因式．∵是的一个解，∴可以分解为与另一个整式的乘积．设而，则有，得，从而运用材料提供的方法，解答以下问题：（1）①运用上述方法分解因式时，猜想出的一个解为_______（只填写一个即可），则可以分解为_______与另一个整式的乘积；②分解因式；（2）若与都是多项式的因式，求的值．【答案】（1）①：x=-1；（x+1）；②；（2）3【分析】（1）①计算当x=-1时，方程成立，则必有一个因式为（x+1）,即可作答；②根据待定系数法原理先设另一个多项式，然后根据多项式乘多项式的计算即可求得结论；（2））设（其中M为二次整式），由材料可知，x=1，x=-2是方程的解，然后列方程组求解即可．【详解】解：（1）①，观察知，显然x=-1时，原式=0，则的一个解为x=-1；原式可分解为（x+1）与另一个整式的积．故答案为：x=-1；（x+1）②设另一个因式为（x2+ax+b），（x+1）（x2+ax+b）=x3+ax2+bx+x2+ax+b=x3+（a+1）x2+（a+b）x+b∴a+1=0

，a=-1，b=3∴多项式的另一因式为x2-x+3．∴．（2）设（其中M为二次整式），由材料可知，x=1，x=-2是方程的解，∴可得，∴②-①，得m-n=3∴的值为3．【点睛】本题考查了分解因式，正确理解题意，利用待定系数法和多项式乘多项式的计算法则求解是解题的关键．20．（2020·太原市晋泽中学校八年级月考）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务．在初中数学课本中重点介绍了提公因式法和运用公式法两种因式分解的方法，其中运用公式法即运用平方差公式：a2-b2=（a+b）（a-b）和完全平方公式：a2±2ab+b2=（a±b）2进行分解因式，能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍．当一个二次三项式不能直接运用完全平方公式分解因式时，可应用下面方法分解因式，先将多项式ax2+bx+c（a≠0）变形为a（x+m）2+n的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式ax2+bx+c的配方法．再运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行分解因式．例如：x2+8x+7=x2+8x+16-16+7=(x+4）2-9=(x+4+3)(x+4-3)=(x+7)(x+1)根据以上材料，完成相应的任务：（1）利用“多项式的配方法”将x2+2x-3化成a（x+m）2+n的形式为_______；（2）请你利用上述方法因式分解：①x2+6x+8；②x2-6x-7．【答案】（1）；（2）①；②【分析】（1）将x²+2x-3变成x²+2x+1-4即可求得；（2）①将x2+6x+8变为x2+6x+9-9+8的形式，再利用平方差即可进行因式分解；②将x2-6x-7变为x2-6x+9-9-7的形式再运用平方差即可进行因式分解；【详解】解：（1）==；（2）①====②====【点睛】本题考查因式分解的方法，熟练掌握运用配方法对多项式进行因式分解是解题的关键.21．（2019·东北师大附中明珠学校八年级期中）定义：对于依次排列的多项式，，，，（，，，是常数），当它们满足，且为常数是，则称，，，是一组平衡数，是该组平衡数的平衡印子，例如：对于多项式，，，，因为，所以，，，是一组平衡数，是该组平衡数的平衡因子，（1）已知，，，是一组平衡数，求该组平衡数的平衡因子；（2）若，，，是一组平衡数，则；（3）当，，，之间满足什么数量关系时，他们是一组平衡数，并说明理由．【答案】（1）-10；（2）-3；（3），证明见解析【分析】（1）直接根据定义计算M的值；

（2）将，，，分别带入多项式中，依据定义计算出m的值即可；

（3）根据定义化简计算，可得a，b，c，d之间满足的数量关系式．【详解】解：（1）由题意有：M==18-28=-10（2）∵，，，是一组平衡数，∴的结果为常数∵=-x-12-(2+m)x-2m，∴2+m=-1，解的m=-3故答案为：-3（3）证明：假设，，，是平衡数，则结果为常数，原式=x2+(d+a)x+ad-[x2+(c+d)x+ba]=(d+a)x-(c+d)x+ad-ba=[(d+a)-(c+d)]x+ad-ba结果为常数，，．【点睛】此题考查了整式的混合运算-化简求值及新定义问题，熟练掌握运算法则是解本题的关键．22．（2020·哈尔滨市第三十九中学校八年级期中）如图，哈市某小区有一块长为（2a+3b）米，宽为（2a-b）米的长方形地块，角上有四个边长为a米的小正方形空地，开发商计划将阴影部分进行绿化．（a>b）（1）用含有a、b的式子表示绿化的总面积；（结果写成最简形式）；（2）若a=20，b=10，求出当时绿化的总面积；（3）在（2）的条件下，开发商找来甲、乙两绿化队完成此项绿化任务.已知甲队每小时可绿化6平方米，乙队每小时绿化4平方米，若要求甲队的工作时间不超过乙队的工作时间，则甲队至多工作多少小时？【答案】（1）（）平方米；（2）500平方米；（3）50小时．【分析】（1）根据矩形和正方形的面积公式即可得到结论；（2）把把a=20，b=10代入（1）的代数式即可得到结论；（3）设甲队至多工作x小时，根据题意列方程即可得到结论．【详解】解：（1）答：绿化的总面积为（）平方米；（2）把a=20，b=10代入得：（平方米）答：当时绿化的总面积为500平方米；（3）设甲队至多工作x小时∵要求甲队的工作时间不超过乙队的工作时间∴甲队至多工作的时间=乙队的工作时间∴乙队的工作时间为x小时∴答：甲队至多工作50小时．【点睛】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．23．（2019·广东广州市白云区六中珠江学校八年级期中）我们可以用以下方法求代数式的最小值．∵∴，∴当时，有最小值-4．请根据上述方法，解答下列问题（1）求代数式的最小值；（2）求证：无论、取任何实数，代数式的值都是正数；（3）已知为实数，求代数式的最小值．【答案】（1）有最小值；（2）证明见解析；（3）有最小值．【分析】（1）通过配方可得：，再利用非负数的性质，结合不等式的性质可得答案；（2）把原式通过配方化为：，再利用非负数的性质可得：从而可得结论；（3）利用配方法把原式化为：再利用非负数的性质可得代数式的最小值．【详解】解：（1）当时，有最小值．（2）无论、取任何实数，代数式的值都是正数；（3）当时，有最小值．【点睛】本题考查的是配方法的应用，非负数的性质，利用配方法求代数式的最值，因式分解的应用，掌握利用完全平方式的特点进行配方是解题的关键．24．（2020·湖北孝感·）对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如图1可以得到，请解答下列问题（1）写出图2中所表示的数学等式（2）根据整式乘法的运算法则，通过计算验证上述等式；（3）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：若，则（4）小明同学用图3中张边长为的正方形，张边长为的正方形张边长分别为的长方形纸片拼出一个面积为长方形，则【答案】（1）；（2）见解析；（3）30；（4）156．【分析】（1）利用整体法求解正方形的面积为，利用分割法求解正方形的面积为：，从而可得答案；（2）利用多项式乘以多项式的法则把左边通过计算展开，合并同类项后可得结论；（3）利用变形公式：，再整体代入即可得到答案；（4）由题意可得，所拼图形的面积为:，再利用整式的乘法运算法则计算：，由面积相等可得的值，从而可得答案．【详解】解：（1）正方形的面积;正方形的面积故答案为:（2）证明：（3）故答案为:（4）由题可知，所拼图形的面积为:故答案为：【点睛】本题考查的是乘法公式的几何意义，整式的乘法运算，公式的应用能力，掌握以上知识是解题的关键．25．（2021·全国八年级专题练习）我们常利用数形结合思想探索整式乘法的一些法则和公式．类似地，我们可以借助一个棱长为的大正方体进行以下探索：（1）在大正方体一角截去一个棱长为的小正方体，如图1所示，则得到的几何体的体积为________；（2）将图1中的几何体分割成三个长方体①、②、③，如图2所示，∵，，，∴长方体①的体积为．类似地，长方体②的体积为________，长方体③的体积为________；（结果不需要化简）（3）将表示长方体①、②、③的体积相加，并将得到的多项式分解因式的结果为________；（4）用不同的方法表示图1中几何体的体积，可以得到的等式为________．（5）已知，，求的值．【答案】（1）；（2），；（3）；（4）；（5）【分析】（1）由大的正方体的体积为截去的小正方体的体积为从而可得答案；（2）由利用长方体的体积公式直接可得答案；（3）提取公因式，即可得到答案；（4）由（1）（3）的结论结合等体积的方法可得答案；（5）利用先求解再利用，再整体代入求值即可得到答案．【详解】解：（1）由大的正方体的体积为截去的小正方体的体积为所以截去后得到的几何体的体积为：故答案为：（2）由长方体的体积公式可得：长方体②的体积为，所以长方体③的体积为故答案为：，（3）由题意得：故答案为：（4）由（1）（3）的结论，可以得到的等式为：故答案为：（5），，，【点睛】本题考查的是完全平方公式的变形，提公因式分解因式，代数恒等式的几何意义，掌握利用不同的方法表示同一个几何体的体积得到代数恒等式，以及应用得到的恒等式解决问题是解题的关键．26．（2021·全国八年级专题练习）因为,令=0,则（x+3）(x-2)=0,x=-3或x=2,反过来,x＝2能使多项式的值为0．利用上述阅读材料求解：（1）若x﹣4是多项式x2+mx+8的一个因式,求m的值;（2）若（x﹣1）和（x+2）是多项式的两个因式,试求a,b的值;（3）在（2）的条件下,把多项式因式分解的结果为．【答案】（1）m=-6;（2）；（3）(x-1)(x+2)(x-3)【分析】（1）由已知条件可知，当x=4时，x2+mx+8=0，将x的值代入即可求得；

（2）由题意可知，x=1和x=-2时，x3+ax2-5x+b=0，由此得二元一次方程组，从而可求得a和b的值；

（3）将（2）中a和b的值代入x3+ax2-5x+b，则由题意知（x-1）和（x+2）也是所给多项式的因式，从而问题得解．【详解】解：（1）∵x﹣4是多项式x2+mx+8的一个因式，则x=4使x2+mx+8=0，∴16+4m+8=0，解得m=-6；（2）∵（x﹣1）和（x+2）是多项式的两个因式，则x=1和x=-2都使=0，得方程组为：，解得；（3）由（2）得，x3-2x2-5x+6有两个因式（x﹣1）和（x+2），又，则第三个因式为(x-3)，∴x3-2x2-5x+6=(x-1)(x+2)(x-3)．故答案为：(x-1)(x+2)(x-3)．【点睛】本题考查了分解因式的特殊方法，根据阅读材料仿做，是解答本题的关键．27．（2020·河南平顶山实验中学八年级月考）阅读下列分解因式的过程：x2+2ax-3a2=x2+2ax+a2-a2-3a2=(x+a)2-4a2=(x+a+2a)(x+a-2a)(x+3a)(x-a)．像上面这样通过加减项配出完全平方式后再把二次三项式分解因式的方法，叫做配方法，请你用配方法将下面的多项式因式分解：（1）m2-4mn+3n2；（2）x2-4x-12．【答案】（1）（m-n）（m-3n）；（2）（x+2）（x-6）．【分析】（1）、（2）分别利用阅读材料中的配方法分解即可．【详解】解：（1）m2-4mn+3n2=m2-4mn+4n2-4n2+3n2=m2-4mn+4n2-n2

=（m-2n）2-n2

=（m-2n+n）（m-2n-n）

=（m-n）（m-3n）；

（2）x2-4x-12

=x2-4x+4-4-12

=（x-2）2-42

=（x-2+4）（x-2-4）

=（x+2）（x-6）．【点睛】本题考查了因式分解的应用．要运用配方法，只要二次项系数为1，只需加上一次项系数一半的平方即可配成完全平方公式．28．（2020·河南八年级期中）（阅读材料）我们知道，图形也是一种重要的数学语言，它直观形象，能有效地表现一些代数中的数量关系，而运用代数思想也能巧妙地解决一些图形问题．在一次数学活动课上，张老师准备了若干张如图1所示的甲、乙、丙三种纸片，其中甲种纸片是边长为的正方形，乙种纸片是边长为的正方形，丙种纸片是长为，宽为的长方形，并用甲种纸片一张，乙种纸片一张，丙种纸片两张拼成了如图2所示的一个大正方形．（理解应用）（1）观察图2，用两种不同方式表示阴影部分的面积可得到一个等式，请你直接写出这个等式．（拓展升华）（2）利用（1）中的等式解决下列问题．①已知，，求的值；②已知，求的值．【答案】（1）；（2）①13；②4044．【分析】（1）方法一是直接求出阴影部分面积，方法二是间接求出阴影部分面积，即为边的正方形面积减去两个为宽、为长的矩形面积，即；（2）①将，代入上题所得的等量关系式求值；②可以将看作，将看作，代入（1）题的等量关系式求值即可．【详解】（1）．（2）①由题意得：，把，代入上式得：．②由题意得：．【点睛】本题考查完全平方公式的几何背景及应用．此题为阅读材料型，也是近几年经常考查的题型，熟练掌握完全平方公式并根据条件特点灵活应用是解决此题的关键．29．（2020·青岛超银中学八年级月考）图①是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．（1）图②中的阴影部分的面积为______；（2）观察图②请你写出三个代数式、、之间的等量关系是：__________；（3）实际上有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示．如图③，它表示了___________．（4）请你用图③提供的若干块长方形和正方形硬纸片图形，用拼长方形的方法，把下列二次三项式进行因式分解：．要求：在图④的框中画出图形；写出分解的因式．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）图形见解析，．【分析】（1）用大正方形的面积减去4个小长方形的面积即可求出阴影部分的面积；（2）利用大正方形的面积等于4个小长方形的面积与阴影部分面积之后即可得出答案；（3）利用大长方形的面积等于3个小正方形和3个小长方形的面积之和即可得出答案；（4）先用若干个小长方形和正方形拼成一个大长方形，使它们的面积之和为，然后根据拼成的大长方形的面积公式即可得到因式分解的结果．【详解】（1）阴影部分的面积为；（2）根据（1）的结果可知，；（3）大长方形的面积可表示为，大长方形的面积也可表示为，∴；（4）∵若干个小长方形和正方形的面积之和为，∴拼成的大长方形中会出现1个边长为m的正方形，3个边长为n的正方形和4个长为m，宽为n的长方形，拼成的大长方形如图：大长方形的面积可表示为∴．【点睛】本题主要考查用图形的面积表示恒等式以及因式分解，理解题意，找到图形面积的不同的计算方法是解题的关键．30．（2021·全国八年级专题练习）阅读以下内容解答下列问题．七年级我们学习了数学运算里第三级第六种开方运算中的平方根、立方根，也知道了开方运算是乘方的逆运算，实际上乘方运算可以看做是“升次”，而开方运算也可以看做是“降次”，也就是说要“升次”可以用乘方，要“降次”可以用开方，即要根据实际需要采取有效手段“升”或者“降”某字母的次数．本学期我们又学习了整式乘法和因式分解，请回顾学习过程中的法则、公式以及计算，解答下列问题：（1）对照乘方与开方的关系和作用，你认为因式分解的作用也可以看做是．（2）对于多项式x3﹣5x2+x+10，我们把x＝2代入此多项式，发现x＝2能使多项式x3﹣5x2+x+10的值为0，由此可以断定多项式x3﹣5x2+x+10中有因式（x﹣2），（注：把x＝a代入多项式，能使多项式的值为0，则多项式一定含有因式（x﹣a）），于是我们可以把多项式写成：x3﹣5x2+x+10＝（x﹣2）（x2+mx+n），分别求出m、n后再代入x3﹣5x2+x+10＝（x﹣2）（x2+mx+n），就可以把多项式x3﹣5x2+x+10因式分解，这种因式分解的方法叫“试根法”．①求式子中m、n的值；②用“试根法”分解多项式x3+5x2+8x+4．【答案】（1）降次；（2）①m＝﹣3，n＝﹣5；②（x+1）（x+2）2．【分析】（1）根据材料回答即可；（2）①分别令x=0和x=1即可得到关于m和n的方程，即可求出m和n的值；②把x＝﹣1代入x3+5x2+8x+4，得出多项式含有因式（x+1），再利用①中方法解出a和b，即可代入原式进行分解.【详解】解：（1）根据因式分解的定义可知：因式分解的作用也可以看做是降次，故答案为：降次；（2）①在等式x3﹣5x2+x+10＝（x﹣2）（x2+mx+n）中，令x＝0，可得：，解得：n=-5，令x=1，可得：，解得：m=﹣3，故答案为：m＝﹣3，n＝﹣5；②把x＝﹣1代入x3+5x2+8x+4，得x3+5x2+8x+4=0，则多项式x3+5x2+8x+4可分解为（x+1）（x2+ax+b）的形式，同①方法可得：a＝4，b＝4，所以x3+5x2+8x+4＝（x+1）（x2+4x+4），＝（x+1）（x+2）2．【点睛】本题考查了因式分解，二元一次方程组的应用，解题的关键是读懂材料中的意思，利用所学知识进行解答.31．（2021·全国八年级专题练习）把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．如：①用配方法分解因式：a2+6a+8，解：原式=a2+6a+8+1-1=a2+6a+9-1=(a+3)2－12=②M=a2-2a－1，利用配方法求M的最小值．解：∵(a-b)2≥0，∴当a=1时，M有最小值－2．请根据上述材料解决下列问题：（1）用配方法因式分解：．（2）若，求M的最小值．（3）已知x2+2y2+z2-2xy-2y-4z+5=0，求x+y+z的值．【答案】（1）；（2）；（3）4．【分析】（1）根据配方法，配凑出一个完全平方公式，再利用公式法进行因式分解即可；（2）先利用配方法，配凑出一个完全平方公式，再根据偶次方的非负性求解即可；（3）先利用配方法进行因式分解，再利用偶次方的非负性求出x、y、z的值，然后代入求解即可．【详解】（1）原式；（2）当时，有最小值；（3）解得则．【点睛】本题考查了利用配方法进行因式分解、偶次方的非负性等知识点，读懂题意，掌握配方法是解题关键．32．（2020·余干县第六中学八年级月考）[知识生成]通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．例如：如图①是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．请解答下列问题：（1）图②中阴影部分的正方形的边长是________________；（2）请用两种不同的方法求图②中阴影部分的面积：方法1:________________________；方法2：_______________________；（3）观察图②，请你写出（a+b）2、、之间的等量关系是____________________________________________；（4）根据（3）中的等量关系解决如下问题:若，，则=[知识迁移]类似地，用两种不同的方法计算同一几何体的体积，也可以得到一个恒等式．（5）根据图③，写出一个代数恒等式：____________________________；（6）已知，，利用上面的规律求的值．【答案】（1）a-b；（2）；；（3）；（4）14；（5）（a+b）3=a3+b3+3a2b+3ab2；（6）9．【分析】（1）由图直接求得边长即可，（2）已知边长直接求面积，阴影面积是大正方形面积减去四个长方形面积，可得答案，（3）利用面积相等推导公式；（4）利用（3）中的公式求解即可，（5）利用体积相等推导；（6）应用（5）中的公式即可．【详解】解：（1）由图直接求得阴影边长为a-b；故答案为：a-b；（2）方法一：已知边长直接求面积为；方法二：阴影面积是大正方形面积减去四个长方形面积，∴面积为；故答案为；；（3）由阴影部分面积相等可得；故答案为：（4）由，可得，∵，∴，∴；故答案为；（5）方法一：正方体棱长为a+b，∴体积为，方法二：正方体体积是长方体和小正方体的体积和，即，∴；故答案为；（6）∵；将a+b=3，ab=1，代入得：；【点睛】本题考查完全平方公式的几何意义；同时考查对公式的熟练的应用，能够由面积相等，过渡到利用体积相等推导公式是解题的关键．33．（2020·全国八年级课时练习）认真阅读以下材料，然后解答问题．我们学习了多项式的运算法则，类似地，我们可以计算出多项式的展开式．如：．我们依次对展开式的各项系数进一步研究发现，当取正整数时可以单独列成以下形式：11121133114641151010511615201561……上面的多项式展开系数表称为“杨辉三角”，仔细观察“杨辉三角”，用你发现的规律回答下列问题：（1）多项式（取正整数）的展开式是一个几次几项式？并预测第三项的系数．（2）结合上述材料，推断出多项式（取正整数）的展开式的各项系数之和．（结果用含字母的代数式表示）【答案】（1）次项式，；（2）．【分析】（1）先观察时的展开式，再归纳类推出一般规律即可得；（2）先分别求出时的展开式的各项系数之和，再归纳类推出一般规律即可得．【详解】（1）当时，多项式的展开式是一次二项式，此时第三项的系数为；当时，多项式的展开式是二次三项式，此时第三项的系数为；当时，多项式的展开式是三次四项式，此时第三项的系数为；当时，多项式的展开式是四次五项式，此时第三项的系数为；归纳类推得：多项式（取正整数）的展开式是一个次项式，第三项的系数为；（2）当时，多项式的展开式的各项系数之和为；当时，多项式的展开式的各项系数之和为；当时，多项式的展开式的各项系数之和为；当时，多项式的展开式的各项系数之和为；归纳类推得：多项式（取正整数）的展开式的各项系数之和为．【点睛】本题考查了完全平方公式、整式的乘法等知识点，依据题意，正确归纳类推出一般规律是解题关键．34．（2019·重庆市第十一中学校八年级期中）“阅读素养的培养是构建核心素养的重要基础，重庆十一中学校以‘大阅读’特色课程实施为突破口，着力提升学生的核心素养．”全校师生积极响应和配合，开展各种活动丰富其课余生活．在数学兴趣小组中，同学们从书上认识了很多有趣的数．其中有一个“和平数”引起了同学们的兴趣．描述如下：一个四位数，记千位上和百位上的数字之和为x，十位上和个位上的数字之和为y，如果，那么称这个四位数为“和平数”．例如：1423，，，因为，所以1423是“和平数”．（1）直接写出：最小的“和平数”是________，最大的“和平数”是__________；（2）求同时满足下列条件的所有“和平数”：①个位上的数字是千位上的数字的两倍；②百位上的数字与十位上的数字之和是12的倍数；（3）将一个“和平数”的个位上与十位上的数字交换位置，同时，将百位上与千位上的数字交换位置，称交换前后这两个“和平数”为“相关和平数”．例如：1423于4132为“相关和平数”求证：任意的两个“相关和平数”之和是1111的倍数．【