广东省深圳市南山区2023-2024学年高一年级上册期末质量监测数学试题

广东省深圳市南山区2023-2024学年高一上学期期末质量监测数学试题

姓名：班级：考号：

题号——四总分

评分

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的.

1.已知集合4={久|y=®(1—x)},B=0,1},则4CB=()

A.{1}B.{—1,0,1}

C.[0,1}D.{-1,0]

2.下列所给的等式中正确的为()

A.竽=135。B.tan卷—V3

0.3TTV2一号)=-*

C・sin-^-=D.cos(

3.已知命题p：x—cosx<0",则p的否定为()

A.3x<0,x—cosx>0B.3%>0,x-cosx>0

C.Vx<0,x-cosx>0D.Vx>0,x—cosx>0

4.设函数fO)=3%+2x—4的零点为比，则久0C()

A.(-1,0)B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)

5.为了得到函数y=sin*的图象，只需将函数y=cos(*-*)的图象()

A.向左平移今个单位长度B.向左平移与个单位长度

C.向右平移上个单位长度D.向右平图个单位长度

2%x<1

；'若/(7(sin。))=2,则。的值可以为()

{久2,X>1,

A-?B.专C.JD.I

7.设函数/(久)=%2.伍岩，则/(X)的图象可能为()

1

cosl

8.已知a=sinl+cosLb=logcoslsinl,c=2,贝！J()

A.c>a>bB.a>b>cC.c>b>aD.a>c>b

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得。分.

9.已知函数/(%)=(2m—TH?)%37n为暮函数，则下列结论正确的为()

A.m=1B./(%)为偶函数

C./(%)为单调递增函数D./(%)的值域为[0,+oo)

10.已知4B,。是△43。的三个内角，下列条件是“cosZcosaosC<0”的一个充分不必要条件的为()

A.sin^A+B)>0B.cos(A+B)>0

C.sin^A—B)<0D.cos^A—B)<0

11.已知函数=g(x)=Igx,若f(m)=g⑺,则下列结论可能成立的为()

A.m=nB.n<m<1C.m<1<nD.1<m<n

12.已知函数/(%)满足如下两个性质：①VXCR,/[/(久)+g(-久)]=一1，其中函数g(久)是函数y=2。。3支

的反函数；②若则f(x)H/(y)，则下列结论正确的为()

A.若a中b,则(a—6)[g(a)-g(6)]>0

B.若点P(cos。，sin。)在曲线y=gQ)上，贝1Jsin2620

C.存在点Q,使得曲线y=/(久)与y=g(久)关于点Q对称

D.方程f(3sinx)+久=1恰有9个相异实数解

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知扇形的圆心角为多且弧长为兀，则该扇形的面积为.

14.已知函数/(%)=/+nix,若VxCR,/(I-x)-/(I+%),贝【Jm.

15.已知当nEN*时，函数f(x)=InQx+a)n+b的图象恒过定点(一1,1),其中a,b为常数，则不等式当W

2

0的解集为.

16.已知实数％,y>0,且"+<三，记u=cosx+cosy,则q=,u的最小值为.

四'解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤.

17.计算下列各式的值.

(1)3sg35+2匈④一国25;

4_________

(2)(78)3+J(3—71)2—(—I)2024X71'

1

18.已知集合4={x|2a—3<x<a+2},B=[x|^<2X<4}.

(1)若a=0,求CB4

(2)若AUB=B,求实数a的取值范围.

19.(1)已知点P(-3,a)为角a终边上一点，且ttma=—名求cos(兀+a)的值;

(2)若+*)=/，求sin2/?+2cos2$的值.

20.已知某产品在过去的32天内的日销售量Q(x)(单位：万件)与第久天之间的函数关系为①Q(%)=a。-

8>+b;②(2(久)=1+小这两种函数模型中的一个，且部分数据如下表：

X(天)241020

3

(2(%)(万件)121110.410.2

(1)请确定Q(x)的解析式，并说明理由；

(2)若第％天的每件产品的销售价格均为PQ)(单位：元)，且P(K)=60-|久-20|,求该产品在过去32

天内的第久天的销售额/(%)(单位：万元)的解析式及f(x)的最小值.

21.已知函数/(久)=4cos(3久+w)(A>0,co>0,0<<兀)的部分图象如图所示•

(1)求/(%)的解析式；

(2)设0<。<兀，记/(%)在区间［0,田上的最大值为g(。)，求g(。)的解析式.

22.已知函数f(%)=a-了%为定义在R上的奇函数.

(1)求实数a的值；

(2)(i)证明：八久)为单调递增函数；

(ii)vxe(O,+00),若不等式“1+”:丁火川)+核亮〉o恒成立,求非零实数血的取值范围.

答案解析部分

1.【答案】D

【解析】【解答】因为集合4={%|y=叮(1一%)}={xil-尤>0}={xi无<1},B={-1,0,1},

则4nB={-l,0}.

故答案为：D.

【分析】利用已知条件结合对数型函数的定义域求出集合A,再利用交集的运算法则得出集合A和集合B的交

集.

2.【答案】C

【解析】【解答】对于A,竽=(1x180。)=120。，所以A错；

对于B，加避=tan30。=字，所以B错；

对于C,§讥苧=sin(7T-/)=sin^=孚，所以C对；

对于D,cos(-寺)=cos亨=去,所以D错.

故答案为：C.

【分析】利用角度制与弧度制的互化公式、特殊角的三角函数值、诱导公式，进而找出等式正确的选项.

3.【答案】A

【解析】【解答】因为命题p：“VxWO,x—cosx<05，>则命题p的否定为：3%<0,x—cosx>0.

故答案为：A.

【分析】利用全称命题与特称命题互为否定的关系，进而写出命题p的否定.

4.【答案】B

【解析】【解答】因为X。为函数/(%)=3,+2%—4的零点，

又因为函数y=3乂和y=2%-4都是增函数，所以产f(x)也是增函数，

又因为/(0)=30+2x0—4=—3<0,/(I)=31+2xl-4=l>0,则为e(0,1).

故答案为：B.

【分析】利用函数的单调性和零点存在性定理，进而得出函数零点的取值范围.

5.【答案】C

【解析】【解答】将函数”如(尹勺=如囱久—引］的图象向右平移£个单位长度得

函数y=cos(*—勺=C0s[][x-]-2)]=cos[](%-7r)]=cos(2%—2)=C0s(1—-2x)=sin-^x°

故答案为：C.

6

【分析】利用已知条件结合余弦型函数的图象变换找出正确的选项。

6.【答案】D

2%,x<1,

【解析】【解答】因为函数外吗=

x2,x>1,

对于A,当。=鄂寸，则/(sin。)=/(sin*)=/(1)=17=L/(/'(sin。))=/■⑴="=172,所以A错;

772

对于B,/(sin0)=/(sinp=f(V3)=(V3)=3,/(/(sin0))=f(3)=32=92,所以B错；

对于C，/(Sin0)=f(sin^)=f(芋)=22，/(/(sine))=/'(2工)=(2T)2=**2,所以C错；

对于D,f(sin。)=f(sinv)=/(^)=22=V2,f(f(sin。))=/(V2)=(V2)2=2,所以D对一

故答案为：D.

【分析】利用已知条件结合代入法和分段函数的解析式，进而找出满足要求的角。的值.

7.【答案】B

【解析】【解答】设函数/(%)=/•伍岩，所以函数的定义域为{久1兽>。}={%1—1<久<1},

所以定义域关于原点对称.

又因为/(一%)=(一%)2•必去腺=一/必芒=一/(%),所以函数f(x)为奇函数，所以排除C、D；

13

111-1-

当

时211

2仇2

X-------

2141=/n3>>0,所以排除A,所以选D.

zn--z44,z

22

故答案为：B.

【分析】利用已知条件结合奇函数的图象的对称性和特殊点排除法，进而找出函数可能的图象.

8.【答案】A

【解析】【解答】因为0<sinl<1,0<cosl<1,

所以a=sinl+cosl>sin2l+cos2l=1,且a=V2sin(l+*)<V2,

所以1<a</，

又因为|^=tanL0<J<1<J,而函数y=tanx在区间(0,9上单调递增，

sinlcosl

所以tanl>tan,=1,所以0<cosl<sinl<1,所以b=logcosl<logcosl=1,

因为函数y=cosx在区间(0,兀)上单调递减，所以cosl>cos号,

所以c=2cosl>2C0S5=V2,所以c>a>b.

故答案为：A.

7

【分析】利用已知条件结合放缩法、平方关系和辅助角公式得出1<a</，再利用函数尸tanx在区间（0,勺

上单调递增，得出0<cosl<sinl<l,再利用对数函数的单调性得到b<1,再利用函数尸cosx在区间

（0,兀）上单调递减及指数函数的单调性可得c>鱼，从而比较出a,b,c的大小.

9.【答案】A,C

【解析】【解答】因为函数〃久）=（2m—病）为3机为幕函数，所以2血—病=1,所以m=l,所以A对；

由选项A知m=l,则f（x）=x3,

因为函数/（久）=好的定义域为R,所以函数的定义域关于原点对称，

又因为f（一久）=（一％）3=-久3=一/（犯，所以函数为奇函数，所以B错；

由选项A知m=l,则/（x）=x3,

VxeR,当XI<X2时,妫/（久1）—/（冷）=%；—久|=—K2）（%：+K1%2+用）<0，则/'（亚）</（久2），

所以函数f（x）在R上为增函数，所以C对；

因为xER,所以炉6/?,所以函数/（%）的值域为R,所以D错.

故答案为：AC.

【分析】利用已知条件结合幕函数的定义得出m的值，从而得出幕函数的解析式，再结合奇函数和偶函数的定

义判断、增函数的定义判断、函数的值域求解方法，进而找出结论正确的选项.

10.【答案】B,D

【解析】【解答】已知4B,C是△4BC的三个内角，

对于A,因为sin（A+B）=sin（7T—C）=sinC〉0,不能推出cosAcosBcosC<0,所以A错；

对于B,因为cosQ4+B）=cos（兀一C）=一cosC>0=cosC<0,所以角C为钝角，角A和角B为锐角，

所以cosAcosBcosC<0,满足充分性；

当cosAcosBcosC<0时，则不一定推出角C为钝角，不满足必要性，

所以“cos（A+B）>0”是“cosAcosBcosC<0”的一个充分不必要条件，所以B对；

对于C,因为sin（A-B）<0=A<B,只能确定角A为锐角，不能确定角B和角C是否为锐角、直角还是钝

角，

故不能推出cosAcosBcosC<0,所以C错；

对于D,因为cos（a-B）<0=4—B或B—4为钝角，所以角A或角B为钝角，

所以cosAcosBcosC<0,满足充分性；

当cosAcosBcosC<0时，则不一定推出角A或角B为钝角,不满足必要性，

所以“cos（4+B）〉。”是“cosAcosBcosC<0”的一个充分不必要条件，所以D对.

8

故答案为：BD.

【分析】利用已知条件结合三角形内角和为180。的性质和诱导公式以及三角形中角的取值范围、三角函数值在

各象限的符号，进而由充分条件、必要条件的判断方法，从而找出％”点如8°”。<0"的充分不必要条件的选

项.

11.【答案】A,B,D

【解析】【解答】根据题意，在同一直角坐标系中画出f(x)=lnx与函数g(x)=lgx的图象，如图所示：

当x=l时,此时f(x)=g(x),即f(m)=g(n),故m=n=l,所以A对；

当0<久<1时，此时f(x)=g(x),即f(m)=g(n),故所以B对；

当%>1时，此时f(x)=g(x),即f(m)=g(n),故1<m<n,所以D对；所以C错.

故答案为：ABD.

【分析】在同一直角坐标系中画出函数/(久)=Inx,g(x)=Igx的图象，再根据两函数的图象和/(巾)=g(n)

进行分类讨论，从而判断出各选项，进而找出结论可能成立的选项.

12.【答案】A,C,D

【解析】【解答】因为函数gQ)是函数y=/。2支的反函数，所以9(久)=3,

因为若x#y,则f(x)Wf(y),所以函数f(x)是单调函数，又因为VxGR,/[/(%)+g(-x)]=-1,

所以f(x)+g(-x)=m,即/(%)—g(—x)+m=—3f+m,

所以/'On)=-3-徵+血=一1,故m=0,所以函数/(>)=—3-x。

对于A,函数g(x)=3工在R上单调递增，所以A对；

对于B,因为点P(cos6,sin。)在曲线y=g(x)上，所以sin。=e(0,1]>

所以cos0=lnsin0<0,所以sinZQ=2sin9cos9<0,所以B错；

对于C,/(%)=-3~与9(久)=3方的图象关于原点对称，故存在点Q(0,0),

使得曲线y=f(久)与y=g(X)关于点Q对称，所以C对；

对于D,/(3sinx)=—3-35也是以2兀为周期的周期函数，

9

■TT〔

-3

当x=2+2/OT时,[—/(3sinx)]min=3=方,

3

当％=苧+2/OT时，[—f(3sinx')]max=3=27,

方程/(3s出%)+x=1等价于x-l=-f(3sinx),画出函数y=-f(3sinx)和函数y=x-l的图象，如下图:

’113万5乃7*9*ILT13115117*191

2222222222

由图象可知两函数有9个交点，所以D对.

故答案为：ACD.

【分析】利用已知条件求出函数g(x)的解析式，再根据②可判断出函数f(x)是单调函数，再根据①可求出函

数f(x)的解析式，再根据函数g(x)的单调性判断出选项A；利用代入法取对数可判断出cos0=lnsin0<0,再

根据二倍角公式判断出选项B；由/(%)=-3T与g(x)=3,的图象关于原点对称，可判断出选项C；利用方程

f(3sinx)+x=1的实数根的个数转化为函数y=-f(3sinx)和函数y=x-l的图象交点的个数，从而画出两函数的图

象，进而判断出选项D,从而找出结论正确的选项.

13.【答案】竽

【解析】【解答】设扇形所在的圆的半径为r,

因为扇形的圆心角为拳且弧长为兀，所以兀=圻，所以r=3,

则该扇形的面积为'I'Tn'=|-X7TX3=^.

故答案为：岑

【分析】利用已知条件结合弧长公式得出圆的半径，再结合扇形的面积公式得出该扇形的面积.

14.【答案】-2

【解析】【解答】函数/(%)=x2+mx,

因为/(1-%)=/(1+%),

所以/(I—%)=(1—%)2+m(l-x)=1—2x+%2+m—mx=%2+(-2—m)x+m+1,

10

/(I+x)=(1+%)2+m(l+x)—1+2x+x2+m+mx=%2+(2+m)x+m+L

贝!J-2-m=2+m,则m=-2.

故答案为：-2.

【分析】利用已知条件结合函数的解析式和代入法，从而得出实数m的值.

15.【答案】［1,2）

【解析】【解答】当neN*时，函数/0）="（%+。）?1+6的图象恒过定点（一1,1）,其中a,b为常数，

所以-l+a=l,b=l,所以a=2,b=l,

则不等式与WO的解集即为不等式mWO的解集，则不等式写W0的解集为口，2）.

故答案为：［1,2）.

【分析】利用已知条件结合对数型函数的图象恒过定点的性质，再结合代入法得出a,b的值，再结合分式不

等式求解集的方法得出不等式支也W0的解集.

x-a

16.【答案】2；-1

O

【解析】【解答】因为实数久，y>0,且J+

所以（x+y）9+J<9,化简得出q+竽W4,

AyAy

又因为马十写旧爷=4,所以>竿=4,当且仅当公与时，等号成立，易知「2；

y22199

因为£■X=2,所以〃=cosx+cosy/—cosx+cos2x=2cos%+cosx—1=2（cos%+-r-）—4o>o，

易知当cosx=—J,x>0时等号成立，所以〃的最小值为—卷.

故答案为:2；-1.

【分析】利用已知条件结合均值不等式变形求最值的方法和取最值的条件得出如勺值；利用典勺值得出x,y的

关系式，再结合二倍角的余弦公式和二次函数的图象求最值的方法，进而得出〃的最小值.

17.【答案】（1）解：3to^5+2lg^-lg2S=5+lg^-lg25=5+^43^25=5-2=3.

434

（2）解：（迎）3+J（3—兀）2—（—1）2024x兀=（22）3+|3—兀|—兀=22+兀-3—兀=1

【解析】【分析】（1）利用已知条件结合对数的运算法则，从而化简求值；（2）利用根式与指数幕的互化公式和

指数嘉的运算法则，进而化简求值.

18.【答案】（1）解：若a=0,则4={x|—3<x<2},

由右<2X<4,解得一4<%<2,B={x\-4<x<2},

11

•1"CBA={x|—4<x<—3]

(2)解：由4UB=B可知，AQB,

①若力=0,则2a—32a+2,解得a25,

a+2<2,

②若4。0,即a<5,则

2Q—32—4,

解得-称Wa<0,

综上所述，实数a的取值范围为[—±，0]U[5,+00).

【解析】【分析】(1)利用a的值得出集合A,再利用指数函数的单调性得出集合B,再结合补集的运算法则得

出集合CBA

(2)由2UB=B可知，AQB,再利用分类讨论的方法和集合间的包含关系以及空集的定义，进而借助数轴

求出实数a的取值范围.

19.【答案】(1)解：由正切函数的定义可知，tana=

4

又tana=一9，・•・a=4,

-33

cosa=',—=--p-

・•・由余弦函数的定义可知,J(-3)2+425

3

・・

•cos(ji+a)=—cosa—5-

=tcmG+tcm'=tan0+l=1

(2)vtCLTi(J3+4)

1-tanp-tan^1—tan/?3"

1

tCLTl/S=-2,

cW”2s嗡霭需胃q

【解析】【分析】(1)利用已知条件结合正切函数的定义，进而得出实数a的值，再结合余弦函数的定义和诱导

公式得出cos(n+a)的值；

(2)利用已知条件和两角和的正切公式得出角。的正切值，再结合二倍角的正弦公式和同角三角函数基本关系

式，即可求解.

20.【答案】(1)解：选择模型②，理由如下：

由题表可知，随着%增大时，销售量逐渐减少，若QO)=kQ-8)2+b,则当1WXW32时，QQ)非单调递

减函数，不符合题意.

-12

L.b+2

对于QO)=^+b，根据题意，将点(2,12),(4,11)代入可得，cf

-11

xb+4

解得k=4,6=10,此时Q(x)=10+2,

12

易知点(10,10.4),(20,10.2)均在Q(x)=10+3的图象上,

4

/.Q(x)=10+J(l<%<32,%GN*).

x+40,1<%<20(%GN*),

(2)解:P(x)=|x-20|+60=

-x+80,20<%<32(xG?V*),

(4

(10+-)(%+40),1<X<20(%G/V*),

由(1)知/(%)=P(%)•QQ)=14%

(10+?)(—%+80),20<%<32(xG/V*),

f10%+—+404,1<%<20(x6/V*),

即f(x)=)32Q

(-10%+受+796,20<%<32(xGW*),

当1<%<20(%GN*)时,f(x)=10%+^+404>2J10%•写+404=484,

当且仅当10x=出，即x=4时，等号成立，

X

当20<xW32(%eN*)时，f(x)=一10%+等+796为单调递减函数，

•・•/(%)的最小值为f(32)=486>484,

综上可知，f(%)的最小值为484万元.

【解析】【分析】(1)利用已知条件结合表中的数据，再结合二次函数的单调性和反比例型函数的解析式以及代

入法，进而得出满足要求的模型。

(2)利用已知条件和(1)得出分段函数f(x)的解析式，再利用分类讨论的方法和均值不等式求最值的方法、

函数的单调性求最值的方法和比较法，进而得出分段函数f(x)的最小值。

21.【答案】(1)解：由图可知4=2,

..3T_I7兀,71、।_3兀

'尹一।运_(飞)1-彳，

最小正周期为T-n,

rrt27rQ

,:T=—,3=2,

3

/(%)=2cos(2%+(p),

又点(居,2)在f(%)的图象上，・•・2cos(2X居+中)=2,即cos(得+R)=1,

+cp=2.kji(kGZ),即0=-―^-+2/CTT(/C6Z),

q

又0<0<TT,,•・k=1,且0=行7r，

/(%)=2cos(2%+等).

(2)解：(方法一)令WZ),则％=竽一招(kWZ),

・・・/(%)的图象的对称轴方程为x=竽-雪/GZ),

13

・•・在区间(0,7T)内，/(%)的图象有两条对称轴，其方程为％=g和％=驾，

J■乙J.Z

(方法二)•・・/(%)的最小正周期为T=7T,.•・言—*=$,

・•・在区间(0,7T)内，/(%)的图象有两条对称轴，其方程为％=刍，和％=会，

1■4J.Z

易知/(%)在区间(0,需)上单调递减，在区间(先，穹)上单调递增，在区间(票，兀)上单调递减,

•・,/(久)的图象关于直线x=金对称，.•./(0)=//)=-V3

①若。6(0,则/(%)在区间[0,上的最大值为f(0)=2cos饕=一遍，

②若吟，言)，则/(%)在区间[0,上的最大值为f(。)=2cos(2，+^),

③若。G第，兀)，则/(%)在区间[0,刃上的最大值为/厝)=2,

TT

'-V3,0<9

6

综上所述，g(e)=42cos(29+等)

o1Z

2,<0<7T.

【解析】【分析】(1)利用余弦型函数的部分图象中函数的最大值得出A的值，再利用余弦型函数的最小正周期

公式得出3的值，再结合特殊点对应法，进而得出(P的值，从而得出函数f(x)的解析式；

(2)利用两种方法求解余弦型函数在给定区间的对称轴方程。方法一：利用换元法和正弦函数的对称性，进

而得出在给定区间的余弦型函数的对称轴方程；方法二：利用已知条件结合余弦型函数的最小正周期得出给定

区间的余弦型函数f(x)的对称轴方程；再利用函数的单调性和函数的对称性以及分类讨论的方法，从而得出函

数”工)在给定区间的最大值g(。)，进而得出分段函数g(8)的解析式.

22.【答案】(1)解：(方法一)•••/(>:)=a—袅彳为定义在R上的奇函数，

)、'N人+1

:.f(0)=a—1=0,即a=l,

22X—1

・••/(久)=1-再1=/可

VxCR，显然有/(一%)="=_/(%),

・••/(久)=IS为奇函数，

八,+1

实数a的值为L

(方法二)•."(>)=a-毛各为定义在R上的奇函数，

22