2025年中考数学复习：二次函数图像与几何变换问题

二次函数图像与几何变换问题

一阶

1.将二次函数y=其%+2）2+2的图象向下平移2个单位,关于平移后的图象，以下说法错误的是（）

A.开口方向不变

B.对称轴不变

C.y随x的变化情况不变

D.与y轴交点不变

2.将抛物线y=x2-4x+2先向上平移5个单位，再向右平移1个单位，得到的抛物线解析式为（）

A.y=x2—5x+S

B.y=x2—6x+12

C.y=x2+—8

D.y=x2—6x—6

3.若将抛物线y=/_5+1比_n沿x轴向左平移2个单位，得到的新抛物线经过点（1,3）,则新抛物线的

顶点在（）

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

4.在平面直角坐标系中，点P的坐标为（2,3）,将抛物线y=1X2-2X+3沿坐标轴平移一次，使其经过点P,则

平移的最短距离为（）

A.-2

B.1

C.2

D.-

3

5.抛物线y=2/-4x-6关于y轴对称后所得到的抛物线解析式为（）

A.y=-2x2+4%+6

B.y=2x2+4%—6

C.y=2x2+2x-6

D.y=—2x2—2%+6

2

6.若抛物线yi=|x+%+1与抛物线y2关于抛物线的顶点对称，则y2抛物线y2的顶点坐标为y2（）

4（吗

既（-吗）

7.将抛物线y=-2%2+1绕原点O旋转180°,,则旋转后抛物线的解析式为()

A.y=2x2

B.y=2x2+1

C.y=—2x2—1

D.y=2x2—1

8.已知抛物线C1：y=/+4%+c,抛物线C2与Ci关于x轴对称，两抛物线的顶点间的距离为5,则c的最小值

为()

A.--B.--

22

C.-D.-

22

9将抛物线y=%2+2%+3绕顶点旋转180。后，得到的新抛物线与y轴的交点坐标为()

A.(0,1)B.(l,0)

C.(0,-1)0)

2

10.若抛物线C1：y=x+bx+c与抛物线Cz关于原点对称，且A(-1,9),B(1,3)两点在抛物线(Q上，则抛物线

的解析式为()

A.y=x2+3x+5B.y=-x2—3%—5

C.y——x2+3x+5D.y—x2—3x+5

设问进阶练

例已知抛物线的解析式为y=aY+bx+c(a40).

(1)若a=l,b=l-m,c=m2+2,将该抛物线向右平移2个单位，平移后的抛物线与y轴的交点为A(0,3),

则平移后的抛物线的对称轴为直线()

A.x=-1

B.x=l

C.x=-2

D.x=0

(2)若b=c=2m-l,该抛物线与抛物线y=-ax2-(3m+n)x+九关于x轴对称，则符合条件的m,n的值为

()

A.m=2,n=-3

B.m=0,n=l

C.m=-2,n=3

D.m=l,n=-2

⑶若抛物线的顶点坐标为(1,2),将该抛物线向左平移2个单位长度，得到抛物线Q,,将抛物线Q绕其顶点

旋转180。得到抛物线C2,则抛物线与y轴的交点坐标是()

A.(0,a+l)

B.(0,a+2)

C.(0,-a+l)

D.(0,-a+2)

(4)若抛物线经过人(2,1)2(4,3)《(4,-1)三个点中的其中两个点，平移该函数的图象，使其顶点始终在直线y=x-l

上，若c=2a,则平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的()

A.最大值为-1

B.最小值为-1

C.最大值为心

D.最小值为一弓

⑸若2=-1力=2,。=-3,将该抛物线向左平移2个单位得到一个新的抛物线，自变量x在什么取值范围内时，上述

两个抛物线中恰好其中一个的函数图象是y随x的增大而增大的，而另一个的函数图象是y随x的增大而减小的，

请写出自变量x的取值范围—.

综合强化练

1.(抛物线平移)如图，将二次函数y=-|%2+%+羊勺图象沿对称轴向下平移得到一个新的函数图象，其中点

A为抛物线与y轴的交点，点B为抛物线的顶点，平移后的对应点分别为点4B.若弧AB扫过的面积为3(图中的

阴影部分)，则新图象的函数表达式是()

2.(抛物线绕顶点旋转)如图，抛物线以=/+4%+3与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C,绕其抛物线顶

点D旋转180。得到的新抛物线丫2与y轴交于点E,连接BD,BE,DE,则SBDE=

3.在平面直角坐标系中，点M为抛物线y=/+2%-2上一点，若将抛物线沿y轴向上平移，使其顶点落在

x轴上，点M平移后在新抛物线上的对应点为M',且(OM'=OM,,则点M坐标为.

4.(抛物线关于y轴对称)如图，抛物线g=-2久2+6乂+2与x轴交于A,B两点，与y轴交于点E,抛物线y

1关于y轴对称得到抛物线y2,抛物线y2与X轴交于C,D两点，连接CE,BE,若加/BEC=90。，，则此时抛物

线丫2的解析式为

5.(抛物线关于点中心对称)已知抛物线Ci：y=mx2+2mx+m-1与抛物线(C?关于点P(l,0)中心对称，设抛

物线Ci,C2与y轴的交点分别为M,N,当MN=8时,m的值为.

6.(抛物线绕原点旋转)在平面直角坐标系xOy中,将抛物线y=|x2-(n-l)x+3n(n丰0)绕原点O旋转

180°,,所得新抛物线顶点坐标为M(p,q),当n>n>6>6时,p+q的最小值为.

7.创新题•“造桥选址”求解析式如图，抛物线y=7—2*+1与y轴交于点A,M,N为抛物线对称轴上的两

个动点(N在M上方)，MN=|,P(2,0),连接AN,MP,当AN+MN+MP取得最小值时，将抛物线沿对称轴向上平移

后的新抛物线经过点M,则新抛物线的函数解析式为—.

一阶方法突破练

1.D【解析】,.将二次函数y=i(%+2)2+2的图象向下平移2个单位，a不变，顶点的横坐标不变，，开口

方向不变，对称轴不变，y随x的变化情况不变，与y轴的交点向下平移两个单位.

2.B【解析】；抛物线y=/-4%+2=(久-2)2-2,.顶点坐标为(2,-2)将其向上平移5个单位，再向右平

移1个单位后，得到新抛物线的顶点坐标为(3,3),二新抛物线的解析式是y=(x-3尸+3=6%+12.

3.C【解析】将抛物线y=%2-(n+1)久-几沿x轴向左平移2个单位，得到新抛物线m=(久+2)^-(n+

l)(x+2)-n,•.新抛物线经过点(1,3),.•.将(1,3)代入力得,ri=：,二为=/+%_]=(久+丁_J新抛物线的顶点坐

444\O/64

标为-1£),在第三象限.

4.C【解析】V抛物线y=|x2-2x+3,当沿x轴平移时，抛物线上点的纵坐标不变，，把点P的纵坐标y=

3代入y=|x2-2x+3,得3=]/_2%+3,解得均=0,。=6,,平移的距离是2-0=2或6-2=4.当沿y轴平移

时，抛物线上点的横坐标不变，把点P的横坐标x=2代入尸枭2_2x+3得y=[x22-2x2+3=]平移

的距离是：3-1号则平移的最短距离是2.

5.B【解析】关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相同，，抛物线y=2x^-4x-6关于y轴对称

后所得到的抛物线解析式为y=2(-久)2-4(—x)-6=2/+4%-6.

22

6.B【解析】关于顶点对称的两抛物线的顶点坐标相同，抛物线yi=|%+%+l=|(x+l)+扣勺顶点坐标

为(-吗),•・抛物线丫2的顶点坐标为

7.D【解析】••,抛物线绕原点O旋转18(T,a与c符号全部变相反，，旋转后的抛物线解析式为y=2/-1.

8.C【解析】•.•抛物线y=/+4x+c=(X+2)2—4+c,.•抛物线Q的顶点((-2,-4+c),•.抛物线C?与Q关

于x轴对称,，抛物线C2的顶点为(-2,4-c”：两抛物线的顶点间的距离为5/」4-c+4-cl=5,解得c=|或c=p.'.c

的最小值为|.

9.A【解析】将抛物线y=x^+2x+3绕顶点旋转180。后，顶点坐标不变，a符号变相反，:原抛物线y=

%2+2x+3=(%+1)2+2,顶点坐标为(-1,2),，新抛物线的解析式为y=—(%+1)2+2=一x?-2%+1,令x=0,y=

L，新抛物线与V轴的交点坐标为(0,D

10.B【解析】.A(-L9),B(L3)两点在抛物线Qy=/+.+。上，.•将A,B两点代入解析式，得

&3

{:;:=::廨得{c=l，抛物线的：y=--3%+5,-.-抛物线C1与抛物线C2关于原点对称,.•抛物线G：-y

22

=(一%)2—3(—%)+5=x+3%+5,即抛物线C2:y=—x—3x—5.

二阶设问进阶练

例(1)B【解析】抛物线向右平移2个单位得到抛物线y=(久-2)2+(%—2,…平移后的抛

物线与y轴的交点为A(0,3),--.3=4+2(m-l)+m2+2,解得m=-l，，平移后的抛物线解析式为y=/一2x+3,.1其

对称轴为直线x=l.

⑵A【解析】1,抛物线y-ax2+(2m-l)x+2m-1与抛物线y=-ax2-(3m+n)x+几关于x轴对称，二

ax2+(2m-l)x+2m-1=ax2+(3m+n)x—n对应系数相等得Pm+n~2m.匕解得\m~\

(3)D【解析】•.•抛物线的顶点坐标为(1,2),将该抛物线向左平移2个单位长度，得到抛物线G，，抛物线Q

的顶点坐标为(-1,2),设抛物线J的解析式为y=a(x+1产+2,：将抛物线G绕其顶点旋转180。得到抛物线C

2,二抛物线Cz与抛物线J的开口方向相反，顶点坐标不变，，抛物线C2的解析式为y=-a(x+1尸+2,令x=0,

则y=-a+2,.•抛物线C2与y轴的交点坐标是(0,-a+2).

(4)C【解析】；A(2,1),B(4,3)在直线y=x-l上〃.A或B是抛物线的顶点.B(4,3),C(4,-1)的横坐标相同，：抛

物线不会同时经过B,C两点，.•抛物线经过A,C两点，：c=2a,.・.y=a*+bx+2%•把A(2,1),C(4,-1)代入解

22

析式得+=1解得二次函数的解析式为y=-1x+2x-l=-i(%-2)+1,.•.顶点始终在直线丫

=x-l上，，抛物线向左、向下平移的距离相同，，设平移后的抛物线为y=-久久-2+m)2+1-皿令x=0,则y

=-|(-2+m)2+l-m=-|(m-l)2-平移后的抛物线与y轴交点纵坐标有最大值，最大值为一|.

⑸【解析】1,抛物线y=--+2%-3=-(乂-1产一2,.将抛物线y=-―+2万一3向左平移2个

单位，得到新抛物线y=-0一1+2)2-2=+1)2-2,如解图，抛物线y=-(久一1)2-2,在x<1时,y随x

的增大而增大，抛物线y=-(%+1)2-2“在x>-l时,y随x的增大而减小，，当时，两个函数中恰好其

中一个函数的图象是y随x的增大而增大的，而另一个函数图象是y随x的增大而减小的.

三阶综合强化练

1.A【解析】〔•函数y=—紧2+%+1的图象与y轴交于点A,点B为抛物线的顶点，..•・y=--1尸+

2,A(0,|),B(L2),.•.点A到BB的距离为1,观察题图可知弧AB扫过的面积为平行四边形ABB'A'QWRAA'xl=

3“即AA，=3,点A到A，向下平移3个单位，抛物线上点的平移规律即抛物线的平移规律，.•.将原函数的图象向下

平移3个单位得到新函数的图象，，新图象的函数表达式为y=-1%2+%-|.

2.3【解析】要求S^BDE,可用面积和差法，首先要求出各点的坐标，•.•抛物线为=运+轨+3与x轴交于

A,B两点，与y轴交于点C,.••力=(久+2)2-1,4(-3-0),B(-L0),C(0,3),，D(-2,-l),■.将其绕顶点D旋转180°,/.

新抛物线顶点坐标不变，开口方向改变，，新抛物线>2=-(%+2)2-1=-久2_4%-5,；.E(0,-5),如解图，过点D

作DF’x轴于点F,二.DF=L：.SABDE=S梯形DFOE-S△DFB-S△BOE=(l+5)x2xj-lxlx|-lx5x1=3.

y

%

J*(。「5)

第2题解困

3.(-1+争-1)或【解析】设点M的坐标为M1，久2+2x-2),点B为抛物线y=/+2%

-2的顶点，易得B(-l,-3),根据题意可知平移后点B落在x轴上，，抛物线向上平移了3个单位，则点

M'[x-x2+2%+1).。/=0M且MM'±x轴〃•.点M与点M，关于x轴对称(两点关于x轴对称，纵坐标相加等

22

于0),.x+2x-2+x+2x+1=0,整理得，2x2+4x-l=0,解得,=-1+乎或x2--1-y,点M的坐标为

(T+9—0或(一1一净—

4.yz=-2运—3x+2【解析】•.抛物线y?与抛物线力关于V轴对称，抛物线力与X轴交于A,B两点，抛

物线丫2与x轴交于C,D两点，.•点C与点B关于y轴对称,OB=OCJNBEC=90°,."BEC是等腰直角三角形,「Q

22

E=jBC=OB=OC=2,「.B(2,0),C(-2,0),将点B坐标代入力=-2x+bx+2得,b=3,——2x+3x+2,・•.y2—

—2(—%)?+3(-%)+2=-2.x—3x+2.

31+%2_]

5.1或-1【解析】设点A%,%)在抛物线Cx上，点A关于P(1,0)中心对称的点为人，％,丫2),二有京二，

-0

2

2

解得二,由点A(Xi，yJ在抛物线Ci上可知,yi=mxl+2mxr+m-1,即-yz=m(2-冷产+2zn(2

l71—~72

2

—x2)+m—1,・•.y2=-m%2+6mx2—9m+1.故抛物线C2的解析式为：y=—mx+6mx—9m+L「•N

(0^—9m+1),y=mx2+2mx+m—1与y轴的交点为M(0