2025年中图版高一数学上册阶段测试试卷含答案

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年中图版高一数学上册阶段测试试卷含答案考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共5题，共10分)1、若一个球的表面积为4则这个球的体积是（）A.B.C.D.2、【题文】已知集合M={},集合N={}，则M().A.{}B.{}C.{}D.3、在中，D是BC的中点，AD=3，点P在AD上且满足则（）A.6B.C.-12D.4、平面上有一个△ABC和一点O，设又OA、BC的中点分别为D、E，则向量等于（）A.B.C.D.5、已知幂函数f(x)的图像经过(9,3)，则f(2)-f(1)等于()A.3B.C.D.1评卷人得分二、填空题(共8题，共16分)6、已知定义在R上的函数f（x）满足：f（x+1）=当x∈（0，1]时，f（x）=2x，则f（log29）等于____．7、对函数y=|sinx|，下列说法正确的是____（填上所有正确的序号）．

（1）值域为[0；1]

（2）函数为偶函数。

（3）在[0；π]上递增。

（4）对称轴为x=π，k为整数．8、函数f（x）=|x2-2x|-a有四个零点，则实数a的取值范围是____．9、如图，已知P是正方形ABCD外一点，且PA=3，PB=4，则PC的最大值是___________．10、【题文】（已知三个球的半径满足则它们的表面积满足的等量关系是___________11、如果cosα=且α是第四象限的角，那么=____．12、sin（-600°）的值为______．13、2002

年8

月，在北京召开的国际数学家大会会标如图所示，它是由4

个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若直角三角形中较小的锐角为娄脠

大正方形的面积是1

小正方形的面积是125

则sin2娄脠鈭�cos2娄脠

的值等于______．评卷人得分三、计算题(共9题，共18分)14、在某海防观测站的正东方向12海浬处有A、B两艘船相会之后，A船以每小时12海浬的速度往南航行，B船则以每小时3海浬的速度向北漂流．则经过____小时后，观测站及A、B两船恰成一个直角三角形．15、如图，⊙O中的圆心角∠AOB=90°，点O到弦AB的距离为4，则⊙O的直径长为____．16、如果，已知：D为△ABC边AB上一点，且AC=，AD=2，DB=1，∠ADC=60°，求∠BCD的度数．17、已知x，y，z为实数，满足，那么x2+y2+z2的最小值是____18、已知关于x的方程k2x2+（2k-1）x+1=0有两个不相等的实数根x1，x2．

（1）求k的取值范围；

（2）是否存在实数k，使方程的两实数根互为相反数？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由．19、（2008•宁德）如图，将矩形纸ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH，若EH=3厘米，EF=4厘米，则边AD的长是____厘米．20、等腰三角形的底边长20cm，面积为cm2，求它的各内角．21、已知f（x）=8+2x﹣x2，g（x）=f（2﹣x2），试求g（x）的单调区间．22、计算：（）+（）﹣3+．评卷人得分四、证明题(共2题，共10分)23、AB是圆O的直径，CD是圆O的一条弦，AB与CD相交于E，∠AEC=45°，圆O的半径为1，求证：EC2+ED2=2．24、如图，已知：D、E分别为△ABC的AB、AC边上的点，DE∥BC，BE与CD交于点O，直线AO与BC边交于M，与DE交于N，求证：BM=MC．评卷人得分五、作图题(共2题，共10分)25、画出计算1++++的程序框图．26、以下是一个用基本算法语句编写的程序；根据程序画出其相应的程序框图．

评卷人得分六、综合题(共4题，共12分)27、如图1，在平面直角坐标系中，拋物线y=ax2+c与x轴正半轴交于点F（4；0）；与y轴正半轴交于点E（0，4），边长为4的正方形ABCD的顶点D与原点O重合，顶点A与点E重合，顶点C与点F重合；

（1）求拋物线的函数表达式；

（2）如图2；若正方形ABCD在平面内运动，并且边BC所在的直线始终与x轴垂直，抛物线与边AB交于点P且同时与边CD交于点Q．设点A的坐标为（m，n）

①当PO=PF时；分别求出点P和点Q的坐标及PF所在直线l的函数解析式；

②当n=2时；若P为AB边中点，请求出m的值；

（3）若点B在第（2）①中的PF所在直线l上运动；且正方形ABCD与抛物线有两个交点，请直接写出m的取值范围．

28、（1）如图；在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，M是AD的中点；

求证：MB=MC．

（2）如图；在Rt△OAB中，∠OAB=90°，且点B的坐标为（4，2）．

①画出△OAB向下平移3个单位后的△O1A1B1；

②画出△OAB绕点O逆时针旋转90°后的△OA2B2，并求点A旋转到点A2所经过的路线长（结果保留π）．29、已知二次函数y=x2-2mx-m2（m≠0）的图象与x轴交于点A；B，它的顶点在以AB为直径的圆上．

（1）证明：A；B是x轴上两个不同的交点；

（2）求二次函数的解析式；

（3）设以AB为直径的圆与y轴交于点C，D，求弦CD的长．30、（1）如图；在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，M是AD的中点；

求证：MB=MC．

（2）如图；在Rt△OAB中，∠OAB=90°，且点B的坐标为（4，2）．

①画出△OAB向下平移3个单位后的△O1A1B1；

②画出△OAB绕点O逆时针旋转90°后的△OA2B2，并求点A旋转到点A2所经过的路线长（结果保留π）．参考答案一、选择题(共5题，共10分)1、B【分析】【解析】试题分析：由的考点：球的表面积体积公式【解析】【答案】B2、B【分析】【解析】略【解析】【答案】B3、C【分析】【解答】因为D点是BC的中点所以所以所以故选C.本小题关键是利用中点D，将的转化.4、B【分析】【解答】根据题意可知E为BC的中点，D为OA的中点，由中点公式，可知

所以选B.

【分析】解决该试题的关键是利用E为BC的中点，D为OA的中点，得到,5、C【分析】【解答】根据已知条件，那么可设幂函数因为的图像经过那么可知，有那么可知幂函数为故选C.

【分析】解决该试题的关键是能设出幂函数，然后代点得到解析式，进而求解函数值的差，属于基础题。二、填空题(共8题，共16分)6、略

【分析】

∵f（x+1）=

∴f（x+2）===f（x）；可得f（x）是最小正周期为2的周期函数。

∵8＜9＜16；2＞1

∴log28＜log29＜log216，即log29∈（3；4）

因此f（log29）=f（log29-2）=f（log2）

∵f（log2）==

而f（log2）==

∴f（log29）=f（log2）==

故答案为：

【解析】【答案】根据题意，算出f（x+2）=f（x），得f（x）是最小正周期为2的周期函数．从而算出f（log29）=f（log2）．由x∈（0，1]时f（x）=2x，结合f（x+1）f（x）=1算出f（log2）==即可得到所求的函数值．

7、略

【分析】

当x终边落在x轴上时；函数y=sinx=0，此时函数y=|sinx|取最小值0；

当x终边落在y轴上时；函数y=sinx=±1，此时函数y=|sinx|取最大值1；

故函数y=|sinx|的值域为[0；1]

令f（x）=y=|sinx|；则f（-x）=|sin（-x）|=|-sinx|=|sinx|，故函数y=|sinx|为偶函数。

函数y=|sinx|在[0，]上递增，在[π]上递减；

令f（x）=y=|sinx|，则f[2（π）-x]=|sin（π+kπ-x）|=|±sinx|=|sinx|，故函数y=|sinx|的对称轴为x=π；k为整数。

故（1）；（2），（4）正确。

故答案为：（1）；（2），（4）

【解析】【答案】根据正弦型函数的图象和性质及函数图象的对折变换法则；可判断（1）；根据函数奇偶性的定义判断出函数的奇偶性，可判断B（2）；根据（1）中函数最值点，分析出函数在[0，π]上的单调性，可判断（3）；根据诱导公式及函数对称性法则，求出函数的对称轴，可判断（4）．

8、略

【分析】

令f（x）=|x2-2x|-a=0；

得a=|x2-2x|；

作出y=|x2-2x|与y=a的图象；

要使函数f（x）=|x2-2x|-a有四个零点；

则y=|x2-2x|与y=a的图象有四个不同的交点；

所以0＜a＜1；

故答案为：（0；1）．

【解析】【答案】将方程的零点问题转化成函数的交点问题；作出函数的图象得到a的范围．

9、略

【分析】【解析】试题分析：过B作BE⊥BP，使E、A在BP的两侧，且BE＝PB＝4。显然有：PE＝∵ABCD是正方形，∴∠ABC＝90°、AB＝BC。∴∠PBE＋∠PBA＝∠ABC+∠PBA＝90°＋∠PBA，∴∠ABE＝∠CBP。∵BE＝BP、AB＝BC、∠ABE＝∠CBP，∴△ABE≌△CBP，∴AE＝PC。考查P、A、E三点，显然有：AEPA＋PE＝3＋∴当点P落在线段AE上时，AE有最大值为∴PC的最长距离为考点：三角形全等三角形三边关系【解析】【答案】10、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】11、【分析】【解答】解：已知cosα=且α是第四象限的角；

故答案为：．

【分析】利用诱导公式化简根据α是第四象限的角，求出sinα的值即可．12、略

【分析】解：sin（-600°）

=sin（-2×360°+120°）

=sin120°

=sin（180°-60°）

=sin60°

=

故答案为：．

直接按照三角函数诱导公式化简求值；计算即可。

本题考查诱导公式的应用：求值．属于基础题．【解析】13、略

【分析】解：依题意可知拼图中的每个直角三角形的长直角边为cos娄脠

短直角边为sin娄脠

小正方形的边长为cos娄脠鈭�sin娄脠

隆脽

小正方形的面积是125

隆脿(cos娄脠鈭�sin娄脠)2=125

又娄脠

为直角三角形中较小的锐角；

隆脿cos娄脠>sin娄脠

隆脿cos娄脠鈭�sin娄脠=15

又隆脽(cos娄脠鈭�sin娄脠)2=1鈭�2sin娄脠cos娄脠=125

隆脿2cos娄脠sin娄脠=2425

隆脿1+2sin娄脠cos娄脠=4925

即(cos娄脠+sin娄脠)2=4925

隆脿cos娄脠+sin娄脠=75

隆脿sin2娄脠鈭�cos2娄脠=(cos娄脠+sin娄脠)(sin娄脠鈭�cos娄脠)=鈭�725

故答案为鈭�725

．

根据题意可知每个直角三角形的长直角边为cos娄脠

短直角边为sin娄脠

小正方形的边长为cos娄脠鈭�sin娄脠

先利用小正方形的面积求得隆脿(cos娄脠鈭�sin娄脠)2

的值，根据娄脠

为直角三角形中较小的锐角，判断出cos娄脠>sin娄脠

求得cos娄脠鈭�sin娄脠

的值；进而求得2cos娄脠sin娄脠

利用配方法求得(cos娄脠+sin娄脠)2

的进而求得cos娄脠+sin娄脠

利用平方差公式把sin2娄脠鈭�cos2娄脠

展开后，把cos娄脠+sin娄脠

和cos娄脠鈭�sin娄脠

的值代入即可求得答案．

本题主要考查了三角函数的化简求值，同角三角函数的基本关系.

考查了学生综合分析推理和基本的运算能力．【解析】鈭�725

三、计算题(共9题，共18分)14、略

【分析】【分析】根据题意画出图形，设经过x小时后，观测站及A、B两船恰成一个直角三角形，在Rt△OBC、Rt△OCA和Rt△ABO中分别应用勾股定理，即可求出x的值．【解析】【解答】解：如下图所示；

设经过x小时后；观测站及A；B两船恰成一个直角三角形；

则BC=3x；AC=12x；

在Rt△OBC中，根据勾股定理得：122+（3x）2=OB2；

在Rt△OCA中，根据勾股定理得：122+（12x）2=AO2；

在Rt△ABO中，根据勾股定理得：OB2+AO2=AB2=（15x）2；

∴122+（3x）2+122+（12x）2=（15x）2；

解得：x=2或-2（舍去）．

即经过2小时后；观测站及A；B两船恰成一个直角三角形．

故答案为：2．15、略

【分析】【分析】过点O作OC⊥AB，垂足为C，可得AC=4，再由勾股定理得圆的半径，从而得出直径．【解析】【解答】解：如图；过点O作OC⊥AB，垂足为C；

∵∠AOB=90°；∠A=∠AOC=45°；

∴OC=AC；

∵CO=4；

∴AC=4；

∴OA==4；

∴⊙O的直径长为8．

故答案为：8．16、略

【分析】【分析】过C作CE⊥AB于E，要想求∠BCD的度数，只需求出∠BCE的度数即可．设DE=x，在Rt△DCE中，∠ADC=60°，可求出CE的长；在Rt△AEC中，可根据勾股定理列出等式，从而求出x的值，继而得出BE=CE，求出∠BCE的值．【解析】【解答】解：过C作CE⊥AB于E；

设DE=x；则AE=2-x；

在Rt△DCE中；∠ADC=60°；

∴CE=x；

在Rt△AEC中；

根据勾股定理得：AE2+CE2=AC2；

∴（2-x）2+（x）2=（）2；

解得：；

∴BE=CE=；

又∠BEC=90°；

∴∠BCE=45°；又∠DCE=90°-∠ADC=90°-60°=30°；

∴∠BCD=∠BCE-∠DCE=15°．17、略

【分析】【分析】通过方程组进行消元，让yz都用含x的代数式表示，再代入x2+y2+z2，根据二次函数的最值问题得出答案即可．【解析】【解答】解：；

①×2+②；得x+y=5，则y=5-x③；

①+2×②；得x+z=4，则z=4-x④；

把③④代入x2+y2+z2得；

x2+（5-x）2+（4-x）2

=3x2-18x+41

=3（x-3）2+14；

∴x2+y2+z2的最小值是14；

故答案为14．18、略

【分析】【分析】（1）根据一元二次方程的根的情况的判断方法，可得：；解可得答案；

（2）假设存在，由相反数的意义，即方程的两根的和是0，依据一元二次方程的根与系数的关系即可得到两根的和是=0，可得k的值；把k的值代入判别式△，判断是否大于0可得结论．【解析】【解答】解：（1）根据题意得：；（2分）

∴且k≠0；（3分）

（2）假设存在；根据一元二次方程根与系数的关系；

有x1+x2==0，即；（4分）

但当时；△＜0，方程无实数根（5分）

∴不存在实数k，使方程两根互为相反数．（6分）19、略

【分析】【分析】利用三个角是直角的四边形是矩形易证四边形EFGH为矩形，那么由折叠可得HF的长即为边AD的长．【解析】【解答】解：∵∠HEM=∠AEH；∠BEF=∠FEM；

∴∠HEF=∠HEM+∠FEM=×180°=90°；

同理可得：∠EHG=∠HGF=∠EFG=90°；

∴四边形EFGH为矩形．

∵AD=AH+HD=HM+MF=HF，HF===5；

∴AD=5厘米．

故答案为5．20、略

【分析】【分析】先在△ABC中底边上作高AD，然后利用面积公式求出高的长度，再利用三角函数公式求出其中一个角，其它角就很容易得出了．【解析】【解答】解：如图；在△ABC中，AB=AC，BC=20；

设等腰三角形底边上的高为xcm；底角为α；

则有x•20=；

∴x=；

∵tanα==；

∴∠α=30°；

顶角为180°-2×30°=120°．

∴该等腰三角形三个内角为30°，30°，120°．21、解：∵f（x）=8+2x﹣x2∴g（x）=f（2﹣x2）=﹣x4+2x2+8

g'（x）=﹣4x3+4x

当g'（x）＞0时，﹣1＜x＜0或x＞1

当g'（x）＜0时，x＜﹣1或0＜x＜1

故函数g（x）的增区间为：（﹣1；0）和（1，+∞）

减区间为：（﹣∞；﹣1）和（0，1）

【分析】【分析】先求出函数g（x）的解析式，然后对函数g（x）进行求导，当导数大于0时为单调增区间，当导数小于0时单调递减．22、解：原式=+﹣3+=+﹣3+=6【分析】【分析】根据指数幂的运算性质计算即可四、证明题(共2题，共10分)23、略

【分析】【分析】首先作CD关于AB的对称直线FG，由∠AEC=45°，即可证得CD⊥FG，由勾股定理即可求得CG2=CE2+ED2，然后由△OCD≌△OGF，易证得O，C，G，E四点共圆，则可求得CG2=OC2+OG2=2．继而证得EC2+ED2=2．【解析】【解答】证明：作CD关于AB的对称直线FG；

∵∠AEC=45°；

∴∠AEF=45°；

∴CD⊥FG；

∴CG2=CE2+EG2；

即CG2=CE2+ED2；

∵△OCD≌△OGF（SSS）；

∴∠OCD=∠OGF．

∴O；C，G，E四点共圆．

∴∠COG=∠CEG=90°．

∴CG2=OC2+OG2=2．

∴EC2+ED2=2．24、略

【分析】【分析】延长AM，过点B作CD的平行线与AM的延长线交于点F，再连接CF．根据平行线分线段成比例的性质和逆定理可得CF∥BE，根据平行四边形的判定和性质即可得证．【解析】【解答】证明：延长AM；过点B作CD的平行线与AM的延长线交于点F，再连接CF．

又∵DE∥BC；

∴；

∴CF∥BE；

从而四边形OBFC为平行四边形；

所以BM=MC．五、作图题(共2题，共10分)25、解：程序框图如下：

【分析】【分析】根据题意，设计的程序框图时需要分别设置一个累加变量S和一个计数变量i，以及判断项数的判断框．26、解：程序框图如下：

【分析】【分析】根据题目中的程序语言，得出该程序是顺序结构，利用构成程序框的图形符号及其作用，即可画出流程图．六、综合题(共4题，共12分)27、略

【分析】【分析】（1）已知抛物线的对称轴是y轴；顶点是（0，4），经过点（4，0），利用待定系数法即可求得函数的解析式；

（2）①过点P作PG⊥x轴于点G；根据三线合一定理可以求得G的坐标，则P点的横坐标可以求得，把P的横坐标代入抛物线的解析式，即可求得纵坐标，得到P的坐标，再根据正方形的边长是4，即可求得Q的纵坐标，代入抛物线的解析式即可求得Q的坐标，然后利用待定系数法即可求得直线PF的解析式；

②已知n=2；即A的纵坐标是2，则P的纵坐标一定是2，把y=2代入抛物线的解析式即可求得P的横坐标，根据AP=2，且AP∥y轴，即可得到A的横坐标，从而求得m的值；

（3）假设B在M点时，C在抛物线上或假设当B点在N点时，D点同时在抛物线上时，求得两个临界点，当B在MP和FN之间移动时，抛物线与正方形有两个交点．【解析】【解答】解：（1）由抛物线y=ax2+c经过点E（0；4），F（4，0）

，解得；

∴y=-x2+4；

（2）①过点P作PG⊥x轴于点G；

∵PO=PF∴OG=FG

∵F（4；0）∴OF=4

∴OG=OF=×4=2；即点P的横坐标为2

∵点P在抛物线上。

∴y=-×22+4=3；即P点的纵坐标为3

∴P（2；3）

∵点P的纵坐标为3；正方形ABCD边长是4，∴点Q的纵坐标为-1

∵点Q在抛物线上，∴-1=-x2+4

∴x1=2，x2=-2（不符题意；舍去）

∴Q（2；-1）

设直线PF的解析式是y=kx+b；

根据题意得：；

解得：，

则直线的解析式是：y=-x+6；

②当n=2时；则点P的纵坐标为2

∵P在抛物线上，∴2=-x2+4

∴x1=2，x2=-2

∴P的坐标为（2，2）或（-2；2）

∵P为AB中点∴AP=2

∴A的坐标为（2-2，2）或（-2-2；2）

∴m的值为2-2或-2-2；

（3）假设B在M点时；C在抛物线上，A的横坐标是m，则B的横坐标是m+4；

代入直线PF的解析式得：y=-（m+4）+6=-m；

则B的纵坐标是-m，则C的坐标是（m+4，-m-4）．

把C的坐标代入抛物线的解析式得：-m-4=-（m+4）2+4，解得：m=-1-或-1+（舍去）；

当B在E点时；AB经过抛物线的顶点，则E的纵坐标是4；

把y=4代入y=-x+6，得4=-x+6，解得：x=；

此时A的坐标是（-，4），E的坐标是：（；4），此时正方形与抛物线有3个交点．

当点B在E点时，正方形与抛物线有两个交点，此时-1-＜m＜-；

当点B在E和P点之间时，正方形与抛物线有三个交点，此时：-＜x＜-2；

当B在P点时；有两个交点；

假设当B点在N点时；D点同时在抛物线上时；

同理，C的坐标是（m+4，-m-4），则D点的坐标是：（m，-m-4）；

把D的坐标代入抛物线的解析式得：-m-4=-m2+4，解得：m=3+或3-（舍去）；

当B在F与N之间时，抛物线与正方形有两个交点．此时0＜m＜3+．

故m的范围是：-1-＜m-或m=2或0＜m＜3+．28、略

【分析】【分析】（1）首先利用全等三角形的判定证明△ABM和△DCM即可求解．【解析】【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是等腰梯形；