2025年高考数学一轮复习：空间向量和立体几何14（含解析）

空间向量和立体几何高考复习专题十四

知识点一证明线面平行，面面角的向量求法

典例1、如图，是圆。的直径，点C是圆。上异于A,3的点，直线PC,平面ABC,E,F

分别是上4,PC的中点.

(1)记平面3EF与平面A3C的交线为/,求证：直线///平面PAC;

(2)若尸C=Afi=2,点C是的中点，求二面角ET-C的正弦值.

随堂练习：如图，三棱柱A3C-4gG中侧棱与底面垂直，且AB=AC=2,M=4,AB1AC,

M,N,

P,。分别为CG,BC,4耳，8c的中点.

(1)求证：PN〃面ACGA;

(2)求平面/W与平面ACC0所成锐二面角的余弦值.

典例2、如图所示的几何体中，AABE,ABCE,A/X芯都是等腰直角三角形，

AB=AE=DE=DC,且平面ABE工平面3CE,平面。CE1■平面3CE.

(1)求证：AD〃平面3CE；

(2)求平面BAD与平面EAD夹角的余弦值.

随堂练习：如图，在四棱锥A-3CDE中，ACY^BCDE,AD±DE,ABCE为等边三角

形，ZECD=60°.

(1)求证：平面ACD,且3E〃平面ACD.

(2)已知AC=3,BC=2,求平面ADE与平面ABE所成锐二面角的余弦值.

典例3、如图，A4SC是边长为2的等边三角形，四边形ACDE为菱形，平面ACDE，平面

ABC,ZACD=60°,DF//BC,DF=1.

(1)求证：E/〃平面ABC；

(2)求平面ABC与平面所成锐二面角的余弦值.

随堂练习：如图，直四棱柱力四-484〃的底面是菱形，［4=4,AB=2,ZBAD=QO°,E,

M,N分别是BB、,4。的中点.

(1)证明：的V〃平面6龙'；(2)求二面角力-MITV的正弦值.

知识点二证明线面垂直，线面垂直证明线线垂直，线面角的向量求法

典例4、如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，丛，平面ABCD,PA=2AB=4,

点M是Bl的中点.

(1)求证：BDVCM-(2)求直线PC与平面所成角的正弦值.

随堂练习：如图，在直角APQ4中，POVOA,P/20A,将APQ4绕边如旋转到APOB的位

置，使ZAC®=90。，得到圆锥的一部分，点。为48的中点.

(1)求证：PCLAB；(2)设直线刀。与平面以8所成的角为夕，求sin°.

A

典例5、在四棱锥尸-ABCD中，底面/皿为直角梯形，AB//CD,AB1BC,

PD=BC=CD=2AB=2AP=2,£为CD的中点，点夕在平面ABCD内的投影厂恰好

在直线AE上.

(1)证明：CD1AP.(2)求直线尸8与平面PAD所成角的正弦值.

——»3―.

随堂练习：如图，在AMC中，AB=3,AC=2BC=4,。为AC的中点，通=2万，BP^-PC.

现将VADE沿DE翻折至AADE,得四棱锥.A-BCDE

(1)证明：AP1DE;(2)若4¥=2四，求直线AP与平面BCD所成角的亚叨值

典例6、如图，在七面体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形,其中ZBAD=60。，ABCE,ACEF,

△CE4是等边三角形，且

(1)证明：ABYEF-,(2)求直线AF与平面CD尸所成角的正弦值.

随堂练习：如图，在四棱锥P-ABCD中，PAL平面ABCD,AD/IBC,ADLCD,且

AD=CD=2-j2,BC=4y[2,PA=2,点M在尸。上.

(1)求证：ABLPC-(2)若二面角AC-。的大小为45。，求8M与平面PAC所

成角的正弦值.

B

空间向量和立体几何高考复习专题十四答案

典例1、答案：（1）证明见解析（2）显

3

解：（1）因为瓦尸分别是尸APC的中点所以£F〃AC,

又因为ACu平面ABC,EfV平面ABC所以跖〃平面ABC

又EFu平面3EF,平面跳下与平面A3c的交线为/,所以EF//1,

而/<Z平面PAC,£Fu平面PAC,所以/〃平面PAC

（2）如图，因为A3是圆。的直径，点C是AB的中点，AB=2

所以G4_LCB,CA=CB=y/2

因为直线PC，平面ABC所以PCJ_C4,PC，C3

所以以C为原点，直线04,CB,CP分别为x轴，>轴，z轴，

建立空间直角坐标系C-qz,则"0,0,1）,B（0,V2,0）,E（弓,0,1）

nun__Q

所以3万=（0,—0,1）,而=（三,一应,1）

\BF-n=0[_0>+z=O

设平面瓦5的法向量心a,y,z）,则行,即四厂

BEn=0—x-V2y+z=0

令y=i,贝I尤=o,z=0得5=（o,1,0）

因为直线PC，平面ABC所以。=（0,0,1）为平面ABC的法向量

所以M现日>=息9=噂=乎所以二面角—LC的正弦值为半

|CP||/z|,333

随堂练习：答案：（1）证明见解析（2）”1

解：（1）解法一：以点力为坐标原点，/员］。、A4所在直线分别为或入z轴建立空间直

角坐标系，

则4（。,。，4）,5（2,0,0）,M（0,2,2）,2V（l,l,0）,P（l,0,4）,

取向量题=（2,0,0）为平面ACGA的一个法向量，丽=（O,1T）,

/.«V-AB=0x2+lx0+（-4）x0=0,/.PNLAB.

又：PN<Z平面ACqA,/.PN〃平面ACqA.

解法二：'：P,。分别为AM,4G的中点，

/.PD//A.C.,且AG平面ACGA,90平面46：£4,尸。//平面ACGA,

'：D,N分别为4G,勿的中点，/.DN//CCt,且CGu平面DNU平

面ACGA,

D/V〃平面ACGA,又PDcDN=D,平面PDN〃平面ACQA,

又：PNu平面PDN,二PN〃平面ACG4.

以点A为坐标原点AA所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，

则4（0,0,4）,5（2,0,0）,四（0,2,2）,N（l,l,0）,P（l,0,4）..•.丽=（0,1,Y）,

PM=（-1,2-2）,

取向量方=（2,0,0）为平面ACGA的一个法向量,

n•PM=0—x+2y—2z—0

设平面/W的法向量为》=（x,y,z）,贝卜——,即Qrl

nPN=Qy—4z=0

令z=l,则％=6,y=4,则〃=（6,4,1）,

―ABn2x6+0x4+0xl6453

cos<AB,n>=-----=---「=—=-----

AB-n2762+42+1253

由图示可知平面/W与平面ACC0的夹角为锐角，

•••平面/W与平面ACG4所成锐二面角的余弦值为5画.

53

典例2、答案：(1)证明见解析(2)|

解：(1)证明：分别取防,EC的中点连接

^AB=AE=DE^DC=1,则EB=EC=应,v=AE,BO=OE,AOLBE,

又平面平面BCE,平面ABEc平面3CE=3E,AOu平面ABE,，AO_L平

面BCE,

同理可证DHL平面BCE,:.AO//DH,

又因为AO=£»H=①,所以四边形AOHD是平行四边形，

2

又QADU平面3CE,0"u平面BCE,二AD〃平面BCE；

(2)如图，取3c的中点为尸，则。尸，BE,

以点。为坐标原点，。氏。尸，。4所在的直线分别为x轴，＞轴，z轴，建立空间直

角坐标系，

则仙,。,图,8佟。,0同一字日多E「¥，o,oj,

则丽=f,o,用初="冬野则小产,0,臼不八,一亭一

'一旦+巴=0

设平面ABD的一个法向量为法=(x,%z),则｛?/厂\-x+z=0

-Sgz=Q1-2%+y+z=0

[2-2

令x=l,得平面ABD的一个法向量为加=(1,1,1)

>/2V2n

-------a-------c=0

22a+c=O

设平面ADE1的一个法向量为万=（a,4c）,则

V2,V2b+c=0

-------b-------c=0

22

令。=1,得平面ADE的一个法向量为为=（1,1,-1）,

设平面BAD与平面E4D夹角为6,则|cos6|=|利五|=，

所以平面BAD与平面EAD夹角的余弦值为g.

随堂练习：答案：（1）证明见解析（2）叵

解：⑴ACBCDE,DEu平面3coM:.AC±DE,

JiAD±DE,ACC\AD=A,AC,ADu平面AC。，.•.DE_L平面ACQ；

QV3CE为等边三角形，：./BEC=60。，又NECD=60。，：.BE//CD,

•••CDu平面ACD,防0平面AC。，〃平面ACD.

•「DE，平面AC。，CDu平面AC。，:.DELCD；

（2）以。为坐标原点，反，读为x，y轴正方向，作z轴//AC,可建立如图所示空间

直角坐标系，

则0(0,0,0),A(l,0,3),B(2,A/3,0),E仅，疯0),

.-.04=(1,0,3),DE=(0,V3,0),AB=(1,73,-3),BE=(-2,0,0),

设平面ADE的法向量♦=（尤］,必,zj,

DA•后=&+3Z]=0

,令4=1,则占=-3,%=0=(-3,0,1)；

DE-n=6y、=0

设平面ME的法向量机=（无2,%，），

普/二+限.34=。，令a,则y0,%地，.•苏=（。，可卜

则

|_,臼_1

cos<m,n>

।2^/1320，

，平面3与平面神所成锐二面角的余弦值为萼

典例3、答案：（1）证明见解析（2）叵

13

解：（1）证明：因为四边形AC/汨为菱形，则DE//AC,

•.•DEU平面ABC,ACu平面ABC,.1DE〃平面ABC,

-,-DF//BC,平面ABC,BCu平面ABC,二。尸〃平面ABC,

■,DE^DF=D,所以，平面。砂〃平面ABC,

因为EFu平面DEF,跖〃平面ABC.

（2）取AC的中点。，连接08、0D,

因为四边形ACDE为菱形，贝l]AC=CD,因为ZACD=60。，贝IJAACD为等边三

角形,

因为。为AC的中点，则0DLAC,同理可得O8LAC,

因为平面ACDEL平面ABC,平面ACDEC平面ABC=AC,ODu平面ACDE,

平面ABC,以点。为坐标原点，OB、0C、0。所在直线分别为八八z

建立如下图所示的空间直角坐标系,

则A（0,—1,0）、网后0,0）、C（O,1,O）、,0,0,a£（0,一2,码、F

[22

设平面3EF的向量为加=（x,y,z）,EF=,BE=（-6,-2,6）,

,取x=3,可得〃?=（3,—白,1）,

m-BE=-y/3x-2y+A/3Z=0

—•-m

易知平面ABC的一个法向量为;?-（0,0,1）,则cos<m,〃>=同

因此，平面ABC与平面8EF所成锐二面角的余弦值为巫.

13

随堂练习：答案：（1）见解析；（2）粤.

解：（1）连接ME,B,C

■：M,E分别为四，3C中点二腔为M8C的中位线且

ME=^BXC

又N为4。中点，且4。少。:.ND//B\C且ND=3B、C

：.ME/JND.•.四边形雁VDE为平行四边形

:.MN//DE,又MVU平面G〃E,DEu平面G^E,肱V//平面G。'

(2)设ACnBD=O,4cle42=0]由直四棱柱性质可知：00J平面ABCD

••・四边形ABCD为菱形:.AC±BD

则以。为原点，可建立如下图所示的空间直角坐标系：

则：A(V3,0,0),M(0,l,2),A(AO,4),D(0,-1,0)N一；,2

[22J

取A3中点尸，连接Db,则

•••四边形?18。。为菱形且/胡。=60。.•.ABAD为等边三角形:.DFLAB

又A4J平面ABCO,。户u平面ABC。DF1

：.DF±平面ABB^,即DF2平面AMA,

——•(石3、

二而为平面AMA的一个法向量，且彳，5，°

设平面MAN的法向量二=(x,y,z),又丽=(#T2),而=冬-|，0

n-MA]=>/3x-y+2z=0

__百3,令x=耶),贝！Jy=i,z=—l/.为=1)

.MN=-x--y=0'7

In22

.DFn_3_J15―.J10

..cos<DF,n>—j-[——―7=------«i'正、_Y

\DF\.\n\V155•-csmn<L>?,n>-^-

，二面角A-MVN的正弦值为：粤

典例4、答案：（1）证明见解析（2）B

6

解：（1）如图，连接AC,•.•四边形ABCD是正方形，••.AC」SD.

又PA_L平面A3CD,应）u平面AfiCD,PA1BD,

：PA,ACu平面PAC,PA（｝AC=A,.,.8。1平面PAC,

又CMu平面PAC,/.BDLCM

（2）易知A3,AD,AP两两垂直，以点A为原点，建立如图所示的空间直角坐标

系A-孙z.

'：PA=2AB=4,.•.♦（0,0,0）,尸（0,0,4）,加（0,0,2）,C（2,2,0）,£>（0,2,0）,

/.MC=（2,2,-2）,MD=（0,2,-2）,PC=（2,2,-4）.

n-MC=2x+2y-2z=0

设平面MCD的法向量为3=（x,y,z）则

n•MD=2y-2z=0

1_,.rr

令y=i,得设直线PC与平面MCD所成角为e,由图可知o<e<5,

则即时岫码二谭二昌治二（一4『弋

即直线PC与平面2所成角的正弦值为今

⑵2"⑹

随堂练习：答案：（1）证明见解析

15

解：（1）证明：由题意知：尸。，。4,尸。，。3,OAnOC=0.•.收，平面/如,

又•.•ABu平面/眼所以RR那.又点。为AB的中点，所以。四,

POn(9C=0,所以加，平面切C,又TPCu平面如C,所以AdB.

（2）以。为原点，OA,0B,而的方向分别作为X,乃2轴的正方向

建立如图所示的空间直角坐标系，设。4=2,则4（2,0,0）,5（0,2,0）,尸（0,0,4）,

所以荏=(-2,2,0),A?=(-2,0,4),PC=(72,72,-4)

n•AB=-2a+2Z?=0,n

设平面为方的法向量为为=（a,6,c）,则＜一取c=l,n贝r普=6=2

为・AP=—2a+4c=0,

可得平面⑸8的一个法向量为元=（2,2,1）,

典例5、答案：⑴证明见解析⑵中

解：（1）因为AB//CD,AB1BC,£为。的中点，所以AB=CE,A3//CE,

所以四边形ABCE为长方形，CDLAE,

因为尸平面ABC。，CDu平面ABCD,所以CDLPb,

又因为PFcAE=尸，所以CD_L平面上4F,APu平面上4F,所以CD_LAP.

（2）连接PE,由（1）CD_L平面八IF,PEu平面E4F,所以GDLPE,

因为PD=2,DE=1,^^XPE2=PD2-DE2=4-1=3,AE2=4

所以,gpAPYPE,APPE=AEPF,PF=APPE=8,

AE2

所以A尸2=4尸2-「尸2=：,gpAF=1,

过尸做F"_LBC交3C于"，分别以切、FE、FP所在的直线为%、V、z轴的正方

建立空间直角坐标系，8-1，1°，用，4-弓。

Q=[o,；当，AD=(-1,2,0),=-V

I22Jk22J

设平面PAD的一个法向量为n=(x,y,z),

所以|片。即:二乎]…则＞=-*所以*g

设直线必与平面BI〃所成角的为火所以

sinO

所以直线期与平面⑸〃所成角的正弦值为手.

随堂练习：答案：（1）证明见解析；（2）7

解：（1）设厂为的中点，。为AC的中点，BE=2EA,则AD=AE=2,

故AFLDE,则AELOE,又加=了正，则.=

4PCAC4

所以AP是/BAC的角平分线，且AF,尸三点共线.

cDEJ_FP_

由，且严仆尸，得面，则；

[DE1.,AFi4/=DEIA'"DELA'P

（2）法一：连结A4，由。El平面A'PP得，平面ABC1平面A/P,交线为"，

所以A在面A3C上的射影点H在AP上，ZA'PH为直线AP与平面BCD所成

角.

Q2_|_42_927

在AABC中，AB=4,BC=2,AC=3,由余弦定理得cos/BAC=-------------

2x3x48

222

4+2—311I7-f/vc

cosZACB=-------------,故。E=J22+22—2x2x2x—=1,AF=AF=—9

2x4x216V82

又AA，=2石，在/得，由余弦定理得cosNA，AF=竽，贝|sin/A,AP=亭,

所以AH=sinZA'AP=#5

由（1）得叱为角平分线，

在△ACP中，CP=|,由余弦定理得AP=M^,则「〃=纱1,

7735

所以tan/4PH=4乜=7,所以直线AP与平面BCD所成角的正切值为7.

PH

法二：如图，以尸为原点，FE,"为x，y轴建立空间直角坐标系.

/(0,0,0),E(^,o,o],D^,0,0A0,「3gQ

2，°)B一，，u

144J

%当。）小，等

设A'(O,a,切，由AF=A尸=巫，44'=2百

2

平面BCD法向量为7=（0,0,1）,设直线AP与平面BCD所成角为。，所以

2>/15

\PA-n\、_7应

sin。=cos6-,贝Utan夕=7,

\~PA'\-\n\2向「1010

-------•1

7

所以直线AP与平面BCD所成角的正切值为7.

典例6、答案：⑴证明见解析；⑵雪.

解：（1）取CD中点G,连接3G,EG,FG,所以CG=gcD=,

由余弦定理得：BG2=：CG2+CB2-2CG-CBcos60°^—CB,得BGLCD,

2

AB1BG,又ABLBE,且86口3£=3,则平面3EG,

故ABLEG,又AB//CD,所以CD,平面3EG,

则CO1.EG,由等边三角形CD产得COLFU,^,EG^FG=G,

则CD,平面EFG,故CD，£F,又AB//CD,因此AB,防.

(2)连接3D,过点尸作切，平面ABCD于点a,连接AH,GH,

由AB1平面BEG得平面BEG，平面ABCD,则点E在平面ABCD内的射影位于直

线3G上，

由等边三角形BCE得点E在平面ABCD内的射影位于BC的中垂线上，

因此，由几何关系可确定点E在平面ABCD内的射影位于△BCD的重心，

又由(1)知平面ERG,CD,平面BEG,则B,E,F,G,“五点共面，

如图，以点G为原点，以射线G3,GC为x,＞轴的正半轴，建立空间直角坐标

系G-xyz,

不妨设AB=2,则4（3,-2,0）,C（0,l,0）,D（0-1,0）,

BGAEG2-BE?1

在ABEG和AEFG中,由余弦定理得cosZBGE=

2BGEG~3

EG2+FG2-EF21

cosZEGF=

2EG-FG3

77百八4⑹

则cos/3G尸二——,解得尸------，u,

9------9

因此衣=［-竽2警］,而，-/,0,坪］,比=(。,2,0),

7734A/6