广西河池市2024-2025学年高二年级上册12月联盟考试数学试卷

2024年秋季学期高二年级校联体第二次联考

业,、、九

数1r学

（本试卷满分150分，考试时间120分钟）

注意事项：

1.答题前，务必将自己的姓名、班级、准考证号填写在答题卡规定的位置上。

2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦

干净后，再选涂其它答案标号。

3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合要求的。

1.已知抛物线C：/=4x的焦点为尸，抛物线上的点河（2,20）到焦点厂的距离为

A.1B.2C.3D.4

2.已知直线4：x-y-l=0,/2:xj+1=0,则4与。的距离为

A.1B.2C.72D.2及

3.若椭圆焦点在无轴上且椭圆经过点（0,2）,c=3,则该椭圆的标准方程为

2222

A%v1D1y1

A.-----1-----=1B.-----1-----=1+=1D

94134cTT-

4.已知两个向量3=（1,T,2）,b=（2,x,j）,且刃后，则x+＞的值为

A.2B.4C.6D.8

%2+（,_1）2=］的周长，则〃二

5.已知直线％-即+2=0平分圆C：

A.2B.4C.6D.8

22

6.已知抛物线r=16x的准线经过双曲线?-方=1伍中0）的一个焦点，则该双曲线的渐近线方

程为

A.y=±-^xB.y=±2xC.y=±^-xD.y=±^3x

7.在直四棱柱中，底面/BCD为等腰梯形，AB//CD,AD=DC=BC=2,

AB=A.A=4,E为棱AA,的中点，则BBX到平面EDBX的夹角余弦值为

V30V70

B.

1010

Vio3V10

D.

1010

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8.已知双曲线C:鹏-仁=1的左、右焦点分别为耳、B，A,3是双曲线上关于原点对称的两点,

97

并且|/B|=2c,则△/BE的面积等于

A.6B.7C.8D.9

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要

求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

9.已知直线4：x+@+1=0,12：—l)x+y+。=0,则下列说法正确的是

A.当a=l时，直线4的倾斜角为135。B.当/i，/?时，

C.若4〃4,则a=—1D.直线4始终过定点(-1,0)

10.如图，正方体/5CD-4瓦G2的棱长为1,w是4G上的中点，以下说法正确的是

AM4c的面积是定值走

A.

2

与万？同向的单位向量是一^~，^~，^~、

B.

7

C.方与方双夹角的余弦值为—

6

D.平面ABXD的一个法向量是。,1,—1)

22

11.已知椭圆C：|j+=~=1,耳£分别为它的左右焦点，点43分别为它的左右顶点，已知定点

N(4,4),点M是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有

A.存在4个点/,使得/邛*=90°

25

B.直线M4与直线斜率乘积为定值-彳

1118

C时+配有最小值二

D.|融网+|即|的取值范围为[4行,14]

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知直线/过点(1,2),倾斜角为45°，则直线/的纵截距为.

13.已知圆/+/—2x+6y=/—10(厂>0)与直线x—>+1=0相切，贝什=.

22

14.双曲线C:^2=1的离心率为.

m3m

高二数学第2页共4页

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.(13分)已知△/BC的顶点分别为42,2),5(4,-2),C(-6,2).

(1)求8c边的中线所在直线的方程；

(2)求8c边的垂直平分线所在直线的方程.

16.(15分)已知椭圆C:三+*=1(a>6>0),M为椭圆上一点，耳,用分别为它的左右焦点，M

到耳居距离之和为4,离心率e=心.

一2

(1)求椭圆C的方程；

(2)若直线/：y=x-1与椭圆交于48两点，求|“回的长以及三角形面积.

17.(15分)如图，在四棱锥尸-4BCD中，侧棱尸4,底面且

PA=2,AB=BC=6,AD=CD=5£为PC中点.

(1)求点C到平面EAD的距离；

(2)求平面PBC与平面胡。夹角的正弦值.

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18.(17分)已知圆G：/+V+2x—4〉+1=0,圆。2:工2+J??—4x—5=0.

(1)证明两圆相交，并求两圆公共弦长；

(2)已知过点(0,1)的直线/与圆G交于48两点，且04,03,求直线/的斜率.

19.(17分)设抛物线C:/=2。武0>0)的焦点为尸，已知点尸到圆E:(x+gy+r=1上一点

的距离的最大值为2.

(1)求抛物线。的方程；

22

(2)已知耳鸟是双曲线二—匕二1左右焦点，过右焦点月的直线/与。交于N两点.证明：

22

ZF2FXM=ZF2FXN.

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2024年秋季学期高二年级校联体第二次联考

数学参考答案

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的。

1.【答案】C

【详解】由焦半径公式得：|附=/+券=2+1=3.故选：C

2.【答案】C

(一。=V2.故选:

【详解】由题意得，4与4的距离dC.

VFH1

3.【答案】B

【详解】由题意得椭圆焦点在x轴上且经过点(0,2),所以6=2,c=3,a2=b2+c2=13,

椭圆的标准方程为三+/=1.故选：B.

134

4.【答案】A

1-12

【详解】allb»~=—=—,=—2,y=4,x+y=2.故选：A.

2xy

5.【答案】A

【详解】由/+(歹—1)2=1,可得圆心为(0,1),因为直线x-即+2=0平分圆C：

/+(>—1)2=1的周长,

所以直线过圆的圆心，则0—a+2=0,解得。=2.故选：A.

6.【答案】D

_2_匕2

【详解】已知抛物线/=16X的准线为x=-4,所以双曲线=10/0)的一个焦点为

4b2

22

(—4,0),所以4+/=4?，解得〃=12,所以双曲线亍一七=1的渐近线方程为产土氐•故选:

7.【答案】B

【详解】底面/BCD为等腰梯形，AB〃CD,4D=DC=BC=2,AB=4,

如图，在底面/BCD中，过点。作垂足为〃，

以。为坐标原点，分别以加，比，的所在直线为x,%z轴，建立空间直

角坐标系。-中z.

则D(0,0,0),B瓜3,0),用瓜3,4),E(g,-1,2),

DB{=(V3,3,4),DE=(73,-1,2),丽=(百,3,0),设平面瓦明的法向量

高二数学答案第1页共7页

为"=(x,y,z),

n-DB.=0f6x+3y+4z=0

则一」，所以「，两式相减可得2y+z=0,

n-DE=0[y/3x—y+2z=0

令y=V3，解得z——2-\/3,x=5,

则平面EDBl的一个法向量为工=(5,-26)，丽=(0,0,4)

4X(-2A/3)273V30

则BB、到平面区0月的夹角正弦值sin。=k°s(函，力，BBt-n

|阿同4J25+3+122A-10

cos。=Vl-sin20=2/1^,故选：B.

10

8.【答案】B

【详解】由双曲线的对称性以及8是双曲线上关于原点对称的两点可知，A,B，O三点共

线，连接/片,/5，圻;|/同=2。=闺"则四边形";3g为矩形，所以/耳，阳,

阿|=|”|，

22_

由双曲线C:土一匕=1可得。=3,b=^7,贝！I

97

c=yla2+b2=J9+7=4，

所以|/同=|耳m=2c=8,所以以片「+忸耳『=|/讦=64,

又上周T即向幺团-以剧=2a=6,

所以|必『+忸耳『一2卜司忸耳|=36,解得|/|忸用=14,

所以LB号=；|百网1=7.故选：B.

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要

求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

9.【答案】ABD

【详解】对于A,当。=1时，直线-x+y+l=0,故斜率先=-1,则倾斜角为135。，A正确,

对于B,4U等价于a-1+a=0,解得a=g,故B正确，

对于C,若4〃/?，。(。一1)-1=0且awa—l,故a=故C错误，

对于D,4：无+即+1=0令了=0且x+l=0,解得x=-l,y=0,故恒过(-1,0),D正确，故选：

ABD.

10.【答案】BC

【详解】A选项：VM在4G上且4G///C,

到NC的距离等于4G到4C的距离，则为定值1，

高二数学答案第2页共7页

••MAC——*1,V2=――»故A选项错误；

ATVX/IC22

如图所示建系，力(1,0,0),川1,1,0),£>(0,0,0),

与而同向的单位向量为泻=V6V6V6

B选项：=J,]/

\AM\A

故B选项正确；

C选项：益=(0,1,0),W=(|,1,l),而=(-1,0,0),函=(1,1,1)

__1

cos=—%=乎，故C选项正确；

\AB\\DM\lx^|6

D选项：设元=(1,1,一1)，

则风.元=lxl+lxl+lx(—l)w0,Z0-n=-lxl+0xl+0x(-l)^0,

即西不垂直万，石不垂直力，-1）不是面/耳。的一个法向量，故D选项错误；故选:

BC.

11.【答案】AD

【详解】对于A中，由椭圆C:江+2=1,可得。=5,6=3,c=4,

259

<l<tanZ^CO=-=-<V3,可得45。〈/片CO<60。，所以90。</片2工<120。，故在第一象

b3

限有点加，使得/片其g=90。，根据对称性四个象限各有一个，一共4个，所以A正确；

22%

对于B中，设M@y),则全+方=1,且/(一5,0),8(5,0),nj^x2-25--y/,

yyy2y29

则《=-石为定值，所以B错误.

对于C中，由椭圆的定义，可得I即|+|%|=10,

则

层+金=[向+尚]（丽+心」）$]2

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\MFA\ME\I-I

当且仅当晨?二方詈时，即吹=M片=5时等号成立，所以C错误.

1111

|A/Z^|\MF2\

对于D中，由点N在椭圆外，设直线科,穿与椭圆相交于乂,生，

如图所示，则（pw|+|5=W周+|NlM=|g|=J（4+4）2+42=46,

因为|叫|=4,且|跖V|+|M|=2a+pW|-|M^=10+pW|-|M^,

可得|儿叫-|好闫”|,gp\MN\-\MF2\<4,

所以（pW|+MFJL=10+MM—|也印=10+的|=14,所以|跖V|+|M|平底14],

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.【答案】1

【详解】由题意知，斜率为tan45o=l,贝！1直线方程为尸2=x-l,令即尤=0,y=l,

直线/的纵截距为1.故答案为：1.

【答案】豆

13.

2

【详解】由已知圆得标准方程为（》-球+3+3）2=/（，＞0）的圆心为（1,-3）,半径为『，依题意,

|1-（-3）+1|5V25&

=三一.故答案为:

F

14.【答案】2或友

3

【详解】当机＞0,所以e="里”=2.当加＜0,e〜尸=巫，故答案为：2或毡.

y/my/-3m33

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.

【详解】（1）设BC中点。的坐标为（%,%）,则/=寸=-1,%==干=0,----------------2分

•••8C边的中线/。过点/（2,2）,0（—1,0）两点,

2-0

AD所在直线方程为y-o=（X+1）------------------------------------------------------------5分

2-（-1）

即2x—3y+2=0；6分

高二数学答案第4页共7页

(2)••・刀)的斜率左=2-(-2]二42=--------------------------------------8分

-6-4105

.•.8C的垂直平分线的斜率左=*,---------------------------------------------10分

2

.­.BC的垂直平分线所在直线的方程为y-0=|(x+l),即5x—2y+5=0.-------------13分

16.

【详解】(1)由题意得2。=4,------------------------------------------------1分

二=理解得c=g,a=2,---------------------------------------------------3分

a2

故〃=a2—c2=4—3=1，--------------------------------------------------4分

丫2

故椭圆方程为二+/=1；------------------------------------------------------5分

4

y=x-l

(2)由炉2，得5——8x=o,----------------------------------------------7分

—+y=1

所以三角形AOB面积：S=-\AB\d=l-x—x—=-----------------------15分

2112525

17.

【详解】(1)设AC与BD交点为O,连接OE,则OE//R4,所以平面/5C。，

所以0c三条直线两两互相垂直，---------------------------------------------1分

以。所在的直线分别为x,V,z轴建立如图所示的空间直角坐标系。制z,

---------------2分

由题意知。/=1,。。=2,

则A(-l,0,0),5(0,-1,0),C(l,0,0),r>(0,2,0),P(-l,0,2),£(0,0,1)

AD=(1,2,0),AE=(1,0,1)------3分

设平面的法向量为万=(七,必,zj,

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n-AD=玉+2yx=0

可取3=(2,—1,—2).6分

n-AE=Jr1+4=0

AC•亢4_4

%=(2,0,0),则点C到平面EAD的距离：d=----------------------9分

\n\(4+1+43

(2)PD=(1,2,-2),AD=(1,2,0),PS=(1,-1,-2),BC=(1,1,0),

设平面尸BC的法向量为成=（%2，%/2）,

n-PB=x,—%—2Z9=0

则—22可取3=(1,—1,1).------------------------------------------------------------12分

n-BC=x2+y2=0

—，/--\苏方1<

所以cos(m,n)=।~।=-7=~产=-

'7\m\-\n\73x799

所以平面P8C与平面P/。夹角的余弦值为V,----------------------------------------------14分

9

所以平面尸8c与平面夹角的正弦值为叵.----------------------------15分

9

18.

【详解】（1）圆。1化成标准方程为卜+1）2+5-2『=4,圆心G（-l,2）,半径q=2,-------------1分

圆G化成标准方程为（无-2『+必=9,圆心C?（2,0）,半径々=3,-------------------------------------2分

由-止l<|CC|=V^=W<4+2=5,所以两圆相交，---------------------------4分

两圆方程作差得（xl+/+2x—4y+1）—（x?+—4x—5）=6x—4y+6=0.-----------------------------5分

即公共弦所在直线的方程为3x-2y+3=0.圆G的圆心到直线距离为：

（2）由题可知，设/（%,必）,8（//2），①当直线斜率不存在时，直线与交点在y轴上，显然不满足

题意。------------------------------------9分

②当直线斜率存在时，设直线/方程为：>=依+1

将了=丘+1代入/+了2+2%-4了+1=0,Mx2+（^+l）2+2x-4（fcc+l）+l=0,

整理得，（l+/c2）x2+（2-2k）x-2=0,A=（2-2左丫+8（1+左2）>0,-----------------------------------11分

由一元二次方程根与系数的关系得士+马=2-十-2答k，再f=丁-2磊，----------------------12分

1.~vK1।/C

高二数学答案第6页共7页

2

/.y1y2=(依i+1)(依2+1)=kxxx2+x2)+l=--------------------------------------14分

由CM-LO8可得再入2+%>2=°，---------------------------