2023届高考数学特训营专攻(一)-恒成立问题与有解问题

第三单元高考专攻(一)恒成立问题与有解

问题2023届1《高考特训营》·数学

01考法102考法203考法3用导数解决不等式“恒成立”“存在性”问题的常用方法是分离参数，或构造新函数分类讨论，将不等式问题转化为函数的最值问题．考法1分离参数法典例1

(2022·石家庄模拟)已知函数f(x)＝axex－(a＋1)(2x－1)．(1)若a＝1，求函数f(x)的图象在点(0，f(0))处的切线方程；(2)当x＞0时，函数f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围．[解题指导]题目考了什么？①导数的运算，导数的几何意义，恒成立问题；②数学运算、逻辑推理、数学建模的核心素养．题目怎么考的？①利用导数的几何意义直接求解；②将问题转化，分离参数，构造函数，利用导数的单调性求解最值．思路导引解：(1)若a＝1，则f(x)＝xex－2(2x－1)．即f′(x)＝xex＋ex－4，则f′(0)＝－3，f(0)＝2，所以所求切线的方程为3x＋y－2＝0.

利用分离参数法来确定不等式f(x，λ)≥0(x∈D，λ为实参数)恒成立问题中参数取值范围的基本步骤：(1)将参数与变量分离，化为f1(λ)≥f2(x)或f1(λ)≤f2(x)的形式．(2)求f2(x)在x∈D时的最大值或最小值．(3)解不等式f1(λ)≥f2(x)max或f1(λ)≤f2(x)min，得到λ的取值范围．考法2分类讨论法典例2

(2020·新课标Ⅰ卷)已知函数f(x)＝ex＋ax2－x.(1)当a＝1时，讨论f(x)的单调性；解：(1)当a＝1时，f(x)＝ex＋x2－x，f′(x)＝ex＋2x－1，设g(x)＝f′(x)，因为g′(x)＝ex＋2>0，可得g(x)在R上递增，即f′(x)在R上递增，因为f′(0)＝0，所以当x>0时，f′(x)>0；当x<0时，f′(x)<0.所以f(x)的增区间为(0，＋∞)，减区间为(－∞，0)．

关键2：构造函数g(x)并求g′(x)关键3：根据零点之间的关系分类讨论求解则当x∈(0，2)时，g′(x)＞0，所以g(x)在(0，2)上单调递增，而g(0)＝1，故当x∈(0，2)时，g(x)＞1，不符合题意．

对于不适合分离参数的不等式，常常将参数看作常数直接构造函数，结合分类讨论，利用导数研究单调性、最值，从而得出参数范围．考法3最值定位法典例3已知函数f(x)＝2xlnx＋x2－ax＋1.(1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；[拆解思路]题目考查导数的几何意义，存在性问题，特别是第二问，理解有难度，我们拆解来做，降低难度，突破重点．[拆解1]已知函数f(x)＝2xlnx＋x2－ax＋1，当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程．解：当a＝1时，f(x)＝2xlnx＋x2－x＋1，则f′(x)＝2lnx＋2＋2x－1＝2lnx＋2x＋1，所以f′(1)＝3，而f(1)＝1，所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－1＝3(x－1)，即3x－y－2＝0.

含参不等式能成立问题(有解问题)可转化为恒成立问题解决，常见的转化有：(1)∀x1∈M，∃x2∈N，f(x1)>g(x2)⇔f(x1)min>g(x2)min；(2)∀x1∈M，∀x2∈N，f(x1)>g(x2)⇔f(x1)min>g(x2)max；(3)∃x1∈M，∃x2∈N，f(x1)>g(x2)⇔f