2025高考数学专项复习：圆中的最值模型之阿氏圆模型（含答案）

2025高考数学专项复习圆中的最值模型之阿氏圆

模型含答案

圆中的录值模型之阿氏圆模型

最值问题在中考数学中常常作为压轴题出现，其中“阿氏圆”（又称“阿波罗尼斯圆”）是一个重要的考点。这

类题目主要考察学生的转化与化归等数学思想,并且在各类考试中通常都被视为高档题。为了帮助学生更好地

理解和掌握这一知识点，本专题将对最值模型中的阿氏圆问题进行系统的梳理，并提供对应的试题分析，以便学

生能够熟练掌握并灵活应用。

-------------------------------------------------------------0°-------------------------------------------------------------

例题讲模型...................................................................................1

模型1.阿氏圆模型............................................................................1

习题练模型...................................................................................7

例题讲模型J

模型1.阿氏圆模型

动点到两定点距离之比为定值（即:平面上两点A、B,动点P满足a4/PB=Mk为常数，且kRl））,那么动

点的轨迹就是圆，因这个结论最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现的，故称这个圆称为阿波罗尼斯圆，简称为阿

氏圆。

如图1所示，。。的半径为7,点A、B都在。。外，P为。。上一动点，已知r=（即^=k）,连接

（JJD

FA、PB,则当“B4+展PB”的值最小时，P点的位置如何确定？最小值是多少呢？

•••

如图2,在线段OB上截取OC使。。=%.「（即会：=k）,,:黑=k，：.工=咨

pp

•.♦NPOC=ABOP,APOC-/\BOP,不君=鼠即k-PB=PC。

故本题求“P4+KPB”的最小值可以转化为“PA+PC”的最小值。

其中与A与。为定点，P为动点，故当4P、。三点共线时,“P4+PC”值最小，如图3所示。

阿氏圆求最值的本质就是通过构造母子相似，化去比例系数,转化为两定一动将军饮马型求最值,难点在于如何

构造母子相似。

阿氏圆最值问题常见考法:点在圆外：向内取点（系数小于1）;点在圆内：向外取点（系数大于1）;一内一外:提系

数;隐圆型阿氏圆等。

注意区分胡不归模型和阿氏圆模型:在前面的“胡不归”问题中，我们见识Ti（k-FA+PB”最值问题，其中P点轨

迹是直线，而当P点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题.

1.（2024・浙江•校考一模）如图，4B为。。的直径，=2,点。与点。在的同侧，且AD，AB,

，AB,A。=1,3,点P是。O上的一动点,则^-PD+PC的最小值为.

•••

2.（2024.湖北.九年级专题练习）如图，已知正方形4BCD的边长为4,。口的半径为2,点P是。B上的

一个动点，则PD-yPC的最大值为.

3.（2023•北京•九年级专题练习）如图,边长为4的正方形，内切圆记为。O,P是。。上一动点，则V2PA

+PB的最小值为.

4.（2023•江苏泰州•模拟预测）如图，。。与4轴、2轴的正半轴分别相交于点MT、N,OO半径为6,点

/（0,3）,点口（5,0）,点。（0,12）,将线段OC绕点O顺时针旋转a（0°WaW90°）,得线段00,O。与

弧MN交于点、P,连PA,PB.则2pA+PB的最小值为.

•••

y

5.（2024.山东.模拟预测）如图，在A4BC中，ABC=90°,AB=2BC=6,BD=1,P在以口为圆心3为

半径的圆上，则AP+6PD的最小值为.

6.（2023•陕西咸阳•三模）如图，在菱形ABCD中，对角线相交于点。，点E、F分别是OD、OC

上的两个动点，且即=4,P是即的中点，连接OP、PC、P。,若47=12,6。=16,则。。+牛尸。的

最小值为.

D

7.（2024•广东•九年级阶段练习）如图,在平面直角坐标系中，4（2,0）,B（0,2）,。（4,0）,。（5,3）,点P是

第一象限内一动点，且NAPB=135°,则4PD+2PC的最小值为.

•••

8.（2024•湖北•九年级专题练习）（1）如图1,已知正方形4BCD的边长为4,圆B的半径为2,点P是圆B

上的一个动点，求+的最小值，gPD+4PC的最小值，PD—的最大值.

⑵如图2,已知正方形ABCD的边长为9,圆口的半径为6,点P是圆B上的一个动点，求+

O

的最小值，PD—的最大值，PC+乎尸。的最小值.

OO

（3）如图3,已知菱形ABCD的边长为4,=60°,圆B的半径为2,点P是圆B上的一个动点,求PD

+—PC的最小值和PD-的最大值.PC+^-PD的最小值

•••

9.（2023・重庆・模拟预测）如图1,在平面直角坐标系中，抛物线y=--x2+bx+c与直线y=~^x+2交

（1）求抛物线的函数解析式；（2）P为直线上方抛物线上的一个动点，过点P作PQ〃"轴交直线

于点Q,求PQ+军CQ的最大值和此时点P的坐标；

5

•••

习题练模型

10.（2024•四川宜宾•中考真题）如图,抛物线y=ax2+bx+c（a<0）的图象交T轴于点4（—3,0）、3（1,0），

交U轴于点C.以下结论：①a+b+c=0；②a+3b+2c<0；③当以点A、8、C为顶点的三角形是等

腰三角形时，c=。；④当c=3时，在△AOC内有一动点P,若0P=2,则CP+日4P的最小值为

O

呼.其中正确结论有（）

O

C.3个D.4个

11.（2023•山西•九年级专题练习）如图，在△ABC中，/8=90°,AB=CB=2,以点B为圆心作圆8与/。

相切，点P为圆B上任一动点，则上4+容PC的最小值是

12.（2023•成都市•九年级专题练习）如图，已知菱形4BCD的边长为4,ZB=60°,的半径为2,P为。

B上一动点，则的最小值.PC+艰的最小值

2---------o---------

13.（2024•甘肃武威・一模）如图，在扇形O4B中，乙406=90,OA=12,点。在。4上，4。=4,点。为

•••

。口的中点，点E为弧AB上的动点，OE与CD的交点为F,CE+2OE的最小值为

14.（23—24九年级下.四川成者限阶段练习）如图，△ABC是等边三角形，AB=4,点。在边AC上由。向

A运动,点E在边上由B向。运动，且CD=BE,连接BD、AE交于点P,将边4。绕着点。顺时

针旋转90°得到CM,在射线CM上截取线段CR,使CF=在。、E的运动过程中，求义PC+

尸尸的最小值

15.（2024.四川绵阳•校考一模）在△ABC中，乙4cB=90°,BC=8,AC=6,以点。为圆心，4为半径的圆

上有一动点D,连接AD,BD,CD,p1lJyBL>+AD的最小值是.

16.（2024九年级•广东•专题练习）如图，等边△ABC的边长为6,内切圆记为©O,P是©。上一动点，则

PB+2PC的最小值为

17.（2023•山东烟台・统考中考真题）如图，抛物线夕="—6宓+5与比轴交于48两点，与y轴交于点C,

=4,以点B为圆心，画半径为2的圆，点P为。B上一个动点，则PC+2上4的最小值为

18.（2024•江苏镇江,二模）如图，边长为2的正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD上的动点，BE=CF,

连接AE、板交于点P,则PD+孕C的最小值为一.

19.（2024・江苏•校考二模）如图，在△4BC中，乙4cB=90°,BC=12,AC=9,以点。为圆心，6为半径的

圆上有一个动点D.连接AD、BD、CD,则2AD+3BD的最小值是.

20.（23—24九年级上.江苏南京.期末）如图，在电AABC中，乙4cB=90°,47=6,瓦7=8,。、E分别是

边BC、47上的两个动点，且OE=4,P是。E的中点，连接PA,PB,^\PA+^PB的最小值为

•••

B

21.（23—24九年级下•江苏盐城•阶段练习）如图，在&ZVIBC中，乙4cB=90°,AC=8,BC=6,点、D为

△4BC内一动点,且满足CD=4,则AD+春口。的最小值为

O

22.（23—24九年级上•陕西汉中•期末）（1）【问题提出】如图1,在正方形4BCD中，点E是边的中点,

DF=3CF,求证：△ABE〜/XECF；

（2）【问题探究】如图2,在矩形ABCD中，=5,BC=12,点E、尸分别为边AB.上一个动点，且

EF=6,点P为即的中点，连接DP,求DP的最小值；

（3）【拓展延伸】如图3,在菱形中，43=4,/8=60°,点后为4D边的中点,在平面内存在点尸,

且满足FE=1,以4F为一边作4P（顶点F、A、P按逆时针排列）,使得AP=2AF,且AFAP=

120°,求2PD+PC的最小值.

•••

23.（2024•山东威海*二模）【问题解决】（1）如图1,四边形ABCD是正方形，点E在边4D上，以CE为边在

其右侧作正方形CEFG,连接DG,8E,求证：DG=BE.

【问题拓广】（2）如图2,四边形ABCD是矩形，48=4,6,点E是4D边上一动点，以CE为边在

其右侧作矩形CEFG,且CG-.CE=2:3,连接。G,BE.①写出线段0G与BE的数量关系，并证明你

的结论；②连接BG，则BE+^BG的最小值为.（直接写答案）

24.（23-24九年级上•湖北武汉•阶段练习）如图1,在矩形ABCD中，="BC,点E为射线上的一

个动点，过点E作砂，AE,连接AE，使ZEAF=ABAC,连接CF.

图1图2

⑴求证:①△4BC〜4HEF；②4ABE〜/XACF；（2）如图2,若乃=5,连接DF.

①若ZCDF=45°,求BE；②当E点在射线8C上运动时，则DF+-^-AE的最小值为

O

•••

25.(23—24九年级下•湖南郴州•期中)综合与实践，如图，以4B为边向两侧作AABC和4ABD,E为AD

的中点，连接8E,CE.(1)如图1,若CALAB,CA//BD,/C=3,AB=BD=4,求CE的长.

(2)如图2,连接CD交4B于点EG为CP上一点，斤G=4F,AG//BD,ZBZ)F=60°,AC=AD.猜

想与BE之间存在的数量关系，并证明你的猜想.(3)如图3,△ABC是以为斜边的等腰直角

三角形，若48=8,8。=4,请直接写出当CE—。AE取最大值时，A4CE的面积.

•••

圆中的聿值膜型之为氏圆娥嘤

最值问题在中考数学中常常作为压轴题出现，其中“阿氏圆”（又称“阿波罗尼斯圆”）是一个重要的考点。这

类题目主要考察学生的转化与化归等数学思想,并且在各类考试中通常都被视为高档题。为了帮助学生更好地

理解和掌握这一知识点，本专题将对最值模型中的阿氏圆问题进行系统的梳理，并提供对应的试题分析，以便学

生能够熟练掌握并灵活应用。

-------------------------------------------------------------0(^^3)°

例题讲模型...............................................................................1

模型i.w氏国模型........................................................................1

习题练模型..............................................................................12

例题讲模型O

模型1.阿氏圆模型

动点到两定点距离之比为定值（即:平面上两点A、B,动点P满足a4/PB=%（A;为常数，且%看1））,那么动

点的轨迹就是圆，因这个结论最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现的，故称这个圆称为阿波罗尼斯圆，简称为阿

氏圆。

如图1所示，。。的半径为r,点都在③。外，P为。。上一动点，己知发=七。8（即=k）,连接

UJD

_R4、PB,则当“PA+APB”的值最小时，P点的位置如何确定？最小值是多少呢？

•••

如图2,在线段OB上截取OC使。。=%.「（即会：=k）,,:黑=k，：.工=咨

pp

•/NPOC=ABOP,APOC-/\BOP,不君=鼠即k-PB=PC。

故本题求“P4+KPB”的最小值可以转化为“FA+PC”的最小值。

其中与A与。为定点，P为动点，故当4P、。三点共线时,“P4+PC”值最小，如图3所示。

阿氏圆求最值的本质就是通过构造母子相似，化去比例系数,转化为两定一动将军饮马型求最值,难点在于如何

构造母子相似。

阿氏圆最值问题常见考法:点在圆外：向内取点（系数小于1）;点在圆内：向外取点（系数大于1）;一内一外:提系

数;隐圆型阿氏圆等。

注意区分胡不归模型和阿氏圆模型:在前面的“胡不归”问题中，我们见识Ti（k-FA+PB”最值问题，其中P点轨

迹是直线，而当P点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题.

1.（2024・浙江•校考一模）如图，4B为。。的直径，=2,点。与点。在的同侧，且AD，AB,

，AB,A。=1,3,点P是。O上的一动点,则^-PD+PC的最小值为.

•••

【答案】早

【分析】连接8,先利用勾股定理求得OD=0,AAOD=45°,在OD上截取。/=空，过/作汨，

于H,IG工BC于G,求得BG=IH=[■，/G=BH=•，CG=1■，进而求得CI=乂|全，证明△PC"

△OOP求得PI=亨PD,利用两点之间线段最短得到与PD+PC=PI+POIC,当C、P、/共线时取

等号，即可求解.

【详解】解:连接OD,YAB为。。的直径，AB=2,

.•.O4=OB=1,1•在AtZVlOD中，OA=AD=1,OD=VAD^OA2=V2,ZAOD=45°,

在OD上截取O/=夸，过/作汨，48于H,/G，BC于G,连接IP、IC,

：.四边形IHBG是矩形,IH=OH=与OI=f,：.BG=IH=[,IG=BH=OH+OB=^-,

:.CG=BC-BG=3-f=卷，在RtACIG中，CI=dIG2+CG2=

•••禺=嘉=W，々OD是公共角，二AF。/〜ADOP,.•.黑=缁=乎，则PI=警PO,

1\_yJLyZ1jLyZ乙

.•.孚PD+PC=P/+PC，/C,当。、P、/共线时取等号，

故亨PD+PC的最小值为C/=工,故答案为：W工.

2.（2024.湖北.九年级专题练习）如图，已知正方形4BCD的边长为4,。口的半径为2,点P是。B上的

一个动点，则PD-^PC的最大值为.•••

D

【答案】5

【详解】分析：由PD—^PC=PD—PGWDG,当点、P在DG的延长线上时，PD-^-PC的值最大，最大

值为。G=5.

详解：在BC上取一点G,使得BG=1,如图，•.•祟=,=2,普=言=2,.•.祟=髡，

±>Gr1JrID/±>GrJrID

•：APBG=ZPBC,:ZBG〜ACBP,.•.聚=鬻=[,.•.PG=[p。，

niIDzL

当点P在DG的延长线上时，PD—yFC的值最大，最大值为DG=V42+32=5.故答案为5

点睛：本题考查圆综合题、正方形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会构建相似三

角形解决问题，学会用转化的思想思考问题,把问题转化为两点之间线段最短解决，题目比较难，属于中

3.（2023•北京•九年级专题练习）如图，边长为4的正方形，内切圆记为。O,P是。。上一动点，则，

+PB的最小值为.

【答案】2瓶

【分析】+亨PB）,利用相似三角形构造字PB即可解答.•••

【详解】解:设。O半径为r,

_

OP=r=^-BC=2,03=血7'=22，取03的中点/,连接刊,；.。/=由=四,

..小=工=回胆=3工=®.OPOB

,OIV2'OP2VO1=OP,ZO是公共角，,ABOPsAPOZ,

•••哥=原=*.••/=卓也••.”+冬PB=”+H,

当4P、/在一条直线上时，AP+?PB最小，作/E_L4B于E,

•.-2ABO=45。,：.IE=BE=^BI=1,:.AE=AB-BE=3,

：.AI=V^+P=V10,：.AP+笄PB最小值=A/=旧，

•/V2PA+PB=V2（PA+*PB）,/.V2FA+PB的最小值是V2AZ=V2xVW=275.故答案是2瓜

【点睛】本题是“阿氏圆”问题，解决问题的关键是构造相似三角形.

4.(2023•江苏泰州•模拟预测)如图，。O与“轴、2轴的正半轴分别相交于点M、点N,©O半径为6,点

40,3),点B(5,0),点C(O,12),将线段OC绕点。顺时针旋转a(0°WaW90°),得线段OO,O。与

弧M2V交于点P,连PA,PB.则224+P8的最小值为.

【答案】13

【分析】连接PC,易证△QR4〜△OCP,相似比为—，即可得到2PA=PC,可知当。、P、B三点在同一条直

线上的时候，2R4+PB取得最小值，利用勾股定理即可求解.

【详解】解:连接PC,•••。4=3,OP=6,00=12,

V

[APOA^ACOPi

在ZXOBA和△OCT中，｛04=cp=i,.•.△OR4〜△OCP,相似比为卷，故2R4=PC,

[~OP~~OC2

A当C、P、B三点在同一条直线上的时候，2a4+PB取得最小值，

在RtdOCB中，2_R4+PB=CB=gC1+CB?=，醛?+5?=13.故2Q4+PB的最小值为13.

【点睛】本题考查相似三角形中与圆结合中的动点问题，难度一般，正确作出辅助线，利用相似性，是顺利解

题的关键.

5.（2024.山东.模拟预测）如图，在A4BC中，N4BC=90°,AB=2BC=6,1,P在以8为圆心3为

半径的圆上，则4P+6PD的最小值为.

【解答】解:在48上取点E,使跳；=得，•.•4B=2BC=6,=等=]

,:NPBE=AABP,XPBE〜^ABP，:.售=置=三，：.PE=±PA,

iviAb//

在BD延长线上取BF=9,=则第_=^=3,

riDJDL)

PFpR

又・・・4PBD=/FBP,：.\PBD〜\FBP,：.希=建=3,：,PF=3PD,

PA+6PD=2（^-PA+3PD）=2（PE+PF）,

：.当P为EF和圆的交点时PE+PF最小，即P4+6PD最小，且值为2EF,

•：EF=y/BE~+BF2=J（-|-）2+92=,二M+6尸。的最小值为2EF=3俯，故答案为：3，五.

6.（2023•陕西咸阳•三模）如图，在菱形4BCD中，对角线相交于点。，点E、斤分别是O。、OC

上的两个动点，且即=4,P是EF的中点，连接OP、PC、尸。，若47=12,BD=16,则PC+:产D的

最小值为.

［答案］呼显

【分析】在OD上取一点G,使得0G=1，连接PG、CG.根据菱形的性质可知。。=6,OD=8,则空=

翳=5，结合2Gop=APOD,可得APOG〜△DOP,利用相似三角形的性质证得PG=:PD,根据

PC+POCG可知CG的长即为PC+±PD的最小值，利用勾股定理求出CG便可解决问题.

【详解】解:如图，在OD上取一点G,使得OG制，连接PG、CG.

•：四边形ABCD为菱形,AC=12,BD=16,OC=^-AC=6,OD=~BD=8,AC±BD,

•.•EF=4,P是EF的中点，.•.OP=5EF=2,.•.黑=£=9，器=看=［,

又­.-4Gop=APOD,/.APOG〜^DOP,：.黑=；,即GP=,

•：PC+PG>CG,：.当点G、P、。在同一直线上时，PC+，。取得最小值，

此时PC+十PD=PC+PG=CG=〃。。2+CG?=，故答案为：誓兄.•••

【点睛】本题主要考查了菱形的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握“胡不归”问题模型，正确

画出辅助线，构造相似三角形，根据相似三角形的性质和勾股定理求解.

7.(2024•广东•九年级阶段练习)如图，在平面直角坐标系中，4(2,0),8(0,2),。(4,0),。(5,3),点P是

第一象限内一动点，且AAPB=135°，则4PD+2PC的最小值为.

【答案】20

【分析】取一点T(1,0),连接。P,PT,TD,首先利用四点共圆证明OP=2,再利用相似三角形的性质证明

PT=推出4PD+2PC=4(PD+*PC)=4(PD+PT),根据PD+DT,过点。作DE_LOC

交OC于点E,即可求出。T的最小值，即可得.

【详解】解:如图所示，取一点7(1,0),连接OP,PT,TD,

：42,0),5(0,2),C(4,0),.•.CU=OB=2,0(7=4,

以。为圆心，OA为半径作。O,在优弧43上取一点Q,连接QB,QA,

•.•ZQ-yZAOB=45°,/APB=135°,ZQ+AAPB=45°+135°=180°,

Q四点共圆，.•.OP=OA=2,

•：OP=2,OT=1,OC=4,：.OP2=OC-OT,：.沼=粤,

PTOpii

・・・ZFOT=ZFOC,AAFOT〜△COP,・,・*=*二卷，•二PT=*PC,

：.4PD+2PC=4(Fn+yFC,)=4(PD+PT)，过点。作DE_L。。交OC于点E,

•.•。的坐标为(5,3),.•.点E的坐标为(5,0),TE=4,：.L>T=V32+42=5

•.•PD+PT>DT,.•.4PD+2PO20,.•.4PD+2PC的最小值是20,故答案为：20.

【点睛】本题考查了四点共圆，相似三角形，勾股定理,三角形三边关系，解题的关键是掌握这些知识点.

8.(2024.湖北.九年级专题练习)(1)如图1,已知正方形ABCD的边长为4,圆口的半径为•2,点•P是圆•B

上的一个动点，求PD+9PC的最小值，血尸。+4PC的最小值，PD—得PC的最大值.

（2）如图2,已知正方形4BCD的边长为9,圆6的半径为6,点P是圆B上的一个动点，求PD+1~PC

O

的最小值，P。—OPC的最大值，PC+乌PD的最小值.

OO

（3）如图3,已知菱形ABCD的边长为4,=60°,圆B的半径为2,点P是圆B上的一个动点,求PD

+《PC的最小值和PD—《PC的最大值.PC+乌PD的最小值

226

【分析】⑴如图1中，在BC上取一点G,使得BG=L由△FBG〜△CBF,推出梁=管=/推出

1OrLJ/

PG=推出PD+3PC=DP+PG,由DP+PG>OG,当。、G、P共线时，PD+J。。的值最小,

最小值为DG=V42+32=5.由PD—：PC=PD—PG^DG,当点、P在DG的延长线上时，PD-yPC

的值最大（如图2中），最大值为DG=5;可以把V2PD+4PC转化为4（空PD+P。）,这样只需求出

V2PD+4PC的最小值，问题即可解决。

（2）如图3中，在BC上取一点G,使得BG=4.解法类似（1）;

（3）如图4中，在上取一点G,使得BG=4,作。F_L于F.解法类似（1）;

【详解】（1）如图1中，在BC上取一点G,使得BG=L

..PB_2BC1.PB_BC

.乐一丁一可=9,•：APBG=ZPBC,：.APBG〜△CBP,

2,2BGPB

•••器=%=：.PG=^PC,：.PD+^PC=DP+PG,

■：DP+PODG,：.当。、G、P共线时，0D+的值最小，最小值为DG=V42+32=5.

•/PD-yFC=PD-PG^DG,

当点P在0G的延长线上时，——PC的值最大（如图2中），最大值为。G=5.

如图，连接BD,在BD上取一点F,使得BF=除，作EF工BC

•：然=祟=4,：2PBF=ZPBD,：.APBF〜/XPBD,：.PF=^PD,

13P13L）44

当C、尸、P三点共线时会有FF+CP的最小值即空PD+PC,

由图可知，ABEF为等腰直角三角形，BF=容，BE=EF=9,

：.最小值为FC-y/EF^EC2=^/（y）2+（4-y）2=-|-V2.•.，^PD+4PC的最小值为：1072.

（2）如图3中，在BC上取一点G,使得8G=4.

..PB_6_3BC_9_3.PB_BC../—/〜八「RP

F-NFF-《FlF-K，4PBG-PBC'.ZBG…BP,

•••器=器=等,.•.PG=1~PC,...PD+1_PC=DP+PG,

•：DP+PODG,：.当。、G、P共线时，PD+日PC的值最小，最小值为DG=不/=V106.

■：PD-卷PC=PD-PG&DG,当热P在DG的延长线上时，PD-得。。的值最大，最大值为DG

OO

VW6.

⑶如图4中，在BC上取一点G，使得BG=1,作_DF，BC于F.

BC

■：APBG=APBC,：.APBG〜4CBP,

PB

二器=器=，.•.PG=]PC,.•.PD+^PC=nP+PG,

•.•_DP+PG>DG,.•.当。、G、P共线时，0D+〈PC的值最小，最小值为。G.

在中，ZDCF=60°,CD=4,CD-sin60°=273,CF=2,

在RtdGDF中，。G=+52=居PC=PD—PGMDG,

当点P在。G的延长线上时，PD-/PC的值最大（如图2中），最大值为。G

【点睛】本题考查圆综合题、正方形的性质、菱形的性质、相似三角形的判定和性质、两点之间线段最短等知

识，解题的关键是学会构建相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题,把问题转化为两点之间线段

最短解决，题目比较难，属于中考压轴题.

9.（2023•重庆•模拟预测）如图1,在平面直角坐标系中，抛物线y=一3"+bx+c与直线y=一1力+2交

（1）求抛物线的函数解析式；（2）P为直线上方抛物线上的一个动点，过点P作PQ〃"轴交直线BC

于点Q,求PQ+誓CQ的最大值和此时点尸的坐标;

5

【答案】（l）g=—力+2（2）（PQ+2^^CQ）的最大值为,此时JP（3,2）

【分析】（1）首先求出B（4,0）,。（0,2）,然后利用待定系数法求解即可；（2）首先求出3。=/032+002=

20，过点Q作QH〃c轴交y轴于点H,证明出△CHQ〜△COB,得到CQ^^-HQ,PQ+军显CQ=

PQ+HQ.设P（t,—1■力2+~1~力+2）,—，力+2），表示出PQ+CQ——（右-3）?+得,然后利用二

次函数的性质求解即可；

【详解】(1)直线g=—~+2当力=0时，g=2,(7(0,2)

・••当g=0时，一去力+2=0解得力=4工B(4,0)将_8(4,0),C(0,2)代入g=—^-x2-\-bx-\-c,

得(-9*16+4b+c=0,解得(b=卷...抛物线的解析式为+_|_立+2；

[c=2,1c=222

(2)B(4,0),。(0,2),QB=4,OC=2,BC=VOB2+OC2=275.过点Q作QH〃加轴交夕轴于点H,

△CHQ〜△。。凡•••罟=黑.♦.得=黑=浮.•.CQ=今HQ,

CJDUb〃用C715//

PQ+CQ=PQ+HQ.设P卜,―■力2+号1+2),Q1,—^力+2),

22

则PQ—yp—yQ——■廿+2t,HQ—xQ—t,：,PQ+2yCQ——^-t+3t=―1(t—3)+-1-.

ZJo///•••

p

^/O\

—；VO,OV力V4,，当力=3时，(PQ+2^^CQ)的最大值为巧■，此时P(3,2).

⑶由⑵知，。3')，点Q平移前的对应点为点C,

.•.新抛物线是原抛物线向右平移3个单位长度，再向下平移整个单位长度后得到的.

式=一卷0—3)2+9(2-3)+2一得=一卷"+葛,一宇，

•,倒0，—耳)，对称轴为2=设M"&m),由⑴知,B(4,0),

2222

加1E/2/9\.(.17\2I1I1857pD2Ziz?I/17\353八巾2Z(9\.2z1,

贝+\rn-\-——\=m+17mH——-—,EB=16+()=——,MB=(———44)+m=--+

zz£4zqzq

m2.

①当E7W2=Mg2时，m2_|__J_+7n2,解得馆=_阳佟，—；

2400,200/

②当EB2=MB2时,T=1+俏解得馆=±2匹，.•.闯4,2回)，闻今,一2回).

综上所述，点M的坐标为(?■,―)或或(弓，一2，豆).

zOoZZ

【点睛】本题考查了二次函数综合问题,待定系数法求解析式，二次函数的平移，线段周长问题，特殊三角形

问题，勾股定理等知识，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.

=•习题练模型K,7'：

10.(2024•四川宜宾•中考真题)如图,抛物线y=ax2+bx+c(a<0)的图象交2轴于点4(—3,0)、8(1,0),

交“轴于点C.以下结论:①a+b+c=0；②a+3b+2c<0；③当以点A、B、C为顶点的三角形是等

腰三角形时，c=。；④当c=3时，在△49C内有一动点P,若OP=2,则CP+得4P的最小值为

O

)

•••

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】。

【分析】根据抛物线图象经过点B(l,0),可得当c=l时，y=a+b+c=0,据此可判断①;根据对称轴计算公

式求出b=2a,进而推出c=—3a,则a+3b+2c—a+6a—6a=a■，再根据抛物线开口向下，即可判断②;对

称轴为直线加=—1,则ACW8C,求出48=4,OC=c,再分当AC=4B=4时，当BC=>1B=4时，两种

情况求出对应的c的值即可判断③；当c=3时，。(0,3),则OC=3,取点网一去，0),连接PH,则OH=

♦，可证明4Hop〜△POA,由相似三角形的性质可得,_R4,则CP+日AP=CP+PH,故当点P

在线段CH上时，CP+的值最小，即此时CP+^-AP的值最小，最小值为线段CH的长，利用勾股定理

O

求出CH即可判断④.

【详解】解：:抛物线y—ax1+版+c(a<0)的图象经过点B(l,0),

当力=1时，g=a+b+c=0,故①正确；

抛物线y=ax2+bx+c(a<0)的图象交力轴于点4(—3,0)、B(l,0),

抛物线对称轴为直线田=一=—1,

b—2at

，a+2Q+c=0,即c=—3a,

a+3b+2c=a+6a—6a=a,

TaVO,

・•・a+3b+2cV0,故②正确；

对称轴为直线/=—1,

・・・AC^BC;

vA(-3,0)>B(l,0),

OA=3,OB=1,

・・.AB=4;

^y=ax2-\-bx-\-c(a<0)中，当力=0时，g=c,

AC(O,c),

OC=c,

当AC=AB=4时，则由勾股定理得AC2=OA2+OC2,

222

・・.4=3+cf

c=V7或c=-V7(舍去)；

同理当BC=AB=4时，可得c=，IK;

综上所述，当以点4反。为顶点的三角形是等腰三角形时，c=或c=6J,故③错误;

当c=3时，。(0,3),则00=3,

如图所示,取点H(-y,0),连接PH,则OH^~,

4

.OH=在=2

一OP-T-T,

..OP=2

*OA3'

13

.OH=OP

"75P~~OA,

又：NHOP=/POA,

:.△HOPPOA,

.PH=OP=2

9

:・PH=亳PA,

o

9

：.CP-^^-AP=CP+PH

J9

当点