2025届高考数学一轮复习：概率与统计（大题）

高考大题专项(六)概率与统计

1.某校为举办甲、乙两项不同活动，分别设计了相应的活动方案:方案一、方案二.为了解该校学生

对活动方案是否支持,对学生进行简洁随机抽样,获得数据如下表：

-

方男生E女生

案不支

支持支持

持

200400300100

人人人人

二350250150250

人人人人

假设全部学生对活动方案是否支持相互独立.

(1)分别估计该校男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率；

(2)从该校全体男生中随机抽取2人,全体女生中随机抽取1人,估计这3人中恰有2人支持方案一

的概率；

(3)将该校学生支持方案的概率估计值记为以假设该校一年级有500名男生和300名女生,除一年

级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为外试比较加与R的大小.(结论不要求证明)

2.某学生爱好小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园熬炼的人次,整理

数据得到下表（单位:天）：

空气熬炼人次

质量

[0,200]（200,400]（400,600]

等级

1（优）21625

2（良）51012

3（轻

度污678

染）

4（中

度污720

染）

（1）分别估计该市一天的空气质量等级为1,2,3,4的概率；

（2）求一天中到该公园熬炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；

（3）若某天的空气质量等级为1或2,则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4,则

称这天“空气质量不好”.依据所给数据,完成下面的2X2列联表,依据a4）.05的独立性检验,能

否认为一天中到该公园熬炼的人次与该市当天的空气质量有关联？

空气质人次人

量状况W400次）400

好

不好

附:八…黑Mi,

a0.0500.0100.001

3.8416.63510.828

3.“学习强国”APP是由中宣部主管，以习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神为

主要内容的“PC端+手机客户端”两大终端二合一模式的学习平台,2024年1月1日上线后便成为

党员干部群众学习的“新助手”.为了调研某地党员在“学习强国”APP的学习状况,探讨人员随机

抽取了200名该地党员进行调查，将他们某两天在“学习强国”APP上所得的分数统计如表所示：

分

[60,70)[70,80)[80,90)[90,100)

数

频

601002020

数

频

0.30.50.10.1

率

（1）由频率分布表可以认为,这200名党员这两天在“学习强国”APP上的得分Z近似听从正态分布

N5d），其中〃近似为这200名党员得分的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代

表），/近似为这200名党员得分的方差,求户（57.4WZW83.8）;

（2）以频率估计概率,若从该地区全部党员中随机抽取4人,记抽得这两天在“学习强国”APP上的

得分不低于80分的人数为X求才的分布列与数学期望.

参考数据：出-2.2,乖仁2.4,々^2.6,若X~N（“，/）,则户（〃-。w启u+o）%0.683,n-

2oWXWH玲。）心0.954,尸（“-3。WXMN埒a）«=0.997.

4.微信运动是由腾讯开发的一个类似计步数据库的公众账号，很多手机用户加入微信运动后,为了

让自己的步数能领先于挚友,运动的主动性明显增加.微信运动公众号为了解用户的一些状况,在微

信运动用户中随机抽取了100名用户，统计了他们某一天的步数,数据整理如下：

一

打

万0.4G0.8G1.201.6G2.002.4Q

步<0.4W0.8<1.2W1.6<2.0W2.4W2.8

一

J75205018331

人

⑴依据表中数据,在如图所示的坐标平面中作出其频率分布直方图，并在纵轴上标明各小长方形的

高；

(2)若视频率分布为概率分布,在微信运动用户中随机抽取3人,求至少2人步数多于1.2万步的概

率；

(3)若视频率分布为概率分布,在微信运动用户中随机抽取2人,其中每日走路不超过0.8万步的有

X人,超过1.2万步的有YK,设f=/户勿,求f的分布列及数学期望.

5.某市举办了一次“诗词大赛”，分预赛和复赛两个环节，已知共有20000名学生参加了预赛,现

从参加预赛的全体学生中随机地抽取100人的预赛成果作为样本，得到如下的统计数据.

-

得

分

值

[0,20)[20,40)[40,60)[60,80)[80,100]

分

粒

人

1020302515

数

(1)规定预赛成果不低于80分为优良,若从样本中预赛成果不低于60分的学生中随机地抽取2人,

求恰有1人预赛成果优良的概率.

(2)由样本数据分析可知，该市全体参加预赛学生的预赛成果Z听从正态分布其中〃可

近似为样本中的100名学生预赛成果的平均值(同一组数据用该组区间的中点值代替)，且/361.

利用该正态分布，估计该市参加预赛的全体学生中预赛成果高于72分的人数.

(3)预赛成果不低于91分的学生将参加复赛,复赛规则如下：

①参加复赛的学生的初始分都设置为100分；

②参加复赛的学生可在答题前自己确定答题数量〃，每一题都须要“花”掉确定分数来获得答题资

格（即用分数来买答题资格），规定答第"题时“花”掉的分数为0.20"=1,2,

③每答对一题得2分,答错得0分；

④答完n道题后参加复赛学生的最终分数即为复赛成果.

已知学生甲答对每道题的概率均为0.75,且每道题答对与否都相互独立,则当他的答题数量〃为多

少时,他的复赛成果的期望值最大？

参考数据:若ZN（〃，。2）,则〃+。）20.683,一（〃-2OWZW〃+2。）-0.954,产（〃-

3oWZW”3。）-0.997.

6.棋盘上标有第0,1,2,-,100站,棋子起先位于第0站,棋手抛掷匀整硬币走跳棋游戏,若掷出正

面,棋子向前跳出一站;若掷出反面,棋子向前跳出两站,直到跳到第99站或第100站时,游戏结束.

设棋子位于第n站的概率为P„.

（1）当游戏起先时,若抛掷匀整硬币3次后,求棋手所走步数之和才的分布列与数学期望；

（2）证明晨）（1W〃W98）;

⑶求必，向°。的值.

参考答案

高考大题专项(六)概率与统计

20013003

1.解(1)该校男生支持方案一的概率为而中丽=丞该校女生支持方案一的概率为时而=不

(2)3人中恰有2人支持方案一分两种状况,①仅有两个男生支持方案一，②仅有一个男生支持

方案一,一个女生支持方案一,所以3人中恰有2人支持方案一概率为:()(V)+C%h罪

13

-36,

(3)pi3.

2.解⑴由所给数据,该市一天的空气质量等级为1,2,3,4的概率的估计值如下表：

空气

质量1234

等级

概率

的估0.430.270.210.09

计值

1

(2)一天中到该公园熬炼的平均人次的估计值为荻(100X20+300X35卅00X45)=350.

(3)依据所给数据,可得2X2列联表:

空气质人次人

量状况<400次,400

好3337

不好228

依据列联表得%2

100X(33X8-22X37)2

55X45X70X30~*5.820)3.841.

所以在犯错误的概率不超过0.05的前提下,认为一天中到该公园熬炼的人次与该市当天的空

气质量有关.

3.解(1)由题意得：N=65X0.3+75X0.5+85X0.1丹5XQ.1=75,

。2=(65-75)2X0.3+(75-75)2X0.5+(85-75)2X0.1+(95-75)?X0.1=30+10+40=80,7

ox8.8,

.:?(57.4WM83.8)=P(N嚏。WZ&N+。)~-0.8185.

40

(2)从该地区全部党员中随机抽取1人,抽得的人得分不低于80分的概率为荻=手由题意得,X

的可能取值为0,1,2,3,4,且X&(4，P，

"Ox))=c?©4=g|；

/、11/4\3256

PQM)=以x§xa=^s；

A^)^X®2X@2=S；

P(J=3)二或X©X5=625»

4i

©=625>

所以才的分布列为

\01234

25625696161

/

625625625625625

、14

所以£(乃Nx耳=g.

4.解(1)依据题意,补充下表,

x/OWx0.4G0.8Q1.2Q1.662.002.4G

万方<0.4WO.8W1.2W1.6W2.0<2.4W2.8

「人5205018331

频率0.050.200.500.180.030.030.01

频率

0.1250.51.250.450.0750.0750.025

组距

依据表中数据，作出频率分布直方图如下:

(2)由题意知,步数多于1.2万步的频率为0.25,所以认定步数多于1.2万步的概率为0.25,所

以至少有2人多于1.2万步的概率为於四x(变乂(》图x(变片,综上所述,至少2人步数多

于1.2万步的概率为总

(3)由题知微信好友中任选一人,其每日走路步数不超过0.8万步的概率为;,超过1.2万步的概

率为:，

./.11.113

且当户K=0或六闫时，&=O,P(f=0)=5X2+C5X4X1=g,

当户1,K=0或X=O,八时，§=1,户(f=1)=C5x；x；+禺x；x：=当J=2,7=0或X=Q,K=2

11111

时，f-2)-4X4+4X4=8'

所以f的分布列为

、113

£(zf)=1X/2Xg=不

5.解⑴由题意得样本中成果不低于60分的学生共有40人,其中成果优良的人数为15人,记“从

样本中预赛成果不低于60分的学生中随机地抽取2人，恰有1人预赛成果优良”为事务A,则

,、C2K1!25

尸而=方

(2)由题意知样本中的100名学生预赛成果的平均值为

亍二10X0.1-30X0.2当0X0.3行0X0.25%0X0.15=53,贝IJ〃巧3,由/二361,得。=19,所以

产(Z>72)¥=；(1-9(u-oWZW〃+。))心0.1585,所以,估计该市参加预赛的全体学生中，

成果高于72分的人数为20000X0.1585%170,

即全市参赛学生中预赛成果高于72分的人数为3173.

(3)以随机变量4表示甲答对的题数，则42(77,0.75),且£(f)4).75〃，

记甲答完〃题所加的分数为随机变量尤则入4,所以£(»之夙f)=1.5/7,

依题意为了获得答〃道题的资格，甲须要“花”掉的分数为0.2乂(1+2+3-)4.1(4切)，

设甲答完〃题后的复赛成果的期望值为『(〃)，则/-(/?)=100-0.1+1.5/2=4).1(T?-7)2+104.9,

由于〃GN*,所以当〃=7时,F®取最大值104.9.即当他的答题数量"7时，他的复赛成果的期望值

最大.

6.(1)解由题意可知，随机变量才的可能取值有3,4,