2025年新高考数学一轮复习：一元二次不等式与其他常见不等式解法（十大题型）（讲义）（学生版+解析）

第05讲一元二次不等式与其他常见不等式解法

目录

01考情透视•目标导航............................................................2

02知识导图•思维引航............................................................3

03考点突破•题型探究............................................................4

知识点1：一元二次不等式.......................................................................4

知识点2：分式不等式...........................................................................4

知识点3：绝对值不等式.........................................................................5

解题方法总结...................................................................................5

题型一：不含参数一元二次不等式的解法..........................................................6

题型二：含参数一元二次不等式的解法............................................................7

题型三：三个二次之间的关系....................................................................8

题型四：分式不等式以及高次不等式的解法........................................................9

题型五：绝对值不等式的解法....................................................................9

题型六：二次函数根的分布问凡................................................................10

题型七：一元二次不等式恒（能）成立问题.......................................................11

题型八：解含参型绝对值不等式.................................................................12

题型九：解不等式组型求参数问题...............................................................12

题型十：不等式组整数解求参数问题.............................................................13

04真题练习•命题洞见...........................................................32

05课本典例•高考素材...........................................................33

06易错分析•答题模板...........................................................14

易错点：解含参数不等式时分类讨论不恰当.......................................................14

答题模板：一元二次不等式恒成立问题...........................................................15

考情透视.目标导航

考点要求考题统计考情分析

(1)会从实际情景中抽象出一

元二次不等式.

从近几年高考命题来看，三个“二次”

(2)结合二次函数图象，会判

的关系是必考内容，单独考查的频率很低，

断一元二次方程的根的个数，以2020年I卷第1题，5分

偶尔作为已知条件的一部分出现在其他考点

及解一元二次不等式.

的题目中.

(3)了解简单的分式、绝对值

不等式的解法.

复习目标：

1、理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题.

2、会结合二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的分布问题.

3、能借助二次函数求解二次不等式，类比会求高次方程和绝对值不等式.

老占突曲・题理探密

-----H-H-c

知识JJ

知识点1:一元二次不等式

一元二次不等式利2+力％+。＞0(。。0),其中A=Z?2—4ac,玉,％2是方程办2+》x+c＞0(aw0)的

两个根，且不＜%2

(1)当。＞0时，二次函数图象开口向上.

(2)①若A＞0,解集为｛%|%〉%或^＜七｝.

②若A=0,解集为卜|xeR且xw一^"｝.

③若△＜(),解集为A.

(2)当。＜0时，二次函数图象开口向下.

①若△＞€),解集为｛x|x1cx＜/｝

②若AWO,解集为0

【诊断自测】不等式/+法一3＜0的解集是(十,1)53,内)，贝8-a的值是()

A.-3B.3C.-5D.5

知识点2：分式不等式

（1）y〉（）o/（x）・g（x）〉0

g（x）

⑵用＜0=/（x）.g（x）＜0

g（x）

F（x）＞cCAg（xR°

（3）-----之UO＜

g（x）〔g（x）丰0

/(x)・g(x)<0

(4)

g(x)g(x)丰0

【诊断自测】不等式(X+3)(X-2)N。的解集为()

x-1

A.[-3,1)32,内)B.(9,-3]U(l，2]C.[-3,l)U(l,2]

D.(TO,-3]。[2,+oo)

知识点3：绝对值不等式

(I)\f(x)\>|g(x>o[/(x)]2>[g(x)]2

(2)|/(x)|>g(x)(g(x)>0)of(x)>g(x)或f(x)<-g(x);

|/(x)|<g(x)(g(x)>0)o-g(x)<f(x)<g(x);

(3)含有两个或两个以上绝对值的不等式，可用图象法和零点分段法求解.

【诊断自测】(2024.高三•山西忻州•期末)不等式|尤|>」的解集是.

解题方法总结

1、已知关于X的不等式以2+区+°>0的解集为(冽，〃)，解关于X的不等式以2+版+〃(0.

由苏+bx+c>0的解集为(加，ri),得：〃山2+/+C40的解集为(-8,-]U[―，+8)即关于1的不

xxnm

等式以之+"+〃<()的角尾集为(一8,—]U[―,+8).

nm

2、已知关于X的不等式G?+/zx+c>0的解集为(形，九)(其中6〃>。)，解关于x的不等式

CX1+Z?X+6Z>0.

由ox?+法+。>。的解集为(形，〃)，得：〃(J_)2+人1+。>0的解集为(J_,,即关于％的不等式

xxnm

CX?+"+〃>()的解集为(J_,—).

nm

3、已知关于x的不等式ox?+区+0>0的解集为(加，ri),解关于x的不等式ci一区+a<0.

由g?+打+。>0的解集为（机，n）,得：〃（J_）2一人工+。40的解集为（一②，一_十与即关于1

xxmn

的不等式“2—法+QWO的解集为（_8,-1]U[--,+00）,以此类推.

mn

4、已知关于x的不等式公N+b%+c>o的解集为（加，〃）（其中冏〉相>0）,解关于％的不等式

ex1—Zzx+Q>0.

由O?+6x+C>0的解集为（如77）,得：“d）2-/+c>0的解集为（_匕」）即关于X的不等式

xxmn

o?_法+4>0的解集为（,--）.

mn

5、已知关于x的一元二次不等式62+桁+。>0的解集为R,则一定满足[">°；

[A<0

6、已知关于x的一元二次不等式"2+bx+c>0的解集为0,则一定满足]；：：；

7、已知关于x的一元二次不等式aE+fcv+c<0的解集为R,则一定满足f<°；

[A<0

8、己知关于x的一元二次不等式办2+法+。<。的解集为“，则一定满足

题型洞察

题型一：不含参数一元二次不等式的解法

【典例1-11（2024•上海嘉定•一模）不等式d—x-6<0的解集为.

【典例1-2】不等式办2+云+°>0的解集是（1,2）,则不等式52+法+。>0的解集是（用集合表

【方法技巧】

解一元二次不等式不等式的思路是：先求出其相应方程根，将根标在轴上，结合图象，写出其解集.

【变式1-1】不等式炉-3彳-18>0的解集是—.

【变式1-2）一元二次不等式-d+2尤+3<0的解集为.

题型二：含参数一元二次不等式的解法

【典例2-1］设函数/(尤)=加+(1-。)》+。-2(。€1<)

(1)若不等式/(x)2-2对一切实数x恒成立，求a的取值范围;

(2)解关于尤的不等式：/(x)<a-l.

【典例2-2】已知关于x的一元二次不等式加+x+6>0的解集为(—,-2)U(l,s).

(1)求。和6的值；

(2)求不等式GT—(2(z+b+2)x+l—c~<0的解集.

【方法技巧】

⑴根据二次项系数为正、负及零进行分类讨论.

⑵根据判别式A与0的关系判断根的个数，数形结合处理.

(3)有两个根时，还需要根据两根的大小进行讨论，注意分类讨论.

【变式2-1］已知函数/(x)=f—2依+3.

(1)若关于%的不等式之0的解集为R,求实数a的取值范围；

(2)解关于x的不等式/(x)<0.

【变式2-2］解关于实数了的不等式：x2-ax+l<0.

【变式2-3］设函数f（x）="丘-依，其中。>0.解不等式/（x）41;

题型三：三个二次之间的关系

【典例3-1］（2024•高三•云南德宏•期末）已知关于x的不等式尤2一办+640的解集为{x|2Wx<3},

则关于x的不等式尤2一法+。<0的解集为（）

A.1x|2<x<3}B.卜|1<》<3}

C.国2〈尤<5}D.{x［l<x<5}

【典例3-2］已知6a2+fox+c>0的解集为{x［T<x<2},贝I］不等式。（公+l）+6（x-l）+c<2ta的解集

为（）

A.{x|0<x<3}B.{x|x>0}

C.{%|尤<0或x〉3}D.[x\x>3]

【方法技巧】

1、一定要牢记二次函数的基本性质.

2、含参的注意利用根与系数的关系找关系进行代换.

【变式3-1］若不等式o?+2x+c<0的解集是（f,-；）u（g,+8）,则不等式cf—Zx+aWO的解集是

）

D.[-3,2]

【变式3-2］（多选题）不等式x2+ax+6W0（a,6eR）的解集为{幻占644},且闻+|司42.以下结论

错误的是（）

A.|tz+2Z?|>2B.\a+2b\<2C.|a|>lD.b<\

【变式3-3］（多选题）已知关于x的不等式的解集是{如<%<3},贝I（）

A.av0

B.a+b+c=O

C.4a+2b+cv0

D.不等式cf-bx+avO的解集是{+x<-l或尤>-g}

题型四：分式不等式以及高次不等式的解法

【典例4-1]（2024•高三•上海杨浦•期中）关于尤的不等式-20的解集是.

X

y2-?r-3

【典例4-2】已知关于x的不等式————7＜。的解集是（F,-1）U（3,+O））,则实数加的

mx+2（m+l）x+9m+4

取值范围是.

【方法技巧】

分式不等式化为二次或高次不等式处理.

【变式4-1]（2024•上海浦东新•模拟预测）不等式3r义+5?Nx的解集是_____

x-1

【变式4-2]（2024•上海青浦•二模）已知函数＞=依2+法+。的图像如图所示，则不等式

（ra+b）（fer+c）（cx+a）＜0的解集是.

【变式4-3】不等式x+三20的解集是

题型五：绝对值不等式的解法

【典例5-1】（2024•高三•上海长宁•期中）不等式（国-1）（尤+2）＜。的解集为.

【典例5-2](2024•上海青浦•二模)不等式Ix-2|>1的解集为.

【方法技巧】

<1)|/W|>|g(x)|O"(X)F>[g(x)]2

⑵|/(x)|>g(x)(g(x)>0)of(x)>g(x)或/1(x)<-g(x);

|/(x)|<g(x)(g(x)>0)o—g(x)<f(x)<g(x);

(3)含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分段法和图象法求解

【变式5-1](2024•上海虹口•模拟预测)不等式W+|2023r<2023的解集为

【变式5-2】不等式产-2M>4的解集是_.

题型六：二次函数根的分布问题

、1

【典例6-1】已知函数/(力=二关于龙的方程，(尤)-而y=m有三个不等的实根，则实数加的取

值范围是.

【典例6-2]若关于x的一元二次方程f+(3a-1卜+。+8=0有两个不相等的实根玉,马，且

%1<l,x2>1.则实数a的取值范围为.

【方法技巧】

解决一元二次方程的根的分布时，常需考虑：判别式，对称轴与所给区间的位置关系，区间端点处函

数值的符号，所对应的二次函数图象的开口方向.

【变式6-1】已知一元三次方程〃吠+1=。的两根都在(0,2)内，则实数加的取值范围是()

A.B.C.(-R,-2]U2,g)D.

【变式6-2]已知函数〃x)=J,若关于天的方程/⑴-时⑺-机+1=0恰有4个不相等的实数根,

则实数力的取值范围是()

e2+1£±11

x

B.C.D.2，

e+e

【变式6-3】已知关于尤的方程尤2+x+机=。在区间(1,2)内有实根，则实数加的取值范围是()

A.[-6,-2]B.(-6,-2)C.(^x),-6]u[-2,+oo)D.(-00,-6)U(-2,+oo)

题型七：一元二次不等式恒(能)成立问题

【典例7-1】已知关于尤的不等式2尤-1>双尤2_i).

(1)是否存在实数加，使不等式对任意尤eR恒成立，并说明理由；

(2)若不等式对于加4-2,2卜亘成立，求实数》的取值范围；

(3)若不等式对了©⑵+劝有解，求加的取值范围.

【典例7-2】(2024•陕西西安•模拟预测)当1VXV2时，不等式V-办+140恒成立，则实数〃的取

值范围是.

【方法技巧】

恒成立问题求参数的范围的解题策略

(1)弄清楚自变量与参数.

(2)一元二次不等式在R上恒(能)成立，可用判别式△,一元二次不等式在给定的某个区间上恒

(能)成立，不能用判别式△,一般分离参数求最值或分类讨论处理.

【变式7-1】当尤£(-1,1)时，不等式2履2—日—<。恒成立，则左的取值范围是()

O

A.(-3,0)B.[-3,0)

【变式7-2]已知函数/(x)=2x?—冰+。2—4,g(x)=%2—..-,(awR)

⑴当0=1时，解不等式/(x)>g(x)；

(2)若任意尤>0,都有/(x)>g(x)成立，求实数。的取值范围；

⑶若％3x2e[0,l],使得不等式/&)>8值)成立，求实数。的取值范围.

【变式7-3]若存在实数6,对任意实数xe[O,l],不等式式一根46+匕4尤2恒成立，则实数相的取

值范围是—.

【变式7-4】已知函数〃尤）=f+6+6,若对任意无«1,5],|/（到42,则所有满足条件的有序数对

（a,b）是.

题型八：解含参型绝对值不等式

【典例8-1】已知关于x的不等式|x-2|+,+2区。2一3。有实数解，则实数a的取值范围是

【典例8-2]若存在实数x使得不等式|x+l|+|x-a|<2成立，则实数。的取值范围是

【方法技巧】

含参型绝对值不等式，可用零点分段法和图象法求解.

【变式8-1]若关于x的不等式归+1|<6-归-7司的解集为0,则实数机的取值范围是

【变式8-2]（2024•上海长宁•二模）若对任意xe[l,2],均有k2_4+|》+0=卜2+耳，则实数。的取

值范围为

题型九：解不等式组型求参数问题

x2-ax+4<0

【典例94】设集合A={%|1<%<3},集合6为关于％的不等式组20[2"/八的解集，

X-（2/?+3）x+Z?+3Z?<0

若则Q+6的最小值为（）

1613

A.6B.—C.5D.—

33

lx2-4x+3<0

【典例9-2]（2024・高三•山东荷泽•期中）已知不等式组人6升8<。的解集是关于“的不等式

d-3x+a<0的解集的子集，则实数。的取值范围为（）

A.tz<0B.a<0C.a<-lD.a<-2

【方法技巧】

求不等式（组）参数的问题，往往要利用不等式的性质、不等式（组）的解集，建立对应关系后求解.

x~—2尤一340

【变式9-1］（2024•高三•山西吕梁•开学考试）若不等式组2,,八的解集是空集，则

元2+4x-（l+a）V0

实数。的取值范围是.

x21—2x-3W0

【变式9-2］若不等式组的解集不是空集，则实数a的取值范围是（

+4x-(1+a)V0

A.(-co,-4]B.H+oo)C.1,20]D.[-40,20)

题型十：不等式组整数解求参数问题

—x?+4JC+5<0

【典例10-1】已知关于尤的不等式组的解集中存在整数解且只有一个整数解,

2x2+5x<-(2x+5)左

则上的取值范围为.

【典例10-2］关于x的不等式（ox-l）2<Y恰有2个整数解，则实数。的取值范围是)

<_3_4~

A.-T2B.D

12,I2,~3__32)

'3J\3、(34、3、

c.一,-l1,-D.一—

<2」_2；I23>

【方法技巧】

不等式组整数解求参数问题通常使用分类讨论与数形结合处理.

【变式10-1］已知关于X的不等式组仅有一个整数解，则上的取值范围为（）

［2x2+（2k+l）x+lk<0

A.{%|-5vxv3或4Vx<5}B.{1-5K%v3或4<xV5}

C.{x|-5<x<3^4<x<5}D.{x|-5<x<3^4<x<5}

⑴Jx2-4x+9；

（2）V-2X2+12X-18-

3.如图，据气象部门预报，在距离某码头南偏东45。方向600Qw处的热带风暴中心正以20hw//z的速

度向正北方向移动，距风暴中心450hw以内的地区都将受到影响.据以上预报估计，从码头现在起多长时间

后，该码头将受到热带风暴的影响，影响时间大约为多长（精确到01〃）？

4.一名同学以初速度%=12%/s竖直上抛一排球，排球能够在抛出点以上的位置最多停留多长时

间（精确到0.01s）?

㈤6

〃易错分析•答题模板\\

易错点：解含参数不等式时分类讨论不恰当

易错分析：含参数不等式的解法是不等式问题的难点.解此类不等式时一定要注意对字母分类讨论,

讨论时要做到不重不漏，分类解决后，要对各个部分的结论按照参数由小到大进行整合.

【易错题1］当°<1时，解关于X的不等式（办-1）（无T）<0.

【易错题2]解关于实数x的不等式：x2-(a+l)x+a<0.

答题模板：一元二次不等式恒成立问题

1、模板解决思路

结合对应二次函数的图象，数形结合罗列关于参数的不等式.对于在定区间上恒成立的问题，可以分

离参数转化为函数的最值问题，不要漏掉考虑函数图象的对称轴和区间端点的关系.

2、模板解决步骤

第一步：将不等式恒成立问题转化为对应函数图象的问题.

第二步：列出不等式(组)，一定要注意二次项系数如果含参数时就需要进行分类讨论.

第三步：解不等式求解参数的范围.

【典例1】已知函数/(到二％2-2依一。-1,aeR.

⑴当a=1时，解不等式6；

(2)若土0no,2],使得求实数。的取值范围.

【典例2](1)若WxeR,狈+i>o，求实数。的取值范围；

(2)若,ax2-ax+\>0求实数x的取值范围.

第05讲一元二次不等式与其他常见不等式解法

目录

01考情透视•目标导航2

02知识导图思维引航.............................................................3

03考点突破•题型探究.............................................................4

知识点1:一元二次不等式.......................................................................4

知识点2:分式不等式...........................................................................4

知识点3:绝对值不等式.........................................................................5

解题方法总结...................................................................................5

题型一：不含参数一元二次不等式的解法..........................................................6

题型二：含参数一元二次不等式的解法............................................................7

题型三：三个二次之间的关系....................................................................8

题型四：分式不等式以及高次不等式的解法........................................................9

题型五：绝对值不等式的解法....................................................................9

题型六：二次函数根的分布问题.................................................................10

题型七：一元二次不等式恒（能）成立问题.......................................................11

题型八：解含参型绝对值不等式.................................................................12

题型九：解不等式组型求参数问题...............................................................12

题型十：不等式组整数解求参数问题.............................................................13

04真题练习•命题洞见............................................................32

05课本典例高考素材............................................................33

06易错分析答题模板............................................................14

易错点：解含参数不等式时分类讨论不恰当.......................................................14

答题模板：一元二次不等式恒成立问题...........................................................15

春情目标导航

考点要求考题统计考情分析

(1)会从实际情景中抽象出一

元二次不等式.

从近几年高考命题来看，三个“二次”

(2)结合二次函数图象，会判

的关系是必考内容，单独考查的频率很低，

断一元二次方程的根的个数，以2020年I卷第1题，5分

偶尔作为已知条件的一部分出现在其他考点

及解一元二次不等式.

的题目中.

(3)了解简单的分式、绝对值

不等式的解法.

复习目标：

1、理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题.

2、会结合二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的分布问题.

3、能借助二次函数求解二次不等式，类比会求高次方程和绝对值不等式.

考点突破■题型探究

知识固本

知识点1:一元二次不等式

一元二次不等式av?+。尤+，>0（。H0）,其中△="—4ac,玉,％2是方程+bx+c〉0（aw0）的

两个根，且石<%2

（1）当。>0时，二次函数图象开口向上.

（2）①若A>0,解集为｛x|%>%或¥<玉｝.

②若A=0,解集为卜|xeR且xw一（｝.

③若△<€）,解集为R.

（2）当。<0时，二次函数图象开口向下.

①若△>€）,解集为卜|周（xc9｝

②若AW0,解集为0

【诊断自测】不等式以2+法一3<0的解集是（一通1）53，z），贝。的值是（）

A.—3B.3C.—5D.5

【答案】D

【解析】因为不等式加+6元-3<0的解集是（f』）u（3,y）,

所以a<0,x=l和x=3是方程办2+法-3=0的根，

1+3=--

所以；,即。=—1,6=4,贝ljb-a=5.

1x3=——

Ia

故选：D.

知识点2：分式不等式

⑴用〉0o/(x).g(x)〉0

g(x)

⑵普<0o〃x)・g(x)<0

g(x)

(3)------>(JO<

g(x)[g(x)H。

(4)Z^<O«F(^(X)-0

g(x)[g(x)H0

【诊断自测】不等式(X+3)(X-2)力。的解集为()

x—\

A.[-3,1)32,内)B.(9,-3]U(l,2]C.[-3,l)U(l,2]

D.(-oo,-3]u[2,+oo)

【答案】A

【解析】不等式(X+3)(X-2)20,等价于1(1))，1，,

x-l[x-l>0[%-1<0

解得xN2或W

即不等式0+3(—2)的解集为[_3J)32,E).

x-1

故选：A

知识点3：绝对值不等式

(1)\f(x)\>|g(x)|o[/(x)]2>[g(x)]2

⑵|/(x)|>g(x)(g(x)>。)o/(x)>g(x)W(x)<—g(x)；

|/(x)|<g(x)(g(x)>0)o-g(x)<f(x)<g(x);

(3)含有两个或两个以上绝对值的不等式，可用图象法和零点分段法求解.

【诊断自测】(2024.高三.山西忻州.期末)不等式|x|>L的解集是.

X

【答案】(TO,。)—(L+°°)

x>0fx<0

【解析】原不等式可变形为1或1

X>——X>一

、XIX

x>0x<0

由41.解得X>1;由<1，解得尤V。,

X>—-x>—

、X

所以原不等式的解集为（-8,0）51,+8）.

故答案为：（-8,0）51+8）.

解题方法总结

1、已知关于X的不等式依2+bx+c>0的解集为（加，力，解关于兄的不等式c%2+版+〃40.

由苏+Z?x+c>0的解集为（加，ri）,得：〃d）2+/+CW0的解集为（-8,—]U[―，+8）即关于无的不

xxnm

等式C%2+法+。40的解集为（_oo,—]U[―,+8）.

nm

2、已知关于x的不等式ox?+b%+c>。的解集为（形，〃）（其中加〃>0）,解关于x的不等式

ex2+bx+a>0.

由苏+Zzr+C>0的解集为（加，〃），得：〃d）2+/+c>0的解集为（L」），即关于x的不等式

xxnm

ex2+bx+a>0的解集为d，-）.

nm

3、已知关于x的不等式or?+bx+c>o的解集为（形，〃），解关于工的不等式以2-bx+awo.

由ox?+bx+c>0的解集为（机，ri）,得：[（1）2-/+c40的解集为（一8,--]U[-—，+8）即关于x

xxmn

的不等式无+oV0的解集为（-oo,-工山[-[，+oo）,以此类推.

mn

4、已知关于%的不等式ox?+Zzx+c>0的解集为（加，〃）（其中冏〉相>0）,解关于兄的不等式

ex2-bx+a>0.

由苏+Z?x+c>0的解集为（加，ri）,得：〃（工）2-/+c>0的解集为（--,-,）即关于x的不等式

xxmn

62_"+〃>0的解集为（__L,-J-）.

mn

5、已知关于x的一元二次不等式依2+法+。>0的解集为火，则一定满足°；

[A<0

6、已知关于x的一元二次不等式ox?+区+。>。的解集为。，则一定满足1八<0

7、己知关于x的一元二次不等式依2+笈+c<0的解集为火，则一定满足F<°

[A<0

8、已知关于x的一元二次不等式办2+6尤+。<0的解集为。，则一定满足

题型洞察

题型一：不含参数一元二次不等式的解法

【典例1-1】(2024.上海嘉定.一模)不等式--x-6<0的解集为.

【答案】(一2,3)

【解析】由不等式£_工-6<0,可得(x-3)(x+2)<0,解得-2Vx<3,

所以不等式的解集为(-2,3).

故答案为:(-2,3).

【典例1-2】不等式以2+法+00的解集是(1,2),则不等式cY+法+。>。的解集是(用集合表

示)_.

【答案】|x||<X<l!

【解析】不等式以2+fer+c>0的解集为(1,2),

**•a<0,且1,2是方程ox?+法+o=0的两个实数根，

1+2=--

二・<",解得b=—3。，c=2a,其中a<0；

1x2，

、a

二・不等式ex2+法+a>0化为2ax2—3ax+a>0,

即2X2-3X+1<0，解得

因此所求不等式的解集为卜.

故答案为：

【方法技巧】

解一元二次不等式不等式的思路是：先求出其相应方程根，将根标在轴上，结合图象，写出其解集.

【变式1-11不等式尤2-3x-18>0的解集是—.

【答案】(力,一3)3(6,包)

【解析】由题意d-3x-18>0n(x—6)(x+3)>0,解得x<—3或x>6,

所以不等式/-3尤-18>0的解集是(-8,-3)56,+®).

故答案为：3)u(6,+oo).

【变式1-21一元二次不等式-犬+2苫+3<0的解集为.

【答案】y,T)u(3*)

【解析】由一尤2+2x+3<0可得/一2无一3>0，

即(x-3)(x+l)>0,

解得了>3或xv-l,

所以不等式的解集为(―,-1)53,口).

故答案为：1)53,小)

题型二：含参数一元二次不等式的解法

【典例2-1】设函数/(x)=ox2+(1-a)x+a-2(aGR)

⑴若不等式/W>-2对一切实数x恒成立，求a的取值范围；

⑵解关于1的不等式：

【解析】(1)/(x)之-2对一切实数入恒成立，等价于VxsR,。/+Q—+恒成立.

当々=0时，不等式可化为％之0,不满足题意.

。>0\a>0

当有即I2解得a-~^

A<03/+2。-120

所以“的取值范围是4,+9).

(2)依题意，等价于+(1一。)%一1<0,

当。=0时，不等式可化为了<1,所以不等式的解集为｛⑷尤

当。>0时，不等式化为(6+1)(》-1)<0,此时-L<1,所以不等式的解集为｛x|-U<x<l｝.

aa

当〃<0时，不等式化为(如+1)(X-1)<0,

①当。=—1时，-1=1,不等式的解集为&I尤K1｝;

a

②当—1VQV。时，>1,不等式的解集为｛%1%>或X<1｝；

aa

③当av—1时，—，vl,不等式的解集为｛元|九〉1或％<-3；

aa

综上，当QV-1时，原不等式的解集为｛%|%>1或无<-'｝

a

当。=-1时，原不等式的解集为

当-1<”0时，原不等式的解集为｛x|x>--或r<l｝；

当a=0时，原不等式的解集为尤<1｝；

当。>0时，原不等式的解集为

【典例2-2】已知关于尤的一元二次不等式尤+6>0的解集为(e,-2)U(L”).

⑴求。和6的值；

(2)求不等式依2—(2a+b+2)x+l—/<。的解集.

【解析】(1)由题意知-2和1是方程办2+x+6=o的两个根且。>0,

-2+1=--

Z7rCl—1

由根与系数的关系得，，解得，.；

A,b\b=-2

(2)由a=l、b=-2,不等式可化为％2_2%+1一/<o,

即+<0,则该不等式对应方程的实数根为1+C和1-c.

当c>0时，1+ol-c,解得l-c<x<l+c,即不等式的解集为(1-C,1+C),

当c=0时，l+c=l-c,不等式的解集为空集，

当c<0时，l+c<l-c,解得1+C<X<1—C,即不等式的解集为(1+C,1—C),

综上：当c>0时，解集为(l—c,l+c),

当c=0时，解集为空集，

当c<0时，解集为(1+G1-c).

【方法技巧】

⑴根据二次项系数为正、负及零进行分类讨论.

⑵根据判别式A与0的关系判断根的个数，数形结合处理.

(3)有两个根时，还需要根据两根的大小进行讨论，注意分类讨论.

【变式2-1］已知函数/(x)=*—2依+3.

(1)若关于x的不等式/(x)NO的解集为R,求实数a的取值范围；

⑵解关于x的不等式〃x)<0.

【解析】(1)若不等式V-2办+320的解集为R,

贝必=(-2。)2-1240,

解得-百，

即实数a的取值范围［-73,6］;

(2)不等式%?—2改+3v0,

①当AWO时，即百时，不等式的解集为0,

②当A)。时，即〃<-君或a>石时，

由k—2ax+3=0,解得x=a-Qa2-3或％=a+yja2-