高中数学专项复习：概率最值问题（解析版）

专题19概率最值问题

例1.某芯片代工厂生产某型号芯片每盒12片，每批生产若干盒，每片成本1元，每盒芯片需检验合格后

方可出厂.检验方案是从每盒芯片随机取3片检验，若发现次品，就要把全盒12片产品全部检验，然后用

合格品替换掉不合格品，方可出厂；若无次品，则认定该盒芯片合格，不再检验，可出厂.

⑴若某盒芯片中有9片合格，3片不合格，求该盒芯片经一次检验即可出厂的概率？

(2)若每片芯片售价10元，每片芯片检验费用1元，次品到达组装工厂被发现后，每片须由代工厂退赔10

元，并补偿1片经检验合格的芯片给组装厂.设每片芯片不合格的概率为P(0<P<D,且相互独立.

①若某箱12片芯片中恰有3片次品的概率为了(p),求/⑺)的最大值点人;

②若以①中的p。作为P的值，由于质检员操作疏忽，有一箱芯片未经检验就被贴上合格标签出厂到组装工

厂，试确定这箱芯片最终利润x(单位：元)的期望.

【解析】(1)设“该盒芯片经一次检验即可出厂”的事件为A

4

贝股(力=寿=21

C1255

答：该盒芯片可出厂的概率为21.

55

(2)①某箱12片芯片中恰有3片次品的概率

〃p)=C犷(「小白；产+3P+3：+(…)x9]jyU

当且仅当3P=1-2，即p=：时取"="号

故/伍)的最大值点％=5.

②由题设知，p=pQ=l

设这箱芯片不合格品个数为〃

则〃〜“⑵小

故£■(〃)=12*5=3

贝IE(x)=120-12-30-3x2=72

这箱芯片最终利润X的期望是72元.

例2.绿水青山就是金山银山.近年来，祖国各地依托本地自然资源，打造旅游产业，旅游业正蓬勃发展.景

区与游客都应树立尊重自然、顺应自然、保护自然的生态文明理念，合力使旅游市场走上规范有序且可持

续的发展轨道.某景区有一个自愿消费的项目：在参观某特色景点入口处会为每位游客拍一张与景点的合

影，参观后，在景点出口处会将刚拍下的照片打印出来，游客可自由选择是否带走照片，若带走照片则需

支付20元，没有被带走的照片会收集起来统一销毁.该项目运营一段时间后，统计出平均只有三成的游客

会选择带走照片.为改善运营状况，该项目组就照片收费与游客消费意愿关系作了市场调研，发现收费与

消费意愿有较强的线性相关性，并统计出在原有的基础上，价格每下调1元，游客选择带走照片的可能性

平均增加0.05,假设平均每天约有5000人参观该特色景点，每张照片的综合成本为5元，假设每个游客是

否购买照片相互独立.

（1）若调整为支付10元就可带走照片，该项目每天的平均利润比调整前多还是少？

（2）要使每天的平均利润达到最大值，应如何定价？

【解析】解：（1）当收费为20元时，照片被带走的可能性为0.3,不被带走的概率为0.7,

设每个游客的利润为八元，则八是随机变量，其分布列为：

15-5

%

P0.30.7

£（71）=15x0.3-5x0.7=1（元），

则5000个游客的平均利润为5000元，

当收费为10元时，照片被带走的可能性为0.3+0.05x10=0.8,不被带走的概率为0.2,

设每个游客的利润为乙，则匕是随机变量，其分布列为：

5-5

P0.80.2

£（y2）=5x0.8-5x0.2=3（:元），

则5000个游客的平均利润为5000x3=15000（元），

该项目每天的平均利润比调整前多10000元.

（2）设降价x元，则0”x<15,照片被带走的可能性为0.3+0.05x,

不被带走的可能性为0.7-0.05日，

设每个游客的利润为y元，则y是随机变量，其分布列为：

Y15-x-5

P0.3+0.05%0.7—0.05%

E(Y)=(15-x)x(0.3+0.05x)-5x(0.7-0.05x)=0.05[69-(x-7)2],

当x=7时，E(y)有最大值3.45元，

当定价为13元时，日平均利润取最大值为5000*3.45=17250元.

例3.一年之计在于春，一日之计在于晨，春天是播种的季节，是希望的开端.某种植户对一块地的eN*)

个坑进行播种，每个坑播3粒种子，每粒种子发芽的概率均为工，且每粒种子是否发芽相互独立，对每一

2

个坑而言，如果至少有两粒种子发芽，则不需要进行补播种，否则要补播种.

(1)当〃取何值时，有3个坑要补播种的概率最大？最大概率为多少？

(2)当力=4时，用X表示要补播种的坑的个数，求X的分布列与数学期望.

【解析】解：(1)对于一个坑而言，要补种的概率为(步+十产=；.

有3个坑需要补种的概率为：C：x(g)“，

1C3(-),!>C2(-)n

要使C,：x(3"最大，只须"彳"2,解得5V"V7,

2卜5世(y

Q〃£N*,故〃=5,6,7.

所以当"为5或6时，有3个坑要补播种的概率最大.最大概率为*.

16

(2)〃=4时，要补播种的坑的个数X的所有的取值分别为0,1,2,3,4,X~

P(X=3)=C；(；)4=；,P(X=4)=

所以随机变量X的分布列为：

X01234

P1£311

1648416

所以X的数学期望E(X)=4x；=2.

例4.为实现有效利用扶贫资金，增加贫困村民的收入，扶贫工作组结合某贫困村水质优良的特点，决定

利用扶贫资金从外地购买甲、乙、丙三种鱼苗在鱼塘中进行养殖试验，试验后选择其中一种进行大面积养

殖，已知鱼苗甲的自然成活率为0.8,鱼苗乙、丙的自然成活率均为0.9,且甲、乙、丙三种鱼苗是否成活

相互独立.

(1)试验时从甲、乙、丙三种鱼苗中各取一尾，记自然成活的尾数为X,求X的分布列和数学期望；

(2)试验后发现乙种鱼苗较好，扶贫工作组决定购买〃尾乙种鱼苗进行大面积养殖，为提高鱼苗的成活率，

工作组采取增氧措施，该措施实施对能够自然成活的鱼苗不产生影响，使不能自然成活的鱼苗的成活率提

高了50%.若每尾乙种鱼苗最终成活后可获利10元，不成活则亏损2元，且扶贫工作组的扶贫目标是获利

不低于37.6万元，问需至少购买多少尾乙种鱼苗？

【解析】解：(1)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3,

则尸(X=0)=0,2x0.1x0.1=0.002,

P(X=1)=O.8XO.1XO.2+O.2XO.9XO.1+O.2XO.1X0.9=0.044,

P(X=2)=0.8x0.9x0.1+0.8x0.1x0.9+0.2x0.9x0.9=0.306,

尸(X=3)=0.8x0.9x0.9=0.648.

故X的分布列为：

X0123

P0.0020.0440.3060.648

E(X)=0x0.002+1x0.044+2x0.306+3x0.648=2.6.

(2)根据已知乙种鱼苗自然成活的概率为0.9,

依题意知一尾乙种鱼苗最终成活的概率为0.9+0.1x0.5=0.95,

一尾乙种鱼苗的平均收益为10x0.95-2x0.05=9.4元.

设购买〃尾乙种鱼苗，尸(")为购买〃尾乙种鱼苗最终可获得的利润，

则F(n)=9.4/7>376000,解得n>40000.

所以需至少购买40000尾乙种鱼苗，才能确保获利不低于37.6万元.

例5.为了引导居民合理用水，某市决定全面实施阶梯水价.阶梯水价原则上以住宅(一套住宅为一户)的月

用水量为基准定价，具体划分标准如表：

阶梯级别第一阶梯水量第二阶梯水量第三阶梯水量

月用水量范围(单位：立方米)[0,10)[10,15)口5收)

从本市随机抽取了10户家庭，统计了同一月份的月用水量，得到如图茎叶图：

0789

112334

20

32

（0）现要在这W户家庭中任意选取3户，求取到第二阶梯水量的户数X的分布列与数学期望；

（回）用抽到的10户家庭作为样本估计全市的居民用水情况，从全市依次随机抽取10户，若抽到左户月用

水量为一阶的可能性最大，求上的值.

【解析】（回）由茎叶图可知抽取的10户中用水量为一阶的有3户，二阶的有5户，三阶的有2户.第二阶

段水量的户数X的可能取值为0,1,2,3,

icxc25

p(x=o)=,P(X=1)=

3~12c3~12

q0Ho

C25c；c；1

p(X=2)=P(X=3)=

3=12,c3~12

q0Ho

所以X的分布列为

X0123

1551

p

12121212

X的数学期望石(X)=0$+l*+2*+3$=：

J.乙-L乙J.乙A.乙乙

（0）设F为从全市抽取的io户中用水量为一阶的家庭户数，依题意得丫〜吃），

10-k

P(X=k)=C：。11I(左=0,1,2,3,.,10),

，所以当k=3时概率最大.

例6.已知八，8两个投资项目的利润率分别为随机变量X］和X］.根据市场分析，X］和X2的分布列如

下.

%5%10%

p0.80.2

X]2%8%12%

p0.20.50.3

（1底AA两个项目上各投资100万元X和八分别表示投资项目A和B所获得的利润求。（珀和。化）；

（2）将x（0<%<100）万元投资A项目，WO-x万元投资B项目，"%）表示投资A项目所得利润的方差

与投资B项目所得利润的方差之和.求/（X）的最小值，并指出X为何值时，/（可取到最小值.

【解析】（1）石耳=5%xl00x0.8+10%xl00x0.2=6,

=（5%x100-6）2x0.8+（10%x100-6）2x0.2=4

EY2=2%X100X0.2+8%X100X0.5+12%X100X0.3=8,

222

DY2=（2%x100-8）x0.2+（8%x100-8）x0.5+（12%x100-8）x0.3=12

（122Z^）2

（2）y（x）=z）（—x）+匕）=（—）2。（工）+D（X）

1001001001100

4o4o0

=--[%2+3(100-x)02]=--(4x2-600x+3xl002),

10021002

当x=75时，f(x)取最小值3.

例7.某地有种特产水果很受当地老百姓欢迎，但该种水果只能在9月份销售，且该种水果只能当天食用

口感最好，隔天食用口感较差。某超市每年9月份都销售该特产水果，每天计划进货量相同，进货成本每

公斤8元，销售价每公斤12元；当天未卖出的水果则转卖给水果罐头厂，但每公斤只能卖到5元。根据往

年销售经验，每天需求量与当地气温范围有一定关系。如果气温不低于30度，需求量为5000公斤；如果

气温位于[25,30),需求量为3500公斤；如果气温低于25度，需求量为2000公斤；为了制定今年9月份

订购计划，统计了前三年9月份的气温范围数据，得下面的频数分布表

气温范围[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,0)

天数414362115

以气温范围位于各区间的频率代替气温范围位于该区间的概率.

(1)求今年9月份这种水果一天需求量X(单位：公斤)的分布列和数学期望；

(2)设9月份一天销售特产水果的利润为F(单位：元)，当9月份这种水果一天的进货量为n(单位：

公斤)为多少时，y的数学期望达到最大值，最大值为多少？

【解析】解析：(1)今年9月份这种水果一天的需求量X的可能取值为2000、3500、5000公斤，

4+143500)=||=0.4,

P(X=2000)==0.2,

尸(X=5000)==04

于是X的分布列为：

X200035005000

P0.20.40.4

X的数学期望为：成=2000x0.2+3500x0.4+5000x0.4=4800.

(2)由题意知，这种水果一天的需求量至多为5000公斤，至少为2000公斤，因此只需要考虑

2000<n<5000,

当3500。45000时，

若气温不低于30度，则y=4〃；

若气温位于［25,30),贝=3500x4—(〃—3500)x3=2450°—3〃;

若气温低于25度，则Y=2000x4-(n-2000)x3=14000-3n;

2211

此时EF=W*4〃+二x(24500-3?z)+-(14000-3n)=12600--n<11900

当2000V〃<3500时，

若气温不低于25度，则y=4”；

若气温低于25度，则Y=2000x4-(n-2000)x3=14000-3n;

4i

止匕时EF=Wx4〃+-(14000-3n)=2800+不〃<11900;

所以“=3500时，y的数学期望达到最大值，最大值为11900.

例8.长沙某超市计划按月订购一种冰激凌，每天进货量相同，进货成本为每桶5元，售价为每桶7元，

未售出的冰激凌以每桶3元的价格当天全部处理完毕.根据往年销售经验，每天的需求量与当天最高气温(单

位：。C府关，如果最高气温不低于25°C，需求量为600桶;如果最高气温(单位-C庖于区间［20,25),

需求量为400桶；如果最高气温低于20。。，需求量为200桶.为了确定今年九月份的订购计划，统计了前

三年九月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：

最高气温(°C)[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40]

天数216362574

以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.

（1）求九月份这种冰激凌一天的需求量X（单位：桶）的分布列；

（2）设九月份一天销售这种冰激凌的利润为y（单位：元），当九月份这种冰激凌一天的进货量〃（单位：

桶）为多少时，y的均值取得最大值？

【解析】（1）由已知得，X的可能取值为200,400,600,记六月份最高气温低于20为事件A,最高气

温位于区间［20,25）为事件4,最高气温不低于25为事件&,

根据题意，结合频数分布表，用频率估计概率，

-IQ-1QZ70C

可知P（X=200）=P（4）=—=-,P（X=400）=P（4）=—=-,F（X=600）=尸（4）=—=-,

故六月份这种冰激凌一天的需求量X（单位：桶）的分布列为：

X200400600

]_22

P

5I~5

(2)结合题意得当n„200时,E(Y)=2侬400,

当200<%,400时，E(y)=-1x[200x2+(72-200)x(-2)]+-4xnx2=^6n+160e(400,640],

当400<600时，

192

E(y)=-x[200x2+(n-200)x(-2)]+-x[400x2+(n-400)x(-2)]+-x/2x2

=-|n+800e[560,640),

当”>600时，

122

E(y)=-x[200X2+5—200)x(-2)]+-x[400x2+(〃-400)x(-2)]+-x[600x2+(〃-600)x(-2)]

=1760—2〃v560,

所以当〃=400时，y的数学期望E(Y)取得最大值640.

例9.某企业准备投产一批特殊型号的产品，已知该种产品的成本C与产量4的函数关系式为

3

C='-3/+20q+10(q>0)

该种产品的市场前景无法确定，有三种可能出现的情况，各种情形发生的概率及产品价格。与产量q的函

数关系式如下表所示：

市场情形概率价格〃与产量q的函数关系式

好0.4p=164-3q

中0.4p=101-3q

差0.2p=10-4q

设。4,4分别表示市场情形好、中差时的利润，随机变量短，表示当产量为q,而市场前景无法确定

的利润.

(/)分别求利润4，L2,4与产量q的函数关系式；

(//)当产量q确定时，求期望E短；

(///)试问产量q取何值时，E短取得最大值.

【解析】解:由题意可得

Li=(164-3q)-q~3/+20q+10)

3

--^-+144(7—10(q>0).

3

同理可彳导上2=—^-+814—]0(q>0)

3

£3=———H50q_10(q>0)4分

(0)解:由期望定义可知

=0.44+0.4£2+0.2L3

333

=0.4X(―g+144夕一10)+0.4X(―g+81q-10)+0.2x(弋+50夕-10)

3

-^-+100^-10.

(0)解曲(回)可知EJ是产量q的函数，设

3

/(幻=段=-；+100<7-10(q>0)

得/①)=一/+100.令于'9)=o解得

q=10,4=-10(舍去).

当0<q<10时，尸(“)>0;当q>10时"'⑷<0

可知，当9=10时J(q)取得最大值，即E之最大时的产量q为10.

例10.将连续正整数L2,…,〃(“eN*)从小到大排列构成一个数123…〃，尸(〃)为这个数的位数(如〃=12

时，此数为12345